природа
квантового хаосу класична?
K.N. Югай, S.D. Творогов, Омськ
Державний університет, фізичний факультет Генерального,
пр.Миру ,55-644077 Омськ, РОСІЯ
Інститут оптики атмосфери в російський Академії наук
Останні обговорення про те, що
квантовий хаос не припиниться [1-16]. Деякі автори ставлять під сумнів сам факт
про існування квантового хаосу в природі [8]. Основна причина цього сумніви
це те, що квантова механіка рівнянь руху для хвильової функції або
матриці щільності лінійних а динамічний хаос може виникнути лише в
нелінійних систем. У цьому сенсі динамічного хаосу у квантових системах, тобто
квантового хаосу, не може існувати. Проте ряд експериментальних фактів дозволяє
нам з впевненістю заявити, що квантового хаосу не існує. Очевидно, це
протиріччя пов'язано з тим, що наші традиційні описи природи
не зовсім адекватне до нього.
Розмірковуючи над цією проблемою одного
Не можна не звернути увагу на наступне:
I) існують дві REGIN - чисто
квантова одного (QR), і чисто класичної (КР), де описів
суттєво різнилися. Те, яким чином квантової і класичної описів
не тільки дві диференціювання цих рівнів, але це, здається, більше-то
більше, проблема квантового хаосу вказує на нього. Оскільки експериментальна
прояви квантового хаосу існують отже, не можна ігнорувати питання
про природу квантового хаосу і його опис.
II) Безсумнівно, що
проміжні квантовоклассіческіх область (ПКК) існує між QR і CR,
які повинні володіти характеристиками обох QR і CR. З
Термін "квазіклассікі" пов'язана з традиційно відповідна
Орієнтовна методу в quatum механіці ми будемо називати цей регіон
квантово-класична ще одне. Очевидно, що ПКК є регіоном високої
збуджених станів квантових систем.
Нижче буде показано, що квантові і
класичні проблеми не є автономними в ПКК, але вони пов'язані з
один з одним, так що рішення квантової задачі містить рішення
відповідні класичної проблемою, але не навпаки.
можливості динамічного хаосу
нелінійної класичної проблемою впливає на квантової задачі так, щоб одна
Можна сказати, квантовий хаос виникає з глибин нелінійної класичної механіки
і вона повністю описана в термінах нелінійної динаміки, наприклад,
нестійкості, біфуркації, дивні атрактори і так далі. Ми покажемо також, що
зв'язку між квантової і класичної проблеми відображається на
фаза хвильової функції, що мають абсолютно класичному розумінні піддається
класичного рівняння руху і в разі його нелінійності в
порушується система динамічного хаосу.
Один з прекрасних прикладів ролі
фазових хвильова функція опису динамічного хаосу в борги
Джозефсонівських контактів [17-24]. Тут фаза хвильової функції (різниця фази
на стику) надпровідний конденсат піддається нелінійної
динамічні рівняння синус-Гордон. Динамічний хаос, що виникають в довгий Джозефсон
з'єднання і опис на синус-Гордона рівняння квантового хаосу
оскільки по суті мова йде про явище мають виключно
квантовий характер. Однак квантового хаосу тут описаний саме
класичних нелінійних рівнянь.
Нижче ми спробуємо показати, що
Опис квантового хаосу в більш загальному випадку може виконувати тільки
як довго джозефсонівських в термінах класичної нелінійної динаміки
Рівняння руху, яким піддається фаза хвильової функції втрат.
Крім того, квантова система повинна бути в ПКК, тобто у високій порушену
держав.
Давайте припустимо, що Гамільтоніан
системи мають вигляд
де оператор потенційної
енергії U (X, T) є
(Ми розглянемо тут одне-мірних
Система для простоти). Тут U0 (х) nonperturbation потенційної енергії,
і F (t) є залежних від часу зовнішньої сили.
Ми знайшли рішення
Рівняння Шредінгера
в
форми
де
, 
є рішенням класичних
рівняння руху, 
є деяка постійна, S ( Т)
залежить від часу функції, відчуття, що буде ясно пізніше. Зауважимо,
що функція A (X, T) є реальною. (Представлення етап (X, T) в
форма (5) на src = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255888317_Is_the_nature_of_quantum_chaos_classical_8.jpg" alt = "" ![]()
була введена спочатку Хусімі
[25]).
Підставляючи (4) в рівняння. (1) і
беручи до уваги (5), отримуємо:
Тут індексами T, Y і 
позначимо приватних похідних
за часом T і координати Y, , відповідно.
Праворуч від екв. (6)
виразів як квадратні дужки дорівнюють нулю, оскільки в наступному
відносини:
Я) від класичного рівняння
рух
де src = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255888318_Is_the_nature_of_quantum_chaos_classical_16.jpg" alt = "" ![]()
таке ж потенціалу, тобто в
(3), і
II) вираз для
класичної функції Лагранжа L (T)
таким
що функції
робить почуття інтеграл дії.
Into
Екв. (6)
виправними екв. (6), ми використовували
про розширення потенційної енергії у формі
Очевидно, що розкладання (11)
є правильним у випадку, коли класична траєкторія близька до квантової.
Таким чином, ми отримаємо рівняння
Функція src = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255888319_Is_the_nature_of_quantum_chaos_classical_21.jpg" alt = "" ![]()
у формі
Ми звертаємо увагу тут до трьох
що відбуваються моментах: 1) Рівняння (12) є рівнянням Шредінгера знову,
але без зовнішніх сил. 2) У нас є система двох рівнянь
рух: квантове рівняння. (12) і класичне рівняння. (7). У загальному випадку ці рівняння
складають систему пов'язаних рівнянь, так як коефіцієнт К може бути
Функція класичної траєкторії, src = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255888320_Is_the_nature_of_quantum_chaos_classical_23.jpg" alt = "" ![]()
. Як ми покажемо нижче зв'язок
між формулами. (12) і (7) виникає в тому випадку, якщо класичне рівняння. (7)
нелінійна. 3) Класична формула. (7) містить деякі дисипативних перспективі, і тому має сенс дисипативної
коефіцієнтом. Дисипації, що виникають тільки в класичні рівняння
виглядала цілком природно - дисипації має класичний характер.
Давайте припустимо, що src = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255888320_Is_the_nature_of_quantum_chaos_classical_24.gif" alt = "" ![]()
є потенційна енергія лінійного
гармонічного осцилятора
де 
є деяка постійна. Тоді
ми
і
де 
є природною частоті
гармонічного осцилятора. Рівняння (15) та (16) являють собою відповідні
Рівняння квантової і класичної лінійного гармонічного осцилятора. Ми бачимо, що
Рівняннями. (15) та (16) є самостійними по відношенню один до одного. Таким чином, у разі
Якщо класична межа (16) відповідної задачі квантової (15) є лінійним
Тоді рішення класичної та квантової одна не пов'язані один з
інший.
Припустимо тепер, що src = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255888321_Is_the_nature_of_quantum_chaos_classical_31.jpg" alt = "" ![]()
мають форму потенційної енергії
від осцилятора Дуффінга
де 
, 
і 
деякі константи. Для
потенційна енергія (17) K приймає форму
Тоді ми маємо наступне рівняння
руху
де
Рівняння (20) являє собою
рівняння руху для нелінійного осцилятора. Видно, що квантова (19)
і класичний (20) рівняння руху пов'язані один з одним.
Ми повернемося до обговорення
розширення (11). Представляється очевидним, що класична і квантова
trajektories співіснувати та близькі одне до одного тільки в ПКК. У чистому
квантова QR регіоні і в суто класичної CR цих траєкторій не може
співіснують: тому що в ЧР хвилі де Бройля пакета не вдається в quickli
Наслідком дисперсії; в QR класичної траєкторії зникає в
Внаслідок невизначеності відносин. Таким чином розширення (11) є правильним у
квантово-класична ПКК тільки в регіоні, або, іншими словами в Квазікласичне
регіоні. ПКК це стало необхідним тільки в тих випадках, коли класична проблема
виявляється нелінійної.
переходу часток з
низький держави src = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255888323_Is_the_nature_of_quantum_chaos_classical_41.jpg" alt = "" ![]()
(від QR) у високому збудженому
Держави src = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255888323_Is_the_nature_of_quantum_chaos_classical_42.jpg" alt = "" ![]()
(в ПКК) є
де (X, T) визначається з
вираз (5). Легко бачити, що ймовірність цього переходу
буде залежати від рішення
класичного рівняння руху src = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255888324_Is_the_nature_of_quantum_chaos_classical_45.jpg" alt = "" ![]()
.
З класичної задачі (19)
нелінійні, а потім у своєму, як відомо [26] динамічного хаосу може виникнути.
Цей хаос призведе до nonregularities у фазу хвильової функції (X, T) і
Також у функції src = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255888319_Is_the_nature_of_quantum_chaos_classical_21.jpg" alt = "" ![]()
, що в свою чергу призведе до
nonregularities ймовірностей переходу у високих збуджених станів,
а також від високого стану у стан безперервного спектру. У
Таким чином, можна сказати, що квантовий хаос динамічного хаосу в
нелінійної класичної проблемою, що визначає квантові рішення, з точки зору
з представленої тут теорії.
підтримуються Ці дослідження
За російський фонд фундаментальних досліджень (проект № 96-02-19321).
Список літератури
Заславського G.M., Чириков B.V.
Стохастична нестійкість нелінійних коливань// УФН. Фіз. Наук. 1971.
V.105. N.1. С.3-29.
Чириков B.V., F. M. Ізраїлів,
Shepelaynsky D.L. Динамічна стохастичності в класичної та квантової механіки//
Рад. Sci. Rev., Sect.C. 1981. V.2. С.209-223.
Тоды М., Ікеда К. Квантова версія
перекриття резонансів// J.Phys.A: мат. і генерал 1987. V.20. N.12. P.3833-3847.
Накамура К. квантового хаосу.
Основні проблеми та їх застосування до матеріальної науці// Progr. Теор.
Phys. 1989. Suppl. N.98. С.383-399.
FloresJ.C. Kicked квантового ротатори
з динамічним безладом. Дифузійне поведінка в momentuum просторі// Phys. Rev.
A. 1991. V.44. N.6. P.3492-3495.
Gasati Г., Гварнері І., Ізраїлів F.,
Шарф Р. Масштабування поведінка локалізації в quatum хаос// Phys.Rev.Lett.
1990. V.64. С.5-8.
Чириков Б. В. залежні від часу квантових
Системи .- В 'хаосу і квантової фізики, ред. M.-J. Giannoni, А. Вереш, J.
Зінн-Джастіна. Proc. Les. Уш Літньої школи. Elsevier, 1991. P.445.
Чириков Б. В. Квантовий Хаотичному
Систем. Prepr. 91-83. Новосибірськ, 1991.
Elutin P.V. Проблеми квантової
Chaos// УФН. Фіз. Наук. 1988. V.155. N.3. P.397-442.
Берман G.P., Коловський A.R. Квантова
Хаос в взаємодій багаторівневих квантових систем з когерентного випромінювання
поля// УФН. Фіз. Наук. 1992. V.162. N.4. P.95-142.
Хейсс W.D., Kotze А.А. Квантовий хаос
та аналітична структура спектру// Phys. Rev. A. 1991. V.44. N.4.
P.2401-2409.
Prosen T., Robnic М. енергетичний рівень
Статистика та локалізації в sparced діапазонів ансамблю випадкових матриць// J.
Phys. A. 1993. V.26. N.5. P.1105-1114.
Беррі M.V., Кітінг J.P. правила
квантування хаосу?// J. Phys. A. 1990. V.23. N.21. P.4839-4849.
Саїто Н. Про походження і природу
квантового хаосу// Progr. Теор. Phys. 1989. Suppl. N.98. P.376-382.
Бен-Тал Н., Н. Моїсеєв, Корша H.J.
Квантова та класична динаміка в періодичному Driven ангармоніческіх
осцилятор// Phys. Rev. А. V.46. N.3. P.1669-1672.
Югай K.N. Про деякі задачах квантової
нелінійні в класичному межі// Изв. Вузів. Physica. 1992. N.7. С.104-107.
Cirillo М., Педерсен N.F. На
біфуркації і перехід до хаосу в джозефсонівських контактів// Phys. Lett. А.
1982. V.90. N.3. С.150-152.
Далсгард J.H., Ларсена А., Mygind J.
Хаос в себе накачуванням резонатора поєднанні джозефсонівських переходах// Physica B. 1990. V.165-166.
N.2. P.1661-1662.
Yeh W.J., Symko O. G. Чжен D.J.
Хаосу в довгих джозефсонівських без зовнішніх рушійних сил РФ// Phys. Rev.
B, 1990. V.42. N.7. P.4080-4087.
Яо X., Wu J.Z., Тінг C. С. Виникнення
хаос в джозефсонівських переходів з проміжними поховання// Phys. Rev. B. 1990.
V.42. N.1A. P.244-250.
Rajasekar С., LakshmananM. Кілька
аттракторів і їх басейнів тяжіння довго джозефсонівських// Phys.
Lett. A. 1990. V.147. N.5-6. P.264-268.
Gronbech-Йенсен Н., Lomdahl P.S.,
Samuelsen MR біфуркації і хаос в DC-Driven lomg кільцевих джозефсонівських
Junction// Phys. Rev. B. 1991. V.43. N.16. P.12799-12803.
Герреро L.S., Ostavio М.
Квазіперіодичні шляху до м'яких турбулентності в довгих джозефсонівських// Physica
B. 1990. V.165-166. N.2. P.1657-1658.
Югай K.N., Блінов N.V., Широков
М.В. Вплив пам'яті і динамічного хаосу в довгих джозефсонівських// Phys. Rev.
Б. 1995. V.51. N.18. P.12737-12741.
Хусімі K.// Progr. Теор. Phys.
1953. V.9. P.381.
Ліхтенберг A. J. Ліберман M.A.
Регулярні і стохастичного руху. Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1983.
Для
підготовки даної роботи були використані матеріали з сайту http://www.omsu.omskreg.ru/
