Про один розкладанні елемента вільної метабелевой групі productof примітивні елементи

E.G. Смирнова, Омський державний Університет, математичний факультет

1. Введення

Нехай G = Р/V бути вільними в деяку різноманітність групи рангу Н. Елемент src = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255888425_On_a_decomposition_of_an_element_of_a_free_metabelian_group_as_a_productof_primitive_elements.gif" alt = "" називається примітивною, якщо і тільки якщо G можуть бути включені в деякі підстави G = G1, G2 ,..., Н. Г. Мета цієї записки полягає в Розглянемо подання елементах вільних груп і абелевих метабелеви різновиди як продукт примітивного елемента. Примітивної довжини | G | PR від Елемент src = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255888425_On_a_decomposition_of_an_element_of_a_free_metabelian_group_as_a_productof_primitive_elements.gif" alt = "" за визначенням є найменшим числом М такий, що G може бути представлена як добуток м примітивні елементи. Примітивний Довжина | G | PR групи G визначається як , тому можна говорити про кінцеву або нескінченної довжини примітивного заданих щодо вільних груп.

Зауважимо, що | G | PR інваріантної Дія Aut G. Таким чином, це поняття може бути корисною для вирішення автоморфізмів Проблема для G.

Ця записка була написана під guideness професора В. А. Роман 'кова. Воно було підтримано грантом РФФМ 95-01-00513.

2. Презентація елементів вільної абелевих групи рангу N у вигляді добутку примітивних елементах

Нехай буде вільною абелевих групи Rank N з базисом A1, A2 ,...,. Будь-який елемент src = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255888426_On_a_decomposition_of_an_element_of_a_free_metabelian_group_as_a_productof_primitive_elements_2.gif" alt = "" uniquelly може бути записано у вигляді

.

кожного такого елемента є один-один листування з вектором . Нагадаємо, що вектор (k1 ,..., Kn) називається унімодулярной, якщо g.c.m. (k1 ,..., Kn) = 1.

Лемма 1. Елемент вільної абелевих групи є примітивним якщо і тільки якщо вектор (k1 ,..., Kn) унімодулярна.

Доказ. Нехай , потім . Якщо з примітивними, то воно може бути включений в основу C = C1, C2 ,..., CN групи. Група (N факторів) в такому випадку має основи src = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255888427_On_a_decomposition_of_an_element_of_a_free_metabelian_group_as_a_productof_primitive_elements_9.jpg" alt = "" , де означає, що зображення із запалюванням від стиснення. Однак, src = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255888427_On_a_decomposition_of_an_element_of_a_free_metabelian_group_as_a_productof_primitive_elements_11.gif" alt = "" , що contradics до добре відомих факт: (D) не допускається src = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255888428_On_a_decomposition_of_an_element_of_a_free_metabelian_group_as_a_productof_primitive_elements_12.gif" alt = "" утворюють елементів . І навпаки, Відомо, що кожен елемент C = a1k1 ,..., ankn такі, що GCM (k1 ,..., Kn) = 1 можуть бути включені до деяких заснування групи.

Зверніть увагу, що кожен не унімодулярной векторний може бути представлене як сума двох унімодулярной векторів. Одна з таких можливостей є формулою (k1 ,..., Kn) = (K1-1, 1, K3 ,..., Kn) + (1, K2-1, 0 ,..., 0).

Пропозиція 1. Кожен елемент src = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255888426_On_a_decomposition_of_an_element_of_a_free_metabelian_group_as_a_productof_primitive_elements_2.gif" alt = "" , , можуть бути представлені у вигляді добутку не більше ніж на два примітивні елементи.

Доказательсво. Нехай C = a1k1 ... ankn для деякого базису A1, ... о. Якщо GCM (k1 ,..., Kn) = 1, то з примітивною по Лемма 1. Якщо , то ми маємо розкладання (k1 ,..., Kn) = (S1 ,..., Sn) + (T 1 ,..., TN) унімодулярних двох векторів. Тоді C = (a1s1. .. ansn) (a1t1. .. antn) являє собою твір двох примітивними елементами.

Corollary.It випливає, що | | PR = 2 для src = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255888428_On_a_decomposition_of_an_element_of_a_free_metabelian_group_as_a_productof_primitive_elements_16.gif" alt = "" . (Зауважимо, що src = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255888429_On_a_decomposition_of_an_element_of_a_free_metabelian_group_as_a_productof_primitive_elements_17.jpg" alt = "" .

3. Розкладання Елементи коммутант вільної метабелевой групи рангу 2, продукту примітивні Нехай

src = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255888429_On_a_decomposition_of_an_element_of_a_free_metabelian_group_as_a_productof_primitive_elements_18.gif" alt = "" вільна метабелева група рангу 2. Коммутант М'2 Абелева нормальна підгрупа в M2. Група вільна Абелева група рангу 2. Коммутант М'2 можна розглядати як модуль над кільцем Лоран багаточлени

.

дій в модулі є М'2 визначається як , де є прообразом будь-якого елемента в M2, а

.

Зауважимо, що для src = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255888430_On_a_decomposition_of_an_element_of_a_free_metabelian_group_as_a_productof_primitive_elements_25.gif" alt = "" , Ми

(U, G) = УГУ-1G-1 = U1-G.

Будь автоморфізмів src = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255888430_On_a_decomposition_of_an_element_of_a_free_metabelian_group_as_a_productof_primitive_elements_27.jpg" alt = "" є uniquelly визначається карті

.

З М'2 є характерною підгрупу, індукує автоморфізмів у групі A2 таке, що

Розглянемо автоморфізмів групи M2, ідентичні modM'2, , Яка визначається карті

За теоремі Bachmuth з [1] є внутрішньою, що для деяких src = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255888432_On_a_decomposition_of_an_element_of_a_free_metabelian_group_as_a_productof_primitive_elements_38.jpg" alt = ""

Розглянемо

примітивний елемент Форма UX, src = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255888430_On_a_decomposition_of_an_element_of_a_free_metabelian_group_as_a_productof_primitive_elements_25.gif" alt = "" . За визначенням існує існує автоморфізмів src = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255888433_On_a_decomposition_of_an_element_of_a_free_metabelian_group_as_a_productof_primitive_elements_41.jpg" alt = "" таке, що

       

        

(1)     

Використання елементарних перетворень можна знайти IA-автоморфізмів з першого рядка виду (1). Тоді по вище теорема Bachmuth США

В зокрема, елементи типу U1-хх, U1-YY, src = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255888430_On_a_decomposition_of_an_element_of_a_free_metabelian_group_as_a_productof_primitive_elements_25.gif" alt = "" примітивно.

Пропозиція 2. Кожен елемент похідний підгрупа вільної метабелевой групи м2 може бути представлена у вигляді твору не більше трьох примітивними елементами.

Доказ. Кожен елемент src = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255888430_On_a_decomposition_of_an_element_of_a_free_metabelian_group_as_a_productof_primitive_elements_25.gif" alt = "" можуть бути записані як і може бути представлено як:

.

Таким чином,        

        

(2)     

комутатор src = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255888435_On_a_decomposition_of_an_element_of_a_free_metabelian_group_as_a_productof_primitive_elements_54.gif" alt = "" , відомий комутатор тотожності може бути представлено як:        

        

(3)     

останні комутатор (3) може бути додати до першого в (2). Ми отримуємо [Y-1 , яка є твором трьох примітивними елементами.

4. Розкладання елемента вільної метабелевой групи рангу 2 у вигляді добутку примітивної Елементи

Для подальших міркувань нам необхідно наступний факт: будь-який примітивний групи А2 індукований , . Це можна пояснити таким чином. Можна йти від основ src = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255888437_On_a_decomposition_of_an_element_of_a_free_metabelian_group_as_a_productof_primitive_elements_64.jpg" alt = "" деякі інші основі використання послідовності елементарних перетворень, які відповідно до елементарними Перетворення в основу групи M2.

Аналогічні твердження справедливі для будь-якого рангу src = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255888428_On_a_decomposition_of_an_element_of_a_free_metabelian_group_as_a_productof_primitive_elements_14.gif" alt = "" .

Пропозиція 3. Будь-який елемент групи м2 може бути представлена у вигляді твору не більш ніж у чотири примітивні елементи.

Доказ. Спочатку розглянемо елементи Форма . Елемент src = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255888438_On_a_decomposition_of_an_element_of_a_free_metabelian_group_as_a_productof_primitive_elements_66.jpg" alt = "" примітивна у А2 по Лемма 1, Отже, це примітивний елемент типу . Отже, Так, елемент примітивно, воно може бути включено в деякі основи src = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255888438_On_a_decomposition_of_an_element_of_a_free_metabelian_group_as_a_productof_primitive_elements_70.jpg" alt = "" змусити тих же підставах А2. Після переписування в цьому новому основи ми маємо:

і так як до

Очевидно, що перші два елементи вище примітивно. Позначимо їх як P1, P2. Нарешті, ми

, твір трьох примітивний елементи.

Якщо , то за пропозицією 1 можна знайти Розширення як добуток двох примітивні елементи, , Які відповідають примітивними елементами M2: v1xk1yl1, v2xk2yl2, v1, v2 . Подальше

У нас є розширення

елементом W (v1xk1yl1) може бути представлена у вигляді твору не більш ніж на три примітивні елементи. Ми Продукт не більш ніж у чотири примітивні елементи в загальному випадку.

5. Розкладання елементів вільна метабелева група рангу src = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255888441_On_a_decomposition_of_an_element_of_a_free_metabelian_group_as_a_productof_primitive_elements_83.gif" alt = "" як продукт примітивних елементів

Розглянемо вільний метабелевой групи Mn = рангу .

Пропозиція 4. Будь-який елемент src = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255888441_On_a_decomposition_of_an_element_of_a_free_metabelian_group_as_a_productof_primitive_elements_84.gif" alt = "" може бути представлена у вигляді твору не більш ніж у чотири примітивні елементи.

Доказательсво. Добре відомо [2], що як M'n Модуль, породжена усіма комутаторами src = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255888441_On_a_decomposition_of_an_element_of_a_free_metabelian_group_as_a_productof_primitive_elements_85.jpg" alt = "" . Тому для будь-якого src = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255888441_On_a_decomposition_of_an_element_of_a_free_metabelian_group_as_a_productof_primitive_elements_86.gif" alt = "" існує Презентація

Окремі комутатори з (4) на три групи наступним чином.

1) - комутаторів, не включаючи Елемент X2, але в тому числі X1.

2) - інші комутатори НЕ в тому числі X1.

3) і третій набір складається з комутатор src = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255888443_On_a_decomposition_of_an_element_of_a_free_metabelian_group_as_a_productof_primitive_elements_97.gif" alt = "" .

Розглянемо автоморфізмів Mn, визначення наступні карти:

.

карта src = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255888444_On_a_decomposition_of_an_element_of_a_free_metabelian_group_as_a_productof_primitive_elements_102.jpg" alt = "" визначає автоморфізмів, оскільки Якобі має форму

і, отже, Det Л = 1.

З елементом Height = "23" можуть бути включені в базу Мп, це примітивно. Таким чином, будь-який елементом src = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255888441_On_a_decomposition_of_an_element_of_a_free_metabelian_group_as_a_productof_primitive_elements_86.gif" alt = "" може бути представлена у формі

x3x2x1]

[x1-1x2-1x3-1]. = P1p2p3p4 продукт чотирьох примітивних елементів.

відзначити, що останні примітивний елемент P4 = x1-1x2-1x3-1 може бути довільним.

Пропозиція 5. Будь-який елемент вільної метабелевой Група Mn може бути представлена у вигляді твору не більш ніж у чотири примітивні елементи.

Доказ. Випадок 1. Розглянемо елемент , так що GCM (K1,. .., Kn) = 1. Елемент примітивна по Лемма 1 і там існує примітивний ,

елемента з коммутант може бути представлена у вигляді твору не більше чотирьох примітивних елементів з фіксованою одна з них:

Тоді

.

Випадок 2. Якщо , то по Лемма 2 , де є примітивними. Там існує примітивними елементами тому Ми вже довели, що цей елемент WP1 може бути представлена у вигляді твору не більш ніж на три примітивні елементи p1'p2'p3. Нарешті, ми маємо C = p1'p2'p3'p2, продукт не більше чотирьох примітивними елементами.

Список літератури

Bachmuth С. автоморфізмів вільних метабелеви групи// Trans.Amer.Math.Soc. 1965. V.118. P. 93-104.

Ліндон Р., Шупп П. Комбінаторна теорія груп. М.: Світ, 1980. Для

підготовки даної роботи були використані матеріали з сайту http://www.omsu.omskreg.ru/