Раціональні дроби та їх властивості

Практична робота

Підготувала Шепель Ілона

Гімназія ім. В. О. Ніжніченка

2004 р.

Дріб, числівник і знаменник якого є многочленами, називається раціональним (алгебраїчним).

Наприклад,

; ; ;

є раціональними або алгебраїчнімі дробами.

Область припустимих значень (ОПЗ) алгебраїчного дробу є множина всіх числових наборів, що відповідають набору многочленів P та Q, для кожного з яких значення многочлена Q не дорівнює нулю.

Наприклад,

(ОПЗ) алебраїчного дробу є множина всіх числових наборів, відповідаючіх її Буковно наборові (a, b, c) таких що

Два раціональні дроби та тотожно рівні на множині М, якщо на множині М справедлива рівність PB = QA, за умови, що многочленів Q та B не дорівнюють нулю.

Наприклад,

Справедлива тотожня рівність

для так як для них виконується

                

Основна властивість дробу виражена тотожністю , Яка справедлива за умов, де R - цілий раціональний вираз (многочлен, Одночлен або число).

Приведення раціональних дробів до спільного знаменника.

Скоротити дріб - це означає розділити числівник і знаменник дробу на спільний множник. Можливість такого скорочення обумовлена основною властивістю дробу.

Спільним знаменника декілька раціональних дробів називається цілий раціональний вираз, який ділиться на знаменник кожного дробу.

Для того, щоб декілька раціональних дробів привести до спільного знаменника, потрібно:

розкласти знаменник кожного дробу на множник;

Скласти загальний знаменник, включивши в нього в якості співмножніків всі множник одержаних розкладів; якщо множник є в декількох розкладах, то він береться з найбільшим показником ступеню;

Знайти додаткові множник для кожного з дробів (для цього спільний знаменник ділять на знаменник дробу);

домножити числівник і знаменник на додатковий множник, привести дроби до спільного знаменника.

Додавання і віднімання раціональних дробів.

Сума двох (любої скінченної кількості) раціональних дробів з однаковими знаменника дорівнює дробу з тим же знаменника і з чіслівніком, що дорівнює сумі числівників дробів-доданків:

.

Аналогічно і в випадку віднімання дробів з однаковими знаменника:

.

Для додавання і віднімання раціональних дробів з різними знаменника потрібно привести дроби до спільного знаменника, а потім виконати операції над дробами з однаковими знаменника.

Наприклад:

Спростити вираз:.

Розв "язок .

                

Множення і ділення раціональних дробів.

добуток двох (любої скінченної кількості) раціональних дробів тотожно дорівнює дробу, числівник якого дорівнює добутку числівників, а знаменник - добутку знаменніків дробів-співмножніків:

.

Частка від ділення двох раціональних дробів тотожно дорівнює дробу, числівник якого дорівнює добутку числівника першого дробу на знаменник другого дробу, а знаменник - добутку знаменника першого дробу на числівник другого дробу:

.

Наприклад:

Виконати множення.

Розв "язок.

.

Піднесення раціонального дробу до степеня.

Для того, щоб піднести раціональний дріб до натурального мірою n, треба піднести до цього степеня окремо числівник і знаменник дробу. Перший вираз - числівник, другий вираз - знаменник результату. .

При піднесенні дробу до цілого від "ємного степеня використовуємо тотожність

яка справедлива при будь-яких значеннях змінних, за яких P