Дослідження точності чисельного інтегрування
Research of Accuracy of Numerical Integration
Завдання дослідження
Провести дослідження внутрішньої збіжності чисельного інтегрування методом
Сімпсона і трапецій різних функцій, що задаються за допомогою мови С.
Детальний опис завдання та способи її вирішення
Необхідно провести дослідження так званої внутрішньої збіжності чисельного
інтегрування методами Сімсона і трапецій різних функцій, що задаються з
допомогою функцій мови С. Передбачається, що відрізок інтегрування [a, b] розбитий
на n рівних частин системою точок (сіткою).
    
Контроль внутрішньої збіжності полягає в циклічному обчисленні наближених
значень інтеграла для подвоюємо в порівнянні зі значенням на попередньому
проходженні циклу числа n. Відносини абсолютної величини різниці цих значень
до абсолютної величини попереднього наближеного значення приймається як
критерію досягнення точності інтеграла.
Побудувати залежності кількості ітерацій від різних величин критерію точності.
Побудувати зворотні залежності критерію точності від кількості ітерацій.
Повторити всі вищевказані дослідження для випадку, коли при обчисленні
критерію точності різниця значень інтеграла відноситься не до попереднього
значенням, а до точного значення аналітично обчисленого інтеграла.
Дослідити вплив збільшення верхньої межі інтегрування на точність (при
інших незмінних умовах)
Метод трапецій
, Де
 
Метод Сімпсона
, Де

Результати досліджень
Таблиця і графік залежності кількості ітерацій від різних значень критерію
точності
Для
      Критерій точностіКолічество ітерацій
      -0,167663114
      -0,151891616
      -0,004693112
      -0,002653111
      -0,000263910
      -0,00017092
      -0,00012979
      -0,00005573
      -0,0000258
      -0,00001984
      -0,00000965
      -0,00000386
      015
      0,00000527
      0,07108913



      Критерій точностіКолічество ітерацій
      -0,112727116
      -0,075028815
      -0,054067714
      -0,002141512
      -0,000571111
      -0,00004589
      -0,00003812
      -0,00001913
      -0,0000084
      -0,0000045
      -0,00000197
      -0,00000026
      0,0000058
      0,000298310
      0,016437713



      Критерій точностіКолічество ітерацій
      -0,006670913
      -0,004236714
      -0,000356110
      -0,00000165
      -0,0000014
      0,00000053
      0,00000066
      0,00000092
      0,00000097
      0,00002238
      0,0000569
      0,000278211
      0,000347412
      0,00529316
      0,005326715



      Критерій точностіКрітерій точності
      -61,446979512
      -5,7140473
      -1,021575513
      -0,72414332
      -0,51211174
      -0,322264311
      -0,21636147
      -0,15366299
      -0,093026114
      0,035318316
      0,05705915
      0,16973715
      0,202553410
      0,25047286
      0,62025928



      Критерій точностіКолічество ітерацій
      -0,011930816
      -0,000783413
      -0,00000793
      -0,00000414
      -0,00000377
      -0,00000275
      -0,00000276
      -0,0000028
      -0,00000162
      0,000000310
      0,00000629
      0,000038511
      0,000080212
      0,000545215
      0,001668914



      Критерій точностіКолічество ітерацій
      -0,002628616
      -0,001241614
      -0,00001183
      -0,00001074
      -0,00000465
      -0,00000469
      -0,00000286
      -0,00000217
      -0,00000052
      0,000001110
      0,00000188
      0,000002311
      0,00005812
      0,000104913
      0,002792815


Таблиця і графік залежності значень критерію точності від кількості ітерацій
Для функції
      По відношенню до попереднього значеніюПо відношенню до аналітичного значенням
      Критерій точностіКолічество ітераційКрітерій точностіКолічество ітерацій
      -0,00017092-0,00019322
      -0,00005573-0,00006293
      -0,00001984-0,00002244
      -0,00000965-0,00001085
      -0,00000386-0,00000436
      0,000005270,00000587
      -0,0000258-0,00002838
      -0,00012979-0,00014669
      -0,000263910-0,000298310
      -0,002653111-0,00299811
      -0,004693112-0,005289112
      0,071089130,079740313
      -0,167663114-0,201436514
      015015
      -0,151891616-0,151891616


Для функції
      По відношенню до попереднього значеніюПо відношенню до аналітичного значенням
      Критерій точностіКолічество ітераційКрітерій точностіКолічество ітерацій
      -0,00003812-0,00006662
      -0,00001913-0,00003353
      -0,0000084-0,00001414
      -0,0000045-0,00000695
      -0,00000026-0,00000046
      -0,00000197-0,00000337
      0,00000580,00000888
      -0,00004589-0,00008029
      0,0002983100,00052210
      -0,000571111-0,000999711
      -0,002141512-0,003746512
      0,0164377130,028695513
      -0,054067714-0,095937814
      -0,075028815-0,125933115
      -0,112727116-0,175012416






Порівняння результатів
Таблиця порівняльних результатовМетод трапеції n = 1000000Метод Сімпсона
      n = 1000000Аналітіческій результатФункціяПредели
      4,50514754,52401834,49980967 f (x) = 1/x0, 1 ... .. 9
      1,74914621,75007611,791756469 f (x) = 1/x * x0, 3 ... .. 5
      1,99918851,99995052 f (x) = sin (x) 0 ... ....