Логічний висновок на основі нечіткої метаімплікаціі

Логічний висновок на основі нечіткої метаімплікаціі

О.А. Меліхова

У роботі докладно розглянута суть логічного висновку на основі нечіткої метаімплікаціі, з допомогою прикладів показана Максиміна згортка нечітких відносин, яка використовується в моделях прийняття рішень і при розпізнаванні нечітких образів.

При виконанні нечітких висновків використовуються нечіткі відповідності R, задані між однією проблемною областю (безліч X) та іншої областю (безліч Y) у вигляді нечіткого підмножини прямого твори , який визначається за формулою [7,13 ]:

, (1.1)

де -- область відправлення, -- область прибуття, -- функція приналежності нечіткому відповідності R, а знак означає сукупність (об'єднання) множин.

Якщо існує правило типу "якщо A, то B", що використовує нечіткі множини A і B , то один із способів побудови нечіткого відповідності R полягає в наступному:

або

, (1.2)

де -- функції приналежності елементів x, y відповідно множинам A і B.

Приклад 1. Нехай X і Y - області натуральних чисел від 1 до 4. Визначимо наступним чином нечіткі безлічі: A = "маленькі", B = "великі".

X = Y = (1,2,3,4), тобто для приклад взятий окремий випадок відповідності-відношення на множині (1,2,3,4):

Для прикладу "якщо x маленьке, то y велике "(або , де знак означає операцію нечіткої метаімплікаціі) можна побудувати нечітке відношення R наступним чином:

0,1

0,6

R =

0,1

0,6

0,1

Як елементи матриці R записані значення , обчислені за формулою (1.2) .

Для згортки нечітких відносин частіше вибирається згортка max-min (Максиміна композиція). Нехай R - нечітке відповідність множини X і безлічі Y, а S -- нечітка відповідність безлічі Y і безлічі V. Тоді нечітка відповідність між X і V визначається як згортки (композиція) , де

або

. (1.3)

Приклад 2. Нехай і задані нечіткі безлічі A = "не маленькі", H = "дуже великі", де

Тоді для правила "якщо y не маленьке, то v дуже велике "(або ), відповідно до формули (1.2) нечітка відповідність S визначається як

S =

0,4

0,5

0,9

0,5

Якщо зараз за формулою (1.3) обчислити згортку max-min з нечітким відношенням R, отриманим у прикладі 1.1, то з двох відносин:

якщо x маленьке, то y велике,

якщо y не маленьке, то v дуже велика

можна побудувати нечітке відношення з X в V.

0,1

0,6

0,1

0,6

0,4

0,1

0,5

0,9

0,5

0,6

0,1

Модель прийняття рішень на основі композиційного правила виводу описує зв'язок усіх можливих станів складної системи з керуючими рішеннями. Формально модель задається в вигляді трійки (X, R, Y), де - базові множини, на яких задані, відповідно, входи і виходи системи, R -- нечітка відповідність "вхід-вихід". Відповідність R будується на основі словесної якісної інформації спеціаліста (експерта), через пряму формалізації його нечітких стратегій. Експерт описує особливості прийняття рішень при функціонуванні складної системи у вигляді ряду висловлювань типу "Якщо , то , інакше, якщо , то , інакше, ..., якщо , то ". Тут , ,..., -- нечіткі підмножини, визначені на базовому множині X, а , ,..., -- нечіткі підмножини з базового безлічі Y. Всі ці нечіткі підмножини задаються функціями належності і .

Спосіб побудови нечіткого відносини пов'язує висловлювання експерта за правилом "якщо , то "і визначається функцією приналежності , що отримується за формулою (1.2). Зв'язка "інакше" між правилами розуміється як або-зв'язка, оскільки загальне нечітке відношення складається з: правило 1, або правило 2, або, ..., чи правило N. Тому загальне ставлення R формально визначається в такий спосіб:

, де i = 1, .. ., N. (1.4)

Якщо припустити, що ми маємо нечітке подія , тобто вхідну ситуацію, представлену нечітким підмножиною, і відоме загальне ставлення R, тоді результуюче дію виводиться по композиційному правилом виводу: . Значення функції приналежності для обчислюється за допомогою Максиміна операції, яка визначається рівнянням

. (1.5)

Розглянутий логічний висновок на основі нечіткої узагальненої метаімплікаціі добре зарекомендував себе при використанні в експертних системах, а також при прийнятті рішень у реальному масштабі часу в завданнях управління і контролю.

Список літератури
Заде Л.А. Основи нового підходу до аналізу складних систем і процесів прийняття рішень./М.: Математика сьогодні, 1974, с.5-49.
Дюбуа Д., Прад А. Теорія можливостей. Додатки до подання знань в інформатиці. Пер. з франц. М.: Радіо і зв'язок, 1990, 288 с.