Міністерство загальної та професійної освіти РФ.
Уральський державний технічний університет - УПІ
Кафедра "Технологія та засоби зв` язку "
"Дослідження точності чисельного інтегрування"
"Research of Accuracy of Numerical Integration"
Звіт
з лабораторної роботи
дисципліни
"Інформатика", третій семестр
Викладач: Болтаем А.В.
Студенти: Степанов А.Г
Черепанов К.А.
Група: Р-207
Єкатеринбург
2000
Зміст
1. Завдання дослідження 3
2. Детальний опис завдання та способи її вирішення 3
3. Результати досліджень 4
4. Порівняння результатів 12
5. Список бібліографічних джерел 13
6. Текст програми 13
Завдання дослідження
Провести дослідження внутрішньої збіжності чисельного інтегруванняметодом Сімпсона і трапецій різних функцій, що задаються за допомогою мови
С.
Детальний опис завдання та способи її вирішення
Необхідно провести дослідження так званої внутрішньої збіжностічисельного інтегрування методами Сімсона і трапецій різних функцій,задаються за допомогою функцій мови С. Передбачається, що відрізокінтегрування [a, b] розбито на n рівних частин системою точок (сіткою).
Контроль внутрішньої збіжності полягає в циклічному обчисленнінаближених значень інтеграла для удваімого в порівнянні зі значенням напопередньому проходженні циклу числа n. Відносини абсолютної величинирізниці цих значень до абсолютної величини попереднього наближеногозначення приймається як критерій досягнення точності інтеграла.
Побудувати залежності кількості ітерацій від різних величин критеріюточності.
Побудувати зворотні залежності критерію точноті від кількості ітерацій.
Повторити всі вищевказані дослідження для випадку, коли при обчисленнікритерію точності різниця значень інтеграла відноситься не до попередньогозначенням, а до точного значення аналітично обчисленого інтеграла.
Досліджувати вплив збільшення верхньої межі інтегрування наточність (за інших незмінних умовах)
Метод трапецій
, де
Метод Сімпсона
, де
Результати досліджень
Таблиця і графік залежності кількості ітерацій від різних значень критерію точності
Для
| Критерій | Кількість |
| точності | ітерацій |
| -0,1676631 | 14 |
| -0,1518916 | 16 |
| -0,0046931 | 12 |
| -0,0026531 | 11 |
| -0,0002639 | 10 |
| -0,0001709 | 2 |
| -0,0001297 | 9 |
| -0,0000557 | 3 |
| -0,000025 | 8 |
| -0,0000198 | 4 |
| -0,0000096 | 5 |
| -0,0000038 | 6 |
| 0 | 15 |
| 0,0000052 | 7 |
| 0,071089 | 13 |
| Критерій | Кількість |
| точності | ітерацій |
| -0,1127271 | 16 |
| -0,0750288 | 15 |
| -0,0540677 | 14 |
| -0,0021415 | 12 |
| -0,0005711 | 11 |
| -0,0000458 | 9 |
| -0,0000381 | 2 |
| -0,0000191 | 3 |
| -0,000008 | 4 |
| -0,000004 | 5 |
| -0,0000019 | 7 |
| -0,0000002 | 6 |
| 0,000005 | 8 |
| 0,0002983 | 10 |
| 0,0164377 | 13 |
| Критерій | Кількість |
| точності | ітерацій |
| -0,0066709 | 13 |
| -0,0042367 | 14 |
| -0,0003561 | 10 |
| -0,0000016 | 5 |
| -0,000001 | 4 |
| 0,0000005 | 3 |
| 0,0000006 | 6 |
| 0,0000009 | 2 |
| 0,0000009 | 7 |
| 0,0000223 | 8 |
| 0,000056 | 9 |
| 0,0002782 | 11 |
| 0,0003474 | 12 |
| 0,005293 | 16 |
| 0,0053267 | 15 |
| Критерій | Критерій |
| точності | точності |
| -61,4469795 | 12 |
| -5,714047 | 3 |
| -1,0215755 | 13 |
| -0,7241433 | 2 |
| -0,5121117 | 4 |
| -0,3222643 | 11 |
| -0,2163614 | 7 |
| -0,1536629 | 9 |
| -0,0930261 | 14 |
| 0,0353183 | 16 |
| 0,057059 | 15 |
| 0,1697371 | 5 |
| 0,2025534 | 10 |
| 0,2504728 | 6 |
| 0,6202592 | 8 |
| Критерій | Кількість |
| точності | ітерацій |
| -0,0119308 | 16 |
| -0,0007834 | 13 |
| -0,0000079 | 3 |
| -0,0000041 | 4 |
| -0,0000037 | 7 |
| -0,0000027 | 5 |
| -0,0000027 | 6 |
| -0,000002 | 8 |
| -0,0000016 | 2 |
| 0,0000003 | 10 |
| 0,0000062 | 9 |
| 0,0000385 | 11 |
| 0,0000802 | 12 |
| 0,0005452 | 15 |
| 0,0016689 | 14 |
| Критерій | Кількість |
| точності | ітерацій |
| -0,0026286 | 16 |
| -0,0012416 | 14 |
| -0,0000118 | 3 |
| -0,0000107 | 4 |
| -0,0000046 | 5 |
| -0,0000046 | 9 |
| -0,0000028 | 6 |
| -0,0000021 | 7 |
| -0,0000005 | 2 |
| 0,0000011 | 10 |
| 0,0000018 | 8 |
| 0,0000023 | 11 |
| 0,000058 | 12 |
| 0,0001049 | 13 |
| 0,0027928 | 15 |
Таблиця і графік залежності значень критерію точності від кількості ітерацій
Для функції
| По відношенню | | По відношенню | |
| до попереднього | | к | |
| значенням | | аналітичному | |
| | | У значенню | |
| Критерій | Кількість | Критерій | Кількість |
| точності | ітерацій | точності | ітерацій |
| -0,0001709 | 2 | -0,0001932 | 2 |
| -0,0000557 | 3 | -0,0000629 | 3 |
| -0,0000198 | 4 | -0,0000224 | 4 |
| -0,0000096 | 5 | -0,0000108 | 5 |
| -0,0000038 | 6 | -0,0000043 | 6 |
| 0,0000052 | 7 | 0,0000058 | 7 |
| -0,000025 | 8 | -0,0000283 | 8 |
| -0,0001297 | 9 | -0,0001466 | 9 |
| -0,0002639 | 10 | -0,0002983 | 10 |
| -0,0026531 | 11 | -0,002998 | 11 |
| -0,0046931 | 12 | -0,0052891 | 12 |
| 0,071089 | 13 | 0,0797403 | 13 |
| -0,1676631 | 14 | -0,2014365 | 14 |
| 0 | 15 | 0 | 15 |
| -0,1518916 | 16 | -0,1518916 | 16 |
Для функції
| По відношенню | | По відношенню | |
| до попереднього | | к | |
| значенням | | аналітичному | |
| | | У значенню | |
| Критерій | Кількість | Критерій | Кількість |
| точності | ітерацій | точності | ітерацій |
| -0,0000381 | 2 | -0,0000666 | 2 |
| -0,0000191 | 3 | -0,0000335 | 3 |
| -0,000008 | 4 | -0,0000141 | 4 |
| -0,000004 | 5 | -0,0000069 | 5 |
| -0,0000002 | 6 | -0,0000004 | 6 |
| -0,0000019 | 7 | -0,0000033 | 7 |
| 0,000005 | 8 | 0,0000088 | 8 |
| -0,0000458 | 9 | -0,0000802 | 9 |
| 0,0002983 | 10 | 0,000522 | 10 |
| -0,0005711 | 11 | -0,0009997 | 11 |
| -0,0021415 | 12 | -0,0037465 | 12 |
| 0,0164377 | 13 | 0,0286955 | 13 |
| -0,0540677 | 14 | -0,0959378 | 14 |
| -0,0750288 | 15 | -0,1259331 | 15 |
| -0,1127271 | 16 | -0,1750124 | 16 |
Порівняння результатів
Таблиця порівняльних результатів
| Метод трапеції | Метод Сімпсона | Аналітичний | Функція | Межа |
| n = 1000000 | n = 1000000 | результат | | и |
| 4,5051475 | 4,5240183 | 4,49980967 | f (x) = 1/x | 0,1 ... .. |
| | | | | 9 |
| 1,7491462 | 1,7500761 | 1,791756469 | f (x) = 1/x * x | 0,3 ... .. |
| | | | | 5 |
| 1,9991885 | 1,9999505 | 2 | f (x) = sin (x | 0 ... ....? |
| | | |) | |
| -0,0000512 | 0,000003 | 0 | f (x) = sin (2 | 0 ... ....? |
| | | | * X) | |
| 0,2857157 | 0,2856935 | 0,285714285 | f (x) = sin (7 | 0 ... ....|< br>| | | | * X) |? |
| 0,2222053 | 0,2222133 | 0,222222222 | f (x) = sin (9 | 0 ... ....|< br>| | | | * X) |? |
Таблиця впливу збільшення верхньої межі на точність інтегрування
| Аналітичне | Практичне | Верхній | Погрешнос |
| значення | значення | межа | ть |
| 4,49980967 | 4,5217996 | 9 | -0,021989 |
| | | | 93 |
| 4,605170186 | 4,624969 | 10 | -0,019798 |
| | | | 814 |
| 4,787491743 | 4,8039412 | 12 | -0,016449 |
| | | | 457 |
| 4,941642423 | 4,9557843 | 14 | -0,014141 |
| | | | 877 |
| 5,075173815 | 5,0875444 | 16 | -0,012370 |
| | | | 585 |
| 5,192956851 | 5,2039275 | 18 | -0,010970 |
| | | | 649 |
| 5,298317367 | 5,3082042 | 20 | -0,009886 |
| | | | 833 |
Отже, збільшення верхньої межі призводить до збільшення точності інтегрування
Список бібліографічних джерел
1. Довідник з математики/Бронштейн И.Н., Семендяев К.А.-М.: Фізико-математична література, 1998.
Текст програми
/* Курсова робота з інформатики
"Дослідження точності чисельного інтегрування"
"Research of Accuracy of Numerical Integration"
Викладач:
Студенти: Степанов А.Г.
Черепанов К.А.
Група: Р-207
*/
# Include
# Include
# Include
# Include
# Include
# Include
int main ()
(
FILE * fp;/* покажчик на потік */int n, i, t, j, N; float a, b, h, Sum [100], x, y, coa;
printf ( "Research of Accuracy of Numerical Integrationn ");
/* Введення точності обчислення */printf (" Enter accuracy of calculation n = "); scanf ("% d ", & n);
/* Введення початку інтегрування */printf ( "Enter beginnings of integration ="); scanf ( "% f", & a);
/* Введення межі інтегрування */printf ( "Enter limit of integration ="); scanf ( "% f", & b);
/* Відкриття файлу-джерела */while ((fp = fopen ( "data3.xls" , "w "))== NULL)
(puts (" Error! Can't open file nInput name offilen ");
)
/* Введення кількості ітерацій */printf ( "Enter number of Itteration N ="); scanf ( "% d", & N);
/* Обчислення кроку інтегрування */h = (a + b)/n; printf ( "Step =% .3 fn", h);
/******* Обчислення інтеграла методом трапецій *******/ for (j = 1; j
