Знаходження
оптимальних планів виробництва продукції та їх економіко-математичний аналіз h2>
Звіт по
лабораторної роботи № 1 по предмету: «Дослідження операцій» виконали студенти CON-954 f/f групи Інюточкін Сергій, Стоянов Сергій p>
Міністерство
Освіти, Молоді та Спорту Республіки Молдова p>
Академія
Економічних Знань Молдови p>
Факультет
Бухгалтерського обліку та аудиту p>
Кафедра Економічної
Кібернетики та Інформатики p>
Кишинів 1998 p>
Голова b> I b> . Завдання. B> p>
1.1 Мета лабораторної роботи. h2>
МЕТА - навчитися: p>
--
самостійно розробляти математичні моделі задач за визначенням
оптимальних планів виробництва продукції для підприємств і фірм; p>
- вирішувати отримані математичні задачі на ЕОМ з використанням пакетів
прикладних програм розв'язання задач лінійного програмування; p>
- проводити
змістовний послеоптімізаціонний аналіз отриманого рішення, включаючи і
питання чутливості оптимального плану до зміни коефіцієнтів цільової
функції і правих частин обмежень. p>
1.2 Вимоги до виконання роботи: h2>
1) сформулювати свій варіант завдання і написати її
економіко-математичну модель; p>
2) скласти двоїсту задачу; p>
3) вирішити завдання на ПЕОМ по складеної економіко-математичної моделі,
використовуючи пакет розв'язання задач лінійного програмування. Привести результати
рішення задачі на ЕОМ; p>
4) проаналізувати отримані результати вирішення завдання, а саме: p>
- який сенс має отриманий план і значення цільової функції; p>
- як використовуються дані в умові задачі ресурси; p>
5) виписати оптимальне рішення двоїстої задачі і пояснити, який
економічний сенс має кожна оптимальна оцінка; p>
6) проаналізувати кожне обмеження завдання, використовуючи рішення
двоїстої задачі; p>
7) оформити письмовий звіт з лабораторної роботи, що включає всі
вищевказані пункти завдання і список використаної літератури. p>
1.3 Умови завдання h2>
До складу раціону годівлі на стійловий період дійних корів входить 9
видів кормів. У таблиці 1.3.1 наводяться необхідні дані про корми. Для
забезпечення намічуваної продуктивності стада необхідно, щоб в раціоні
годування містилося не менше (14,5 +0,1 N) кг кормових
одиниць, (1750 + N) г перетравлювані протеїну, (110 + N)
г кальцію, (45 +0,1 N) г фосфору, (660 +0,1 N)
мг каротину і (18 +0,1 N) кг сухої речовини. В якості
додаткових умов дані наступні співвідношення для окремих груп кормів у
раціоні: концентратів (кукурудза, макуха і комбікорм) - 5-20%, грубих кормів
(стебла кукурудзи, сіно люцернові, сіно суданки) - 15-35%, силосу - 35-60%,
коренеплодів (буряк цукровий та кормовий) -10-20%. Визначити раціон годування
тварин за критерієм мінімальної собівартості. N
- Порядковий номер прізвища студента по журналу = 8. P>
Таблиця 1.3.1 Вміст поживних речовин в 1 кг корму і його
собівартість. p>
Поживні речовини p>
Кукурудза p>
Макуха p>
Стебла кукурудзи p>
Сіно люцерни p>
Сіно суданки p>
Силос кукурудзи p>
Буряк цукрова p>
Буряк кормова p>
Комбі-корм p>
Кормові одиниці, кг p>
1,34 p>
1,9 p>
0,37 p>
0,49 p>
0,52 p>
0,2 p>
0,26 p>
0,12 p>
0,9 p>
перетравлюваних протеїн, г p>
78 p>
356 p>
14 p>
116 p>
65 p>
19 p>
12 p>
9 p>
112 p>
Кальцій, г p>
0,7 p>
5,9 p>
6,2 p>
17,7 p>
5,7 p>
1,5 p>
0,5 p>
0,4 p>
15 p>
Фосфор, г p>
3,1 p>
9,1 p>
1 p>
2,2 p>
2,3 p>
0,5 p>
0,4 p>
13 p>
--- p>
Каротин, мг p>
4 p>
2 p>
5 p>
45 p>
15 p>
15 p>
--- p>
--- p>
--- p>
Суха речовина p>
0,87 p>
0,87 p>
0,8 p>
0,85 p>
0,85 p>
0,26 p>
0,24 p>
0,12 p>
0,87 p>
Собівартість, p>
лий/кг p>
0,43 + p>
0,01 N p>
0,65 - p>
0,01 N p>
0,05 + p>
0,01 N p>
0,25 + p>
0,01 N p>
0,3 + p>
0,01 N p>
0,8 - p>
0,01 N p>
0,15 + p>
0,01 N p>
0,14 + p>
0,01 N p>
0,75 - p>
0,01 N p>
Голова b> 2. b> Хід виконання завдання на ПЕОМ з
використанням пакета b> LINDO b> p>
2.1 Короткий
опис пакета b> LINDO b> p>
Пакет LINDO являє собою прикладну програму, призначену для
вирішення різних завдань лінійного програмування та аналізу отриманих результатів.
p>
Дана
програма дозволяє користувачам працювати з вихідними даними, практично не
змінюючи їх, що дуже зручно для недосвідчених користувачів, на яких розрахована
дана програма. Програма дозволяє отримати добрий аналіз результатів у удобнойформе.
Однак при всіх перевагах, пакет має і недоліки: відсутність на екрані
інформації на румунському або російською мовами і дуже незручний інтерфейс, не
що дозволяє стежити за ходом введення даних і виконання роботи. Хоча можливість
перегляду та виправлення введених даних передбачена, але вона незручна
користувачеві. p>
Необхідні для
роботи з пакетом команди описані в пункті 2.2 p>
2 b> .2
Хід виконання завдання на ПЕОМ з використанням пакета b> LINDO b> p>
1. Напишемо
економіко-математичну модель даної виробничого завдання. Позначимо через
xj (j = 1,8) кількість виробленої продукції. Крім того, оскільки обсяг ресурсів
для обладнання дається в годинах, а продуктивність обладнання в м ¤/год, то
необхідно перейти до співмірності. p>
Таким чином,
задача зводиться до знаходження оптимального плану виробництва продукції кожного
виду з метою отримання максимального прибутку. p>
ЗЛП буде виглядати так: p>
Цільова
функція: p>
min Z =
0.51x1 +0.57 x2 +0.13 x3 +0.33 x4 +0.38 x5 +0.72 x6 +0.23 x7 +0.22 x8 +0.67 x9 p>
при
обмеження: p>
1.34x1 + 1.9x2 +0.37 x3 +0.49 x4 +0.52 x5 + 0.2x6 +0.26 x7 +0.12 x8 + 0.9x9> = 15.3 p>
78x1 + 356x2 + 14x3 +
116x4 + 65x5 + 19x6 + 12x7 + 9x8 + 112x9> = 1758 p>
0.7x1 + 5.9x2 + 6.2x3 +17.7 x4 + 5.7x5 + 1.5x6 + 0.5x7 + 0.4x8 + 15x9> = 118 p>
3.1x1 + 9.1x2 + x3 +
2.2x4 + 2.3x5 + 0.5x6 + 0.4x7 + 13x8> = 45.8 p>
4x1 + 2x2 + 5x3 +
45x4 + 15x5 + 15x6
> = 660.8 p>
0.87x1 +0.87 x2 + 0.8x3 +0.85 x4 +0.85 x5 +0.26 x6 +0.24 x7 +0.12 x8 +0.87 x9> = 18.8 p>
x1 + x2 + x9> = 5 p>
x1 + x2 + x9 <= 20 p>
x3 + x4 + x5> = 15 p>
x3 + x4 + x5 <= 35 p>
x6> = 35 p>
x6 <= 60 p>
x7 + x8> = 10 p>
x7 + x8 <= 20 p>
Xj> = 0 p>
Економіко-математична модель складається з цільової функції, системи
обмежень та умови точність змінних xj. p>
2. Двоїстої
до даної задачі є наступна: p>
Цільова
функція: p>
max F =
15.3y1 1758 y2 +118 y3 +45.8 y4 +660.8 y5 +18.8 y6 5 y7-20y8 15 y9-35y10 + p>
35y11-60y12 10 y13-20y14 p>
при
обмеження: p>
1.34y1 + 78y2 + 0.7y3 +3.1 y4 + 4y5 +0.87 y6 + y7-y8
<= 0.51 p>
1.9y1 + 356y2 + 5.9y3 +9.1 y4 +
2y5 +0.87 y6 + y7-y8 <= 0.57 p>
0.37y1 + 14y2 +6.2 y3 + y4 + 5y5 + 0.8y6 + y9-y10 <= 0.13 p>
0.49y1 + 116y2 +17.7 y3 +2.2 y4 45 y5 +0.85 y6 + y9-y10 <= 0.33 p>
0.52y1 + 65y2 + 5.7y3 +2.3 y4 15 y5 +0.85 y6 + y9-y10 <= 0.38 p>
0.2y1 + 19y2 +
1.5y3 +0.5 y4 15 y5 +0.26 y6 + y11-y12 <= 0.72 p>
0.26y1 + 12y2 + 0.5y3 +0.4 y4 + 0.24y6 + y13-y14 <= 0.23 p>
0.12y1 + 9y2 + 0.4y3 + 13y4 + 0.12y6 + y13-y14 <= 0.22 p>
0.9y1 112 y2 +
15y3 + 0.87y6 + y7-y8 <= 0.67 p>
Дані завдання становлять пару подвійних задач. Рішення прямої задачі
дає оптимальний план мінімізації витрат на раціон годування, а рішення
двоїстої задачі - оптимальну систему оцінок живильної цінності
використовуваних кормів. p>
3. Для вирішення прямої задачі скористаємося пакетом LINDO. P>
Пакет встановлений на диску Е: в каталозі LINDO. Для його завантаження
активізуємо даний каталог і знаходимо файл з ім'ям lindo.exe. p>
Спочатку
необхідно ввести цільову функцію F. Для цього після двокрапки (:) набираємо
слово max і після пробілу вводимо цільову функцію. Після знака питання набираємо
ST і вводимо обмеження. Наприкінці набираємо END. P>
Для перегляду всієї завдання використовують команду LOOK ALL, а для перегляду
рядки - LOOK . p>
При необхідності можна провести редагування тієї чи іншої рядка
шляхом набору команди ALT і змінювати небудь значення змінних
(VAR), або правих частин (RHS), або напрямок оптимізації з max на min і
навпаки. p>
Рішення проводиться введенням команди GO, а для проведення
послеоптімізаціонного аналізу після (?) натискають Y. p>
Після введення
завдання і набору команди GO отримуємо наступні результати: p>
OBJECTIVE FUNCTION VALUE p>
32, 1779200 p>
VARIABLE p>
VALUE p>
REDUCED COST p>
x1 p>
3.943977 p>
0 p>
x2 p>
1.056023 p>
0 p>
x3 p>
13.927200 p>
0 p>
x4 p>
1.072801 p>
0 p>
x5 p>
0 p>
0.193695 p>
x6 p>
35 p>
0 p>
x7 p>
0 p>
0.009258 p>
x8 p>
10 p>
0 p>
x9 p>
0 p>
0.169071 p>
ROW p>
SLACK OF SURPLUS p>
DUAL PRICES p>
2 p>
5.870109 p>
0 p>
3 p>
0 p>
0.000247 p>
4 p>
52.828530 p>
0 p>
5 p>
139.823500 p>
0 p>
6 p>
0 p>
0.004369 p>
7 p>
7.903641 p>
0 p>
8 p>
0 p>
0.473236 p>
9 p>
15 p>
0 p>
10 p>
0 p>
0.104691 p>
11 p>
20 p>
0 p>
12 p>
0 p>
0.649760 p>
13 p>
25 p>
0 p>
14 p>
0 p>
0.217775 p>
15 p>
10 p>
0 p>
Nо. ITERATIONS = 12 p>
4. З
отриманого рішення виходить, що мінімальні витрати на складання раціону
харчування, яке містить всі необхідні елементи складають 32, 18 грошових
одиниць. Тобто цільова функція: p>
min Z =
0.51 * 3,943977 +0.57 * 1,056023 +0.13 * 13,9272 +0.33 * 1,072801 + p>
+0.72 * 35 +0.22 * 10 = 32,17792 p>
Оптимальний
раціон харчування: p>
Х = (3,943977;
1,056023; 13,927200; 1,072801; 0; 35; 0; 10; 0) p>
тобто в
раціон увійде: p>
Кукурудзи
-3,943977 Кг p>
макухи --
1,056023 кг p>
стебел
кукурудзи - 13,9272 кг p>
Сена люцерни --
1,072801 кг p>
Силоса кукурудзи
- 35 кг p>
Буряка кормової
- 10 кг p>
Інші корми
(сіно суданки, буряк цукровий та комбікорм) в раціон не увійшли. p>
5.
Оптимальним планом двоїстої задачі є наступний: p>
Y = (0;
0.000247; 0; 0; 0,004369; 0; 0,473236; 0; 0,104691; 0; 0,64976; 0; 0,217775; 0) p>
При цьому
цільова функція досягає свого максимального значення: p>
max F =
1758 * 0,000247 +660.8 * 0,004369 +5 * 0,473236 +15 * 0,104691 + p>
35 * 0,64976 +10 * 0,217775 = 32,17792 p>
Таким чином
ми отримали рішення прямий двоїстої задач, значення цільових функцій яких
рівні: p>
Z (X) = F (Y) = 32,17792 p>
6.
Проаналізуємо кожне обмеження двоїстої задачі, підставляючи замість Y значення подвійних оцінок p>
78 * 0.000247
4 * 0.004369 1 * 0.473236 = 0.5099 <= 0.51 p>
356 * 0.000247 2 * 0.004369 1 * 0.473236
= 0.5699 <= 0.57 p>
14 * 0.000247
5 * 0.004369 1 * 0.104691 = 0.12999 <= 0.13 p>
116 * 0.000247 45 * 0.004369 1 * 0.104691
= 0.3299 <= 0.33 p>
65 * 0.000247
15 * 0.004369 1 * 0.104691 = 0.18628 <= 0.38 p>
19 * 0.000247
15 * 0.004369 1 * 0.64976 = 0.71998 <= 0.72 p>
12 * 0.000247
1 * 0.217775 = 0.2207 <= 0.23 p>
9 * 0.000247
1 * 0.217775 = 0.21999 <= 0.22 p>
112 * 0.000247 1 * 0.473236
= 0.5009 <= 0.67 p>
З отриманих
даних видно, що всі ресурси використовуються оптимально, крім сіна суданки і
комбікорми, які взагалі не увійшли в раціон. p>
7. Для
проведення аналізу стійкості оптимального плану прямої задачі при зміні
коефіцієнтів цільової функції скористаємося такими даними, отриманими з
допомогою ПЕОМ. Для цього у відповідь на запит RANGE вводимо YES. Результатом отримаємо в наступному вигляді: p>
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: p>
OBJ COEFFICIENT RANGES p>
VARIABLE p>
CURRENT p>
ALLOWABLE p>
ALLOWABLE p>
COEF p>
INCREASE p>
DECREASE p>
x1 p>
0.51 p>
0.07 p>
0.381798 p>
x2 p>
0.57 p>
0.485098 p>
0.07 p>
x3 p>
0.13 p>
0.177986 p>
0.093040 p>
x4 p>
0.33 p>
0.761069 p>
0.177986 p>
x5 p>
0.38 p>
INFINITY p>
0.193695 p>
x6 p>
0.72 p>
INFINITY p>
0.649760 p>
x7 p>
0.23 p>
INFINITY p>
0.009258 p>
x8 p>
0.22 p>
0.009258 p>
0.217775 p>
x9 p>
0.67 p>
INFINITY p>
0.169071 p>
Як видно
коефіцієнти Cj при Xj до цільового
функції можуть змінюватися таким чином: p>
0,128202
0,5
0,03696
0,152014
0,186305
0,07024
0,220742
0,002225
0,500929 <
C9
Якщо
коефіцієнти цільової функції лежать відповідно в заданих діапазонах, то
оптимальний план прямої задачі залишається без змін. p>
Відповідно
оптимальний план двоїстої задачі буде стійкий при зміні правих частин
обмежень, закладених у цій таблиці. p>
ROW p>
CURRENT
p>
ALLOWABLE p>
ALLOWABLE p>
RHS p>
INCREASE p>
DECREASE p>
2 p>
15.3 p>
5.870109 p>
INFINITY p>
3 p>
1758 p>
1116.54 p>
298.960100 p>
4 p>
118 p>
52.828530 p>
INFINITY p>
5 p>
45.8 p>
139.823500 p>
INFINITY p>
6 p>
660.8 p>
117.2392 p>
43.69926 p>
7 p>
18.8 p>
7.903641 p>
INFINITY p>
8 p>
5 p>
4.409440 p>
3.181932 p>
9 p>
20 p>
INFINITY p>
15 p>
10 p>
15 p>
8.567274 p>
9.957481 p>
11 p>
35 p>
INFINITY p>
20 p>
12 p>
35 p>
2.886976 p>
15.53039 p>
13 p>
60 p>
INFINITY p>
25 p>
14 p>
10 p>
10 p>
10 p>
15 p>
20 p>
INFINITY p>
10 p>
Висновки. h2>
На основі проведеної лабораторної роботи можна зробити наступний висновок:
отримане рішення прямої задачі є оптимальним, то є ферма, використовуючи
даний раціон мінімізує його собівартість, при цьому харчова цінність
раціону знаходиться в межах норм. p>
Список літератури h2>
1. А.Ф. Гамецкій, Д.І. Соломон Лабораторний практикум з курсу
"Дослідження операцій" (для економічних спеціальностей), Кишинів,
1995. P>
2. Конспект лекцій з предмету «Дослідження операцій» доктора економіки
В. П. Зубрицького p>