Способи кодування інформації і порядок
перетворення десяткових чисел у двійкові і навпаки в галузі інформатики і
обчислювальної техніки
Реферат з дисципліни: "Вступ до спеціальності
6.01010036 "Професійне навчання комп'ютерних технологій у викладанні і
навчанні »
Виконав студент групи ДГ-К5-1 Ячменев Д.А.
Українська інженерно-педагогічна академія
Стаханов 2005
1. Як видається інформація
Здавна
люди користувалися шифрами. Самими простими і зручними є цифрові шифри.
Наприклад, основними кольорами веселки є червоний, оранжевий, жовтий,
зелений, блакитний, синій, фіолетовий. Їх можна пронумерувати в переліченому
порядку цифрами від 1 до 7.
Музичне
твір записується за допомогою нот. Основними нотами музичного супроводу
є до, ре, ми, фа, сіль, ля, сі. Їх теж можна пронумерувати цифрами від 1
до 7.
Дні
тижня нумеруються цими ж цифрами. Таким чином, різноманітна інформація --
кольору, ноти і дні тижня - може бути представлена єдиним способом - за допомогою
цифр.
Для
обробки комп'ютером будь-яка інформація може надаватися у вигляді чисел, записаних
за допомогою цифр. Цифри представляються електричними сигналами, з якими
працює комп'ютер. Для зручності розрізнення в комп'ютері використовуються сигнали
двох рівнів. Один з них відповідає цифрі 1, інший - цифрі 0. Цифри 0 і 1
називаються двійковими. Вони є символами, з яких складається мова,
зрозумілий і який використовується комп'ютером. Інформація, з якою працює
комп'ютер, «кодується» за допомогою цієї мови. Таким чином, будь-яка інформація
в комп'ютері представляється за допомогою двійкових цифр. Найменшим кількістю
інформації є одне з двох можливих значень - 0 або 1. Така кількість
інформації називається біт (bit скор. від англ. binary digit - двійкова цифра).
Рівноймовірно є події, поява яких однаково можливо.
Наприклад, при киданні монети можливість випадання «цифри» або «герба»
однакова. Для однозначного визначення одного з двох подій - «цифра» або
«Герб» - досить одного біта інформації: 0 - «цифра», 1 - «герб» (або навпаки).
Біт
є найменшою одиницею вимірювання кількості інформації в комп'ютері.
Тепер слід навчитися представляти будь-яке число у вигляді комбінації нулів та
одиниць. Це подання має бути однозначним, тобто різних числах повинні
відповідати різні комбінації.
2. Десяткова система числення
Система
числення - це система запису чисел за допомогою певного набору цифр. У
звичною нам системі запису чисел - десяткового системі числення - для запису
чисел використовується десять цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. У цій системі будь-яке ціле
невід'ємне число представляється за допомогою ступенів числа 10 (100 = 1;
101 = 10; 102 = 100; 103 = 1000; 104 = 10000 ,...). Число 10 є підставою цієї
системи числення.
Дійсно,
якщо число менше 10, то записується відповідна йому одна цифра.
Якщо
число більше або дорівнює 10, але менше 100, то воно видається двома цифрами:
перша позначає кількість повних десятків, що містяться в числі, другий --
кількість одиниць у останньому неповному десятку.
Наприклад:
87 = 80 +7 = 8.10 +7 = 8.101 +7 · 100 = 8710.
Індекс
внизу вказує систему числення, в якій записано вихідне число. Якщо
число більше або дорівнює 100, але менше 1000, то для його запису використовується вже
три цифри. Перша цифра - це кількість повних сотень, що містяться в числі,
друга цифра - кількість повних десятків у останній неповній сотні, третій
цифра - кількість одиниць у останньому неповному десятку.
Наприклад:
645 = 600 +40 +5 = 6.100 +4 · 10 +5 = 6.102 +4 · 101 +5 · 100 = 64510.
При
такому підході для представлення числа, більшого або рівного 1000, але меншого
10000, потрібно вже чотири цифри. Перша цифра - кількість повних тисяч,
друге - кількість повних сотень, третє - кількість повних десятків і
четверта - кількість одиниць.
Наприклад:
2756 = 2000 +700 +50 +6 = 2.1000 +7 · 100 +5 · 10 +6 = 2.103 +7 · 102 +5 · 101 +6 · 100 = 275610.
Кількість
цифр, що використовуються для десяткового подання числа, на одиницю більше, ніж
показник найбільшою мірою 10, що міститься в числі. Це пов'язано з тим, що
у виставі бере участь нульовий ступінь числа 10.
Таким чином, будь-яке ціле невід'ємне
число в десятковій системі числення представляється у вигляді:
де
кожний з коефіцієнтів an, an-1 ,···, a1, a0 є однією з цифр від 0 до 9,
званих десятковими цифрами, причому an не дорівнює 0. У десятковій системі
запису числа першого записується цифра an, другий - цифра an-1 і т.д.,
останньої - цифра a0. Таким чином, десяткового записом цілого невід'ємне
числа є послідовність цифр ап ап-1 ... а0, що є
коефіцієнтами подання цього числа у вигляді (1).
Загальна
кількість цифр у десяткового запису числа дорівнює кількості коефіцієнтів у
поданні (1), тобто n +1, де п - показник найбільшою мірою числа 10,
що міститься у вихідному числі.
Коефіцієнти
у поданні (1) повинні приймати значення від 0 до 9, причет коефіцієнт аn
не повинен дорівнювати нулю (нуль не може бути першою цифрою числа). Це
забезпечує однозначність такого подання. Якщо який-небудь з
коефіцієнтів більше 9, то відбувається перехід до наступного ступеня.
Наприклад:
10.103 = 1.104;
12.104 = (10 +2) · 104 = 1.105 +2 · 104.
Отже,
набір десяткових цифр 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 забезпечує однозначне
подання будь-якого цілого невід'ємне число в десятковій системі
числення.
3.
Двійкова система числення
Двійкова
система числення - це система, в якій для запису чисел використовуються два
цифри 0 та 1. Підставою двійкової системи числення є число 2. Для
отримання запису числа в двійковій системі використовується подання цього
числа за допомогою ступенів числа 2.
Розглянемо
на прикладах, як представляються числа за допомогою ступенів числа 2.
Попередньо наведемо таблицю значень ступенів числа 2.
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2n
1
2
4
8
16
32
64
128
256
512
1024
Використовуючи
цю таблицю, можна записати:
0
= 0.20
1
= 20 = 1.20
2
= 21 = 1.21 +0 · 20
3
= 2 +1 = 21 +20 = 1.21 +1 · 20
4
= 22 = 1.22 +0 · 21 +0 · 20
5
= 4 +1 = 22 +20 = 1.22 +0 · 21 +1 · 20
6
= 4 +2 = 22 +21 = 1.22 +1 · 21 +0 · 20
7
= 4 +2 +1 = 22 +21 +20 = 1.22 +1 · 21 +1 · 20
25
= 16 +8 +1 = 24 +23 +20 = 1.24 +1 · 23 +0 · 22 +0 · 21 +1 · 20
В
загальному вигляді подання цілого невід'ємне число за допомогою ступенів
двійки записується так само, як і уявлення (1) з заміною числа 10 на число
2:
Тут кожен з коефіцієнтів аn, an - 1
,···, A1, a0 є однією з двох двійкових цифр 0 або 1, причому an = 1. Запис
числа в двійковій системі будується так само, як і в десяткового: перша
записується цифра ап, другий - цифра ап-1 і т.д.,
останньої
- Цифра а0.
Двійковий
код числа - запис цього числа в двійковій системі числення.
Таким
чином, двійковим кодом числа є послідовність коефіцієнтів ап an-1
· · · A1 a0 з вистави (2). У наведених прикладах двійкові коди мали вигляд:
0
=
02
1
=
12
2
=
102
3
=
112
4
=
1002
5
=
1012
6
=
1102
7
=
1112
25
=
110012
120
=
11110002
Коефіцієнти
у поданні (2) повинні приймати тільки одне з двох значень: 0 або 1. Це
забезпечує однозначність такого подання.
Якщо
будь-якої з коефіцієнтів більше 1, то відбувається перехід до наступного ступеня
числа 2.
Наприклад:
2.2 n = 1.2 n +1;
3.2 n = (2 +1) · 2n = 1.2 n 1 +1 · 2n.
Старший
коефіцієнт аn завжди дорівнює 1, тобто двійковий код завжди починається з 1 (так само,
як і десяткова, запис числа не може починатися з нуля). Щоб краще
розуміти, як виходить двійковий код деякого числа, уявимо собі
послідовність розрядів, кожен з яких може містити тільки одну з
двійкових цифр 0 або 1, тобто один біт інформації. Надалі під бітом і
розрядом будемо розуміти одне й те саме.
Пронумеруем
розряди справа наліво. Номер самого правого (молодшого) розряду дорівнює нулю.
Номер самого лівого (старшого) розряду дорівнює показнику найбільшою мірою
двійки, що міститься в числі. Значить, всього розрядів, з урахуванням нульового, на
один більше, ніж номер старшого розряду (якщо номер старшого розряду дорівнює 7,
то всього розрядів 8 з номерами від 0 до 7). Номер кожного розряду дорівнює показнику
відповідного ступеня двійки.
n n-1
1 0
2n 2n-1
21 20
Вміст
розряду з номером n дорівнює 1, якщо 2n бере участь у поданні числа у вигляді
суми ступенів двійки, і 0, якщо не бере участі.
Подивимося,
як виходить двійкове подання, наприклад, числа 25. Число 25
представляється у вигляді суми чисел з цього рядка: 25 = 16 +8 +1. Кожне число
береться тільки один раз - це забезпечує однозначність двійкового коду. Потім
вибрані числа замінюються рівними їм ступенями двійки з верхнього рядка
таблиці: 16 = 24, 8 = 23, 1 = 20; 25 = 24 +23 +20. І, нарешті, розряди, номери яких
рівні числах, вибраним з першого рядка таблиці (4,3,0) заповнюються
одиницями, а решта - нулями.
25 = 16 +8 +1 = 24 +23 +20 =
= 1.24 +1 · 23 0 · 22 +0 · 21 +1 · 20
n
4
3
2
1
0
an
1
1
0
0
1
4.
Скільки чисел можна записати за допомогою n бітів
Вже
описано, як отримувати двійковий код будь-якого десяткового числа, тобто переводити
його з десяткової системи в двійкову. Розглянемо тепер зворотну дію:
переклад числа з двійкової системи числення в десяткову.
Отже,
потрібно знайти десяткове число по відомому бінарного коду цього числа.
Скористаємося поданням виду (2). Коефіцієнти аn, an-l ,···, a1, a0
відомі. Отже, потрібно обчислити значення виразу (2). Розглянемо приклади.
Нехай задано двійковий код 11012. Самий лівий - старший біт - має номер 3.
Отже, перший доданок дорівнює 1.23. Наступний біт має номер 2. Друге доданок дорівнює 1.22. Третє
доданок одно 0.21 четверте доданок дорівнює 1.20. Шукалося число є сума
чотирьох складових: 1.23 +1 · 22 +0 · 21 +1 · 20 = 8 +4 +1 = 13. Таким чином, 11012 = 13.
Нехай
задано двійковий код 11010112. Число, що має такий двійковий код, дорівнює сумі
1.26 +1 · 25 +0 · 24 +1 · 23 +0 · 22 +1 · 21 +1 · 20 = 64 +32 +8 +2 +1 = 107.
Отже,
11010112 = 107.
В
десяткового системі наступне число виходить з попереднього шляхом додавання
одиниці до кількості одиниць попереднього числа.
Те
ж саме відбувається при отриманні двійкового коду наступного числа з двійкового
коду попереднього: до молодшого розряду двійкового коду попереднього числа
додається одиниця.
Правило
виконання операції додавання однаково для всіх систем числення: якщо сума
Складаємо цифри більше або дорівнює основи системи числення, відбувається
перенесення одиниці в наступний ліворуч розряд. Таким чином, правила додавання в
двійковій системі такі:
Користуючись
цими правилами, отримуємо
+
112
12
1002 = 410
+
102
12
112 = 310
+
1002
12
1012 = 510
+
1012
12
1102 = 610
+
1102
12
1112 = 710
+
1112
12
10002 = 810
Виникає
питання: яке найбільше десяткове число можна записати в двійковому вигляді,
використовуючи для цього запису задане число бітів?
Найбільше
десяткове число, що використовує для запису свого двійкового коду три біта,
виходить, коли значення всіх трьох бітів рівні одиниці:
1
1
1
= 1.22 +1 · 21 +1 · 20 = 22 +21 +20 = 4 +2 +1 = 7.
8 =
1
0
0
0
(Точно так само, як в десятковій системі, найбільше число,
що складається з трьох цифр, - 999, отримуємо, коли кожна з цифр бере своє
максимальне значення, яке дорівнює 9). Зауважимо, що 7 = 8-1 = 23-1. Щоб уявити
наступне за 7 число 8 (= 23), буде потрібно вже чотири біти:. Значить, використовуючи
три біта, можна записувати вісім десяткових чисел від 0 до 7.
А
якщо для запису десяткового числа в двійковому вигляді використовується чотири біти?
Найбільше число, двійковий код якого складається з чотирьох бітів, так само 15: в
його довічним коді всі чотири біти, дорівнюють одиниці: 15 = 11112. Знову зауважимо,
що 15 = 16-1 = 24-1; для запису наступного за 15 числа 16 потрібно вже п'ять бітів.
Так що використовуючи чотири бита, можна записувати числа від 0 до 15 (всього 16 = 24
чисел). Вже зрозуміло, що найбільше число, що використовує для своєї двійковій
запису а бітів, так само 2n -1. Наступний за ним число 2n вимагає для свого запису
n 1 біт. Таким чином, використовуючи п бітів, можна записувати двійкові коди чисел
від 0 до 2n -1, всього 2n чисел.
5.
Як вимірюється кількість інформації в комп'ютері
В
інформатики прийнято розглядати послідовності бітів довжиною 8. Така
послідовність називається байтом і є наступною за бітом одиницею
вимірювання кількості інформації в комп'ютері.
З
допомогою одного байта можна записувати двійкові коди 28 = 256 чисел від 0 до 255.
Байти об'єднуються в послідовності довжиною 1024 (= 210). Така
послідовність називається кілобайт (Кбайт) і також використовується для
вимірювання кількості інформації в комп'ютері. Зазвичай приставка «кіло-» означає,
що береться 1000 одиниць виміру. Наприклад, 1 кілограм дорівнює 1000 грам, 1
кілометр дорівнює 1000 метрам. Найближче до тисячі число, що є ступенем числа
2, є 210 = 1024. Саме 1024 байти і називається кілобайт (Кбайт).
Послідовність
з 1024 Кбайт називається мегабайтом (Мбайт), з 1024 Мбайт - гігабайтом
(Гб), з 1024 Гбайт - терабайтом (Тбайт).
Біт,
байт, кілобайт, мегабайт - основні одиниці вимірювання кількості інформації в
комп'ютері.
1 байт
=
8
бітів
1 Кбайт
=
1024
байти
1 Мбайт
=
1024
Кбайта
1 Гбайт
=
1024
Мбайта
Отже,
за допомогою двійкових кодів цифри і їх послідовності (числа) стають
зрозумілими комп'ютера. Процес перетворення інформації представляється у вигляді
схеми:
Інформація
Числа
Двійкові коди
Ця
схема, що читається зліва направо, відображає спосіб надходження інформації ззовні в
комп'ютер. Перетворення вхідної інформації в двійкові коди виконують
пристрої введення інформації. Ця ж схема, що читається справа наліво, відображає
спосіб представлення результатів роботи комп'ютера - вихідної інформації.
Перетворення двійкових кодів результуючих даних у вихідну інформацію
виконують пристрої виведення інформації.
Пам'ять
ком?? ьютера містить інформацію лише в двійковому вигляді (у вигляді 0 і 1), і ЦП
виконує дії тільки з даними, представленими в двійковій системі.
6.
Шістнадцяткова система числення
Шістнадцяткова система числення - це
система числення, в якій підставою є число 16. Будь-яке ціле
позитивне число представляється в цій системі за допомогою ступенів числа 16 в
вигляді
Шістнадцяткове
записом цілого позитивного числа є послідовність коефіцієнтів
ап an-1 ... al a0 з вистави (3).
Наприклад:
31210 = 25610 +4810 +810 = 1.162 +3 · 161 +8 · 160 = 13816.
Для
того щоб подання числа в шістнадцятковій системі було однозначним,
значення коефіцієнтів при ступенях числа шістнадцять повинні бути цілими
числами від 0 до 15. Якщо значення коефіцієнта взяти рівним 16, то множення
якоюсь мірою числа 16 на цей коефіцієнт дає наступну ступінь числа 16:
16.16 n = 1.16 n +1; 25.16 n = (16 +9) · 16n = 1.16 n 1 9 · 16n.
В
як коефіцієнтів для запису чисел в шістнадцятковій системі беруться
шістнадцять символів: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, Е, F. Вони
називаються шістнадцятковим цифрами. Десяткові цифри 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8, 9 зберігають свої значення і в шістнадцятковій системі: 010 = 016, 110 = 116,
910 = 916. Символи А, В, С, D, Е, F відповідають десятковим числах від 10 до 15:
1010
=
A
1310
=
D
1110
=
B
1410
=
E
1210
=
C
1510
=
F
Розглянемо
приклади переходу від запису чисел в десятковій системі до їх запису в
шістнадцятковій системі:
2710 = 1610 +1110 = 1.161 +1110 · 160 = 1.161 + B · 160 = 1B16.
Введення
шістнадцятиричних цифр А, В, С, D, Е, F є необхідним, тому що при
використанні в якості коефіцієнтів у записі шістнадцятиричних чисел 10,
11, ... 15 з'являється неоднозначність в їх прочитанні. Наступний приклад
демонструє, як в такому випадку можна прочитати одне число трьома різними
способами:
11016
=
1.162
+
1
·
161
+
0
·
160
=
27210
11016
=
11
·
161
+
0
·
160
=
17610
11016
=
1
·
161
+
10
·
160
=
2610
Використання
шістнадцятиричних цифр приводить до однозначного прочитання чисел:
27210
=
11016
17610
=
B016
2610
=
1A16
Застосування
шістнадцятковій системи числення в інформатиці зручно у зв'язку з тим, що
вміст одного байта можна записати двома шістнадцятковим цифрами.
Дійсно, для запису будь-якої шістнадцятковій цифри досить чотирьох
бітів. Максимальна шістнадцяткова цифра F = 1510 має двійковий код 1111.
Один байт - це 8 бітів, які можна розділити на дві частини: чотири молодших
біти з номерами від 0 до 3 і чотири старших біти з номерами від 4 до 7.
Вміст
кожної частини можна записати однією шістнадцятковій цифрою, а вміст байта
- Двома: перша - 4 старших біта, друге - 4 молодших біти.
Таким
чином, будь-яке число від 0 до 255 (вміст 1 байти) можна записати двома
шістнадцятковим цифрами.
7. Кодування символів
Комп'ютери
можуть обробляти тільки інформацію, представлену в числовий формі. При
введенні документів, текстів програм і т.д. (наприклад, введення з клавіатури)
Зауважте, що ви кодуються певними числами, а при виведенні їх для читання
людиною (на монітор, принтер і т.д.) по кожному числу (коду символу) будується
зображення символу. Відповідність між набором символів і їх кодами називається
кодуванням символів.
Як
правило, код символу зберігається в одному байті, тому коди символів можуть
приймати значення від 0 до 255. Такі кодування називаються однобайтнимі, вони
дозволяють використовувати до 256 різних символів. Втім, в даний час всі
більшого поширення набуває двухбайтная кодування Unicode, в ній коди
символів можуть приймати значення від 0 до 65535. У цьому кодуванні є
номери для практично всіх вживаних символів (букв алфавітів різних мов,
математичних, декоративних символів і т.д.).
В
графічному середовищі Windows кодові таблиці, розроблені для IBM PC, є
багато в чому застарілими. Дійсно в Windows, як правило, не потрібні так
звані «псевдографічний символи», що використовувалися в текстовому режимі
DOS-програм для малювання ліній і діаграм: у Windows можна намалювати будь-які
лінії або діаграми безпосередньо.
При
використанні програм для DOS і для Windows користувач змушений працювати з
двома різними кодуваннями символів: один використовується в DOS-програмах,
інша - в Windows-програми. У термінології Windows першого кодування
називається OEM-кодуванням, друга - ANSI-кодуванням. Windows містить
стандартні функції для перекодування з OEM в ANSI і назад. Багато
Windows-програми (редактори текстів, табличні процесори і т.д.) при експорті
та імпорт файлів у форматі програм для DOS автоматично виконують перетворення
з OEM в ANSI і назад.
Таблиця
кодування символів
Висновки
Незважаючи
на різноманіття що вирішуються за допомогою комп'ютера завдань, принцип його застосування в
кожному випадку один і той же: інформація, що надходить в комп'ютер, обробляється
з метою отримання необхідних результатів. Комп'ютер може обробляти тільки
інформацію, представлену в числовий формі. Вся інша інформація (звуки,
зображення і т.д.) для обробки повинна бути перетворена в числову форму.
Для обробки на комп'ютері текстової інформації звичайно при введенні в комп'ютер
кожна буква кодується певним числом, а при виведенні на зовнішні пристрої
для сприйняття людиною по цих числах будуються відповідні зображення
букв.
Список літератури
І.Т.
Зарецкая, Б.Г. Колодяжний. Інформатика. Київ: Форум, 2001.-496 с.
В.Е.
Фігурні. IBM PC для користувача. Москва: ИНФРА-М, 1999.-480 с.
Для
підготовки даної роботи були використані матеріали з сайту http://referat.ru/
