Еваріст Галуа (1811-1832)

За п'ять років до загибелі Пушкіна подібна смерть на дуелі забрала молодого француза "Еваріста Галуа. Його мало хто знав. До 20 років він встиг тільки поступити у Вищу Нормальну школу (це педагогічний університет у Парижі), але був виключений звідти в числі інших "бунтарів" в революційному 1830 році. Здавалося, що незабаром про Галуа забудуть, як про багатьох інших зірваних революціонерів. Але пізніше з'ясувалося, що Галуа встиг відбутися як математик "та такий, яких Франція не родила з часів Декарта. Цей дивно ранній схід зробив коротку біографію Еваріста Галуа найвищою мірою повчальною для братів по думки з наступних поколінь.

Згадаймо, що Декарт прославив своє ім'я в математиці однією блискучою ідеєю: подат додати наочний сенс всім алгебраїчним рівнянь і їх рішенням! З цієї ідеї виріс координатний метод в геометрії. Евклідова площину і простір підкорилися числах, і курс елементарної геометрії перетворився в один з розділів нової алгебри. Найкращий підручник з нової "аналітичної" геометрії написав у 1794 році безробітний академік Адрієн Лежандр для студентів Вищої Нормальної школи.

Справа в тому, що роком раніше французькі революціонери розпустили Паризьку Академію Наук, як безнадійно монархічна установа. Але після падіння Робесп'єра самі розсудливі з революціонерів зрозуміли, що народну освіту відмінити не можна. Хтось повинен вчити майбутніх вчителів "і от для них була відкрита Вища Нормальна школа. Адрієн Лежандр став одним з перших її професорів. До народження Еваріста Галуа залишалося 16 років ...

Наступний ривок вперед зробив через два роки молодий Карл Гаус. Він переклав звичну техніку геометричних побудов на нову мову алгебраїчних дій з комплексними числами. Виявилося, що суть справи "в комплексних коріння різних многочленів. Дістатися до такого кореня за допомогою лінійки та циркуля можна лише в тому випадку, якщо він досяжний за допомогою ланцюжка квадратних рівнянь. Тому, наприклад, правильний 7-кутник можна побудувати в рамках "грецької" геометрії. Але в рамках алгебри він цілком доступний: його вершини суть комплексні корені рівняння Х.. "1 = 0.

Досягнувши цього кордону, Гаус зупинився, не ставлячи таке запитання: які завдання залишаються нерозв'язними в рамках алгебри комплексних чисел "Наприклад, всяке чи рівняння-многочлен розв'язні в радикалах "тобто, чи можна дістатися до його коренів за допомогою арифметичних дій і витягу кореня "Або: Чи будь-яка точка на числової осі є коренем многочлена з цілими коефіцієнтами "Обидва ці питання очевидні, важливі і цікаві" але Гаус вже вичерпав свій порив в цій галузі, і для нових подвигів знадобилися нові богатирі.

Перший з них "Норвежець Нільс Абель" заявив про себе в 1824 році (коли Еваріст Галуа був вже школярем). Абелю вдалося довести, що більшість рівнянь-многочленів ступеня, більшою 4, нерозв'язних у радикали. Значить, італійці Кардано і Феррарі, вирішивши в 16 столітті рівняння ступенів 3 і 4, досягли межі в цій області "хоча самі не підозрювали про таке диво. Наступний питання виникло сам собою: як дізнатися по виду рівняння, розв'язні воно в радикалах "Абель почав займатися цією проблемою" але не встиг досягти мети, бо помер від запалення легенів в 1829 році. Через рік Паризька Академія Наук присудила Абелю посмертну премію за його відкриття. У тому ж році Еваріст Галуа вийшов на передній край математичної науки.

Його зліт почався в 16 років, коли в руки школяру потрапив підручник геометрії Лежандра. Еваріст прочитав цю книгу захлинаючись, як роман "за дві доби. Він був вражений: Ось як міркують творці сучасної математики! І він все це їх розуміє, значить, він теж може і повинен робити математичні відкриття! Треба роздобути інші книги Лежандра, щоб дізнатися: що в математиці вже зроблено, а які завдання залишилися на його частку "

Сказано " зроблено: у руках Галуа виявився солідний двотомник "Теорія чисел", де Лежандр виклав відкриття Гаусса, разом зі своїми знахідками. Тут Галуа знову відчув чудовий резонанс міркувань автора зі своїми думками і зрозумів, чого йому хочеться найбільше. Треба зрозуміти самому і пояснити іншим, чому рівняння вищих ступенів не вирішуються в радикалах!

Гаус винайшов в цій галузі чудову конструкцію. Можна приєднати до поля коефіцієнтів многочлена його коріння, і отримати нове поле "розширення колишнього поля. Цю процедуру можна повторювати багато разів; в підсумку виникає щось на зразок зростаючого кристала, осі і грані якого володіють особливою симетрією. І можливо, що від цієї симетрії залежить розв'язність вихідного рівняння!

Така була смілива здогадка Галуа; вона опинилася вірна, тому автора вважають генієм. Але не тільки тому! Ще важливіше те, що Галуа зумів довести свою гіпотезу до строгої теореми. Для цього йому довелося створити першу математичну теорію довільних симетрій "так звану Теорію Груп.

Саме Галуа ввів у науку такі поняття, як група і підгрупа, ізоморфізм і Гомоморфізм груп. Він зауважив, що ядро гомомоморфізма (тобто, прообраз одиниці в групі) не може бути який завгодно підгрупу. Це повинна бути нормальна підгрупа, що переходить сама в себе при внутрішніх ізоморфізму групи. Тільки при цьому умови факторизація групи з її підгрупі породжує нову групу, " інакше виходить звичайне безліч, без алгебраїчних операцій серед його елементів.

Якщо ми хочемо, щоб всі елементи великого поля F виходили з елементів меншого поля F1 з допомогою арифметичних дій і витягу коренів, то факторгруппа симетрій поля F по симетрія поля F1 повинна не тільки існувати, але й бути Циклічним. При цьому група всіх симетрій поля F розкладеться кінцеву ланцюжок нормальних підгруп з циклічними факторгруппамі. Такою властивістю володіють групи перестановок 2, 3 або 4 символів. Тому всі корені многочленів цих ступенів виражаються через коефіцієнти многочленів за допомогою радикальних формул. Навпаки, групи перестановок 5 або більше символів НЕ МАЮТЬ ланцюжка підгруп з циклічними факторгруппамі. Тому відповідні рівняння не розв'язано в радикалах.

Така суть теорії Галуа, створеної ним у 19 років. Навіть в наші дні вона виглядає складно, для непідготовленої людини. Яке ж було сучасникам Галуа "навіть самим маститим академікам "Не дивно, що за життя Галуа (а жити йому залишалося два роки!) ніхто не оцінив його відкриття гідно, хоча Еваріст щедро розсилав свої тексти різних паризьким математикам. На жаль, "Лежандр був уже глибокий старий, і не міг розуміти новинки навіть в рідній йому області алгебри ...

Найактивнішим математиком в Парижі був Огюстен Коші. Але він був зайнятий реформою математичного аналізу, і не хотів відволікатися сторонніми проблемами. Спрямована йому рукопис Галуа, мабуть, зникла у кошику для сміття. А потім сам Коші зник за кордоном: як переконаний монархіст, він не бажав служити навіть короля з роду Бурбонів, якщо той потрапив на трон в результаті революції!

Напередодні дуелі Галуа по-справжньому злякався: що, якщо він загине, і його відкриття пропадуть "Він залишив заповіт своєму другу Шевалле з проханням" переслати копії його статей великому Гаусу, в Геттінген. Той би все зрозумів і оцінив, але, мабуть, тексти Галуа так і не потрапили до Німеччини. Одним словом, велике відкриття могло піти в небуття слідом за своїм творцем.

На щастя, цього не сталося. Шевалле був ледь причетний до математики, та він зберігав рукописи Галуа протягом 15 років, а потім показав їх редактору нового "Журналу чистої та прикладної математики" "Жозефу Ліувілль. Молодий академік народився за два роки до Еваріста Галуа і теж захоплювався теорією чисел; він побудував перші числа, що не є країнами раціональних многочленів. Ліувілль насилу розібрався в стислому тексті свого покійного ровесника і був вражений: як могли ці чудові знахідки залишатися ніким не поміченими і не повтореними так довго "Чому він сам не був знайомий з Еварісто" Щоправда, вони вчилися в різних школах: Ліувілль Політехнічну закінчив школу, а Галуа провалився там на вступному іспиті і не встиг прижитися в Нормальною школі через революційних потрясінь ...

На жаль, доля невичерпна в злих жартах. У науковій кар'єрі Галуа фатальну роль зіграло його самотність. В юні роки він не зміг особисто познайомитися ні з одним з великих математиків Франції, а потім захопився політикою і випадково загинув раніше, ніж встиг стати відомим у вчених колах. Хто знає, скільки геніїв втратила світова наука при подібних обставинах "

Ми знаємо тепер, КОЛИ відкриття Галуа отримали загальне визнання. Це сталося в 1870-ті роки "після того, як геометри оцінили, нарешті, провідну роль симетрії в своїй науці. У 1872 році Фелікс Клейн оголосив всьому світу: геометрія має стільки різних гілок, скільки різних груп симетрій можуть мати геометричні фігури. Теорія груп раптом стала всім потрібна; праці Галуа почали перевидавати, коментувати, переказувати і переосмислювати. Незабаром теорія Галуа стала найважливішою частиною алгебри, а загальна теорія груп вторглася в математичну фізику, в топологію і навіть в теорію ймовірностей. У наші дні поняття групи входить у першу десятку самих ходових математичних термінів.

Галуа стояв біля витоку струмка, який перетворився на цю могутню ріку, "і всіма силами сприяв такому перетворенню. Тому ім'я юного француза стоїть в одному ряду з іменами таких богатирів-патріархів, як Ейлер або Гаус. Цікавий викуп сплатила доля за свою немилість до юного генія!

Список літератури

Для підготовки даної роботи були використані матеріали з сайту http://www.sch57.msk.ru/