Назва Евкліда назавжди пов'язане з одним з відгалужень математики, який отримав назву "евклідового геометрія". Настільки міцна слава закріпилася за Евкліда заслужено, завдяки його праці .. Початки ". У школах усього світу, довгі століття геометрія викладалася по .. Початкам "Евкліда. В англійських школах до сьогоднішнього дня підручники геометрії за своєю формою нагадують цей учений трактат. У світовій літературі" Початки "належать до числа найбільш популярних і поширених математичних праць. Незважаючи на таку величезну популярність Евкліда як автора .. Почав ", сам він, його вигляд і життєвий шлях відомі дуже мало. Ні історично вірних відомостей про його життя, невідомі навіть точні дати його народження і смерті. За відомостями залишеним потомству Прокл (410 -- 485), автором коментарів до "Початкам", діяльність Евкліда проходила під час правління Птолемея Сотера 1 (305-282 рр. до н.е.). При цьому царя, столиця Єгипту Олександрія стала центром наукового і культурного життя тодішнього світу, і привертала до себе багатьох видатних вчених з усіх сторін, зокрема, з Греції. У знаменитій у ті часи Олександрійській школі працювали тоді багато світила математики і серед них Евклід, який був одним з перших її викладачів. Що дійшли до нас твори Евкліда, свідчать про те, що це був дуже здібний і навіть талановитий викладач. Існує думка, що Евклід був вихованцем Платонівської академії, де, маючи доступ до кращих праць грецьких математиків і філософів, досяг висот тодішніх наукових знань. Справді, твори Евкліда носять на собі ознаки захоплення платонівської філософією: Евклід, наприклад, у своїх трактатах дуже ретельно уникає проблем практичного порядку. Деяке світло на Евкліда як людину, математика і філософа, проливають два анекдоти, правдивість яких, втім, як і правдивість взагалі всіх анекдотів, може бути взята під сумнів. Розповідають, наприклад, що одного разу цар Птолемей 1, гортаючи книгу .. Почав "звернувся до автора з питанням чи немає більш простих шляхів до оволодіння наукою геометрії, на що Евклід відповів: В геометрії немає особливих доріг навіть для царів". В іншому анекдоті говориться, чтр один з учнів Евкліда, вивчаючи геометрію і ознайомившись з першою аксіомою запитав що йому дасть вивчення геометрії? Замість відповіді Евклід покликав невільника і розпорядився. "Дай йому обол, бо ця людина очікує прибутку від науки". Математик Папп (320 р. н. Е..) Захоплюється незвичайною чесністю, скромністю, лагідністю і одночасно незалежністю, якими рисами характеру відрізнявся Евклід. Евклід був досить плідним автором різних праць. Відомо, що його перу належить не менше 10 трактатів, з яких "Початки", що складаються з 13 книг вважаються найбільшим твором в історії математики. Це перше, що зберігся математичний трактат, в якому з усією повнотою відбився дедуктивний метод ... Почала "носять характер підручника, в якому Евклід дав повний звід математичних знань своїх попередників. Таким чином, Евкліда важко вважати самостійним автором змісту" Почав ", за невеликими винятками, що стосуються конусних перетинів і сферичної геометрії. Але в "Початках" Евклід виявив себе прекрасним систематики та видатним педагогом з усіх, що існували за всю історію математики ... Почала "були написані близько 300 року до н.е., але найдавніші, що збереглися рукописи на грецькій мові беруть лише до Х ве нашого літочислення. З часів 1 століття нашої зр '• ранілось лише кілька уривків папірусу з ським текстом. Незважаючи на відсутність орігінг даруючи копіткій праці вчених, порівняли внейшіе, що збереглися рукописи, вдалося з повною достовірністю відновити початковий текст чудового праці Евкліда. З тринадцяти книг .. Почав "перша, друга, третя і четверта а також шоста, присвячені геометрії на площині, в одинадцяте, дванадцятий і тринадцятий наведені основи стереометрії, інші книги .. Почав" присвячені теорії пропорцій та арифметики. На початку праці Евклід приводить десять первинних теорем - без доказів, з яких п'ять перших назвав аксіомами, а решта - постулатами і ввів необхідну кількість визначень. Спираючись на цій системі аксіом і постулатів, Евклід дає докази 465 теорем розподілених в ланцюжок, чергові ланки якої логічно випливають з попередніх ланок або з аксіом. П'ята, так звана,, Аксіома паралельності "на цілі століття зайняла уми багатьох математиків. Спочатку, як наприклад, Птолемей в давнину і потім, вже в XVIII столітті вчені намагалися дати доказ цієї аксіоми і після багатьох невдалих спроб ухвалили чотири перші аксіоми без доказів; зрештою, відмова від п'ятого аксіоми привів до виникнення нової теорії, що отримала назву неевклідової геометрії.
Одна з теорем, наведена в "Початках", авторство якої приписується Евкліду, відома зі шкільного курсу і говорить: .. Площа квадрата побудованого на висоті прямокутного трикутника опущеною з прямого кута на гіпотенузу, рівновеликі площі прямокутника зі сторонами рівними відрізкам гіпотенузи, отриманими від перетину її висотою "Інші твори Евкліда не збереглися. Про те, що вони існували свідчать згадки в працях інших математиків.
Історію давньогрецької математики можна підрозділити на три періоди: перший - незвичайно буйне, майже стихійне розвиток, друга - період сумнівів, критичного ставлення до нових праць і, нарешті, третя - період впорядкування результатів отриманих великими вченими минулого.
Праця Евкліда належить саме до цього останнього періоду.
Великі заслуги Евкліда. Про те, як високо оцінені його праці, свідчить факт, що "Початки" залишалися фундаментальним математичним працею протягом понад 2000 років.
Як відомо, в III столітті до нашої ери грецький геометр Евклід у своїй книзі «Начала» сформулював систему аксіом, з яких послідовно, одна за одною, виводяться всі основні теореми геометрії. І ніколи не виходило двох що суперечать один одному теорем, докази яких рівноправно випливали б з прийнятої системи аксіом. Це означає, що аксіоматика Евкліда несуперечливо.
Аксіоми евклідової геометрії є продуктом повсякденних людських спостережень, крім однієї - аксіоми про паралельні, що називається також п'ята постулатом. Хто сформулює цю аксіому?
Учень. Наскільки я пам'ятаю: через точку поза прямою можна провести в їх площині тільки одну пряму, не перетинає даної.
Ведучий. У Евкліда в «Початках» дещо інша формулювання, але суть та ж. І ось цю аксіому, на відміну від інших, жодним досвідом не підтвердиш, не опровергнешь, адже на практиці відтворні лише відрізки прямих, але ніколи самі прямі у всій їх нескінченної протяжності.
Учень. Але якщо цей п'ятий постулат непроверяем фізично, то, можливо, слід було виключити його з числа аксіом і доводити як теорему, спираючись на інші аксіоми?
Ведучий. Так воно й було. Століттями тривали спроби придумати доказ - не вдавалося нікому. У таємницю цих невдач саме і проник Н. І. Лобачевський глибоко і остаточно: п'ятий постулат недоказуем і від-панував бо леї двох тисяч років переконання, чт (евклідового геометрія є єдність ва мислима система геометричний ського пізнання світу, необхідно від здаватися.
1-й учень. Вічний ... п'ятий. Від Евкліда
І до цих ось снігів
Постулат, як чорний ідо
У жертву вимагає умов ...
2-й учень. «Постулат недоказуем!»
Навіть страшно вимовити.
Ах, догматики! Грозу їм
Принесе така звістка.
3-й учень. На уроках геометрії учитель говорив нам, що Лобачевський створив «неевклідову геометрію», у якій через точку можна провести більше однієї лінії, не перетинає дану пряму.
Ведучий. Вірно. Лобачевський замінив Евкліда п'ятий постулат більш загальної аксіомою паралельності, зберігши інші аксіоми і постулати. Щоб легше було зрозуміти сенс аксіом Лобачевського, візьмемо пряму АВ і-поза її точку С. Нехай САВ прямій.
Побудуємо промінь СD, що перетинає пряму АВ в точці D, що лежить праворуч від точки А, і уявімо, що він обертається проти годинникової стрілки. У міру обертання променя СD безпосереднє спостереження перетину його з АВ стає нездійсненним. З цієї причини буде логічно правомірним змінити наше уявлення про прямої лінії і промені, що тепер дало б нам змогу уявити, що промінь СD в якийсь момент свого обертання «відривається» від прямої АВ, тобто перестає мати з нею спільну точку.
Тоді «пряму» (аа '), що містить промінь, що вперше «відірвався» від АВ, назвемо прямої, паралельної прямої АР в напрямку променя АВ.
Розглянувши симетрію з віссю 4С, бачимо, що є «пряма» (ЬЬ '), симетрична «прямий» (аа') і проходить через точку С (рис. 39). Ясно, що і цю «пряму» (ЬЬ ') слід вважати паралельної АВ, але вже у напрямку променя АВ'. Отже, через З проходять два «прямі», паралельні прямій ВВ '.
З кожною з цих «прямих» промінь СА, перпендикулярний прямій В'В, утворює кут л (р), названий Лобачевським кутом паралельності. Кут? (р) залежить від довжини СА == р і має наступну властивість: всі прямі, що проходять через С і утворюють із перпендикуляром СА кут, менший л (р), перетинають В'В, всі інші «прямі», що проходять через С, не перетинають В'В, їх називають розбіжними прямими або сверхпараллелямі до прямої В'В. Через З проходить нескінченну безліч таких «прямих».
В окремому випадку, коли? (р) == 90 °, виходить постулат Евкліда і дотримуються всі пропозиції звичайній геометрії, «вживаних», як називав її Н. І. Лобачевський.
Кут? (р) зростає і наближається до прямого кутку при наближенні точки С до прямої В'В.
З допущення, що? (р)
Виявилося також, що взаємозв'язок простору і часу, від крита X. Лоренцо, А. Пуанкаре, А. Ейнштейном і Г. Мінковським і зображена в рамках спеціальної теорії відносності, має безпосереднє відношення до геометрії Лобачевського. Наприклад, у розрахунках сучасних синхрофазотрон використовуються формули геометрії Лобачевського.
Таку геометрію Лобачевський спочатку назвав «уявної», а потім (в кінці життя) - «пангеометріей», тобто загальної геометрією. Тепер її в усьому світі називають «геометрією Лобачевського».
Учень.
Був мудрим Евклід,
Але його паралелі,
Як ніби-то вічні палі лягли.
І думки його, що як стріли летіли,
Завжди залишалися в межах Землі.
А там, у всесвіті, інші закони,
Там точками служать інші тіла.
І там паралельних променів мільйони
Природа крізь Марс, може бути, провела.
Ведучий. З розуміння паралельності «по Лобачевському» вйтекает багато дивовижних на перший погляд, але строго обгрунтованих наслідків.
Учень. Яких?
Ведучий. Наприклад, у просторі Лобачевського паралельні прямі необмежено зближуються в напрямку паралельності і тому існують «нескінченні трикутники», сторони яких попарно паралельні, але немає подібних багатокутників.
Учень.
Скоро порохом спалахне світанкова тиша.
Ти на чіткий креслення невідривно дивишся.
Після встав, потягнувся стомлено.
Вічність таємницю тобі нашептали,
І душею здивованої побачив ти те,
Що досі не знав і не відав ніхто:
Паралелі стрілою націлені у височінь,
Паралелі пронизують міжзоряні дали.
Паралелі - ти, чуєш? - Прагнуть ойтісь,
Тільки відразу таке збагнеш навряд чи.
Ведучий. В геометрії Лобачевського цікава й важлива така теорема: «Сума кутів трикутника завжди менше 180 °».
Учень. Дозвольте на хвилинку перебити Вас. У Данте є такі рядки:
Як для смертних істина ясна,
Що в трикутник двом тупим НЕ влитися.
Тепер-то нам зрозуміло, що не може бути двох тупих кутів не тільки в нашому «земній» трикутнику, але і в «зоряному» трикутнику геометрії Лобачевського ...
Ведучий. Дуже цікаво, але затримаємося ще трохи на трикутнику в геометрії Лобачевського.
Нехай?,? і? - кути трикутника, тоді число? = 180 ° - (? +?+?)< br />
називають «дефектом трикутника» і справедлива вражаюча формула виведена Н. І. Лобачевським? = S/R2, де де S-площа трикутника, а R-число, однакове для всіх трикутників Величину К, що має розмірність довжини, називають радіусом кривизни, простору Лобачевського , а негативну величину???? R2 кривизною цього простору.
У евклідовому просторі? = 0 (то як? +?+?= 180 °), тому його кривизна вважається рівною нулю.
Виходить так, що наша «вживаних» геометрія є граничним (при? -> 0) випадком геометрії Лобачевського.
1-й учень.
У світі все криволінійні.
Прямота лише сфери частину.
І Евклідова науку
У космосі ... втрачає владу.
Учень. Послухайте вірш поета Олександра Лихолет (Донецьк), надруковане в альманасі «Витоки» (М.: Молода гвардія, 1983).
Лобачевський
«Все! Перекреслені «Начала».
Досить думка на них нудьгувала,
Хоч прав майже в усьому Евклід,
Але бути не вічно постійності:
І площину згорнута у простір,
І світ
Інший має вигляд ...
Про що він думав у вчорашньому?
Про зоряному хмарі, що летить
З нізвідки в нікуди?
Про те, що стане новим поглядом:
Дві траси, що тривають поруч,
Чи не паралельні ніколи?
Що постійного руху
Міров супроводжує зближення,
І, значить, вони зустрінуться:
Його земна з неземними
Непаралельність прямими
Коли-небудь, не в наші дні? ..
Ведучий. Відкриття Лобачевського настільки випередило розвиток математичної думки того часу, було настільки непередбачуваним і сміливим, що в усьому світі майже ніхто з математиків-його сучасників - не був готовий до сприйняття ідей «уявної геометрії». Тому за життя Лобачевський потрапив у важке положення «невизнаного вченого". Наведу один цікавий факт суспільного життя того часу.
Могутній «володар дум» передової інтелігенції - Н. Г. Чернишевський. Здавалося, він-то міг, хоча б інтуїтивно, відчути в твердженнях геометрії Лобачевського ідею революційного переосмислення століттями усталеної системи сприйняття простору. На жаль, так не сталося. Інакше Чернишевський не іронізував б у листі до синів: «Що таке« кривизна променя »або« криве простір »? Що таке геометрія без аксіоми паралельних? »Він порівнює це з« зведенням чобіт у квадрати »і« витягом коренів з халяв »і каже, що це настільки ж безглуздо, як« писати по-російськи без дієслів », (А Фет писав без дієслів і виходило здорово: «Шелест, боязке дихання, трелі солов'я».)
1-й учень.
Відсахнулися колеги, відстали друзі ...
Може, в партії життя позіхнув ти ферзя?
2-й учень
- Нісенітниця, - кричать, - Лобачевський,-нісенітниця, марення
Нічого сміховинні і в світі-то немає!
Паралелі не зустрінуться - це ж просто,
Як дорога від міста і до цвинтаря!
Ну хоч рейки візьми, перетнутися їм что-ли,
Хоч сто років розсікаючи Роздольне полі?
3-й учень.
Де ж їм зрозуміти: якщо до зірок протягнуться рейки,
Поринути з розбігу в інші закони.
Там, де в нуль звертається зябнущій Цельсій,
Світові закони поки потаємні.
4-й учень.
Пропливають в усмішці вчені особи,
І насмішок у серця варто людства.
То невже ж він, Лобачевський, змириться?
Ні, він цілому світі доведе, що має рацію!
Ведучий. Було потрібно півстоліття для того, щоб ідеї Лобачевського стали невід'ємною частиною математичних наук, проникли в механіку, фізику, космологію, стали загальнокультурним надбанням. Так, у «Братах Карамазових» Іван, що володіє, за словами автора роману, «евклідовскім» характером розуму,. Говорить: «Нехай навіть паралельні лінії зійдуться, і я сам це побачу; побачу і скажу, що зійшлися, а все-таки не прийму ... »Це означає, що Достоєвський мав чітке уявлення про нову геометрії.
