УДК 330.115
Кучма Г.В., наук. РУКОВ. ст. пр. Кучма Ю.В.
Визначення оптимальної ціни продажу при експоненційному попиті
Визначена величина оптимальної ціни продажу при експоненційному попиті. На прикладі побудована функція експоненціального попиту.
Показано, що при визначенні оптимальної ціни на товар, попит на нього можна вважати експоненціальним
Нехай - частка покупців, які мають для купівлі даного товару впротягом певного проміжку часу суму грошей. Покладемо, щокожен з покупців набуває одну одиницю цього товару, колийого сума грошей, і не купить цей товар у разі. Тоді за ціною
за той же час буде продано одиниць цього товару.
Зауваження. При іншому поведінці покупців співвідношення між і
інше. Наприклад, якщо покупець при купить рівно одиницьтовару, тоді
(1)
Визначимо, що прибуток від продажу одиниць товару протягомданого проміжку часу пропорційна добутку кількостіпроданого товару на різницю між ціною та собівартістю:
(2) де не залежить від і враховує можливі витрати, скажімоподаток на прибуток.
Вважаємо, тому що - можливі постійні витрати,що впливають на величину прибутку, але не на оптимальну ціну, за якоїприбуток максимальна. Будемо вважати, що для всіх точно відомафункція - крива попиту. Величина в загальному випадкуневід'ємні і не зростає з ростом, а при вказаному поведінціпокупців пропорційна.
Значення задає інтенсивність (швидкість) у часі числапродажу за даною ціною. Якщо інтенсивність постійна, то за період,вдвічі більший природно очікувати і подвоєння числа продажів.
Інтенсивність може залежати від пори року, доби та іншихфакторів. Зауважимо, що задає швидкість збільшення прибутку іоптимальна ціна забезпечує її максимально можливу величину,необхідно знайти максимум. Наведемо без доведення наступнутеорему.
Теорема: Нехай є дві функції дійсної змінної: лінійна і невід'ємні такі, що 1), де,
- довільні постійні; 2) вживає невід'ємні значення при, а при задовольняє співвідношенню
(3) з деякими постійними,,.
Тоді функція досягає суворого глобального максимуму на множині всіх дійсних чисел в точці і справедливо рівність
Якщо кількість одиниць товару яку споживачі бажають і маютьможливість придбати за ціною, підпорядковується експоненціальним законом, тоі не залежать від, а саму ціну продавець може встановлюватидовільно, то теорема дає вираз для ціни, при якій прибутокмаксимальна. За такої ціни обсяг продажів складає або 36.8%від - можливого обсягу продажів при нульовій прибутку за ціною, яка дорівнюєсобівартості (рис. 1).
Малюнок 1 Оптимальна ціна продажу при експоненційному попиті.
Оцінимо - хвіст функції розподілу доходів рівний відношеннюкількості людей мають прибуток не менш грн., до числа всіхрозглянутих індивідів. Для кожного з таблиці 1 величинадорівнює сумі всіх відсотків доходів, для яких, наприклад при
= 150 грн.,.
На рис. 2 зображений графік з точками, що зображає - функцію іекспонентний тренд апроксимуючих ці точки.
Використання МНК для логарифмів від дало в класі многочленіввід не вище третин ступеня наступне що не зростає безперервненаближення для спостережуваних значень грн.
Таблиця 1 - Розподіл доходу на місяць мешканців міста Київ
| Дохід людини, | Відсоток,% | - функція | < br>| грн. | | |
| до 50 | 27.00 | 0.97 |
| 100 | 41.00 | 0.70 |
| 150 | 14.00 | 0.29 |
| 200 | 9.25 | 0.15 |
| 250 | 3.00 | 0.06 |
| понад 250 | 3.00 | 0.03 |
Отже для хвоста функції розподілу населення завеличиною середньодушового доходу справедливий закон (3). А якщо величина попиту
, То для також справедливо рівність (3).
Малюнок 2 G (x) - хвіст функції розподілу доходів мешканців міста Київ восени 1997 р.
Так ж за оптимальною ціною продажу товару більше 150 грн. попит нанього можна вважати строго експоненціальним.
Література
1. Брискін В.В. Математичні моделі маркетингу. - Новосибирск: ВО
"Наука", 1992. - 156 с.
2. Цацулін А.Н. Ціноутворення в системі маркетингу - М.: Інформаційно-видавничий дім «Філін», 1997. - 296 с.
