Дослідження однієї моделі газотранспортної мережі

Кириллов В.В.

У статті розглядається одна з моделей газотранспортної мережі на основі об'єктного підходу. Відображено постановка задачі, математичні моделі її елементів (труб, подкачек, відборів, компресорних станцій), а також правила взаємодії елементів між собою. Представлений алгоритм розрахунку тимчасового шару всієї мережі. У висновку висвітлено результати тестування цієї моделі, реалізованої на комп'ютері.

Вступ

Газотранспортні мережі (ГТС) є важливим і складним об'єктом вивчення, тому що є носієм однією з гнучких форм енергоносія (газу). Відповідно моделювання, розрахунок і оптимізація режимів роботи ГТС викликає великий інтерес як у дослідників, так і користувачів подібних систем. Існує багато моделей створених з даної тематики. Відмінною рисою даної моделі є гнучкість побудови складних систем ГТС

У даній роботі розглядається тільки математична модель і розрахунок ГТС. Оптимізація на основі цієї моделі виходить за рамки статті. Загальна модель ГТС включає вже вивчені моделі її елементів (труб, подкачек, відборів, КС). Необхідно відзначити, що ця модель розроблялася з можливістю додати до Надалі модулів оптимізації за заданим критеріям.

Визначимо завдання, яке повинна описувати і вирішувати модель ГТС. Нехай задані початкову розподіл тиску Pi, 0 по всій ГТС (де i = 1, .., nv просторовий шар) і граничні умови на подачі і відборі газу в систему по часу. Необхідно визначити розподіл тиску Pi, j і витрати Qi, j з ГТС для кожного тимчасового шару j, де j = 1 ,..., m. Приклад ГТС з елементами наведено на рис.1

В основі даного підходу до побудови моделі ГТС лежить припущення, що мережа складається з ряду об'єктів, що взаємодіють між собою за певними алгоритмами. Для мережі це два класи об'єктів v вузли і ребра, які й становлять власне мережу. На основі елементів цих класів будується мережа необхідної складності. Основна відмінність класів в тому, що кожне ребро може бути пов'язане не більше ніж з двома вузлами, а вузол у свою чергу не має обмежень по кількості, що відносяться до нього ребер.

Клас вузлів складається з наступних типів об'єктів:

вузли між ребрами (зовнішні)

вузли по довжині труби, тобто внутрішні вузли ребра.

Виходячи з визначення, внутрішні вузли пов'язані з двома сусідніми частинами ребра. Так як обчислення по них ведуться з математичної. моделі труби, приймемо їх як єдине ціле з об'єктом? труба |.

Клас ребер складається з наступних типів об'єктів:

підкачки, тобто об'єкти подачі газу в ГТС;

відбори, тобто об'єкти відбору газу з ГТС;

труби;

компресорні станції (КС).

Розглянемо кожен тип докладніше.

підкачки здійснюють подачу газу в ГТС, мають посилання тільки на один вузол ГТС (вузол, куди здійснюється подача газу). За часом для них задається зміну тиску Pi, j або витрати Qi, j (граничні умови), де j = 1, -, m -- це кількість тимчасових шарів для розрахунків.

Відбір здійснюють відбір газу з ГТС, мають посилання тільки на один вузол ГТС (вузол, куди здійснюється відбір газу). За часом для них також задається зміна тиску Pi, j або витрати Qi, j (граничні умови), де j = 1 ,..., m - це кількість тимчасових шарів для розрахунків.

Труби здійснюють передачу газу ГТС, мають посилання на два зовнішніх вузла ГТС (звідки йде надходження газу і звідки йде відбір газу з труби). Для них задається початковий розподіл тиску газу Pi, 0 в момент часу t0, де i = 1 ,..., nv це кількість внутрішніх вузлів труби.

КС здійснюють збільшення тиску між двома зовнішніми вузлами ГТС із збереженням масового витрати газу за рахунок збільшення потенційної енергії газу. Іншими словами, КС підтримують за часом певний масова витрата в певному напрямі. Для повної характеристики КС нам необхідно враховувати фізичні характеристики КС, витрати газу на внутрішні потреби КС і ін Але для спрощення моделі КС можна задавати лише зміна витрати газу Q0, j по часу, який по суті буде містити в собі всі інші параметри КС. Таким чином, КС мають посилання на два зовнішніх вузла ГТС (звідки йде надходження газу і звідки йде відбір газу з труби) і для них задається зміна витрати газу Q0, j за часом, де j = 1 ,..., m - це кількість тимчасових верств для розрахунків.

Для всіх ребер крім труб зміна тиску або витрати за часом задається. Тому основна складність полягає в тому, щоб визначити стану труб і зовнішніх вузлів ГТС для кожного тимчасового шару.

Модель руху газу по трубі

За початкового станом газу в трубі та крайовим умовам на кінцях труби необхідно визначити кінцевий стан газу на певному часовому шарі. Параметрами стану є тиск газу Pi, j і його витрата Qi, j в точці труби. Всі інші фізичні параметри газу, труби приймаються константами на поточний момент розрахунку. Тоді стан труби - це набір точок вздовж труби (їх кількість n). Зазвичай відстань між ними беруть однаковим (DX). Так як від початкового до кінцевого стану відбувається якийсь проміжок часу T, його теж можна розбити на m проміжків D t, щоб можна було простежити зміна стану в n точках труби на кожному з m проміжків часу (або часових шарів). У підсумку рішення - це площина розподілу тиску і витрат за часом і довжині труби.

Наводимо можливі варіанти стану газу в трубі:

Стаціонарне стан газу (без руху). Коли тиск газу однаково по всій трубі P = const і відповідно витрата газу Q = const.

Стаціонарне рух газу. Коли тиск газу неоднаково розподілено по всій трубі і розраховується за формулою стаціонарного режиму, але витрати газу Q = const по всій трубі.

нестаціонарне рух газу. Коли тиск газу P також неоднаково розподілено по трубі, але при цьому витрати газу Q розподілений по трубі також неоднаково.

Виходячи з постановки задачі є початковий стан труби у вигляді масивів Pi, 0 і Qi, 0 (де i = 1,., n). Тоді сукупність всіх часових шарів (тобто станів на поточний момент) описується станом труб Pi, j і Qi, j (де i = 1 ,...., n і j = 1 ,..., m).

Для обчислень станів газу при нестаціонарному його русі з теорії газової динаміки застосовують наступну систему нелінійних диференціальних рівнянь [1]:

(1)

де P -- тиск газу;

Q - витрата газу;

K - коефіцієнт фізичних параметрів труби і стану навколишнього середовища

Проаналізувавши дану систему, зазначимо таке:

Правило 1. Швидкість зміни тиску за часом t дорівнює швидкості зміни витрати газу по відстані x.

Правило 2. За відстані x швидкість зміни квадрата тисків дорівнює квадрату витрати газу.

Необхідно взяти до уваги, що в часовому шарі можна обчислити витрати газу по сусіднім тисків. А при переміщенні за часом можна визначити тиск, якщо відомо попередній стан сусідніх з x витрат.

Побудуємо різницевий аналог наведених вище правил.

На рис.3, а) відображує загальне графічне представлення похідних правила 1. Для побудови використовується рівномірна шахова Різницева сітка по відстані x і часу t. Для нестаціонарного режиму течії газу справедливі обидва правила 1 та 2 одночасно, а при стаціонарному режимі правило 1 вироджується, тому що змін за часом для тиску і витрати немає і відповідно рівняння правила 2 представляє правило розподілу тиску і витрати по трубі для стаціонарного режиму поза залежністю від часу.

В ідеалі кожен тимчасової шар представляється у вигляді відрізків труби зі стаціонарним режимом між вузлами. Тоді для кожного відрізка дотримується правило 2. На рис.3, а) представлена схема за правилами 1 та 2. У вигляді різницевої формули це:

(2)

На рис.3, b) представлена схема розрахунку тиску і витрати газу виходячи з правила 1 при переході з одного часового шару на інший. Необхідно нагадати, що правило 1 використовується тільки в розрізі одного тимчасового шару.

На рис.3, а) правило 1 справедливо для точки i, j, але для обчислень така схема незручна, тому що необхідно знати P і Q на двох тимчасових шарах, щоб обчислити будь-який третій. Так само можна міркувати і про просторові шарах. Просторовий шар v це ряд значень по P і Q у точці труби в розрізі часу. Основна особливість просторового шару в тому, що він визначений або за P, або за Q, в той час, як в часовому шарі, визначені P і Q для різних точок. Таким чином, щоб обчислити значення на одному з трьох просторових шарів необхідно знати значення на двох, що залишилися.

На рис.4 представлена схема для розрахунку просторового шару (значення Pi, j +1) з використанням тільки одного попереднього тимчасового шару, а не двох, як на рис.3. Для цього крок на тимчасових і просторових шарах треба прийняти однаковим, що дозволить поєднати значення і у точці i, j v буде точка їх рівнозначних значень. Хоча все перераховане можна застосувати і для випадку, коли і відповідно . Якщо ж , то .

Через точку i, j проходить один тимчасової та один просторовий шар, вони перетинаються під кутом 90 |. За правилом 1 для цієї точки задіяні навколишні її 4 точки: (i-1, j), (i +1, j), (i, j-1), (i, j +1). Причому, знаючи значення трьох вузлів з тимчасового або просторового шару, завжди можна знайти інші два вузла по сусіднім верствам. Схеми, наведені на рис.3, b), побудовані з використанням цього властивості.

Якщо ми знаємо в часовому шарі Qi-1, j, Qi +1, j і Pi, j, то

(3)

Правило 2 показує зв'язок між витратою газу і тиском в кожному часовому шарі з припущення, що між сусідніми вузлами по тиску встановився стаціонарний режим течії газу.

В ідеалі, будь-яке нестаціонарне стан газу прагне перейти в стаціонарне. Спочатку v це стаціонарний режим течії газу, а потім стаціонарний стан газу (тобто вирівнювання тиску в замкнутому обсязі). Тоді в постановці нашого завдання можливі два випадки:

Визнач розподіл тиску газу по вузлах труби. Необхідно визначити стан в вузлах після певного проміжку часу без зовнішніх впливів. Це вирівнювання тиску в замкнутому просторі.

Визнач розподіл тиску газу по вузлах труби, задано зміна тиску або витрати на одному або обох кінцях труби. Необхідно визначити стан у вузлах після певного проміжку часу, тобто від зовнішніх впливів. Цей стан труби при течії газу.

У даній роботі обмежимося випадком 2), тому що розглядається тільки транспорт газу. Тобто наперед задані зміни P і Q на одному або обох кінцях труби і з урахуванням початкового стану газу в трубі, його фізичних параметрів необхідно отримати кінцеве його стан.

Для формули (3) v це різниця між витратами газу для вузла i, j по довжині труби, тобто

(4)

де

K-- це наведений коефіцієнт фізичних параметрів труби при ізотермічному русі та без урахування перепаду висот на кінцях труби;

Sign (Qi, j, Qi +1, j) - Це функція, яка визначає знак зміни тиску у вузлі i, j на поточному кроці в залежності від напрямку і значення тих, що оточують його витрат газу Qi, j і Qi 1, j. Алгоритм вибору відображено на рис.5.

На рис.5 Ось приклад того, коли Pi-1, j> Pi +1, j (хоча для і Pi-1, jPi-1, j> Pi +1, j, а для п'ятого випадку Pi, j30, але при цьому значно збільшувати n НЕ має сенсу., так як збільшиться час розрахунків.

Необхідно відзначити зміну кількості обчислень в залежності від n і m, тобто трудомісткість обчислювального процесу. На мал. 9 (ad) представлена поверхня зміни кількості обчислень. На її основі і використовуючи результати досліджень (рис.8) можна зробити висновок про оптимальне поєднанні якості та кількості обчислень для труби. Найбільш оптимальними є значення n = 30, m = 30 або близько цього діапазону. Хоча, звичайно, для деталізації процесу по часу можна збільшувати значення m, та суттєвого поліпшення відносної похибки це не дасть. Її зміна складе не більше 1%.

http://www.laboratory. ru/articl/math/ram01a.htm

http://www.laboratory.ru/articl/math/ram01b.htm

Список літератури

Сергованцев В.Т., Кучин Б.Л., Гарляускас А.І., та ін Централізований контроль і оптимальне управління на магістральних газопроводах. Vл.: Недра, 1973.

Карманов В.Г. Математичне програмування. vМ.: Наука, 1975.

Фільчіков П.Ф. Довідник з вищої математики. vКіев: Наукова думка, 1974.

Мантуров О.В. Курс вищої математики. vМ.: Вища школа, 1991

Дьяконов В.П. Довідник по алгоритмів і програм на мові Бейсік для персональних ЕОМ. vМ.: Наука, 1987.

Новоселов В.Ф., Гольянов А.І., Муфтахов Е.М. Типові розрахунки при проектуванні та експлуатації газопроводів. vМ.: Недра, 1982.

Бобровський С.А., Щербаков С.Г., Гусейн-Заде М.А. Рух газу в газопроводах з подорожнім відбором. vМ.: Наука, 1972.

Березина І.В. Ретинський В.С. Оперативне управління системами газопостачання.

Круг А.Г., Сосоулін Ю.А., фату В.А. Планування експерименту в задачах ідентифікації та екстраполяції. vМ.: Наука, 1977.

Боглаев Ю.П. Обчислювальна математика та програмування. vМ.: Вища школа, 1990.