Геометричні побудови на місцевості

Виконавець: учениця 8 класу Корепанова Наталія Володимирівна

Міністерство загальної та професійної освіти Свердловської області МОУО р. Єкатеринбурга

Освітнє установа - гімназія № 47

р. Єкатеринбург, 2000р.

Вступ

У школі ми досить докладно вивчаємо геометричні побудови за допомогою циркуля і лінійки і вирішуємо багато завдань. А як вирішити такі самі завдання на місцевості? Адже неможливо уявити собі такий величезний циркуль, який міг би окреслити окружність шкільного стадіону або лінійку для розмітки доріжок парку.

На практиці картографам для складання карт, геодезистам для того, щоб розмічати ділянки на місцевості, наприклад, для закладання фундаменту будинку, доводиться використовувати спеціальні методи.

Мета цього реферату - вивчення деяких методів розв'язання геометричних задач на місцевості. Крім того, мріючи в майбутньому працювати в області конструювання, я поставила собі додаткову завдання - освоїти прийоми конструювання на комп'ютері. Для цього я вивчаю багато програм - текстовий редактор Word, графічний редактор PhotoShop, редактор Web-сторінок FrontPage та ін

Реферат доповідав на районній науково-практичної конференції школярів р. Єкатеринбурга, що проходила 12 лютого 2000 в Уральському державному технічному університеті (секція математика, 7 - 8 класи) і зайняв третє місце.

Побудови на місцевості

Знання геометрії та вміння застосовувати ці знання на практиці корисно в будь-якій професії. Традиційно побудови на місцевості виробляють геодезисти для зйомки плану земельної ділянки і будівельники для закладення фундаментів. Однак, такі знання бувають досить часто потрібні і в інших сферах діяльності. Всесвітньо відомий письменник Артур Конан Дойл був лікарем. Але він дуже добре, мабуть, знав геометрію. В оповіданні «Обряд будинку Месгрейвов» він описав, як Шерлоку Холмсу потрібно було визначити, де будуть кінець тіні від в'яза, який зрубали. Він знав висоту цього дерева раніше. Шерлок Холмс так пояснив свої дії: «... я зв'язав разом два вудилища, що дало мені шість футів, і ми з моїм клієнтом відправилися до того місця, де колись ріс берест. Я встромив свій шест в землю, відзначив напрямок тіні і виміряв її. У ній було дев'ять футів.

Подальші мої обчислення були вже зовсім нескладні. Якщо палиця заввишки в шість футів відкидає тінь в дев'ять футів, то дерево заввишки шістдесят чотири фути відкине тінь в дев'яносто шість футів, і напрямок цього й з того, зрозуміло, буде співпадати ».

Можна подумати, що робота на місцевості нічим суттєво не відрізняється від роботи циркулем і лінійкою на звичайної папері. Але це не так. На місцевості відстані між точками досить великі і немає таких лінійок та циркулем, які могли б допомогти нам. Та й взагалі креслити на землі будь-які лінії важко. Таким чином, побудови на місцевості, грунтуючись на геометричних законах, мають свою специфіку:

По - перше, всі прямі не проводяться на землі, а прокладаються, тобто наголошується на них, наприклад, кілочками, досить густа мережа точок. Зазвичай прокладку прямих на місцевості називають провішуванням прямих.

По - друге, забороняється під час побудовах проводити будь-які дуги. Тому, циркуля у нас фактично немає. Все, що залишається від циркуля - це можливість відкладати на даних (прокладених) прямих конкретні відстані, які повинні бути задані НЕ чисельно, а за допомогою двох точок, вже позначених кілочками, десь на місцевості. Самі відстані будуть вимірюватися кроками, ступнями, пальцями рук, або будь-якими відповідними для цієї мети предметами.

При геодезичних роботах використовуються спеціальні кілочки довжиною 15-20 см і діаметром 2-3 см, в торець яких забиваються гвоздики для більш точного позначення решт відміряє відрізка, і віхи - дерев'яні загострені держаки довжиною 1,5-2 м і діаметром 2-4 см.

Як правило, ділянки місцевості являють собою не ідеально рівну поверхню, як зошитовий лист, на землі є підвищення і поглиблення. Щоб вони не спотворювали геометричні образи прокладають ліній, на місцевості будують не похилі відрізки, а їх ортогональні проекції на горизонтальну площину -- горизонтальні прокладання. Їх можна визначити, знаючи кут нахил - кут, утворений лінією місцевості та її проекцією на горизонтальну площину. Ці кути вимірюються спеціальними приладами екліметрамі.

Оскільки в цьому рефераті ставиться не задача вивчення основ геодезії, а застосування знань з геометрії до розв'язання практичних завдань, ми не будемо користуватися ніякими приладами - ні рулеткою, ні астролябій, ні Екер, ні теодолітом. Працювати так, звичайно, важко, але все-таки спробуємо вирішити запропоновані нижче завдання тільки за допомогою кілок або віх і неотградуірованного вимірювального пристрої, наприклад, мотузки, хоча принципово можна обійтися і без неї.

Рішення завдань

Завдання 1. Прокласти пряму

На місцевості кілочками позначені два віддалені один від одного точки. Як прокласти через них пряму і, зокрема, як можна без помічника встановлювати кілочки на прямій між даними точками?

Рішення!

Користуючись зоровим ефектом, що полягає у загоражіваніе двох кілочків третє, що стоять на спільній з ними прямий, неважко встановити ще один кілок в деякій точці З на продовженні відрізка з кінцями у двох даних точках А і В. після цього точки відрізка АВ можна побудувати за допомогою того ж ефекту, оскільки вони будуть лежати на продовженні або відрізка АС, або НД (в залежності від того, яка з точок - А або В - знаходяться ближче до точки С). Взагалі, будь-яка точка прямої АВ буде лежати на продовженні хоча б одного з відрізків АВ, АС або НД

Завдання 2. Точка перетину прямих

На місцевості кілочками позначені дві точки однієї прямої і дві точки іншої прямої. Як знайти точку перетину цих прямих?

Рішення!

Користуючись зоровим ефектом, зазначеними у рішенні задачі 1, легко знайти точку перетину прямих у тому випадку, якщо відразу ясно, що вона лежить на продовженнях обох відрізків з кінцями в даних точках. В іншому випадку достатньо спочатку прокласти одну або обидві прямі так, щоб на кожній з них з одного боку від передбачуваної точки перетину були відзначені по дві точки.

Завдання 3. Симетрія відносно точки

На місцевості позначені точки А і В. Знайдіть точку С, симетричну точці А щодо точки В.

Рішення!

Продовжимо пряму АВ за точку В і відкладемо на ній крапку З на відстані АВ від точки В. Для цього знадобиться виміряти у відповідних одиницях довжини відстань між точками А і В.

Завдання 4. Паралельна пряма

На місцевості позначені три дані точки: А, В і С, не лежать на одній прямій. Через точку А прокладете пряму, паралельну прямій НД

Рішення!

Продовжимо пряму АВ за точку В і відкладемо на ній точку D на відстані АВ від точки В. Продовжимо пряму СD за точку С і відкладемо на ній точку Е на відстані СD від точки С. Тоді відрізок АЕ буде паралельний відрізку ВС, що є середньою лінією трикутника АDЕ. Зауважимо, що запропонований спосіб вигідно відрізняється від безлічі інших способів, що спираються на вимірювання кутів або на поділ відрізка навпіл.

Завдання 5. Знаходження середини відрізка.

Знайдіть середину відрізка АВ, заданого на місцевості двома точками А і В.

Рішення!

Візьмемо будь-яку точку С, не лежить на прямій АВ. Продовжимо пряму CВ за точку С і відкладемо на ній точку D на відстані 2ВС від точки С. Продовжимо пряму АD за точку А і відкладемо на ній точку Е на відстані АD від точки А. Бажаєма середина F відрізка АВ лежить на перетині його з прямий ЄС. Дійсно, відрізок СЕ паралельний відрізку AG - середньої лінії трикутника CDE (тут G - середина відрізка CD). Тому що, крім того, BC = CG, то CF - середня лінія трикутника ABG, звідки AF = FB.

Завдання 6. Ділення відрізка в даному відношенні

Відрізок, заданий на місцевості двома точками А і В, потрібно розділити у відношенні, в якому знаходяться довжини двох відрізків KL і MN, заданих на місцевості точками K, L та M, N. Як це зробити?

Рішення!

Побудова точки F, що ділить відрізок АВ відносно AF: BF = KL: MN, зробимо аналогічно побудові середини відрізка АВ, описаного в рішенні задачі 5. Відмінність полягатиме в те, що крапку З виберемо на відстані KL від точки В, а точку D - на відстані 2MN від точки С. В цьому випадку пряма EC як і раніше буде паралельна відрізку AG, а значить, поділить відрізок АВ у тому ж відношенні, в якому вона ділить відрізок BG.

Завдання 7. Побудова бісектриси кута

На місцевості позначені три точки A, M і N, що не лежать на одній прямій. Прокладіть бісектриси кута MAN.

Рішення!

Виберемо на стороні даного кута точки В і С, а на іншій - точки D і Е так, щоб виконувалися рівності

AB = BC = AD = DE.

Знайдемо точку Про перетину прямих ВЕ і CD. Тоді пряма АТ буде шуканої бісектрисою, оскільки в трикутник ACE бісектриса AF є одночасно і медіаною, а значить, проходить через точку Про перетину медіан EB і CD.

Завдання 8. Побудова перпендикуляра до прямої

Прокладіть на місцевості яку-небудь пряму, перпендикулярну прямої, що проходить через задані точки А і В. Як прокласти перпендикуляр до прямої АВ, що проходить через дану точку H?

Рішення!

Продовжимо пряму АВ за точку В і відкладемо на ній крапку З на відстані АВ від точки В. Крім того, відкладемо на тій же відстані від точки У ще дві точки D і E в двох різних, але не протилежних напрямках. Знайдемо точку F перетину прямих AE і CD, а також точку G перетину прямих AD і CE. Пряма FG перпендикулярна прямій АВ. Дійсно, точка А, Е, D і З рівновіддалені від точки В, тобто лежать на одній окружності з центром В і діаметром АС. Отже, вписані кути ADC і AEC прямі, тому AD і CE - висоти трикутника AFC. Так як всі три висоти цього трикутника перетинаються в одній точці G, то пряма FG перпендикулярна стороні АС. Для того, щоб прокласти перпендикуляр до прямої АВ через дану точку H, достатньо тепер прокласти через цю точку пряму, паралельну прямій FG.

Завдання 9. Побудови під заданим кутом

На місцевості позначені точки А і В. Знайдіть точки C, D і E, для яких виконані рівності BAC = 45 °, BAD = 6O, ° BAE = 3O °.

Рішення!

прокладемо перпендикуляр до прямої АВ, який проходить в якійсь точці промінь АВ. Без обмеження спільності вважаємо для зручності, що ця точка перетину і є точка В. На перпендикуляра по різні боки від точки В відкласти точки С і F, віддалені від точки В на відстань АВ. Тоді кут ВАС дорівнює 45 ° (з рівнобедреного прямокутного трикутника АВС). На пряме AF відкладемо точку G на відстані АВ від точки А, а потім на прямий нд відкладемо точку D на відстані CG від точки В. Тоді кут ВАD дорівнює 6О °, так як по теоремі Піфагора для прямокутного трикутників АВС, ACG і ABD мають місце рівності

Для побудови точки Е тепер залишається прокласти бісектриси кута BAD.

Завдання 10. Вимірювання висоти дерева.

Висоту дерев можна визначити за допомогою жердини. Цей спосіб полягає в наступному.

запасшись шостому вище свого росту, застроміть його в землю прямовисно на деякій відстані від вимірюваного дерева. Відійдіть від жердини тому, щодо продовження Dd до того місця А, з якого, дивлячись на вершину дерева, ви побачите на одній лінії з нею верхню точку b жердини. Потім, не змінюючи положення голови, дивіться у напрямку горизонтальної прямої aC, помічаючи точки с і С, в яких промінь зору зустрічає шест і стовбур. Попросіть помічника зробити в цих місцях позначки, і спостереження закінчено. Залишається тільки на підставі подібності трикутників adc і aBC обчислити НД з пропорції

НД: bc = aC: ас,

Відстані bc, aC легко виміряти безпосередньо. До отриманої величиною НД потрібно додати відстань CD (яке також вимірюється безпосередньо), щоб отримати бажану висоту дерева.

Висновок

У цьому рефераті розглянуті найбільш актуальні завдання, пов'язані з геометричними побудовами на місцевості - провішуванням прямих, розподілом відрізків і кутів, виміром висоти предмета. Наведено велику кількість завдань і дані їх рішення. Наведені завдання мають значний практичний інтерес, закріплюють отримані знання з геометрії і можуть використовуватися для практичних робіт. Коштовне те, що для їх вирішення не потрібно великих знань, ніж в обсязі 8 класів.

Крім того, при роботі над рефератом освоєно текстовий редактор Word, графічний редактор PhotoShop, редактор Web-сторінок FrontPage.

Таким чином, мета реферату - вивчення методів геометричних побудов на місцевості -- досягнута, завдання реферату - ознайомитися з конструюванням на комп'ютері і вивчити редактори, що застосовуються для цього - виконані.

Список літератури

1. Сергєєв І.М., Олехнік С.М., Гашков С.Б. «Застосуй математику», М., Наука, 1989.

2. Балк М.Б., Балк Г.Д. «Математика після уроків», М., Просвещение, 1971.

3. Четверухін Н.Ф. «Методи геометричних побудов», М., Учпедгиз, 1952.

4. Косякін А.С., Нікулін А.С., Смирнов А.С. «Землевпорядні роботи», М., Недра, 1988.