Міністерство загальної та професійної освіти Свердловської області

МОУО м. Єкатеринбурга

Освітня установа - гімназія № 47

Освітня область - математика < p> Предмет - геометрія

геометричних побудов

НА МІСЦЕВОСТІ

Виконавець: учениця 8 класу

Корепанова Наталія Володимирівна < p> Науковий керівник: Дегтярьова Надія Василівна,

МОУ-гімназія № 47, вчитель

Зовнішній рецензент: Аверьянова Лідія Миколаївна,

УГТУ-УПІ, доцент

м. Єкатеринбург, 2000р.

ЗМІСТ

Стор.

Введення

3 < p> Побудови на місцевості 4

Рішення завдань

6

Висновок

15

Список літератури 16

ВСТУП

У школі ми досить докладно вивчаємо геометричні побудови здопомогою циркуля і лінійки і вирішуємо багато завдань. А як вирішити такі жзавдання на місцевості? Адже неможливо уявити собі такий величезнийциркуль, який міг би окреслити коло шкільного стадіону або лінійкудля розмітки доріжок парку.

На практиці картографам для складання карт, геодезистам для того,щоб розмічати ділянки на місцевості, наприклад, для закладення фундаментубудинку, доводиться використовувати спеціальні методи.

Мета цього реферату - вивчення деяких методів рішеннягеометричних задач на місцевості. Крім того, мріючи в майбутньому працювати вобласті конструювання, я поставила собі додаткову завдання - освоїтиприйоми конструювання на комп'ютері. Для цього я вивчаю багато програм --текстовий редактор Word, графічний редактор PhotoShop, редактор Web -сторінок FrontPage та ін

Реферат доповідав на районній науково-практичної конференціїшколярів м. Єкатеринбурга, що проходила 12 лютого 2000 в Уральськомудержавному технічному університеті (секція математика, 7 - 8 класи)і зайняв третє місце.

Файл даного реферату у форматі Office 2000 поміщений на моїйперсональній сторінці в Internet за адресою: http://nata-kor.newmail.ru/school/

Зв'язатися зі мною можна по електронній пошті [email protected]

ПОБУДОВИ НА МІСЦЕВОСТІ

Знання геометрії та уміння застосовувати ці знання на практиці корисно вбудь-якої професії. Традиційно побудови на місцевості виробляють геодезистидля зйомки плану земельної ділянки і будівельники для закладення фундаментів.
Однак, такі знання бувають досить часто потрібні і в інших областяхдіяльності. Всесвітньо відомий письменник Артур Конан Дойл був лікарем. Алевін дуже добре, мабуть, знав геометрію. В оповіданні «Обряд будинку Месгрейвов»він описав, як Шерлоку Холмсу потрібно було визначити, де будуть кінець тінівід в'яза, який зрубали. Він знав висоту цього дерева раніше. Шерлок Холмстак пояснив свої дії: «... я зв'язав разом два вудилища, що дало менішість футів, і ми з моїм клієнтом відправилися до того місця, де колисьрос гру. Я встромив свій шест в землю, зазначив напрямок тіні і вимірявїї. У ній було дев'ять футів.

Подальші мої обчислення були вже зовсім нескладні. Якщо палиця висотоюу шість футів відкидає тінь в дев'ять футів, то дерево заввишки вшістдесят чотири фути відкине тінь в дев'яносто шість футів, і напрямоктой і інший, зрозуміло, буде збігатися ».

Можна подумати, що робота на місцевості нічим суттєво невідрізняється від роботи циркулем і лінійкою на звичайної папері. Але це нетак. На місцевості відстані між точками досить великі і немає такихлінійок та циркулем, які могли б допомогти нам. Та й взагалі креслити наземлі будь-які лінії важко. Таким чином, побудови намісцевості, грунтуючись на геометричних законах, мають свою специфіку:

По - перше, всі прямі не проводяться на землі, а прокладаються,тобто наголошується на них, наприклад, кілочками, досить густа мережа точок.
Зазвичай прокладку прямих на місцевості називають провішуванням прямих.

По - друге, забороняється при побудовах проводити будь-які

дуги. Тому, циркуля у нас фактично немає. Все, що залишається відциркуля, це можливість відкладати на даних (прокладених) прямихконкретні відстані, які повинні бути задані НЕ чисельно, а за допомогою двох точок, вже позначених кілочками, десь намісцевості. Самі відстані будуть вимірюватися кроками, ступнями,пальцями рук, або будь-якими відповідними для цієї мети предметами.

При геодезичних роботах використовуються спеціальні кілочкидовжиною 15-20 см і діаметром 2-3 см, в торець яких забиваються гвоздики длябільш точного позначення решт відміряє відрізка, і віхи - дерев'янізагострені держаки довжиною 1,5-2 м і діаметром 2-4 см.

Як правило, ділянки місцевості являють собою не ідеально рівнуповерхню, як зошитовий лист, на землі є підвищення і поглиблення.
Щоб вони не спотворювали геометричні образи прокладають ліній, намісцевості будують не похилі відрізки, а їх ортогональні проекції нагоризонтальну площину - горизонтальні прокладання. Їх можна визначити,знаючи кут нахил - кут, утворений лінією місцевості та її проекцією нагоризонтальну площину. Ці кути вимірюються спеціальними приладамиекліметрамі.

Оскільки в цьому рефераті ставиться не задача вивчення основгеодезії, а застосування знань з геометрії до розв'язання практичних завдань,ми не будемо користуватися ніякими приладами - ні рулеткою, ніастролябій, ні Екер, ні теодолітом. Працювати так, звичайно, важко,але все-таки спробуємо вирішити подані нижче завдання тільки здопомогою кілок або віх і неотградуірованного вимірювального пристрою,наприклад, мотузки, хоча принципово можна обійтися і без неї.

РІШЕННЯ ЗАДАЧ

Завдання 1. Прокласти пряму

На місцевості кілочками позначені два віддалені один від одноготочки. Як прокласти через них пряму і, зокрема, як можнабез помічника встановлювати кілочки на прямій між данимиточками?

Рішення!

Користуючись зоровим ефектом, що полягає у загоражіваніе двохкілочків третє, що стоять на спільній з ними прямий, неважковстановити ще один кілок в деякій точці С на продовженнівідрізка з кінцями у двох даних точках А і В. після цього точки відрізка АВ можна побудувати за допомогою того ж ефекту, оскількивони будуть лежати на продовженні або відрізка АС, або НД (взалежно від того, яка з думок - А або В - знаходяться ближче до точки С). Взагалі, будь-яка точка прямої АВ буде лежати напродовження хоча б одного з відрізків АВ, АС або НД

Завдання 2. Точка перетину прямих

На місцевості кілочками позначені дві точки одній прямій ідві точки іншої прямої. Як знайти точку перетину цих прямих?

Рішення!

Користуючись зоровим ефектом, зазначеними у рішенні задачі 1,легко знайти точку перетину прямих у тому випадку, якщо відразуясно, що вона лежить на продовженнях обох відрізків з кінцями вданих точках. В іншому випадку достатньо спочатку прокласти одну або обидві прямі так, щоб на кожній з них з одного боку відпередбачуваної точки перетину були відзначені по дві точки.

Завдання 3. Симетрія відносно точки

На місцевості позначені точки А і В. Знайдіть точку С,симетричну точці А відносно точки В.

Рішення!

Продовжимо пряму АВ за точку В і відкладемо на ній крапку З навідстані АВ від точки В. Для цього знадобиться виміряти ввідповідних одиницях довжини відстань між точками А і В.

Завдання 4. Паралельна пряма

На місцевості позначені три дані точки: А, В і С, нещо лежать на одній прямій. Через точку А прокладете пряму,паралельну прямій НД

Рішення!

Продовжимо пряму АВ за точку В і відкладемо на ній точку D на відстані АВ від точки В. Продовжимо пряму СD за точку С івідкладемо на ній точку Е на відстані СD від точки С. Тодівідрізок АЕ буде паралельний відрізку нд, що є середньою лінієютрикутника АDЕ. Зауважимо, що запропонований спосіб вигідновідрізняється від безлічі інших способів, що спираються на вимірюваннякутів або на поділ відрізка навпіл.

Завдання 5. Знаходження середини відрізка.

Знайдіть середину відрізка АВ, заданого на місцевості двома точками А і В.

Рішення!

Візьмемо будь-яку точку С, не лежить на прямій АВ.
Продовжимо пряму CВ за точку С і відкладемо на ній точку D на2ВС відстані від точки С. Продовжимо пряму АD за точку А івідкладемо на ній точку Е на відстані АD від точки А. Бажаємасередина F відрізка АВ лежить на його перетині з прямою ЄС.
Дійсно, відрізок СЕ паралельний відрізку AG - середній лініїтрикутника CDE (тут G - середина відрізка CD). Тому що, окрімтого, BC = CG, то CF - середня лінія трикутника ABG, звідки AF
= FB.

Завдання 6. Ділення відрізка в даному відношенні

Відрізок, визначений на місцевості двома точками А і В, потрібно розділити у відношенні, в якому знаходяться довжини двох відрізків KLі MN, заданих на місцевості точками K, L та M, N. Як це зробити?

Рішення!

Побудова точки F, що ділить відрізок АВ у відношенні AF: BF
= KL: MN, зробимо аналогічно побудові середини відрізка АВ,описаного в рішенні задачі 5. Відмінність полягатиме в тому, щоточку С виберемо на відстані KL від точки В, а точку D - на2MN відстані від точки С. В цьому випадку пряма EC по -як і раніше, буде паралельна відрізку AG, а значить, розділить відрізок
АВ в тому ж відношенні, в якому вона ділить відрізок BG.

Завдання 7. Побудова бісектриси кута

На місцевості позначені три точки A, M і N, що не лежать наодній прямій. Прокладіть бісектриси кута MAN.

Рішення!

Виберемо на стороні даного кута точки В і С, а на іншій --точки D і Е так, щоб виконувалися рівності

AB = BC = AD = DE.

Знайдемо точку Про перетину прямих ВЕ і CD. Тоді пряма АТбуде шуканої бісектрисою, оскільки в трикутник
ACE бісектриса AF є одночасно і медіаною, а значить,проходить через точку Про перетину медіан EB і CD.

Завдання 8. Побудова перпендикуляра до прямої

Прокладіть на місцевості яку-небудь пряму, перпендикулярнупрямої, що проходить через задані точки А і В. Як прокластиперпендикуляр до прямої АВ, що проходить через дану точку H?

Рішення!

Продовжимо пряму АВ за точку В і відкладемо на ній крапку З на відстані АВ від точки В. Крім того, відкладемо на тому жвідстані від точки У ще дві точки D і E в двох різних, алеНЕ протилежних напрямках. Знайдемо точку F перетину прямих
AE і CD, а також точку G перетину прямих AD і CE. Пряма FGперпендикулярна до прямої АВ. Дійсно, точка А, Е, D і Срівновіддалені від точки В, тобто лежать на одній окружності з центром
В і діаметром АС. Отже, вписані кути ADC і AECпрямі, тому AD і CE - висоти трикутника AFC. Так як всітри висоти цього трикутника перетинаються в одній точці G, топряма FG перпендикулярна стороні АС. Для того, щоб прокластиперпендикуляр до прямої АВ через дану точку H, достатньо теперпрокласти через цю точку пряму, паралельну прямій FG.

Завдання 9. Побудови під заданим кутом

На місцевості позначені точки А і В. Знайдіть точки C, D і
E, для яких виконані рівності BAC = 45 (, BAD = 6O, (
BAE = 3O (.

Рішення!

прокладемо перпендикуляр до прямої АВ, який проходить в якійсьточці промінь АВ. Без обмеження спільності вважаємо для зручності, щоця точка перетину і є точка В. На перпендикуляра по різні боки від точки В відкласти точки С і F, віддалені від точки Вна відстань АВ. Тоді кут ВАС дорівнює 45 ((з рівнобедреногопрямокутного трикутника АВС). На пряме AF відкладемо точку G навідстані АВ від точки А, а потім на прямий нд відкладемо точку Dна відстані CG від точки В. Тоді кут ВАD дорівнює 6О (, так якпо теоремі Піфагора для прямокутного трикутників АВС, ACG та
ABD мають місце рівності

Для побудови точки Е тепер залишається прокласти бісектрисикута BAD.

Завдання 10. Вимірювання висоти дерева.

Висоту дерев можна визначити за допомогою жердини. Цей спосіб полягає в наступному.

запасшись шостому вище свого росту, застроміть його в землюпрямовисно на деякій відстані від вимірюваного дерева. Відійдіть віджердини тому, щодо продовження Dd до того місця А, з якого, дивлячись на вершину дерева, ви побачите на одній лінії з нею верхнюточку b жердини. Потім, не змінюючи положення голови, дивіться понапрямку горизонтальної прямої aC, помічаючи точки с і С, уяких промінь зору зустрічає шест і стовбур. Попросіть помічниказробити в цих місцях позначки, і спостереження закінчено. Залишаєтьсятільки на підставі подібності трикутників adc і aBC обчислити ндіз пропорції

НД: bc = aC: ас,

Звідки

Відстані bc, aC легко виміряти безпосередньо. До отриманої величиною НД потрібно додати відстань CD (яке такожвимірюється безпосередньо), щоб отримати бажану висоту дерева.

ВИСНОВОК

.

У цьому рефераті розглянуті найбільш актуальні завдання, пов'язаніз геометричними побудовами на місцевості - провішуванням прямих,поділом відрізків і кутів, виміром висоти предмета. Наведено великукількість завдань і дані їх вирішення. Наведені завдання мають значнийпрактичний інтерес, закріплюють отримані знання з геометрії і можутьвикористовуватися для практичних робіт. Коштовне те, що для їх рішення непотрібно знань великих, ніж в обсязі 8 класів.

Крім того, при роботі над рефератом освоєно текстовий редактор Word,графічний редактор PhotoShop, редактор Web-сторінок FrontPage.
Таким чином, мета реферату - вивчення методів геометричних побудовна місцевості - досягнута, завдання реферату - ознайомитися зконструюванням на комп'ютері і вивчити редактори, що застосовуються для цього
- Виконані.

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

1. Сергєєв І.М., Олехнік С.М., Гашков С.Б. «Застосуй математику»,

М., Наука, 1989.

2. Балк М.Б., Балк Г.Д. «Математика після уроків», М., Просвещение,
1971.

3. Четверухін Н.Ф. «Методи геометричних побудов», М., Учпедгиз,
1952.

4. Косякін А.С., Нікулін А.С., Смирнов А.С. «Землевпорядні роботи», М., Недра, 1988.