Математичні підстави геоморфології (за статтею А. С. Девдаріані)

Предметом даного реферату є визначення об'єкта дослідження і виклад у загальних рисах змісту геоморфології в термінах теорії множин, математичної логіки і топології. Використаний наявний досвід застосування елементів теорії множин і математичної логіки в геології (Косигін, Воронін та ін, 1964, 1965 та ін; Геологія і математика, 1967) та географії (Родоман, 1967).

Почнемо з математичного визначення об'єкта вивчення геоморфології - земної поверхні, розуміючи під нею поверхню літосфери або поверхня розділу літосфери з гідро-і атмосферами. У масштабах макросвіту, що вивчається в геоморфології, дискретним, молекулярно-атомарним будовою оболонок Землі можна знехтувати і розглядати їх як суцільну середу, тобто як нескінченно велика безліч матеріальних точок, кожна з яких має исчезающе малі розміри. Слово множину можна розуміти тут у сенсі, надавали йому і в повсякденній промові, і в математиці. Але взагалі, якщо у повсякденній промові під безліччю розуміється велику кількість об'єктів, то в математиці це сукупність будь-якого числа однорідних в будь-яких відносинах об'єктів, або елементів довільної природи. Безліч матеріальних точок s Землі позначимо через S. Відношення належності елементу s до множини S можна записати словесно: «s приймає значення на множині S», або «з безлічі S», або символічно: , де - знак приналежності.

Безліч S матеріальних точок Землі існує в фізичному просторі, що в геоморфології припустимо розглядати як ньютоново простір. Положення кожної точки p цього простору визначається трьома дійсними (тобто раціональними або ірраціональними) числами x, y, z. Трійка чисел (x, y, z) називається вектором, тому що в декартовій системі координат X, Y, Z її можна розглядати як три координати радіус-вектора Op точки p. Координата x може приймати значення з множини X дійсних чисел, відкладених на осі X; отже, . Аналогічно , . Безліч усіх векторів (x, y, z) називається прямим добутком множин і записується у вигляді . Це є разом з тим безліч усіх точок ньютонова простору, і таким чином: . Взагалі в математиці пряме твір трьох множин дійсних чисел називається тривимірним евклідовому простором; твір n множин дійсних чисел, де n - ціле число, називається n-мірним евклідовому простором. Евклідів простір являє собою окремий випадок метричних просторів. Так називають простору, в які можна ввести метрику, визначивши тим чи іншим чином відстань між елементами простору. У евклідовому просторі це є відстань між точками в звичайному розумінні.

Щоб внести метрику в безліч S матеріальних точок Землі, утворюючи пряме твір цієї множини і безлічі P точок фізичного простору. Це є безліч усіх векторів , у яких перша компонентної служить будь-яка матеріальна точка s Землі, а другий компонентою - будь-яка точка p фізичного простору. Однак не всі вектори , що входять у твір , реально існують. Наприклад, з можливих векторів , , , де - одна й та сама матеріальна точка, а p1, p2, p3 - різні точки фізичного простору, може реально існувати тільки один вектор, припустимо .

Виділимо з безлічі векторів , що утворюють твір , тільки ті, які відповідають реальному знаходженню даної матеріальної точки Землі в даній точці фізичного простору. Сукупність цих чинників утворює підмножина R безлічі векторів :

(1)

де - знак включення підмножини в безліч. Вираз (1) являє собою запис відносини відповідності між множинами S і P (або заданого на множинах S і P), перший з яких називається областю визначення, а друге - областю значень відповідності. Безліч S матеріальних точок s Землі відображається відповідністю (1) під безліч P точок p фізичного простору. Точки p, задовольняють цього відповідності, називаються образами точки s, останні, в свою чергу, є прообразами точок p. Відповідність являє собою узагальнення поняття функції, описуючи не тільки однозначні залежності, коли кожному елементу з області визначення (аргументу) відповідає один, і тільки один, елемент з області значень (функція цього аргументу), але і багатозначні залежності, коли кожному елементу з області визначення відповідає більш ніж один елемент з області значень, як це має місце, наприклад, для стохастичних зв'язків.

Оскільки кожна матеріальна точка Землі збігається з одного, і тільки одній, точкою фізичного простору, відповідність (1) є функціональним, однозначним від S до P. Його можна зробити взаімнооднозначним, виділивши з безлічі P підмножина Ps тих точок фізичного простору, з якими співпадають матеріальні точки Землі, і звузивши область значень відповідності (1) на це підмножина. В результаті отримаємо відповідність: . Встановивши взаімнооднозначное відповідність між множинами S і Ps, отримуємо можливість внести в безліч S метрику з простору P, або, інакше кажучи, визначати відстані між матеріальними точками Землі як відстані між точками евклідового простору.

Тепер можна скористатися поняттям про околиці деякої точки s множини S. Так називають безліч точок s, які знаходяться всередині сфери довільного радіуса r з центром в даній точці. Виділимо з множини S матеріальних точок Землі підмножина L точок l літосфери і підмножина A точок a гідро-і атмосфери. Будь-яка точка l літосфери, як завгодно мала околиця якої містить лише крапки безлічі L, називається внутрішньою точкою множини L. Аналогічним чином визначаються внутрішні точки множини A. Безліч M точок m, околиці яких містять точки як безлічі L, так і множини A, називається в топології кордоном між множинами L і A.

Кордон між множинами можна не включати до жодного з них, а можна приєднати до будь-якого з цих множин. Речовина літосфери має набагато меншу рухливістю, ніж речовина гідро-і атмосфер. Тому кордон між множинами L і A зручніше приєднати до безлічі L, розглядаючи її як зовнішній кордон літосфери-земну поверхню. Але в такому вигляді цей кордон, маючи і геометричними, і речовими властивостями, є об'єктом вивчення не тільки геоморфології, але також геології і грунтознавства. Якщо чітко визначати об'єкт вивчення геоморфології і відокремити його від об'єктів вивчення геології і грунтознавства, то доводиться прийняти, що завданням геоморфології є вивчення тільки геометричних, але не речових властивостей земної поверхні. У математичній формулюванні це означає, що об'єктом вивчення геоморфології слід вважати не саму кордон безлічі L, а її відображення в простір P, тобто поверхню в тривимірному евклідовому просторі, прообразом якої є безліч M точок зовнішньої межі літосфери. Такий підхід аж ніяк не виключає розгляд у геоморфології речових властивостей земної поверхні, які вводяться в розгляд нижче в числі рельєфоутворюючих факторів. Разом з тим такий підхід не виключає розгляду в геології геометричних властивостей земної поверхні як обмеження геологічних тел. Наведене визначення об'єкта геоморфології можна взагалі трактувати, як вузьке, зберігши поряд з ним прийняте зараз більш широке визначення і дав останньому математичну трактування у вигляді простору можливих станів рельєфу, про який буде йти мова нижче.

Властивості земної поверхні як такої описуються геометричними характеристиками g1, g2 ..., gk, що приймають значення відповідно на множинах G1, G2 ..., Gk. Ряд геометричних характеристик земної поверхні, наприклад, висоту, ухил, кривизну, практично можна відносити до точці поверхні. Разом з тим ці характеристики можуть бути виміряні і виражені кількісно, беручи, таким чином, значення на множині дійсних чисел. Але рельєф являє собою, в термінах теорії систем, складну, ієрархічно, ярусної побудовану систему, у якій елементи вищого ярусу, вступаючи в певні відносини між собою, утворюють елементи нижчого ярусу - великих розмірів. У рельєфі елементами найвищого ярусу - самих малих розмірів - є точки земної поверхні. З точок будуються елементи (в геоморфологічному сенсі) форм рельєфу, з елементів форм - самі форми, з форм - типи рельєфу. Узагальнений у кібернетики досвід вивчення складних систем показує, що для них кількісне вираз властивостей елементів і відносин між елементами часто виявляється неможливим. Тому для опису стану складних систем доводиться вдаватися до якісним характеристикам, які приймають значення на кінцевих множинах. Так, якщо в кожній точці схилу ступінь опуклості або угнутості визначається кількісно другої похідної висоти H по відстані x і приймає значення на множині дійсних чисел, то схили як елементи рельєфу ділять на опуклі, , прямолінійні, , увігнуті , тобто дають їм характеристику, що приймає значення на кінцевому Трьохелементний множині. Інший приклад: розрізняючи горбистий, низькогірський, середньогірні і високогірне рельєф, ми даємо типами рельєфу якісну характеристику, що приймає значення на впорядкованому четирехелементном множині. Характеристики рельєфу можуть приймати значення на множинах функцій, апроксимуючих його обриси, кореляційних або спектральних функцій, що описують типи рельєфу, та ін

Внаслідок ієрархічної будови рельєфу, область (ділянка) земної поверхні, допускає експериментальне визначення характеристик рельєфу, далеко не завжди може розглядатися в даному масштабі як точка. Але цей загальний випадок від досліджувати не став.

Геометричні характеристики рельєфу змінюються не тільки в просторі, але і в часі. Тому необхідно ввести в розгляд безліч T елементів t часу. Ми звикли і у повсякденному житті, і при наукових спостереженнях за сучасними процесами вимірювати час і вважати, що його елементи приймають значення на множині дійсних чисел. Однак реальний час, що існує незалежно від наших вимірів, не має власної метрики і являє собою безліч подій, впорядковане ставленням нестрогого порядку «раніше - пізніше» (Уітроу, 1964). Цьому визначенню задовольняє відносний геологічний час, елементами якого є кінцеві проміжки. Занумеруем безліч проміжків минулого часу числами натурального ряду 0, 1, 2, 3 ... Натуральний ряд чисел і безлічі будь-якої природи, які можуть бути поставлені під взаімнооднозначное відповідність з ним, називаються рахунковими множинами (на відміну від незчисленних множин, до яким належить, наприклад, безліч дійсних чисел). Таким чином, відносний геологічний час приймає значення на кінцевих підмножини рахункового безлічі.

Зміни рельєфу викликаються рельєфоутворюючих факторами, описуваними характеристиками, які позначимо . Ці характеристики, подібно геометричним характеристикам рельєфу, можуть приймати значення на множині дійсних чисел (сила тяжкості, коефіцієнт тертя, температура), на кінцевих множинах (типи гірських порід, клімату, рослинності), на безлічі функцій (гранулометричний складу, забезпеченість витрат річки).

Образуя пряме твір введених в розгляд множин:

(2)

Введемо скорочені позначення:

; , (3)

де - знак твори множин, m та n - індекси, які можуть приймати значення від 1 до k або l відповідно. Запис можна зробити ще більш короткою, якщо множинам, що входять до твір (2), дати однакові позначення: . У цих позначення будемо мати

, (4)

де Qu - будь-який з названих вище множин. Утворити з цих множин необхідне для подальших побудов безліч . Таке безліч (у цьому випадку ), елементами якого є знову ж таки безлічі (в цьому випадку Qu), називають системою множин.

Використовуючи (3) та (4), можна написати

(5)

Пряме твір множин являє собою, згідно з визначенням, у даному випадку безліч векторів виду (p, t, m, g1, g2, ..., gk, b1, b2, ..., bl). Кожен з цих векторів описує стан, що, взагалі кажучи, може прийняти деяка точка рельєфу в певний момент часу, перебуваючи під впливом певного поєднання рельєфоутворюючих факторів. Безліч цих векторів будемо називати простором W можливих станів рельєфу [1] . Як було сказано вище, цей простір можна розглядає?? ть як об'єкт вивчення геоморфології в тому широкому розумінні, який надається йому в даний час.

У геоморфології вивчаються як самі множини, з яких побудовано простір W, так і відносини на цих множинах. Особливо важливим є вивчення відносин

(6)

відповідності між підпросторами (область визначення відповідності) і (область значень відповідності) простору станів, оскільки відносини відповідності описують зв'язки між явищами. Відповідно (6), по-перше, і , тобто безлічі і , що входять до області визначення і значень відповідності, вибираються відповідно з підсистем і системи множин, з яких будується простір W можливих станів, по-друге, , тобто один і той же безліч не може входити і в область визначення, і в область значень відповідності; по-третє, , тобто відповідність (6) може бути задано не на всіх, а тільки на деяких множинах із системи . Геоморфологічний сенс, який може бути вкладений в відповідності виду (6), стане зрозумілим з наведених надалі прикладів.

Система множин , з яких будується простір W, може включати, в залежності від розв'язуваних завдань, ті або інші з введених в розгляд множин. Однак, щоб не загубилися об'єкти вивчення геоморфології, в побудові простору W повинні брати участь або безліч M матеріальних точок рельєфу, або хоча б одне з множин Gm, на яких приймають значення геометричні характеристики рельєфу. У символах математичної логіки, це умова запишеться так:

, (7)

Тут (перевернута буква Е) - квантор існування, що читається як «існує хоча б один», - логічний союз «Або» розділову, що вимагає виконання одного, і тільки одного з пов'язують їм висловлювань. У цілому, умова (7) читається як «існує хоча б одне таке безліч Qu (що входить в систему множин, з яких будується простір станів W), яке задовольняє висловом, укладеним у квадратні дужки, представляючи собою або безліч M, або безліч Gm ».

Безліч Gm можуть входити як в область значень, так і в область визначення відповідності (6). Нехай ми маємо умову:

(8)

Тут (перевернута буква А) - квантор спільності, що має сенс слова «все». Вираз (8) читається як «Все безлічі повинні представляти собою тільки безлічі Gm », тобто областю значень відповідності (6) при дотриманні умови (8) можуть бути тільки ті безлічі, на яких приймають значення геометричні характеристики рельєфу. Безліч, на яких приймають значення рельєфоутворюючі фактори, елементи простору і часу, можуть входити тільки в область визначення відповідності (6). Інакше кажучи, відповідності, задовольняють умові (8), виражаються залежно контурів рельєфу від місця розташування, часу, рельєфоутворюючих факторів, а також взаємозв'язку геометричних характеристик рельєфу. Ясно, що встановлення такого роду відповідностей відноситься до завдань геоморфології, сюди ж віднесемо відповідності, задовольняють що приводиться нижче умові (10).

В інших випадках геометричні характеристики рельєфу можуть входити в область визначення відповідності (6), визначаючи собою або значення геологічних, гідрологічних, біогеографічних та інших чинників, які в задачах, задовольняють умові (8), розглядалися як рельєфоутворюючі, або (в Геохронологічна дослідженнях) час. Цим випадкам відповідає умова:

, (9)

де - логічний союз «І», що означає, що повинні виконуватися обидва асоціюються їм висловлювання. Прикладами завдань такого роду можуть служити: встановлення залежності характеристик потоку від форми ложа, дешифрування геологічної будови по контурах рельєфу, вимірювання часу швидкістю денудації. Віднесення такого роду задач до геоморфології або до суміжних до неї наук в тій чи іншій мірі умовно. Ті з завдань, які можна віднести до геоморфології, ми будемо називати її прикордонними завданнями. Таким чином, умова (9) є необхідною, але недостатньою точно так само, втім, як і умова (8), якому можуть задовольняти прикордонні завдання суміжних з геоморфології наук.

У побудові простору станів рельєфу неодмінно, в явному або неявному вигляді, має брати участь багато T елементів часу t. У неявному вигляді, приймаючи значення на одноелементні множині, воно присутнє, коли вивчається стан рельєфу у фіксований, сучасний, минулий момент або проміжок часу. У таких випадках серед розглянутого безлічі елементів часу будь-які два елементи і збігаються: . Явно час вводиться при вивченні розвитку рельєфу. При цьому ми, очевидно, повинні мати умова, протилежний попередньому, а саме: .

У межах внутрішніх завдань геоморфології, що визначаються умовою (8), а також наводяться нижче умовою (10), можна або не враховувати, або враховувати рельєфоутворюючі фактори. У першому випадку має місце умова , у другому . Тут - знак логічного заперечення «не», який, будучи поставлений перед квантором існування , заперечує його, так що означає «не існує ».

Накладаючи на простір (5) і відповідності (6) наведені умови, можна поставити основні завдання геоморфології і виділити розділи науки, в яких вони вирішуються.

У межах внутрішніх завдань геоморфології, тобто при виконанні умов (8) або (10), логічне обгрунтування отримують чотири розділи геоморфології - геометрія, статика, кінематика і динаміка рельєфу, раніше виділялися інтуїтивно (Девдаріані, 1966).

Геометрія рельєфу:

.

Вивчаються обриси рельєфу у фіксований момент або проміжок часу. Найчастіше зустрічається завданням геометрії рельєфу є встановлення відповідностей виду , де під P розуміється двовимірне (карта) або одномірне (профіль) евклідів простір. Зокрема, позначивши координати точки земної поверхні в тривимірному просторі , і поклавши , отримаємо відповідність , під яким з однаковим правом можна розуміти і карту в горизонталях, і апроксимуючих її функцію .

Інше завдання геометрії рельєфу полягає у встановленні залежностей між різними геометричними характеристиками рельєфу, тобто відповідностей виду . Прикладом такої відповідності, сформульованого в якісної формі, може служити твердження, що зі зростанням висоти (приймаючої значення на впорядкованому безлічі G1) ухили (які приймають значення на впорядкованому безлічі G2) переважно (це слово вказує на неоднозначність відповідності, його імовірнісний характер) зростають.

Статика рельєфу: .

Вивчаються залежності контурів рельєфу від рельєфоутворюючих факторів у фіксований момент або проміжок часу. Очевидно, що такі залежності мають геоморфологічний сенс, якщо рельєф досяг стійкої рівноваги (наприклад, граничного профілю) і більше не змінюється в часі.

Кінематика рельєфу: .

Вивчаються зміни стану рельєфу в часі поза залежно від викликають ці зміни рельєфоутворюючих факторів. При цьому можуть використовуватися два методи опису руху: а) Локальний метод, коли об'єктами спостереження служать елементи p фізичного простору (наприклад, точки на карті), в яких з часом t змінюються геометричні характеристики рельєфу g1, g2, ..., gk. Відповідність (6) отримує вид

. (10)

Тут знак означає логічне відношення еквівалентності, сенс якого полягає в тому, що перший вислів, який стверджує присутність в області визначення відповідності (6) безлічі M, вимагає здійснення другого висловлювання, з якого випливає, що областю значень відповідності є тільки безліч P, і навпаки. Вираз (10) є згадуваним вище другий поряд з (8) умовою, що визначає внутрішні завдання геоморфології.

Динаміка рельєфу: .

Вивчається розвиток рельєфу при активному або пасивному впливі рельєфоутворюючих факторів. Прикладом у термінах континуальної математики може служити рівняння розвитку поздовжнього профілю річки: , де H - висота точки профілю, A - постійна, що залежить від його початкових обрисів; вони являють собою геометричні характеристики рельєфу, що приймають значення на множинах G1 і G2 відповідно; t - час, що приймає значення на безлічі T; F (x) - функція відстані x, що приймає значення в одновимірному евклідовому просторі P; m -- постійна, що залежить від рельєфоутворюючих факторів, які приймають значення на множинах B1, B2, ..., Bl; e - підстава натуральних логарифмів. Всі перераховані характеристики приймають значення з безлічі дійсних чисел, і наведене рівняння являє собою конкретну форму функціонального відповідності в багатовимірному евклідовому просторі станів

Розглянемо нескінченну упорядковану послідовність елементів часу:

Знак вказує, що що стоїть перед ним елемент передує елементу, що стоїть після. Для елементів безлічі дійсних чисел знак рівносильний знаку < (менше), а - знаку> (більше). Для елементів часу означає раніше, а пізніше. У зазначеній послідовності важливу межу утворює момент (або проміжок) часу tн, до якого зроблені (або розпочаті) спостереження за станом даної системи. Для наступних елементів часу, , стану рельєфу визначаються методами інтерполяції і екстраполяції, а для попередніх, - відновлюються історичним і методами, на підставі збережених свідоцтв минулих станів. Відповідно до цього в кожному з розділів геоморфології слід розрізняти завдання:

вивчення сучасного та прогнозування майбутнього рельєфу, що визначаються умовою ;

вивчення минулого рельєфу, що визначаються в кінематиці і динаміку рельєфу умовою , а в геометрії та статиці рельєфу - умовою .

Прикордонні завдання геоморфології поділяються на прикордонні завдання геометрії рельєфу, коли , і прикордонні задачі кінематики рельєфу, коли при дотриманні, зрозуміло умови (9).

Список літератури

Журнал «Геоморфологія», А.С. Девдаріані, № 1, 1971р., С.46-55.

Автором була використана література:

Геологія і математика. «Наука», Новосибірськ, 1967.

Девдаріані А.С. Итоги науки. Геоморфологія, вип.1. Математичні методи. Изд. ВИНИТИ, М., 1966.

Косигін Ю.А., Воронін Ю.А., Соловйов В.А. Досвід формалізації деяких тектонічних понять. Геол. і геофіз., 1964, № 1.

Косигін Ю.А., Воронін Ю.А. Геологічна простір як основа структурних побудов. Стаття 1. Геол. і геофіз., 1965, № 9.

Родоман Б.Б. Математичні аспекти формалізації порайонній географічних характеристик. Вестн. МГУ. Географія, 1967, № 2.

Стінрод Н., Чінн У. Перші поняття топології. «Світ», М., 1967.

Уітроу Дж. Природна філософія часу. «Прогрес», М., 1965.

Шіхановіч Ю.А. Введення в сучасну математику. «Наука», М., 1965.

Для підготовки даної роботи були використані матеріали з сайту http://www.ed.vseved.ru/

[1] Автор не?? акладивает ніяких обмежень на безлічі, що входять в пряме твір W, і припускає, зокрема, що вони можуть бути неупорядкованими. Тому безліч векторів, що утворюють W, не є простором в строгому математичному розумінні. Однак автору видається, що в географічних та геологічних цілях таке розширення математичного поняття простору було б досить зручним. І це не йшло б в розріз із загальною тенденцією розширення поняття простору в математиці від тривимірного евклідового до багатовимірним евклідовому, потім до метричних і далі до топологічних просторах.