ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ УПРАВЛІННЯ

Інститут інформаційних систем управління
Спеціальність: Документознавство та Документаційне забезпечення управління

Р Е Ф Е Р А Т на тему: Прояв симетрії в різних формах матерії

Виконано студентом: Кошелев А.І.
Студентський квиток №: 121-00
Група: I - 1
Дата виконання роботи:
Керівник: Горбатова Р.К.

Москва 2000р.

Зміст

1. Зміст 2

2. Вступ 3

3. Види симетрій 5

4. Наука кристалографія 7

5. Симетрія фізичних явищ 9

5.1 Симетрія в механіці 9

5.1.1 Однорідність простору 10

5.1.2 Ізотропія простору 11

5.1 .3 Однорідність часу 12

6. Симетрія в живій природі 14

6.1 Біологічні дробу 15

7. Висновок 17

8. Література 18

Введення

Симетрія є фундаментальним властивістю природи, уявлення проякому, як зазначав академік В. І. Вернадський (1863-1945), «складалося впротягом десятків, сотень, тисяч поколінь "." Вивчення археологічнихпам'яток показує, що людство на зорі своєї культури вже малоуявлення про симетрії і здійснювало її в малюнку і в предметах побуту.
Треба думати, що застосування симетрії в первісному виробництвівизначався не тільки естетичними мотивами, але до певної мери івпевненістю людини в більшої придатності для практики правильних форм ".
Це слова іншого нашого чудового співвітчизника, який присвятиввивчення симетрії все своє довге життя, академіка А. В. Шубнікова
(1887-1970). - Первинне поняття про геометричної симетрії як прогармонії пропорцій, як про «пропорційності», що й означає в перекладі згрецького слово «симетрія», з плином часу набула універсальнийхарактер і було усвідомлено як загальна ідея інваріантності (тобтонезмінності) щодо деяких перетворень. Таким чином,геометричний об'єкт або фізичне явище вважаються симетричними, якщоз ними можна зробити щось таке, після чого вони залишаться незмінними.
Наприклад, п'ятикутна зірка, будучи повернута на 72 ° (360 °: 5), займепочаткове положення, а ваш будильник однаково дзвенить у будь-якому кутікімнати. Перший приклад дає поняття про одного з видів геометричноїсиметрії - поворотною, а другий ілюструє важливу фізичну симетрію --однорідність і ізотропності (рівнозначність всіх напрямів) простору.
Завдяки останній симетрії всі фізичні прилади (в тому числі ібудильник) однаково працюють в різних точках простору, якщо, звичайно,не змінюються оточуючі фізичні умови. Легко уявити, яка бпанувала на Землі плутанина, якби ця симетрія була порушена!

Таким чином, не тільки симетричні форми оточують нас всюди, алеі самі різноманітні фізичні та біологічні закони гравітації,електрики і магнетизму, ядерних взаємодій, спадковостіпронизані загальним для всіх них принципом симетрії. «Новим в науці з'явилося невиявлення принципу симетрії, а виявлення його загальності », - писав
Вернадський. Дійсно, ще Платон мислив атоми чотирьох стихій - землі,води, вогню та повітря - геометрично симетричними у вигляді правильнихбагатогранників. І хоча сьогодні «атомна фізика» Платона здається наївною,принцип симетрії і через два тисячоліття залишається основоположнимпринципом сучасної фізики атома. За цей час наука пройшла шлях відусвідомлення симетрії геометричних тіл до розуміння симетрії фізичнихявищ.

Отже, в сучасному розумінні симетрія - це загальнонаукова філософськакатегорія, яка характеризує структуру організації систем. Найважливішимвластивістю симетрії є збереження (інваріантність) тих чи іншихознак (геометричних, фізичних, біологічних і т. д.) по відношеннюдо цілком певних перетворень. Математичним апаратом вивченнясиметрії сьогодні є теорія груп та теорія інваріантів.

Види симетрій

На відміну від мистецтва або техніки, краса в природі не створюється, алише фіксується, виражається. Серед нескінченного розмаїття форм живої танеживої природи в достатку зустрічаються такі досконалі образи, чий вигляднезмінно привертає нашу увагу. До числа таких образів відносятьсядеякі кристали, багато рослин.

У конформному (кругової) симетрії головним перетворенням єінверсія щодо сфери. Для простоти візьмемо коло радіуса R з центромв точці O. Інверсія цього кола визначається як таке перетвореннясиметрії, що будь-яку точку P переводить в точку P ', що лежить напродовження радіуса, що проходить через точку P на відстані від центру:

OP '= R2/OP

Конформні симетрія володіє великою спільністю. Всі відоміперетворення симетрії: дзеркальні відображення, повороти, паралельнізрушення являють собою лише окремі випадки конформному симетрії.

Головна особливість конформного перетворення полягає в тому, що вонозавжди зберігає кути фігури і сферу і завжди переходить у сферу іншогорадіусу.

Відомо, що кристали певної речовини можуть мати самий різнийвигляд, але кути між гранями завжди постійні.

поміркувати про дзеркальної симетрії. Легко встановити, що кожнасиметрична плоска фігура може бути за допомогою дзеркала поєднана сама зсобою. Гідно подиву, що такі складні постаті, як п'ятикутназірка або рівносторонній п'ятикутник, теж симетричні. Як це випливаєз числа осей, вони відрізняються саме високою симетрією. І навпаки: не такпросто зрозуміти, чому така, здавалося б, правильна фігура, яккосокутних паралелограм, несиметрична. Спочатку видається, щопаралельно одній з його сторін могла б проходити вісь симетрії. Але вартоподумки спробувати скористатися нею, як відразу переконуєшся, що це нетак. Несиметрична і спіраль.

У той час як симетричні фігури повністю відповідають своємувідбиття, несиметричні відмінні від нього: з спіралі, що закручуєтьсясправа наліво, в дзеркалі вийде спіраль, що закручується зліва направо.

Якщо ви помістіть букви перед дзеркалом, розташувавши його паралельнорядку, то помітите, що ті з них, у яких вісь симетрії проходитьгоризонтально, можна прочитати і в дзеркалі. А ось ті, у яких вісьрозташована вертикально або відсутній зовсім, стають «нечитабельними».

Існують мови, в яких накреслення знаків спирається на наявністьсиметрії. Так, у китайської писемності ієрогліф означає саме справжнюсередину.

В архітектурі осі симетрії використовуються як засоби вираженняархітектурного задуму. У техніці осі симетрії найбільш чітко позначаютьсятам, де потрібно оцінити відхилення від нульового положення, наприклад накермі вантажівки або на штурвала корабля.

Симетрія проявляється в різноманітних структурах та явищанеорганічного світу і живої природи. У світ неживої природи чарівністьсиметрії вносять кристали. Кожна сніжинка-це маленький кристалзамерзлої води. Форма сніжинок може бути дуже різноманітною, але всі вониволодіють симетрією - поворотною симетрією 6-го порядку і, крім того,дзеркальною симетрією.

А що таке кристал? Тверде тіло, що мають природну формубагатогранника. Характерна особливість того чи іншого речовини полягає всталості кутів між відповідними гранями і ребрами для всіх образівкристалів одного і того ж речовини.

Гвинтова симетрія. У просторі існують тіла, що володіють гвинтовийсиметрією, тобто поєднується зі своїм початковим становищем післяповороту на будь-який кут навколо осі, доповненого зрушенням вздовж тієї жосі. Якщо цей кут поділити на 360 градусів - раціональне число, топоворотна вісь виявляється також віссю переносу.

Наука кристалографія

До середини XVII століття у вивченні зовнішньої форми кристалів скінчився періоднакопичення експериментальних даних. Була вивчена форма багатьох конкретнихмінералів і формулювати закон сталості кутів між гранями. Цей законмав дуже важливе значення для поширення на кристали ідеї симетрії.
Дійсно в світі існує величезна кількість кристалів кожного видумінералів. Зовнішній вигляд їх різний: у одних кристалів межі добрерозвинені, в інших деякі грані відсутні зовсім, у третьому одні гранірозвинені, інші - ні. Як же тоді дізнатися однакові ці кристали за своєюприроді чи ні? Ось тут-то й допомагає закон сталості гранних кутів.
Необхідно виміряти кути між всіма гранями кристалів, як між добрерозвиненими, так і між не дуже розвинені, і якщо вони виявляться однаковими,то ці кристали належать до одного мінералу.

Кути між гранями кристалів мінералу як би його паспорт, якіськонстанти. Користуючись ними, можна побудувати ідеальний кристал даногомінералу, у якого всі грані на місці і однаково добре розвинені. Цетеж якийсь еталон цього мінералу, а реальні кристали будуть у тій чиіншою мірою наближатися до нього. Форма кристала-еталона - це формадеякого геометричного тіла, багатогранника, і її вже можна вивчати, небоячись, що якихось граней буде бракувати, а якісь межі виявлятьсязайвими. Тут форма кристала виступає як би в ідеалізованому вигляді,вона очищена від усього випадкового і привхідним.

Все це зробило можливим приступити до перших серйозних узагальнень, щопризвело до виникнення самостійної науки - кристалографії, що вивчаєосвіта, властивості і зовнішню форму кристалів. Створення кристалографіїпов'язане з ім'ям француза Жана-Батіста Роме-ділив (1736-1790).

Перш за все Роме-Деліль підкреслював правильну геометричну формукристалів виходячи із закону сталості кутів між їх гранями. Він писав:
«До розряду кристалів стали відносити всі тіла мінерального царства, дляяких знаходили фігуру геометричного багатогранника ... »Правильна формакристалів виникає з двох причин. По-перше, кристали складаються зелементарних частинок - молекул, які самі мають правильнуполіедріческую форму. По-друге, «такі молекули мають чудовевластивість з'єднуватися між собою в симетричному порядку ».

Остання фраза для нас дуже важлива. Адже це фактично перший почасу застосування ідеї симетрії до кристалів. Щоправда, воно стосується несиметрії зовнішньої форми, про яку ми зараз говоримо, а відноситься дорозташуванню поліедріческіх молекул в кристалі. Але від цього важливістьузагальнення Роме-ділив аж ніяк не зменшується. Навпаки, описуючирозташування молекул в кристалі як симетричне. Роме-Деліль тим самиммовчазно вважав, що й зовнішня форма кристала - наслідок такогорозташування - теж симетрична. При цьому під симетрією зовнішньої формикристала слід було розуміти закономірне розташування його однаковихграней, ребер і вершин у просторі.

Вивчаючи закони зовнішньої форми кристалів, Роме-Деліль виділив у якостіп'ять основних форм: тетраедр, куб, октаедр, ромбоедрів і гексагональну ді -піраміду. Він помилково вважав, що форми всіх інших кристалів можнаотримати з цих основних форм.

Симетрія фізичних явищ

«Я думаю, що було б цікаво ввести у вивчення фізичних явищтакож і розгляд властивостей симетрії, настільки знайоме кристалографії ».

Так починалася невелика стаття П'єра Кюрі« Про симетрії у фізичнихявища: симетрія електричного і магнітного полів », опублікована в
1894 у французькому «Фізичному журналі».

До Кюрі фізики часто використовували міркування, що випливають з умовсиметрії. Досить сказати, що багато задач механіки, і особливостатики, вирішувалися тільки виходячи з умов симетрії. Але зазвичай ці умовидосить прості і наочні і не вимагають детального розгляду.
Вперше фізики зіткнулися з проявом нетривіальним симетрії фізичнихвластивостей при вивченні кристалів.

Вперше чітке визначення симетрії фізичних явищ дав Кюрі у своїйстатті. «Характеристична симетрія певного явища, - писав він, --є максимальна симетрія, сумісна з існуванням явища ».
Загальний підхід до симетрії фізичних явищ, розвинений їм, дуже точнороз'яснила Марія Кюрі в біографічному нарисі про свого чоловіка: «П. Кюрібезмежно розширив поняття про симетрії, розглядаючи останню якстан простору, в якому відбувається дане явище. Длявизначення цього стану треба знати не тільки будову середовища, а йврахувати характер руху досліджуваного об'єкта, а також діючі на ньогофізичні фактори. При характеристиці симетрії середовища важливо пам'ятатинаступні ідеї Кюрі: потрібно визначити особливу симетрію кожного явища ізапровадити класифікацію, що дозволяє ясно бачити основні групи симетрії.
Маса, електричний заряд, температура мають один і той же тип симетрії,званий скалярним; це є, інакше кажучи, симетрія сфери. Потік води іпостійний електричний струм мають симетрію стріли типу полярного вектора.
Симетрія прямого кругового циліндра належить до типу тензора ».

1 Симетрія в механіці

П'єр Кюрі прийшов до симетрії фізичних явищ від симетрії кристалів
(геометричних фігур) через симетрію матеріальних фігур. Це принесловажливі результати при описі фізичних властивостей кристалів і обіцяєвеликі успіхи в інших областях фізики.

Але роботи П'єра Кюрі не зробили впливу на розвиток ідеї симетрії вфізики. Причини цього дивного парадоксу, крім зазначених раніше
(крісталлографічность робіт Кюрі, стислість, якщо не конспективність їхвикладу), полягає ще й у тому, що вони з'явилися занадто пізно, тоді,коли фізика вже накопичила великий досвід дещо іншого підходу до симетріїфізичних явищ, який пов'язаний з розвитком механіки в XVII-XIX століттях.

У той час механіка була фактично всієї фізикою. Найголовнішимвважалося вивчення руху і взаємодії тел. Відповідні закони,здаються нам зараз такими очевидними, зажадали колосальної працікількох поколінь видатних вчених. Коперник, Кеплер, Галілей, Декарт,
Гюйгенс крок за кроком рухалися до розуміння справжніх законів, що керуютьрухом матеріальних тел.

Остаточно ці закони були сформульовані Ісаком Ньютоном
(1643-1727). Але оскільки рух відбувається в просторі і в часі,йому довелося узагальнити і сформулювати деякі положення, постулює їхвластивості.

Ньютон вважав, що існує абсолютна простір, вільне інезалежна від будь-яких тел. Це абсолютний простір изотропно, тоє будь-які напрямки в ньому однакові. Крім того, воно однорідне, тому щобудь-які дві точки простору нічим не відрізняються один від одного. Існуєтакож абсолютна час, незалежна від будь-яких процесів, поточне вічноі рівномірно. Рівномірність перебігу часу передбачає його однорідність:швидкість течії часу з часом не змінюється.

1 Однорідність простору

Щоб зрозуміти, яке відношення вона має до механіки, почнемо з простогопитання: чому камінь падає вниз? Відповідь: тому що на нього дієсила тяжіння. Іншими словами, простір поблизу земної поверхніфізично неоднорідний: всі тіла прагнуть зайняти найнижчі положення,ближче до Землі.

Настільки ж неоднорідний простір поблизу Сонця: орбіти всіх тілсонячної системи викривлені. Але вся Сонячна система як ціле рухаєтьсяпрямолінійно, принаймні, протягом мільйонів років відхилення відпрямолінійності в її русі не було.

Простір, в якому вона рухається, вільно від тяжіють тіл, ітут можна говорити про однорідність. Іншими словами, на сонячну системуяк ціле не діють зовнішні сили Відповідно до другого закону Ньютона зовнішнясила дорівнює зміні імпульсу тіла за одиницю часу. (Імпульсом системител називається їх сумарна маса, помножена та швидкість центру інерції.
Він дорівнює також векторної сумі імпульсів всіх тіл системи. Замість «імпульс»часто говорять «кількість руху», номи не будемо користуватися цимтерміном.) Коли результуюча зовнішня сила, яка діє на систему, дорівнюєнулю, імпульс системи не змінюється з часом, тобто зберігається.

Ми не спробуємо підмінити другий закон Ньютона міркуванням прооднорідності простору. Навпаки, стверджується, що з другого закону
Ньютона слід прямолінійність і рівномірність руху центру інерціїсистеми тіл в однорідному просторі. Жодні внутрішні сили в системі непорушують однорідності простору по відношенню до системи як цілого.
Тому дію внутрішніх сил залишає імпульс системи незмінним.

2 Ізотропія простору

Простір володіє ще одним видом симетрії - щодо поворотівкоординатних систем. Ця ідея давалася людству з великими труднощами, аджекогда то думали, що Земля плоска, і вертикальний напрямок абсолютно.
Те, що Земля - куля, стало відомо освіченим людям ще в давнину. Дляних вертикальний напрямок не було абсолютним, а мінялося на земнійповерхні від точки до точки. Але Земля в уявленні більшостіначитаних людей до епохи Коперніка була центром світобудови. Тому дляних рівноцінними були не всі напрямки в просторі, а всі прямі,що проходять через центр Землі. Там перебувала особлива, виділена точка,центр симетрії Всесвіту.

Відкриття Коперніка позбавило Землю її переважного положення. Центр
Землі для мислячих людей перестав бути центром Всесвіту. Чим же вінфізично виділений для нас? Очевидно, тим, що до нього спрямована силатяжіння Землі. Але досить далеко від всіх тяжіють тел всі крапкипростору рівноцінні, так само як усі прямі, проведені через будь-якуточку Навколо будь-якої прямої можна повернути координатну систему на будь-якийкут, і повернена система буде у всіх відносинах рівноціннапервісної.

Таким чином, ми сформулювали ще одна властивість симетріїпростору. Умовимося про термінологію. Симетрію щодо поворотівбудемо називати Ізотропія, а щодо переносів - однорідністю.

3 Однорідність часу

Перейдемо тепер до конкретних властивостями симетрії часу. Розглянемоспочатку симетрію щодо перенесення вздовж будь-якої прямої. Перенесення в будь-якомунапрямку можна розкласти по трьох взаємно перпендикулярних осях. Такимчином, простір має групу симетрії відносно довільнихпереносів за трьома взаємно перпендикулярним напрямками (див. вище).

Час задається однією величиною, а не трьома, як крапка в просторі.
Наскільки можна вважати, що симетрія часу нагадує симетрію прямоїщодо переносів, тобто що їх абстрактна група симетрії одна і таж? Адже 12 години дня вчора і сьогодні, або завтра, зовсім не одне й те самедля нас. Але симетрія - поняття відносне. Симетрія час уже, ніжсиметрія нескінченній прямій, якщо розглядати час у всіх йогоаспектах, але тим не менш не виключена можливість, що час симетричнопо відношенню до одного певного класу законів природи.

До цього класу належать закони механіки, яким підпорядковані рухутіл в просторі і в часі. Зручніше за все вибрати приклад чистомеханічного руху, не ускладненого силами тертя або будь-яким іншимважко контрольованим впливом зовнішнього середовища. Тертя завжди супроводжуєтьсяпереходом руху до молекул, які становлять тіла, і тому сильноускладнює процес механічного руху.

Без тертя, або майже без тертя, рухаються небесні тіла (невеликатертя при їх русі походить від приливних хвиль, але ми відвернемося відцього явища). Саме небесні тіла послужили моделлю Ньютону, коли вінформулював закони механіки, тому що в астрономічних явищах вонипроявлялися в найменш ускладненому вигляді. Звернення Землі навколо Сонцявідбувається однаково протягом десятків тисяч років, якщо б не впливалиінші планети і припливи і Сонце не втрачало поступово свою масувнаслідок випромінювання, орбіта Землі залишалася б незмінною як завгоднодовго. Звідси треба зробити висновок, що час однорідне, тобто всі його моментирівноцінні, принаймні по відношенню до чисто механічних явищ.

Рік в нашу епоху і на варі людської історії дорівнював Зб51/4 дня.
Отже, в якості початкової дати літочислення може бути взятабудь-яка. Закони небесної механіки абсолютно симетричні по відношенню добудь-якого вибору початкового моменту часу.

Оскільки простір изотропно і однорідне, то рівняння руху незмінюють свого вигляду при зміні напрямку руху. Чи не змінюють вони своговиду і при зсуві точки відліку початку руху в просторі і вчасу. Математично перетворення координат і часу, що відповідають такимзмін, утворюють групу. Цю групу часто називають групою Галілея-
Ньютона. Тому кажуть, що рівняння руху класичної механікиінваріантні (не змінюють своєї форми) відносно групи Галілея-Ньютона.

Таким чином, у класичній механіці симетрія втратила наочнийгеометричний зміст. Тепер вона вступає в абстрактній формі як умову,при якому рівняння, що описує той чи інший фізичний закон, не змінюєсвого виду. При цьому самі умови повинні утворювати групу вматематичному сенсі.

Симетрія в живій природі

Живий організм не має кристалічної будови в тому сенсі, що навітьокремі її органи не мають просторової гратами.

Однак впорядковані структури в ній представлені дуже широко. Якщо вонирідкі, то їх називають рідкими кристалами. У цих структурах сильновитягнуті молекули розташовані так, що їхні довгі осі в середньомуорієнтовані в один бік. У деяких випадках утворюються додатковінадструктур: виникає закручування або шаруваті структури.

Рідкі кристали, як і тверді, мають анізотропією фізичнихвластивостей. Однак просторової решітки рідкі кристали не мають.

До рідким кристалам належать окремі компоненти жовчі і крові,кришталик ока, оболонки нервів, сіра речовина мозку, головкасперматозоїда і т. д. Але особливо важливе значення граєрідкокристалічна структура мембран клітин. Це та «шкірка», якаутримує речовина клітини від розтікання і служить їй як би зовнішніморганом. Мембрана - в'язка рідина, в якій молекули фосфоліпідів
(жирів) мають довгі осі, розташовані паралельно. При кімнатнійтемпературі молекули фосфоліпідів вільно переміщуються вздовж площинимембрани, просторової решітки немає, і цей стан - нормальнестан живої клітини. При зниженні температури мембрана «замерзає»,молекули фосфоліпідів зупиняються, утворюється просторова сітка.
Позбавлена рухливості мембрана не може виконувати свої функції, і клітинагине. Настала кристалізація, клітина виявилася «спійманої» гратами.

Цікаву спробу пояснити п'ятірню симетрію морського їжака зробивпрофесор Оксфордського університету Девід Ніклз. Він вважає, що вся справа вміцності. Скелет їжака складається з десятків крихких, тонких п'ятикутний
. пластинок, однак він надійно служить своєму господареві. Найбільш слабкі місцяскелета - це шви, де одна платівка з'єднується з іншого. Якщо першаплатівка - квадрат або шестикутник, то на лінії дії сили будуть двапоздовжніх шва. Якщо ж перша платівка п'ятикутна, то шов тільки один.
Така конструкція набагато міцніше. Однак виникає законне питання: чомуперша платівка не семикутну, девятіугольная і т. д.? Відповідь може бутитільки один: при п'ятикутник число швів найменше і, отже,такий скелет міцніше. Але ще менше швів дає трикутник. Тоді чому неон? Справа в тому, стверджує Ніклз, що морські їжаки майже круглі організми,а з трикутників важче скласти багатокутник, близьке до сфери.

Представники іншого класу мешканців глибин-морські черви - маютьциліндричне тіло, а в ротовій порожнині - масу гострих зубів. Зубирозташовані так, що якщо з'єднати їх прямими. лініями, то вийдеп'ятикутник. Такий феномен Ніклз пояснює наступним чином. Якщо бчисло зубів було парних, то вони б заважали один одному. Мінімальна непарнечисло - три, але трикутник сильно відрізняється від кола і не відповідаєциліндричному тіла хробака. Сім, дев'ять і більше зубів - зайва розкіш,яку природа не може собі дозволити. Тому реалізується оптимальнийвипадок, найбільш відповідний кругового перерізу ротового отвори,п'ятикутник.

Якщо розглядати царство живого, то будь-якому його представнику, віднайпростішої водорості до евкаліпта, від крихітного жучка до кита, від черв'якадо людини, можна приписати одну з груп симетрії (точкових абопросторових), виведених для матеріальних фігур.

Біологічні дробу

Гвинтові осі симетрії видно в розташуваннях лусок шишок та укладання корипальм, структуру кісткової тканини і в пагонах різних рослин. На стеблісоняшнику явно видно гвинтова вісь п'ятого порядку. Кожен знову виріслист пов'язаний з попереднім поворотом на 72 °, а при повороті та 360 ° листяпереміщуються на цілу величину трансляції. За правилами, прийнятим укристалографії, таку вісь слід позначати 51. Але в ботаніці прийнятопредставляти гвинтові осі у вигляді дробу, у знаменнику якої стоїть числообертів на листовому циклі (кількість обертів навколо стебла для переходувід нижнього листа до вищого, розташованому над ним), а в чисельнику --кількість листів у цьому циклі. Відповідно до цього розташування листів усоняшнику задається дробом 5/1.

У рослин існують тільки певні, строго фіксовані осі, алев більшості своїй не такі, як у кристалів. Так, якщо злаки, липа, бук,береза утворюють вісь 21 (ботанічна дріб 2/1), осока, тюльпан, ліщина,виноград і вільха - 31 (3/1), то дуб, вишня смородина, слива мають ось 52
(5/2), капуста, малина, груша, тополя, редька, льон, барбарис - 83 (8/3), аялина, міндальнік, обліпиха та жасмин - 1З5 (13/5). Для хвойних шишок типовіосі 218 (21/8), 3413 (34/13) і 5521 (55/21).

Чому саме такі осі, а не інші - невідомо. Але вже давно булопомічено, що біологічний дробу не довільно, а являють собоючлени двох послідовностей, складених з чисел Фібоначчі. Їх ввів вматематику італійський купець Леонардо з Пізи на прізвисько Фібоначчі, щоозначає син Боначчі. У його «Книзі абака» наведена оригінальна завдання прокроликах, рішення якої належить самому Фібоначчі. У задачізапитувалося, скільки пар кроликів може походити від однієї пари протягомроку, якщо кожна пара кожен місяць породжує нову пару, яка здругого місяця теж стає виробником, і кролики не дохнуть.

Вирішення цього завдання пов'язане з появою числового ряду 0, 1, 1, 2, 3,
5, 8, 13, 21, 34, 55. ... Ці числа і називаються числами Фібоначчі.

Біологічні дробу, що описують кручені симетрію рослин, складеніз членів двох рядів. В обох рядах чисельнику є числа Фібоначчі, починаючиз четвертого члена - двійки. Знаменники рядів різні. У перші числа
Фібоначчі починаються з третього числа, а в другому - з другого.

Отже, перший ряд:

2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13 ...

Другий ряд:

2/1, 3/1, 5/2, 8/3, 13/5, 21/8 ...

До цих пір абсолютно незрозуміло, чому симетричне гвинтоверозташування листів або лусочок в шишках точно пов'язано з величиноюпевного відносини, присутнього в просторові об'єкти,виробляють особливе естетичне враження? Тут можна висловити тількисаме загальне твердження, що формування естетичних критеріїв людинивідбувається під впливом просторових закономірностей природнихоб'єктів. Однак це твердження не дає конкретну відповідь на поставленепитання.

Висновок

Симетрія, проявляючись в самих різних об'єктах матеріального світу,безсумнівно, відображає найбільш загальні, найбільш фундаментальні його властивості.
Тому дослідження симетрії різноманітних природних об'єктів ізіставлення його результатів є зручним і надійним інструментомпізнання основних закономірностей існування матерії.

Можна сподіватися, що на основі біологічних законів збереження,різноманітних інваріантів, симетрії законів живої природи щодо тихабо інших перетворень рано чи пізно вдасться глибше проникнути всутність живого, пояснити хід еволюції, її вершини, тупики, передбачитиневідомі зараз гілки, теоретично можливі і дійсні числатипів, класів, родин ... організмів. І взагалі треба проаналізувати питанняпро те, чи не можна еволюцію матерії в цілому і всередині окремих її формпредставити як групові перетворення, знайти їх інваріанти і на основіостанніх визначити всі можливі варіанти еволюції в ціле і в деталях,передбачити можливі її гілки - число, характер і т.д. Таким чином,розвинений тут підхід дає можливість поставити питання про неєдинимтієї картини розвитку, яку ми знаємо.

Література

Желудев І.С. симетрія і її застосування. -М.: Энергоатомиздат, 1983р.

Компанеец А.С. Симетрія у мікро-і макросвіті. -М.: НАУКА, 1978р., 206с.

Підоу Ден. Геометрія і мистецтво М.: Мир, 1979р.

Сонин А.С. Осягнення досконалості: симетрія, асиметрія, діссімметрія,антісімметрія. -М.: ЗНАННЯ, 1987р., 208с.

Трофимов В. Введення в геометричному різноманітті з симетрії М.: МГУ
1989р

Урманцев Ю.А. Симетрія природи і природа симетрії. -М.: ДУМКА, 1974р.,
232с.

Шубніков А.В. Вибрані праці з кристалографії. -М.: НАУКА, 1975р.