Статика
Статика-це розділ теор.мех., В якій вивчаються умови рівновагиматер.точек, тв.тел., мех.сістем, за умови дії на них з бокуінших тіл сил і моментів сил.
Сила-це векторна величина, а (як для будь-якої векторної вів-ни для силиважливим явл-ся точка прикладання, напрямок і величина сили.
[F] = 1H = 1 (кг (м)/с2. Р = mg-сила тяжіння.
Аксіоми статики:
1.Система 2х сил, рівних за величиною, протилежно спрямованих і лежачихна одній прямій еквівалентна 0. (F1, F2) (0 - це означає, що силиврівноважені.
Наслідок: Якщо тіло під дією 2х сил знаходиться в рівновазі, тообов'язково ці сили = за величиною, протилежні за напрямком і лежатьна одній прямій.
2.Якщо до системи сил додати або відняти систему сил еквівалентних нулю, тостан системи не зміниться.
Наслідок: сила-вектор ковзний. F1 = F2 = F2 '= 0, (F1,) ((F1 = F2' = F2) ((F2 '),
(F1; F2) (0.
3.Связі, накладені на тіло можна відкинути, замінивши їх дії реакціями.
Основні види зв'язку та їх реакції.
Абсолютно гладка поверхня.
Реакція абсолютно гладкої поверхні спрямована по загальній нормалі достикаються поверхнях.
Реакція в рухомому шарнірі спрямована (до напрямку його можливогопереміщення.
Жорсткість закладення не дає рушити ні по х, ні за у, ні повернути.
4.Сіли складаються за правилом паралелограма.
Наслідок: теорема косинусів.
5.Любое дія викликає рівна і протилежна за напрямомпротидія (III Ньютона).
6.Прінцип твердіння. Рівновага тіла від накладення на нього додатковихзв'язків.
Деякі поняття статики.
Рівнодіюча систем сил ми будемо називати силу, дія якоїеквівалентно дії системи сил.
R * ((F1; F2; F3; ...; Fn) тоді ми можемо сказати, що система сил виду
((F1; F2; F3; ...; Fn-R *) еквівалентна нулю. Така система сил наз-сяврівноваженою або рівноважної.
Алгебраїчний момент сили відносно точки. Алг.моментом сили отн-ноточки будемо називати твір сили на плече, взяте зі знаком + або -.
Плече-це найкоротша відстань від моментної точки до лінії дії сили,вимірюване перпендикуляром.
М (F) = (Fh. + беремо в тому випадку, якщо сила обертає тіло проти годинниковоїстрілки, - за годинниковою стрілкою.
Алгебраїчний момент сили відносно точки = 0, якщо лінія дії силипроходить через точку. М (F) = (Fh = 2S (OAB
Векторний момент сили відносно точки-наз-ся векторне твір rна F.
М (F) = [r (F].
Векторн.момент направлений (площини, в якій лежать вектора r і F в тусторону, що з кінця цього вектора обертання, яке виробляється силою здаєтьсявидно проти годинникової стрілки.
Чисельно векторний момент дорівнює (М0 (F) (= (F (((r ((sin (r; F); (М0 (F) (= (F ((h = 2S (OAB.
Момент-вектор вільний, тобто можна переносити паралельно самому собі.
Сходяться сили-такі сили, лінія дії яких перетинаються в однійточці (їх завжди можна скласти і отримати рівнодіюча силу що сходятьсясил). R *= (Fk.
Для того, щоб система сход.сіл перебувала в рановесіі необхідно ідостатньо, щоб R *= 0 (геометричне умова рівноваги сход.сіл).
(Fkх = 0 - аналітичне умова рівноваги системи сходяться сил.
(Fkу = 0
(Fkz = 0
Проекція сили на вісь. За визначенням проекція сили на вісь - це єскалярна алгебраїчна вів-на що визначається за ф-ле: Fx = Fcos (, де (-кутміж напрямком сили та віссю.
Для рівноваги системи сход.сіл на площині необхідно і достатньо 2 ур -я: (Fkх = 0; (Fkу = 0 якщо всі сили з площині хоу: F1, F2, ..., Fn, (хоу.
Теорема про ті сили. Якщо тіло під дією 3-х сил перебуває врівновазі, причому лінії дії двох з них перетинаються, то лініядії 3-й сили пройде через точку перетину перших двох сил і всесили лежать в одній площині.
(F1; F2; F3) ((R, F3) (0
Теорема про n силах. Якщо тіло знаходиться в рівновазі під дією n сил,причому n-1 з них перетинаються в одній точці, то Ліна дії n-ої силиобов'язково пройде через точку перетину n-1 сили.
Момент сили отн-но осі. Моментом сили отн-но осі наз-ся алгебраїчниймомент проекції сили на пл-ть, (осі відносно точки перетину осі зпл-тьма.
Мz (F) = (F 'h = (2S (OA'B'
Момент сили відносно осі = 0, якщо сила ((осі або лінія дії силиперетинає вісь. Момент сили відносно осі = 0, якщо сила і ось в однійплощині.
Мz (F) = (М0 (F) (cos (
Момент сили отн-но осі - це є проекція вектора моменту сили отн-нобудь-якої точки осі на цю вісь.
S (OA'B '= S (OAB cos (.
Твір площі проецір.фігури на cos кута між фігурою і віссю одноплощі проекції фігури.
1/2 Мz (F) = 1/2 (М0 (F) (cos ((Мz (F) = (М0 (F) (cos (= (М01 (F) (cos (1
М0 (F) = [r (F] = ijkxyz

Fx Fy Fz = (yFz - zFy) i + (zFx-xFz) j + (xFy-yFx) k
Мx (F) = yFz - zFy; My (F) = zFx-xFz; Mz = xFy-yFx.
Мz (F) = (F 'h = (2S (OA'B'
Пара сил.
Парою сил наз-ся 2 сили рівні за вів-ні, протилежно спрямовані і нещо лежать на одній прямій.
F1 = F1 '= F, d-плече пари. Пара сил еквівалентна моменту. Момент пари сил (--ий площині пари направлений в той бік, що з кінця цього вектораобертання, вироблене парою здається видним проти годинникової стрілки.
Чисельно вектор момент дорівнює добутку сил на плече. пари.
(М1 (F1, F1 ') (= Fd = S (OABC. ММО (F1) = [r1 F1]; ММО (F1') = [r2 F1 '] = ММО (F1') +
ММО (F1) = [r1 F1] + [r2 F1] = [(r1-r2) F1] = [BO F1]; М1 (F1, F1 ') = [BO F1].
Пара сил не має рівнодіюча, але вона еквівалентна моменту.
Момент пари сил дорівнює векторному моменту однієї сили пари щодо будь-якоїточки, що лежить на лінії дії іншої сили пари.
Отонсітельно будь-якої точки сума моменту пари дорівнює моменту пари.
Очевидно, що оскільки момент пари сил визначається вектором моментом, то
2 пари сил ми будемо називати еквівалентними якщо у них однакові векторимоменти. Звідси випливає, що пару сил в площині дії пари можнаповертати як завгодно, змінювати відстань між силами, зберігаючи при цьомувеличину вектора моменту, залишаючись при цьому в площині дії пари. Всіце еквівалентні перетворення пар сил.
Пару сил можна переносити паралельно самій собі, при цьому еквівалентніпари сил будуть зберігатися.
Якщо на тіло діє пара сил і тіло знаходиться в рівновазі, то умоварівноваги під дією пари сил має вигляд: (М (Fк, Fк ') = 0.
Дві пари сил можна скласти, при цьому векторний момент пари сил еквівалентнідвом складаємо парам, що дорівнює сумі моментів пари сил. М = М1 + М2.
(МХ (Fк, Fк ') = 0
(Му (Fк, Fк ') = 0
(Мz (Fк, Fк ') = 0-аналітичні умови рівноваги для пар сил.
Приведення системи сил до заданого центру.
Допоміжні теореми:
При перенесенні сили в заданий центр виникає момент, що дорівнює векторномумоменту сили щодо заданого центру.
F = F1 = F1 '
(F1; F1 ') = Mo (F),
(F) ((F; F1; F1 ') ((Lo; F1)
Основна теорема статики (теор. Пуансо):
При приведення системи сил до заданому центру виникає головний вектор Rрівний сумі всіх сил і головний момент Мо, який дорівнює сумі моментів усіх силщодо центру приведення.
R = (Fk
Lo = (Mo (Fk)
Умови рівноваги для довільної простр.сістеми сил, а також слідстваз цих рівнянь.
R = 0 і Lo = 0-ур-я рівноваги. Їм соотв-ють 6 скалярних алгебраїчних ур-1рівноваги для простр.сістеми сил:
(Fkх = 0 (Fkу = 0 (Fkz = 0 (МХ (Fk) = 0 (Му (Fk) = 0 (Мz (Fk) = 0 - аналітичнеумова рівноваги для довільної системи сил.
Нехай всі сили (пл-ти хоу, тоді: (Fkх = 0 (Fkу = 0 (Мо (Fk) = 0 умоварівноваги для довільної плоскої системи сил.
Умова рівноваги для плоскої системи паралельних сил.
Пустьсіли ((осі оу, тоді (Fkх = 0 (Мо (Fk) = 0
Умова рівноваги для просторової системи паралельних сил.
F1, F2, F3, ..., Fn ((осі оz, тоді: (Fkz = 0 (МХ (Fk) = 0 (Му (Fk) = 0

Друга форма умови рівноваги для пороізвольной плоскої системи сил :

(МА (Fk) = 0 (МВ (Fk) = 0 (МС (Fk) = 0 - причому Т.А, т, В, Т.С (одній прямій.
- Доведемо необхідність цих умов:
Припустимо, система сил нах-ся в рівновазі. Тоді очевидно, що (моментіввсіх сил щодо будь-якої точки пл-ти = 0, тобто виконуються ці 3 умови.
- Доведемо достатність цих умов:
Довести достоточность - це значить довести, що при виконанні цих усл-йсистема нах-ся в рівновазі. Доводити будемо методом від протилежного,тому припустимо, що ці усл-а виконуються, але система не нах-ся врівновазі, тобто існує R * (0 еквів.данной сіст.сіл.
Розглянемо усл-е перших і 2-е: для того, щоб вони виконувалися необхідно,щоб R * проходив через Т.А і Т.В. Згідно з третім умові hR = 0.
Оскільки Т.С (прямої АВ це може виконуватися тільки у разі R *= 0, тобтонаше припущення не вірно і система дійсно нах-ся в рівновазі.
Третя форма усл-я рівноваги для довільної плоскої системи сил.
(Fkz = 0 (МА (Fk) = 0 (МВ (Fk) = 0 - причому ось ох не перпендикулярна АВ.
- Необхідність цього усл-я очевидна, т.к.еслі система нах-ся в рівновазі,то головний вектор і головний момент = 0 щодо будь-якої точки.
- Доведемо достатність цих умов:
Припустимо, що система не нах-ся в рівновазі і сущ-і, тобто сущ-і R * і
R * (0 є рівнодіюча даної системи сил. Для того, щобвиконувалося усл-е 2 і 3 необхідно, щоб R * проходив через АВ.
Вимагатимемо виконання усл-я R * cos (= 0, оскільки х не перпендикулярна АВ, то
R * повинне бути дорівнює 0, т.ч. ми довели, що ці усл-я достатні для тогощоб система перебувала в рівновазі.
На підставі двох викладених форм ур-й рівноваги для плоскої системипаралельних сил можна записати ще один вид ур-я рівноваги для плоскоїсистеми паралельних сил:
(МА (Fk) = 0 (МВ (Fk) = 0, АВ не паралельна F1, F2, F3, ..., Fn
Теорема Варіньона:
Момент рівнодіюча отн-но кокой-якої точки дорівнює сумі моментів,складають дану равнод.сіл відносить-но того ж центру.
(F1, F2, ..., Fn) (R *, (F1, F2, ..., Fn,-R *) (0, (Мо (Fk) = Мо (R *)
Проізволь.плоская система сил. Окремий випадок приведення проізволь.плоскойсіст.сіл.
Плоск.сіст.сіл хар-ся тим, що гл.вектор і гл.момент перпендикулярнідр.другу: Lo (R.
Окремі випадки:
1.Гл.момент Lo = 0; R (0 - в цьому випадку система сил приводиться дорівнодіюча, причому R *= R. Якщо центр приведення лежить на лініїдії сили R, то ситуація не зміниться і сіст.сіл знову буде наводитьсядо рівнодіюча.
2.Пусть Lo (0; R (0. Покажемо, що в цьому випадку сіст.сіл можна привести дорівнодіюча.
R = R1 = R1 '; [Lo] ((R1; R1'); (R1; R1 ') (0; причому повернемо цю пару сил так,щоб R і R1 лежали на одній прямій, тоді бачимо, що сіст.сіл (R1; R1 ') (0
(R; Lo) ((R = R1 = R1 ') ((R1'). D = Lo/R.
3.Пусть R = 0, Lo (0. У цьому випадку система сил приводиться до пари. Причому позазалежно від вцибора центру приведення система сил буде приводиться дооднієї і тієї ж пари сил з моментом Lo. Т.к.главний вектор не залежить відвибору центру приведення.
Статично визначених та стат.неопределімие завдання.
Завдання наз-ся стат.определімимі і соответств.етой задачі мех.сістема наз-сястат.определімой, якщо число неізвесних реакцій зв'язку не перевищує числа ур -й статики, які можна скласти для вирішення цього завдання.
Завдання наз-ся стат.неопределімимі, якщо число невідомих реакцій зв'язківперевищує число ур-й статики. У теор.механіке розглянути-ся і вирішуються тількистатично визначених завдання.
Ужно замінити нерухомий шарнір на рухливий.
Складові конструкції.
1.ХА-F1cos (+ XC = 0
2.-XC '+ F2 + XB = 0
ХА-F1cos (+ F2 + XB = 0
Rc = RC '; MC = MC'
У РГР: після складання 6 ур-й рівноваги перевірити правильність знайденихреакцій зв'язку за допомогою ур-а, яке не брало участі в рішенні.

Розподілена навантаження

Q = [н/м], l = [м]. Q = (qdx = q (dx = ql
Q (x) = (q/l) x, Q = (q (x) dx = (q/l) (xdx = (q/l) (x2/2) (= (ql)/2.dQ = q (x) dx, [(ql)/2] b = (q (x) xdx = (q/l) (x2dx = (q/l) (x3/3) (= (ql)/3.
[(ql)/2] b = (ql)/3 (b = (2/3) l.
Висновок: у загальному випадку вів-на зосередженої сили дорівнює площірозподіленої на осі і вона прикладена в центрі ваги. (Все це стосуєтьсярозподіленого навантаження параллельн.между собою силам).
Сила тертя ковзання. Закони Кулона для Fтр.ск.:
1) Сила тертя ковзання лежить в інтервалі 0 (Fтр (Fмах;
2) Сила тертя ковзання не залежить від площі дотичних тіл, азалежить лише від сили тиску цього тіла на поверхню
3) Сила тр.скольженія опр-ся за ф-ле: Fтр = fN, N-сила реакції опори = Р, f -коеф-т тертя ковзання
4) Коеф-т тертя ковзання завіс.от шорсткостей пов-тей тертьових тіл, відтемператури, від фізіч.состоянія матеріалу.
Момент тертя кочення.
N = P.
Мтр.кач .= (N, (-коеф.тренія кочення
У динамічних ур-ях сила тертя скольженіч і момент тертя кочення входятьв праві частини ур-я. Правило зі знаком -.
Конус тертя.
Кут (утворюється між силою R і N, причому сила R-це рівнодіючасили N і максимальної сили тертя.tg (= Fтр/N = f-коеф.тренія
Конус, побудований на силі R з кутом (наз-ся конусом тертя.
Якщо сила RА виявляється всередині конуса, то тіло нах-ся в рівновазі.
Т.ч. якщо якась активна сила нах-ся всередині конуса і лежить на йогоутворює, то тоді тіло нахся в рівновазі. Якщо сила RА нах-ся позаконуса тертя, то тоді тіло нге може знаходиться в рівновазі.
Взаємодія тертя кочення і тертя ковзання.
Тіло нах-ся в рівновазі:
(Р = Мтр.кач .= rQ,fP = Fтр = Q
Якщо Q (((/ r) P (1), (2) то теж тіло нах-ся в рівновазі
1) Q (((/ r) P, (/ r (f тіло нах-ся в рівновазі
2) Q (((/ r) P, Q (fP в цьому випадку відбувається кочення, але без ковзання
3) Q (((/ r) P, Q (fP в цьому випадку відбувається кочення з ковзанням
4) Q (((/ r) P, Q (fP чисте ковзання
Оскільки в основному виконується умова 1, то кочення настає швидше,ніж ковзання і тому підшипники набагато ефективніше, ніж ковзніпристосування.
Аналогічно моменту тертя кочення можна ввести момент тертя вертіння, Коеф -т тертя вертіння менше, ніж коея-т тертя кочення.

Довільна простр.сістема сил Окремий випадок приведення довільноїпростр.сістеми сил. Інваріантна система сил.

Уявімо собі, що ми привели систему до будь-якого центру 0, щостанеться з сіст.сіл, якщо змінити центр приведення на якийсь новий центр
О1.
Lo-ВЕКТА вільний
(R'', R ') (0
R = R '= R''
MO1 = [O1O (R]
LO1 = LO + [O1O (R] = LO-[O1O (R ']
При зміні центру приведення головний вектор зберігається, а гл.моментзмінюється на вів-ну моменту сили отн-но нового центру приведення.
Інваріантом приз-сятакая вів-на, кот-я не змінюється при зміні центруприведення.
Т.ч. ми виявили 1-й інваріант-це головний вектор.
(LO1 (R) = ((LO + [O1O (R]) R)
(LO1 (R) = (LO (R) + ([O1O (R] R)
(LO1 (R) = (LO (R)
LO1 (cos (1 = LO (cos (-цей запис другого інваріанта в др.форме: Проекціяголовного моменту на напрямок головного вектора величина незмінна.
L1xRx + L1yRy + L1zRz = LxRx + LyRy + LzRz
Окремий випадок приведення довільної плоскої системи сил.
1) Приведення системи сил до пари сил
У цьому випадку LO (0, R = 0. При зміні центру приведення головний момент незмінюється.
2) Система сил приводиться до рівнодіючаа) R *= R; LO = 0
Щодо будь-якої точки, що лежить на лінії дії рівнодіючасистема сил завжди буде приводиться до рівнодіюча R, але отн-но будь -або др.центра приведення сіст.сіл вже не буде приводиться дорівнодіюча.
Б) LO (0 R (0, LO (R.
Покажемо, що в цьому випадку сіст.сіл приводиться до рівнодіюча.
R = R '= R *
(R, LO) ((R = R '= R *) ((R *)
LO = Rd
(R, R ') (0
У цьому випадку сіст.пріводітся до рівнодіюча, кот.лежіт на відстані dвід лінії дей-я сили R, визначене за ф-ле: d = Lo/R
3) Система сил приводиться до Динамо. Це коли гл.вектор і гл.момент лежать наодній прямій.
Випадок, коли сіст.сіл приводиться до Динамо
LO (0 R (0, причому LO ні (R.
LO1 = LOcos (;
LO2 = LOsin (; d = LO2/R
Рівняння динамічної осі.
LО1x/Rx = LО1y/Ry = LО1z/Rz-ур-е прямий у простанств.сіст.коордінат
LО1 = LО + [O1O (R]
LО1 = LО + [OO1 (R ']
[LОx + (y Rz-z Rx]/Rx = [LОy + (z Rx-x Rz]/Ry = [LОz + (x Ry-y Rx]/Rz
-Рівняння динамічної лінії (ур-е прямої на якій виконується динамо)
[LОx + (y Rz-z Ry]/Rx = [LОy + (-x Rz + z Rx]/Ry = [LОz + (x Ry-y Rx]/Rzi j kx y z
Rx Ry Rz
[LОx - (y Rz '-z Ry']/Rx = [LОy - (z Rx '-x Rz']/Ry = [LОz - (x Ry '-y Rx']/Rz

рівнодіюча 2-х паралельних сил, направл-х в один бік

R *= F1 + F2
F1/F2 = а/в, F1 (а = F2 (в
МR * (F1) =- МR * (F2); LO-гл.момент
При пірведеніі сіст.сіл до будь-якого центру у нас з'являється гл.вектор =сумі всіх сил і гл.момент = сумі моментів усіх сил отн-но того ж центру.
Тому рівнодіюча 2-х паралельних сил, напр-х в один бік
(лежить) і проходить між цими силами, на вів-не дорівнює сумі цих сил іприкладена в точці, яка ділить відстань між цими силами на частининазад пропорційні силам.
Рівнодіюча 2-х параллельнихсіл, напр-х в різні боки
F2 (F1, R *= F2-F1, F1/F2 = а/в, F1/а = F2/в = (F2-F)/в-а, F1 (в = F2 (а, Мс
(F2) = Мс (F1);
Равнод-а 2-х парал-х сил, напр-х в різні боки, лежить за лінією діїбільшої сили, дорівнює по модулю різниці двох цих сил і прикладена в точці,яка ділить відстань між цими силами на частини, назадпропорційні силам зовнішнім образом.
Дуже важливо, що сили не рівні між собою.
Центр паралельних сил.
Т.С-центр парал-х сил.
R *= l (Fi,
На підставі теореми Варіньона запишемо: момент рівнодіючаотносіт.какого-небудь центру дорівнює сумі моментів усіх сил относіт.того жцентру
Мо (R *) = (Мо Fк,
[rc (R *] = ([rк (Fк]
[rc (((Fi) l] - ([rк (Fкl] = 0
[((Firc - (Fkrk) (l] = 0
Оскільки вектор l відмінний від 0, то з цього співвідношення випливає, оскількивектор l вибирають довільно, то rc (Fк-(Fkrk = 0 (rc = ((Fkrk)/(Fк формулазнаходження центру тяжіння.

Знаходження центрів тяжіння

rc = ((Рkrk)/(Рк-ф-ла нах-я ц.т.
Р1 = m1g; Pk = mkg; Pn = mng.rc = ((mkrk)/M-ф-ла н?? х-я ц.т.
M = (mkxc = ((mkxk)/M; yc = ((mkyk)/M; zc = ((mkzk)/M
Для суцільного однорідного тіла маємо след.ф-лу для нах-я центру мас.xc = ((х dV)/V; yc = ((у dV)/V; zc = ((z dV)/V; V = (dV
Для тіл, маса кіт-х розподілена по пов-ти невеликої товщини маємо слід-еф-ли:xc = ((х ds)/S; yc = ((у ds)/S; zc = ((z ds)/S; S = (ds
Для тіл, маса кіт-х розподілена по довжині (типу дроту):xc = ((х dl)/L; yc = ((у dl)/L; zc = ((z dl)/L; L = (dl

Властивості центрів мас

Якщо тіло має вісь симетрії, площина симетрії, то центр масобов'язково розташовується на них.
Метод негативних мас.
S1-вся площа
S2-площа вирізу
З-центр мас тіла без вирізу майдані S2xc = [(S1-S2) xc * + S2xc2]/S1xc *= (xc S1-xc2 S2)/(S1-S2)c *- центр мас тіла з вирізом
З цієї ф-ли випливає, що якщо треба опр-ть центр мас тіла, у кот-х євиріз, то треба вважати, що в вирізі зосереджена негативна маса.
Цент тяжкості деяких найпростіших тел.
Розбиття на (
ВД-медіана
ВС */С * Д = 2/1
Центр ваги в точці перетину медіан.
Центр ваги дуги.
Ус = 0, хс = (хdl/L
L = 2 (rх = rcos (; dl = rd (;хc = (1/2 (r) (r2cos (d (= (r/2 () sin ((= (r/2 () 2sin (= (r sin ()/(;

Ц . т.кругового сектору

хс = (2/3) (r sin ()/();

Ц.т.кругового сегмента

хс = [S2xc2 - S1xc1]/(S2 - S1)
S2 = (r2
S1 = (1/2) r2 sin 2 (
2 (- (r2, 2 (- x, x = (2 (/ 2 () (r2,xc ={[(( r2) (2/3) r (sin (/()]-[( 1/2) r2 sin 2 (] [(2/3) rcos (])/[((r2) --
[(1/2) r2 sin 2 (]
= (2/3) r [sin3 (/ (2 (- sin2 (]

Кінематика

Це розділ механіки, в якому вивчається рух матеріальної точки,твердих тіл, механічних систем, без урахування сил, що викликають це рух

Кінематика

Сущ-ет 3 способи завдання дв-а точки: векторний, координатні, природний.

При векторному способі завдання точки відкладаються вектори з однієї точки.
Здається r, як ф-ція від часу r = r (t)
Крива, яку викреслює кінець вектора, відкладений з однієї спільної точкиназ-ся гадографом.
Гадограф радіуса вектора точки - це траєкторія точки.
V = lim ((r/(t) = dr/dt-швидкість
Звідси висновок-швидкість направлена по дотичній до траєкторії точки.
W = lim ((v/(t) = dv/dt - прискорення
При коорд.способе завдання точки беремо коорд.сетку: осі x, y, zx = f1 (t)y = f2 (t)z = f3 (t)
Vx = x = d f1/(t Wx = x =
Vy = y = d f2/(t Wy = y =
Vz = z = d f3/(t Wz = z =
V = (Vx2 + Vy2 + Vz2
W = (Wx2 + Wy2 + Wz2cos (V, x) = Vx/Vcos (V, y) = Vy/Vcos (V, z) = Vz/V
Природний спосіб завдання дв-а точки.
При естеств.способе завдання дв-а точки д.б.задано: 1) траєкторія дв-а точки,
2) початок відліку на траєкторії, 3) позитивне і негативне напрямоквідліку, 4) дугова абсциса д.б.задана як ф-ція від часу S = f (t)
Введемо одиничний орт дотичний (. Вектор (спрямований у бікзростання дугового абсциси, модуль (((= 1
Вектор швидкості V опр-ся: V = s (.
Якщо s> 0, то швидкість направлена у бік зростання дугового абсциси повектору (, а якщо s0 і протилежно вектору (якщо s0, і воно завжди направленовсередину області кривої в кожній її точці.
Якщо точка рухається по прямій, то норм.ускореніе точки = 0.
Нехай точка рухається по колу з пост.по величиною швидкістю, чому одноприскорення точки?
V = const
W (= dv/dt = 0
Wn = v2/R
Будь-яку криву можна представляти у вигляді сукупності дуг різного радіусу.
Зв'язок між естеств.і коорд.способамі завдання дв-а.
Ds = (x2 + y2 + z2 dt
S = ((x2 + y2 + z2 dt
W (= dv/dt = d ((x2 + y2 + z2)/dt = [VxWx + VyWy + VzWz]/V /x = f1 (t)y = f2 (t)z = f3 (t)t = (1 (x)-ціліндр.пов-ть образ.параллель.осі уy = f2 ((1 (x)) - ціліндр.пов-ть образ.кот параллель.осі z.z = f3 ((1 (x))

Окремий випадок дв-а точки

1.Равномерное дв-еv = const, S = So + vt
2.равноускоренное дв-е
W (= const, V = Vo + W (t, S = Vot + W ((t2/2)
V2-Vo2 = 2 W (SdV/dt = W (,
(dV = (W (dt, V-Vo = W (t

Кінематика твердого тіла

У теор.механіке рассм.только тверд.тела
Абс.тв.тела-це такі тіла, раст.между будь-якими двома точками не змінюються завесь час руху

Поступальний дв-е твердого тіла

Поступательн.дв-му тв.тела наз-ся таке дв-е
Тіла, при кот.любая пряма, проведена в ньому залишається паралельною самійсобі за весь час дв-а (літак, що летить прямолінійно, дв-ті поршня вдвигуні автомоб., дв-е колеса огляду)
Теорема: При поступ.двіженіі тв.тела траєкторії дв-я всіх точок тілаконгруентний, а швидкість і прискорення рівні.rв = Rа + АВ
Оскільки це вип-ся в люб.момент часу, то виходить, що траєкторіяТ.В можна визначити зсувом вектора АВ в кожній точці з траєкторією Т.Авозм.проізв.по часу (АВ = const)drв/dt = drA/dt + d (AB)/dt
VB = VA. WB = WA.
Вращат.дв-е твердого тіла.
Вращат.наз-ся таке дв-е тв.тела, при кіт-м хоча б 2 точки тіла залишаютьсянерухомими за весь час обертання, через ці 2 точки проходить вісьобертання, всі інші точки рухаються по колах в площинахперпендік-х осі обертання.

Ферми

Починаємо шукати зусилля стрижнів, розглядаючи вузли.
Метод Ріттера (перевірка)
При знаходженні зусиль стрижнів плоскої ферми методом вифрезанія вузлівкорисно знати:
1) якщо в незавантаженому вузлі плоск.ферми сходяться 2 стрижня. Те зусилля вцих стрижнях = 0
2) якщо у незавантаженому вузлі плоск.ферми сходяться 3 стрижня, з кот-х 2расоложени на одній прямій, то зусилля в 3-му стержні = 0, а зусилля в перші 2 --х рівні між собою.
Вращат.дв-е-це таке дв-і, при кіт-м вісь залишається нерухомою, а всіін. тіла рухаються в площині перпендикулярно осі обертання.
Введемо кут повороту (-як кут між неподв.пл-ма і площиною,пов'язаної з тілом
[(] = рад
(= 2 (n
[N] - число оборотів
Кутова швидкість (= d (/ dt, [((]= рад/c = c-1
(= f (t)
Вектор угл.скорость (лежить на осі обертання і спрямований у бік, що зкінця цього вектора обертання здається видимим проти годинникової стрілки.
Кутове прискорення (опр-ся за ф-ле:
(= dW/dt = d2 (/ dt2, [(] = рад/c2 = c-2.
Вектор кутового прискорення (також лежить на осі обертання і спрямований повектору (, якщо обертання прискорено і протилежний йому, якщо обертаннясповільнено.
[n]-число обертів в хв .= об/хв, тоді (= (n/30/
Окремий випадок вращат.дв-я:
1) рівномірне обертання .. (= (t
2) равнопеременное обертання: (= const. (= (О t + (t2/2;
(= (о + (td (/ dt = (d (= (dt
(D (= ((dt
(- (о = ((dt
(2 - (О2 = 2 ((d (/ dt = (о + (t
(D (= ((оdt + ((tdt
(- (o = (о (dt + ((tdt
(- (o = (Оt + ((t2/2)
Визначення лінійної швидкості і лін.ускоренія при вращат.двіженіі твердоготіла
S = h (ds/dt = h (d (/ dt)
V = h (, dv/dt = h (d (/ dt)
W (= h (
Wn = v2/h = ((2h2)/h = (2h
Повне прискорення W = (Wn2 + W (2 = h ((2 + (2tg (= (W ((/ Wn =(((/( 2
Висновок: при вращ.дв-ії тв.тела лінійна швидкість дотична нормальної іповне прискорення пропорційні відстань точки від осі обертання.
Векторні ф-ли для опр-я швидкості і прискорення при вращат.двіженіі.v = [((r]-ф-ла Ейлераv = ((r (sin ((, r)v = ((h
W (=[(( r], W (= ((r (sin [((r] = h (,
Wn =[([(( r]] = [((v]
Wn = ((v (sin (((v) = ((v = (2h
Проізвод.от вектора пост.по модулю під скалярним аргументом
(в (= const = вDВ/dt, (ст) = В2, 2 [в (DВ/dt)] = 0 (DВ/dt (в.
(DВ/dt (= (DВ (/ dt = в (d (/ dt) = (в.DВ/dt = [(в]
Похідна від часу, причому (в (= const, дорівнює векторному добуткукутової швидкості обертання цього вектора на сам цей вектор.d?/dt = (d? ds)/(ds dt) = (d?/d?) (d?/dt)
(d?/d? (= 1d?/dt = (nd?/dt =[(?]

Теорема про проекціях швидкостей

При будь-якому русі твердого тіла проекція швидкостей 2-х точок цього тіла напряму їх з'єднують рівні.
VAcos? = VBcos?
Оскільки точки вибираємо довільно, то проекції швидкостей будь-якої точкипрямій на цю пряму рівні.rв = rA + ABrв-rA = AB
(rв-rA) 2 = (AB) 2 = R2 = const (l = | AB |)
2 (rв-rA) [(d rв/dt) - (d rA/dt)] = 0
(VB-VA) AB = 0, AB = VA AB
VBcos? AB = VAcos? AB
VBcos? = VAcos? -Зміст цієї теореми заключ.в те, що рассм.дв-еабсол.тв.тела, ми не можемо допустити, щоб Т.А ДОГАНЯЛА Т.В або щоб Т.Авідставала від Т.В.

Миттєвий центр прискорень

? = arctg (? /? 2)
WQ = 0
WA? =? AQ, WAn =? 2 AQ,
WA =? (WA?) 2 + (WAn) 2 = AQ?? 2 +? 2tg? = WA?/WAn =? /? 2
Окремий випадок:
1)? = 0, тоді? = 0
2)? = 0, тоді? =?/2 (дв-і миттєво поступальний)
Складне дв-ті точки.
Складним наз-ся токое дв-ті точки, при якому сущ-і відносне дв-еточки (це дв-е отн-но рухомий сіст.коордінат) і переносний рух (цедв-ті точки в момент у рухомий сіст.коор-т отн-но нерухомою). Причому впринципі подв.сіст.коор-т м.б.одно, а переносних багато.
Визначення швидкості точки в складному русі.
? м =? о + r

Ф-ла Бура Похідна від вектора относіт.неподвіжной сіст.коордінат

r = xi + yj + zkdr/dt = (dx/dt)/i + (dy/dt) j + (dz/dt) k + x (di/dt) + y (dj/dt) + z (dk/dt)di/dt = [? i], dj/dt = [? j], dk/dt = [? k],dr/dt = ґdr/dt + [? r], де ґdr/dt = (dx/dt)/i + (dy/dt) j + (dz/dt) kпричому dr/dt це приватна локальна похідна або похідна від вектора rотн-но подвіж.сістеми координат.
Ф-ла Бура: похідна від вектора отн-но неподв.сістеми координує т, яказмінюється отн-но рухомої системи координує т складається з приватної
(локальної) похідної плюс векторне твір кутової швидкостіобертання рухомий сіст.коор-т на цей вектор.
Окремий випадок ф-ли Бура: 1) Якщо? = 0 (подв.сіст.коор-т движ-сяпоступально), то повна похідна = приватної, тобто dr/dt = ґdr/dt,
2) Якщо вектор r не змінюється щодо рухомий сіст.коорд., Тобтоґdr/dt = 0, то тоді dr/dt = [? r] (проізвод.от вектора пост.по Н)
3) Нехай повна проізв.от r за часом = 0, тобто dr/dt = 0, тоді 'dr/dt +
[? r] = 0,ґdr/dt + [? r] = 0, ґdr/dt = - [? r]
Нехай r =?, Тоді отримаємо d?/Dt = ґd?/Dt =?
Похідна від вектора? за часом не залежить від того, щодо якоїсіст.ккор-т ми беремо.d? м/dt = d? o/dt + dr/dt/
VM = VO + [? R] + ґdr/dt
VM = VL + Vr
VL-переносна швидкість (скор.точкі в морож.в неподв.сіст.коор-т отн-норухомий)
Vr-відносна швидкість (скор.точкт отн-но неподв.сіст.коор-т)
Абсолютна швидкість точки при складному русі складається з векторноїсуми переносний і відносній швидкостей
Опр-і прискорення точки в складному русі
VM = VO + [? R] + Vr
WM = d VM/dt = (d VO/dt) + [? R] + [? (Dr/dt)] + d Vr/dtdr/dt = [? r] + Vr
WM = Wo + [? R] + [? [? R]] + [? Vr] + [? Vr] + Wrd Vr/dt = [? Vr] + Wr
Wk = 2 [? Vr]
WM = WL + Wr + WK - кінематична теорема Каріоліса
Абсолютне прискорення точки-це є сума переносного прискорення,відносного прискорення і прискорення Каріоліса
Переносний прискорення хар-і зрад-е переносний швидкості в переносномурусі.
Відносне прискорення хар-ет изм-е щодо швидкості ввідносному русі. Прискорення Каріоліса хар-ет изм-е відносноїшвидкості в переносному русі
Прискорення Каріоліса.
Згідно з правилом векторного добутку, вектор прискорення Каріоліса + пл -ти, в кот-й лежать вектора? і Vr і направлена в той бік, що з кінцяцього вектора найкоротший поєднання першого вектора до другого? до Vrздається видним проти ходу годинникової стрілки.

Методи знаходження миттєвих центрів швидкостей

Суть (классіч.метод закл-ся у слід.): Миттєвий центр швидкостей нах-ся наперетині перпендикулярів до швидкостями в 2-х точках тіла.
? = VА/АР = V ст/ВР = VС/СР
Якщо швидкості 2-х точок | |-ни не рівні др.другу, а пряма їх з'єднує (--ну, то тоді:
? = VА/АР = V ст/ВР = VС/СР
Нехай швидкості | |-ни, направлені в різні боки, а пряма їх з'єднуєїм (-на.
? = VА/АР = V ст/ВР
Нехай швидкості 2-х точок тіла | |-ни, спрямовані в один бік, а прямаїх з'єднує ні (-ну, то маємо: (в цьому випадку миттєвий центр швидкостейнах-ся в нескінченності,? = 0, тіло здійснює миттєво поступальнийрух) VА = V ст = VС = ...
Прикладом явл-ся кривошипно-шатунний механізм. ? АВ = 0
Спосіб знаходження визна-я мгн.скоростей з механіч.соображеній
? колеса = Ще/ДР = V ст/ВР = VА/АР
Оскільки мгн.центр швидкостей-це поняття геометричне, то можевиявитися, що він нах-ся поза межами тіла.
Визначення прискорення при плоскопараллельном руху.
V ст = VА + [? АВ]DVВ/dt = dVА/dt + [? АВ] + [? (d АВ/dt)]
WВ = WА + WВА (+ WВАn
WВАn =[?[? AB]] = [? VBА]
WВА (=? AB; WВА (=? 2AB
При плоско параллельн.двіженіі прискорення будь-якої точки складається зприскорення полюса плюс дотична до нормальної складової при обертанніточки відносно полюса.
СФЕРИЧНИЙ дв-е тв.тела.
Сферичним наз-ся таке дв-е, за короткий це тіло має тільки однунерухому точку. Всі інші точки тіла розташовуються на сферах різногорадіусу. Н-р! Гороскоп.
Сферіч.тело має 3 ступеня свободи, n = 3N-k, де n-число ступенів свободи,
N-кількість точок, к-число зв'язків. n = 6-для вільного тв.тела
Для тіла, кот-е здійснює сферіч.дв-е досить 3 координує ти, оскільки вономає 3 ступені свободи.х1, y1, z1-неподв.сіст.коор-тх, y, z-подв.сіст.коор-ток-лінія вузлів-це пряма, по якій перетинаються площини х1оу1 і хоу
(-кут прецесії (між х1 і ок)
(-кут нутації (між z1 і z)
(-кут власного обертання (