Інтеграл, діфури, матриці

Інтегральне числення

Невизначений інтеграл

1. Поняття первісної

Означення: Функція F (x) називається первісною для ф-ії f (x) на проміжку І, якщо на цьому проміжку F `(x) = f (x) або dF (x) = f (x) dx.

Із означення виходить, що первісна F (x) -- диференційована, а значить Неперервна функція на проміжку І, і її вигляд суттєво залежить від проміжку, на якому вона розглядається.

Теорема про множину первісних

Якщо F (x) - первісна для функції f (х) на проміжку І, то:

F (x) + С - також первісна для f (x) на проміжку І;

будь-яка первісна Ф (х) для f (x) може біти представлена у вигляді Ф (х) = F (x) + С на проміжку І. (Тут С = const називається довільною сталою).

2. Невизначений інтеграл. Задача інтегрування

Означення: Операція знаходження первісних для ф-ії f (x) називається інтегруванням.

Завдання інтегрування функції на проміжку полягає в тому, щоб знайти всі первісні функції на цьому проміжку. Для розв'язання задачі інтегрування функції достатньо знайти одну будь-яку первісну на розглядуваному проміжку, наприклад F (x), тоді (за теоремою про множину первісних) F (x) + С - загальний вигляд всієї множини первісних на цьому проміжку.

Означення: Ф-ія F (x) + С, зо являє собою загальний вигляд всієї множини первісних для ф-ії f (x) на проміжку І і позначається

де f (x) -- підінтегральна ф-ія; f (x) dx - підінтегральній вираз; dx - диференціал змінної інтегрування.

Теорема Коші. Для існування невизначеного інтеграла для ф-ії f (x) на певному проміжку достатньо, щоб f (x) була неперервною на цьому проміжку.

Неінтегровні інтеграли - які неможливо записати через основні елементарні ф-ії.

3. Властивості невизначеного інтеграла

Властивості, що випливають із означення невізн. інт:

І. похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній ф-ії:

ІІ. Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу.

ІІІ.

Властивості, що відображають основні правила інтегрування:

IV. Сталий множник, що не дорівнює нулю, можна виносити з-під знака інтеграла.

V. Невізн. інтеграл від суми функцій дорівнює сумі невизначених інтегралів від цих функцій, якщо вони існують.

4. Інтегрування розкладом

Базується на 5-й властивості невизначеного інтеграла. Мета - розкласти підінтегральну ф-ію на такі доданкі, які простіше інтегрувати.

5. Інтегрування частинами

Теорема: Якщо функції u (x) та v (x) мають неперервні похідні, то:

На практиці ф-ії u (x) та v (x) рекомендується вибирати за таким правилом: при інтегруванні частинами підінтегральній вираз f (x) dx розбивають на два множник типу udv, тобто f (x) dx = udv; при цьому ф-ія u (x) вибирається такою, щоб при діференціюванні вона спрощувало, а за dv приймають залишок підінтегрального виразу, який мітить dx, інтеграл від якого відомий, або може бути просто знайдений.

Деякі типи інтегралів і їх заміни:

v (x):

де Р (х) -- многочлен, Q (x) - Алгебраїчна ф-ія.

6. Метод підстановкі

Мета -- перетворити інтеграл до такого вигляду, який простіше інтегрувати.

Теорема. Якщо f (x) - Неперервна, а x = j (t) має неперервно похідну, то:

Наслідок.

7. Метод безпосереднього інтегрування

У цьому методі використо. формула

варіанту заміни змінної, але саму змінну не записують (роблять усно) При цьому використовують операцію внесення ф-ії під знак діференціала.

Через це, якщо: , то:

Під знак діференціала можна вносити будь-який сталий доданок - значення диференціалу від цього не зміниться.

8. Інтегрування раціональних ф-ій

Означення: Відношення двох многочленів називається раціональним дробом.

Означення: Раціональний дріб правильний, якщо степінь многочлена в чисельник менший степеня многочлена в знаменнику, тобто na, то:

9) Якщо f (x) -- інтегровна та m