Матроідние Maps

A.V. Боровик, Департамент Математика, UMIST

1. Позначення

Ця стаття є продовженням робіт [1,2] і використовується з деякими змінами, їх термінології і позначень. Наскрізь папір W є групою Кокстера (можливо, нескінченну) і Р кінцевим стандартним параболічної підгрупі W. Ми визначити групи Кокстера W з Кокстера складні і відносяться до елементів З як камер для суміжних класів по відношенню до параболічної підгрупи, як залишки, і т.д. Ми будемо використовувати каліграфічного письма як позначення Кокстера Комплекс З і символів src = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255888385_Matroid_maps_1.gif" alt = "" для безлічі лівих суміжні класи параболічної підгрупі P. Ми будемо використовувати Брюа порядок на src = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255888386_Matroid_maps_2.jpg" alt = "" У свою геометричну інтерпретацію, а визначені в [2, теорема 5.7]. W-Брюа порядок на src = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255888385_Matroid_maps_1.gif" alt = "" позначається одним і тим же Символ src = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255888386_Matroid_maps_3.gif" alt = "" як W-Брюа порядок на . Позначення src = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255888386_Matroid_maps_4.gif" alt = "" , W має очевидний сенс .

Ми посилаємося на титьки [6] або Ronan [5] Визначення палати системах, галереї, геодезичні галереї, залишки, панелях, стінах, підлозі-комплексів. Короткий огляд цих концепцій може бути також знайти в [1,2].

2. Кокстера матроідов

Якщо W є кінцевою групи Кокстера, підмножина src = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255888386_Matroid_maps_5.gif" alt = "" називають матроідов Кокстера (для W і Р), якщо вона задовольняє максимально властивістю: для кожного набір src = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255888386_Matroid_maps_7.jpg" alt = "" містить унікальний W-максимальний елемент Це означає, що src = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255888387_Matroid_maps_8.gif" alt = "" для всіх . Якщо src = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255888387_Matroid_maps_10.gif" alt = "" є Кокстера матроідов ми будемо називати її елементів, як бази. Звичайні матроідов являють собою особливий випадок Кокстера матроідов для W = P Symn і стабілізатора в Вт безлічі [4]. Максимальна власності в цьому робити нічого, крім відомих оптимальних властивостей матроідов першим відкритий Гейл [3].

У випадку нескінченної групи ми Вт Треба трохи змінити це визначення. У цій ситуації основним поняттям що матроіда карті

М.І. Карта задовольняють матроідов Нерівність

зображення src = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255888388_Matroid_maps_14.jpg" alt = "" , очевидно, задовольняє максимально власності. Зверніть увагу, що даний набір src = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255888386_Matroid_maps_7.jpg" alt = "" з максимальною власності, ми можемо Вводиться карта установки буде дорівнює W-максимальний елемент . Очевидно, є матроідов карті. У нескінченних Групи Кокстера зображення src = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255888390_Matroid_maps_17.jpg" alt = "" матроіда карті, пов'язаних з набір src = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255888386_Matroid_maps_7.jpg" alt = "" задовольняють максимально власності Може трапитися, щоб бути власним підмножиною src = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255888387_Matroid_maps_10.gif" alt = "" (набір всіх `Extreme" або `кут 'палат src =" http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255888386_Matroid_maps_7.jpg "alt =" "; наприклад, прийняти за великого прямокутного блоку Камери в афінної ). Цього ніколи не станеться, однак, у кінцевих груп Кокстера, де src = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255888390_Matroid_maps_19.gif" alt = "" .

Таким чином, ми будемо називати підмножини src = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255888391_Matroid_maps_20.gif" alt = "" матроідов якщо src = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255888386_Matroid_maps_7.jpg" alt = "" задовольняє максимально власності і кожен елемент src = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255888386_Matroid_maps_7.jpg" alt = "" є W-максимальна в по відношенню до деяких . Після цього у нас є природні взаємно-однозначна відповідність між матроідов карт і матроідов множин.

Ми можемо присвоїти кожному Кокстера матроідов src = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255888386_Matroid_maps_7.jpg" alt = "" на З і С Кокстера матроідов для Вт та 1 (або W-матроідов). Теорема

1. [2, лема 5.15] карті

є матроідов карта, якщо і тільки якщо Карта

визначається також матроідов карті. Нагадаємо, що

src = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255888391_Matroid_maps_24.jpg" alt = "" позначає W-максимальний елемент в вирахування src = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255888390_Matroid_maps_16.jpg" alt = "" . Його існування, відповідно до припущення, що параболічна підгрупа P кінцеве, як показано в [2, лема 5,14].

У є матроідов карта, карта називають основною прапор матроідов карта і його зображення основні прапор матроідов для Кокстера матроідов src = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255888388_Matroid_maps_14.jpg" alt = "" . Якщо група W кінцевий, то кожної з палат х кожного вирахування src = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255888392_Matroid_maps_27.gif" alt = "" є W-максимальна в для W протилежної х палати і , як підмножина групи С, є просто Союзу лівих суміжних класів P, що належать до src = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255888387_Matroid_maps_10.gif" alt = "" .

3. Характеристика матроідов в карти

дві підмножини А і В у src = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255888386_Matroid_maps_2.jpg" alt = "" називають прилеглі, якщо є дві прилеглі камери src = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255888392_Matroid_maps_29.gif" alt = "" і , загальної групи А і Б час звані загальні групи А і В.

Лемма 1. Якщо А і В двох сусідніх опуклих підмножин src = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255888386_Matroid_maps_2.jpg" alt = "" то всі їх загальна панель належать до того ж .

ми говоримо в цій ситуації є спільні стіни і Б.

Для подальшого розвитку наших Теорія нам потрібні деякі структурні результати матроідов Кокстера.

Теорема 2. Карта є матроідов карта, якщо і тільки якщо наступні дві умови будуть виконані.

(1) Всі волокон src = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255888393_Matroid_maps_33.gif" alt = "" , < IMG SRC = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255888393_Matroid_maps_34.jpg" ALT = "" ширина = "63" висота = "14" />, опуклі підмножини .

(2) Якщо два волокна src = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255888393_Matroid_maps_33.gif" alt = "" < IMG SRC = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255888393_Matroid_maps_35.gif" ALT = "" ширина = "54" висота = "21" /> у прилеглих то їх зображення і B, симетрично по відношенню до стіни містить загальні панель src = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255888393_Matroid_maps_33.gif" alt = "" і і залишків А і В лежать на протилежної сторони стіни з безлічі , , відповідно.

Доказ. Якщо є матроідов карти, то задоволеність умовами (1) і (2) є основним результатом роботи [2].

Припустимо тепер, що відповідає умовам (1 ) і (2).

По-перше ми вводимо для будь-яких двох прилеглі брехуни src = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255888393_Matroid_maps_33.gif" alt = "" і картки , стіна , розділивши їх. Нехай безліч всіх стін .

Тепер візьмемо дві довільні відрахування src = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255888394_Matroid_maps_39.jpg" alt = "" і камери < IMG SRC = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255888394_Matroid_maps_40.gif" ALT = "" ширина = "85" висота = "21" /> і . Ми хочемо довести, src = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255888395_Matroid_maps_42.gif" alt = "" . Розглянемо

геодезична галерея

підключенні камери U і V. Нехай Тепер палата х рухається вздовж від і до V, то відповідний вирахування src = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255888395_Matroid_maps_45.jpg" alt = "" рухається від у . Оскільки геодезичні перетинає всі стіни не більше разів [5, лема 2.5], Палата х хрестів кожній стіні у не більше одного разу, і, якщо вона перетинає , він переміщається з однієї стороні U як в протилежну сторону. Але, умовами теореми, то це означає, що вирахування src = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255888395_Matroid_maps_45.jpg" alt = "" хрестами кожній стіні не більше ніж один раз і йде від сторона U до протилежної сторони містять u. Але, по геометричній інтерпретації порядок Брюа, це означає, [2, Теорема 5.7], що src = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255888395_Matroid_maps_45.jpg" alt = "" зменшується, у зв'язку з U-Брюа порядку, на кожен такий крок, і ми в кінцевому підсумку отримати

Список літератури

Боровик А.В., Гельфанд I.M. WP-Матроіди і тонкі клітини Шуберта на титьки систем// Advances Math. 1994. V.103. N.1. P.162-179.

Боровик А.В., Робертс К.С. Кокстера груп і матроідов, у групах типу Лі та геометрії, WM Кантор і L. Di Martino, ред. Cambridge University Press. Cambridge, 1995 (London Math. Soc. Lect. Notes Ser. V.207) С.13-34.

Гейл Д., Оптимальне завдань у впорядкована множина: застосування теорії матроідов// J. комбінаторної теорії. 1968. V.4. P.1073-1082.

Гельфанд I.M., Серганова В.В. Комбінаторні геометрії та страти тора на однорідних компактних многовидах// Російський мат. Surveys. 1987. V.42. С.133-168.

Ronan М. Лекції по будівлях -- Academic Press. Бостон. 1989.

титьки J. місцевого підходу до будівлі, в геометричній Vein (Кокстера Festschrift) Springer-Verlag, New A.o.-Йорк, 1981. P.317-322. Для

підготовки даної роботи були використані матеріали з сайту http://www.omsu.omskreg.ru/