Завдання дослідження
Провести дослідження внутрішньої збіжності чисельного інтегрування методом Сімпсона і трапецій різних функцій, що задаються за допомогою мови С.
Детальний опис завдання та способи її вирішення
Необхідно провести дослідження так званої внутрішньої збіжності чисельного інтегрування методами Сімсона і трапецій різних функцій, що задаються за допомогою функцій мови С. Передбачається, що відрізок інтегрування [a, b] розбито на n рівних частин системою точок (сіткою).
Контроль внутрішньої збіжності полягає в циклічному обчисленні наближених значень інтеграла для удваімого в порівнянні зі значенням на попередньому проходженні циклу числа n. Відносини абсолютної величини різниці цих значень до абсолютної величини попереднього наближеного значення приймається як критерій досягнення точності інтеграла.
Побудувати залежності кількості ітерацій від різних величин критерію точності.
Побудувати зворотні залежності критерію точноті від кількості ітерацій.
Повторити всі вищевказані дослідження для випадку, коли при обчисленні критерію точності різниця значень інтеграла відноситься не до попереднього значення, а до точного значення аналітично обчисленого інтеграла.
Дослідити вплив збільшення верхньої межі інтегрування на точність (за інших незмінних умовах)
Метод трапецій
, Де
Метод Сімпсона
, Де
Результати досліджень
Таблиця і графік залежності кількості ітерацій від різних значень критерію точності
Для
Критерій точності Кількість ітерацій
-0,1676631 14
-0,1518916 16
-0,0046931 12
-0,0026531 11
-0,0002639 10
-0,0001709 2
-0,0001297 9
-0,0000557 3
-0,000025 8
-0,0000198 4
-0,0000096 5
-0,0000038 6
0 15
0,0000052 7
0,071089 13
Критерій точності Кількість ітерацій
-0,1127271 16
-0,0750288 15
-0,0540677 14
-0,0021415 12
-0,0005711 11
-0,0000458 9
-0,0000381 2
-0,0000191 3
-0,000008 4
-0,000004 5
-0,0000019 7
-0,0000002 6
0,000005 8
0,0002983 10
0,0164377 13
Критерій точності Кількість ітерацій
-0,0066709 13
-0,0042367 14
-0,0003561 10
-0,0000016 5
-0,000001 4
0,0000005 3
0,0000006 6
0,0000009 2
0,0000009 7
0,0000223 8
0,000056 9
0,0002782 11
0,0003474 12
0,005293 16
0,0053267 15
Критерій точності Критерій точності
-61,4469795 12
-5,714047 3
-1,0215755 13
-0,7241433 2
-0,5121117 4
-0,3222643 11
-0,2163614 7
-0,1536629 9
-0,0930261 14
0,0353183 16
0,057059 15
0,1697371 5
0,2025534 10
0,2504728 6
0,6202592 8
Критерій точності Кількість ітерацій
-0,0119308 16
-0,0007834 13
-0,0000079 3
-0,0000041 4
-0,0000037 7
-0,0000027 5
-0,0000027 6
-0,000002 8
-0,0000016 2
0,0000003 10
0,0000062 9
0,0000385 11
0,0000802 12
0,0005452 15
0,0016689 14
Критерій точності Кількість ітерацій
-0,0026286 16
-0,0012416 14
-0,0000118 3
-0,0000107 4
-0,0000046 5
-0,0000046 9
-0,0000028 6
-0,0000021 7
-0,0000005 2
0,0000011 10
0,0000018 8
0,0000023 11
0,000058 12
0,0001049 13
0,0027928 15
Таблиця і графік залежності значень критерію точності від кількості ітерацій
Для функції
По відношенню до попереднього значення По відношенню до аналітичного значенням
Критерій точності Кількість ітерацій Критерій точності Кількість ітерацій
-0,0001709 2 -0,0001932 2
-0,0000557 3 -0,0000629 3
-0,0000198 4 -0,0000224 4
-0,0000096 5 -0,0000108 5
-0,0000038 6 -0,0000043 6
0,0000052 7 0,0000058 7
-0,000025 8 -0,0000283 8
-0,0001297 9 -0,0001466 9
-0,0002639 10 -0,0002983 10
-0,0026531 11 -0,002998 11
-0,0046931 12 -0,0052891 12
0,071089 13 0,0797403 13
-0,1676631 14 -0,2014365 14
0 15 0 15
-0,1518916 16 -0,1518916 16
Для функції
По відношенню до попереднього значення По відношенню до аналітичного значенням
Критерій точності Кількість ітерацій Критерій точності Кількість ітерацій
-0,0000381 2 -0,0000666 2
-0,0000191 3 -0,0000335 3
-0,000008 4 -0,0000141 4
-0,000004 5 -0,0000069 5
-0,0000002 6 -0,0000004 6
-0,0000019 7 -0,0000033 7
0,000005 8 0,0000088 8
-0,0000458 9 -0,0000802 9
0,0002983 10 0,000522 10
-0,0005711 11 -0,0009997 11
-0,0021415 12 -0,0037465 12
0,0164377 13 0,0286955 13
-0,0540677 14 -0,0959378 14
-0,0750288 15 -0,1259331 15
-0,1127271 16 -0,1750124 16
Порівняння результатів
Таблиця порівняльних результатів
Метод трапеції n = 1000000 Метод Сімпсона n = 1000000 Аналітичний результат Функція Межі
4,5051475 4,5240183 4,49980967 f (x) = 1/x 0,1 ... .. 9
1,7491462 1,7500761 1,791756469 f (x) = 1/x * x 0,3 ... .. 5
1,9991885 1,9999505 2 f (x) = sin (x) 0 ... ....?
-0,0000512 0,000003 0 f (x) = sin (2 * x) 0 ... ....?
0,2857157 0,2856935 0,285714285 f (x) = sin (7 * x) 0 ... ....?< br />
0,2222053 0,2222133 0,222222222 f (x) = sin (9 * x) 0 ... ....?< br />
Таблиця впливу збільшення верхньої межі на точність інтегрування
Аналітичне значення Практичне значення Верхня межа Похибка
4,49980967 4,5217996 9 -0,02198993
4,605170186 4,624969 10 -0,019798814
4,787491743 4,8039412 12 -0,016449457
4,941642423 4,9557843 14 -0,014141877
5,075173815 5,0875444 16 -0,012370585
5,192956851 5,2039275 18 -0,010970649
5,298317367 5,3082042 20 -0,009886833
Отже, збільшення верхньої межі призводить до збільшення точності інтегрування
Список бібліографічних джерел
1. Довідник з математики/Бронштейн И.Н., Семендяев К.А.-М.: Фізико-математична література, 1998.
Текст програми
/ * Курсова робота з інформатики
"Дослідження точності чисельного інтегрування"
"Research of Accuracy of Numerical Integration"
Викладач:
Студенти: Степанов А.Г.
Черепанов К.А.
Група: Р-207
*/
# Include
# Include
# Include
# Include
# Include
# Include
int main ()
(
FILE * fp;/* покажчик на потік */
int n, i, t, j, N;
float a, b, h, Sum [100], x, y, coa;
printf ( "Research of Accuracy of Numerical Integrationn");
/ * Введення точності обчислення */
printf ( "Enter accuracy of calculation n =");
scanf ( "% d", & n);
/ * Введення початку інтегрування */
printf ( "Enter beginnings of integration =");
scanf ( "% f", & a);
/ * Введення межі інтегрування */
printf ( "Enter limit of integration =");
scanf ( "% f", & b);
/ * Відкриття файлу-джерела */
while ((fp = fopen ( "data3.xls", "w "))== NULL)
(
puts ( "Error! Can't open file nInput name of filen");
)
/ * Введення кількості ітерацій */
printf ( "Enter number of Itteration N =");
scanf ( "% d", & N);
/ * Обчислення кроку інтегрування */
h = (a + b)/n;
printf ( "Step =% .3 fn", h);
/******* Обчислення інтеграла методом трапецій *******/< br />
for (j = 1; j
(
h = (a + b)/(int (pow (2, j-1)) * n);
Sum [j] = 0;
for (i = 0; i
(
x = a + i * h;
if (i == 0)
t = 1;
else
t = 2;
y = t * (h/2) * (sin (2 * x));
Sum [j] = Sum [j] + y;
)
if (j> 1)
(
coa = (Sum [j]-Sum [j-1])/Sum [j-1];
printf ( "Criterion of accuracy =% .5 f Number of iteration =% dn", coa, j);
fprintf (fp, "% .7 ft", coa);
fprintf (fp, "% dtn", j);
)
)
printf ( "The sum by a method of trapezes =% .7 fn", Sum [1]);
fprintf (fp, "The sum by a method of trapezes =% .7 fn", Sum [1]);
/******* Обчислення інтеграла методом Сімпсона *******/< br />
for (j = 1; j
(
h = (a + b)/(int (pow (2, j-1)) * n);
Sum [j] = 0;
for (i = 0; i
(
x = a + i * h;
if (i == 0 | | i == n)
t = 1;
else
(
if (i% 2 == 0)
t = 2;
else
t = 4;
)
y = t * (h/3) * (sin (2 * x));
Sum [j] = Sum [j] + y;
)
if (j> 1)
(
coa = (Sum [j]-Sum [j-1])/Sum [j-1];
printf ( "Criterion of accuracy =% .5 f Number of iteration =% dn", coa, j);
fprintf (fp, "% .7 ft", coa);
fprintf (fp, "% dtn", j);
)
)
printf ( "The sum by a Simpson's method =% .7 fn", Sum [1]);
fprintf (fp, "The sum by a Simpson's method =% .7 fn", Sum [1]);
scanf ( "% d", & b);
)
11
