Аналіз і вибір рішень на основі нечіткої монотонної експертної інформації

Аналіз і вибір рішень на основі нечіткої монотонної експертної інформації

Л.С. Берштейн, А.В. Боженюк

Перед розробниками експертних систем (ЕС) в галузі штучного інтелекту стоять, як правило, наступні три завдання: вибір подання експертної інформації про предметну області в системі; вибір і (або) обгрунтування підходу до прийняття рішення (ПР) на основі цієї інформації; розробка алгоритмів, що реалізують обраний підхід до ПР.

У випадку, коли при вирішенні першого завдання використовується нечітке представлення інформації (в термінах нечітких і лінгвістичних змінних), виникають завдання оцінки цієї інформації на предмет її несуперечності (або оцінки ступеня її несуперечності), а також завдання співвідношення цієї інформації і бажаної точності отримання результату. Це вказує на необхідність попереднього аналізу нечіткої експертної інформації. Даний аналіз дозволив би:.

1.Оценіть відповідність наявної нечіткої інформації вимогам, яким на думку користувача ЕС, повинні задовольняти одержувані рішення;

2. Знайти "вузькі місця "такої інформації з метою її коригування (наприклад, шляхом завдання додаткових питань експерту про вибір рішення в таких "місцях ").

Для проведення такого аналізу введемо поняття відношення упорядкування на значеннях лінгвістичної змінної та монотонності нечіткої експертної інформації.

Визначення 1. Нехай - лінгвістична змінна [1], визначена на множині Х і що має базові значення , . Тут - нечіткі змінні з унімодальному функціями приналежності , . Введемо на безлічі базових значень Т ставлення впорядкування наступним чином:

Іншими словами , якщо значення , для якого функція приналежності бере своє найбільше значення 1, не більше значення, на якому функція також бере значення 1.

Визначення 2. Позначимо через - узагальнену лінгвістичну змінну, що приймає значення . Нехай , а .

Будемо вважати, що:

Нехай процес ПР характеризується вибором деякого значення параметра V, на яке впливають значення параметрів X, Y ,..., Z. Ввівши лінгвістичні змінні , , ,..., з безліччю базових значень відповідно , , ,..., і експертну інформацію про вибір рішення представимо у вигляді системи нечітких висловлювань :

Тут , ,..., і .
Фактично нечітка система висловлювань представляє собою деяку функцію , визначену на безлічі базових значень узагальненої лінгвістичної змінної.
Зафіксуємо довільні значення , ,..., .
Визначення 3. Систему нечітких висловлювань назвемо монотонної по параметрі X, якщо справедливо вираз:
або

Визначення 4. Систему нечітких висловлювань монотонну за всіма параметрами X, Y,. .., Z, назвемо просто монотонної нечіткої системою.
Властивість 1. Для того, щоб система нечітких висловлювань була монотонної, необхідно і достатньо, щоб виконувалася умова:

або

В роботі [2] була запропонована загальна схема вибору значень параметрів при нечіткої експертної інформації. Відповідно до неї, при заданих вхідних параметрах X, Y ,..., Z, вибирається таке підмножина значень вихідного параметра V, для елементів якого ступінь істинності правила modus ponens для нечіткої схеми виводу
(1)
бере своє найбільше значення. Тут - система нечітких експертних висловлювань. - висловлювання типу . Величини x, y ,..., z - конкретні значення вхідних параметрів X, Y ,..., Z. - висловлювання типу , величина v - значення з підмножини .
Ступінь істинності правила modus ponens для схеми виводу (1) визначиться виразом:
. (2)
де n - число висловлювань в системі .
Властивість 2. Для заданих значень x, y ,..., z вхідних параметрів функція є безперервною на множині значень параметра V.
Властивість 3. Якщо система має властивість монотонності, то функція унімодальному, чи досягає свого максимуму на деякому інтервалі безлічі значень параметра V.
Позначимо через . Тоді вираз (2) можна переписати у вигляді:
,
де m - безліч базових значень лінгвістичної змінної .
Властивість 4. Якщо система має властивість монотонності, то справедливі нерівності
, при ,
, при .
Дана властивість дозволяє запропонувати наступні алгоритми знаходження значень параметра V, для яких величина ступеня істинності досягає свого найбільшого значення.
відсортуємо спочатку значення в порядку їх збільшення. Будемо вважати, що , де відповідає деякому .
Розглянемо спочатку алгоритм для більш простого випадку. Нехай - носії нечітких множин, що відповідають нечітким змін-ним . Нехай виконується умова:
. (3)
Іншими словами, для будь-якого значення параметра V число функцій принад-лежності, одночасно не рівних 0, не перевищує двох. Приклад такого випадку показаний на рис.1.
При виконанні умови (3), алгоритм визначення безлічі значень параметра V, буде мати вигляд:
. Визначаємо підмножина , для елементів якого справедливо вираз: .
Якщо підмножина, то і . Перехід на.
. Якщо , то визначаємо єдине значення , при якому виконується умова: . У цьому випадку .
. Кінець.
Зауважимо, що п. завжди виконаємо, так як відповідно до властивості 4, функції приналежності і відповідають "сусіднім" нечітким змінним і у яких .
Розглянемо тепер алгоритм для більш складного випадку, коли умова (3) може не виконуватися. У цьому випадку, алгоритм визначення безлічі значень параметра V, візьме вигляд:
. Визначаємо підмножина , для елементів якого справедливо .
Якщо підмножина , то і . Перехід на .
. Визначаємо підмножина , для елементів якого справедливо .
Якщо підмножина , то і . Перехід на .
. Якщо , то визначаємо єдине значення , при якому виконується умова: . У цьому випадку .
. Кінець.
Розглянуті алгоритми значно простіше алгоритму, запропонованого в [1] для довільних (не монотонних) систем висловлювань .
Список літератури
Моделі прийняття рішень на основі лінгвістичної змінної/А. Н. Борисов, А. В. Алексєєв, О. А. Крумберг та ін Рига: Зінатне, 1982.-256с.
Нечіткі моделі для експертних систем в САПР / Н. Г. Малишев, Л. С. Берштейн, А. В. Боженюк. - М.: Энергоатомиздат, 1991.-136с.