Алгоритм визначення динамічних характеристик гідроупругіх систем для управління гідроспоруди

Маткарімов П.Ж.

Розглядаються методика та алгоритм рішення задачі гідроупругості для грунтових гребель, що взаємодіють з водним середовищем.

Ця ситуація видається актуальною при проектуванні гідроспоруд, тому що включає в себе вдосконалення моделі споруди, моделі взаємодії і алгоритмізацію пошуку власних значень системи "гребля-водосховище". На сьогоднішній день методи дослідження задач гідроупругості, тобто спільних коливань конструкції і рідини досить різноманітні. Застосування тих чи інших методів вирішення розглянутих завдань диктується багатьма обставинами: характером завдання, метою дослідження, прийнятої схематизація явища, необхідною точністю, можливістю обчислювальних засобів та ін

Викладемо постановку і методику розв'язання задач гідроупругості, пов'язаних з визначенням динамічних характеристик пружних грунтових гребель, що взаємодіють з напівнескінченних шаром рідини. Динамічні характеристики (власні частоти, форми коливань) є регламентують основними характеристиками (паспортом) споруд, дозволяють заздалегідь судити про його динамічних властивостях і його поведінку при різних впливах

Спираючись на сучасні досягнення науки в цій області і грунтуючись на наявних матеріалах за впливом рідини на напружено-деформований стан гідротехнічних споруд при динамічних та сейсмічних впливах, при формулюванні завдання рідина вважаємо ідеальної і нестисливої, волнообразованіе на вільній поверхні не враховуємо. Тоді потенціал швидкості руху рідини повинен задовольняти рівняння Лапласа

(1)

і граничним умовам [1, 2]:

; і , ; (2)

на напірної межі (де ), швидкості частинок рідини і точок межі дамби по напрям нормалі n однакові

(3)

Тоді вираз для потенціалу швидкостей, задовольняє рівняння (1) та умовами (2) - (3), буде мати вигляд [2]

,

,

Далі розглядається динамічна задача гідроупругості для грунтових гребель. При цьому для постановки задачі використовується варіаційне рівняння Лагранжа, засноване на принципі Даламбера:

(4)

і кінематичних граничне умова в підставі:

, . (5)

Тут , , - відповідно, компоненти вектора переміщень, тензорів деформацій і напруг; , < img src = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255892915_Algoritm_opredeleniya_dinamicheskih_harakteristik_gidrouprugih_sistem_dlya_upravleniya_gidrosooruzheniyami_19.gif" alt = "" width = "28" height = "28" /> -- ізохронний варіації переміщень і деформацій; -щільність матеріалу елементів розглянутої системи; - гідродинамічний тиск води.

Фізичні властивості тіла описуються співвідношеннями між напругою і деформаціями виду

(6)

Величини і є константами Ламі (індекс n відноситься до тіла, з відповідними механічними характеристиками).

У співвідношенні Коші враховуються тільки лінійні члени

, i, j = 1,2,3 (7)

Усі завдання, поставлені в даній роботі, вирішуються на базі методу кінцевих елементів (МКЕ). У окремому випадку, коли розглядаються гармонійні коливання повне зміщення і потенціал швидкості можна представити у вигляді

, , (8)

де - пружні переміщення стінки дамби, що залежать тільки від координати .

Власні коливання грунтової греблі з урахуванням водного середовища водосховища є упорядочное рух грунтової греблі, що протікає при відсутності зовнішніх впливів. Рішення проблеми полягає в наступному: шукається нетривіальне рішення рівняння (4) при однорідних кінематичних умов у вигляді (5).

Постановка (8) в (4) зводить цю задачу до дійсної варіаційної задачі про власні значеннях у вигляді

(9)

,

де - амплітуда напружень, - шукана власна частота і форма коливань греблі з урахуванням водного середовища, - гідродинамічний тиск води на стінку греблі , яке має вигляд

(10)

При цьому для вирішення варіаційної задачі (9) використовується закон Гука, геометричні співвідношення Коші (7) та стандартна процедура МКЕ з використанням трикутного кінцевого елемента з лінійною апроксимацією поля переміщень всередині елемента.

При цьому для i-го вузла n-го кінцевого елемента першого варіації робіт пружних, інерційних сил і гідродинамічного тиску щодо ui будуть мати вигляд

, (11)

,

Тут l, m - константи Ламі, r, r0 - щільність матеріалу споруд та води.

Після інтегрування цих виразів отримаємо рядка матриць жорсткості, маси і приєднаної маси води, що відповідають переміщенням ui для n-го елемента. Якщо ці операції повторити для вузлів j і k, а також для переміщення v, то ми отримаємо матриці жорсткості і маси порядку 6'6 для n-го кінцевого елемента і відповідні матриці мас від води до вузлів кінцевого елемента (якщо ці вузли стикаються з водою). Таким чином, сформувавши для кожного кінцевого елемента свою матрицю [K], [M], [MВ] і об'єднавши їх, отримаємо алгебраїчну завдання на власні значення для даного споруди з урахуванням взаємодії з водою:

, (12)

де [K]-матриця жорсткості греблі, [Mc] = [M] + [MВ] - сумарна матриця маси греблі і маси води, w і (u) - шукані власна частота і власний вектор греблі, що взаємодіє з водою.

Вирішуючи рівняння (12) методом Мюллера і квадратного кореня визначимо власну частоту та форму коливання гідроупругой системи "Грунтова гребля з водою". Така постановка і методика рішення задачі про власних коливань гідроупругіх систем дозволяють отримати, на відміну від відомих робіт, більш реальну картину динаміки системи.

За допомогою викладеного вище алгоритму досліджено власні коливання грунтових гребель, що взаємодіють з водною Сполуч.

Аналіз отриманих результатів дозволяє зробити висновок про те, що облік взаємодії води з греблею призводить до зменшення частот власних коливань і для перших восьми частот становить від 2 до 10% залежно від виду греблі. Ці відхилення залежать від багатьох чинників: від висоти греблі, характеру форм коливань споруди, а також від значення коефіцієнта укосу, що контактує з водою. При цьому найбільш значущим чинником є крутизна верхового укосу, що визначається коефіцієнтом укосу - зі збільшенням коефіцієнта укосу відповідно зменшується вплив води на динамічні характеристики греблі. Для вертикальної стінки значення гідродинамічного тиску води є визначальним.

Список літератури

1. Кульмач П.П. Гідродинаміка гідротехнічних споруд (Основні плоскі задачі). -М.: Изд-во АН СРСР. -1963. 190 с.

2. Шульман С.Г. Розрахунки сейсмостійкості гідроспоруд з урахуванням впливу водного середовища. М.: Енергія, 1976. 336 с.