Історія математичного моделювання та технології обчислювального експерименту

Е. М. Фiлiнов

Математичні моделі є одним з основних інструментів пізнання людиною явищ навколишнього світу. Під математичними моделями розуміють основні закономірності і зв'язку, властиві досліджуваному явищу. Це можуть бути формули або рівняння, набори правил або угод, виражені в математичній формі. Споконвіку в математики, механіки, фізики та інших точних науках природознавства для опису досліджуваних ними явищ використовувалися математичні моделі. Так, закони Ньютона повністю визначають закономірності руху планет навколо Сонця. Використовуючи основні закони механіки, щодо неважко скласти рівняння, що описують рух космічного апарату, наприклад, від Землі до Місяці. Однак отримати їх вирішення у вигляді простих формул не представляється можливим. Для розрахунку траєкторій космічних апаратів служать комп'ютери.

Застосування комп'ютерів для математичного моделювання змінило саме поняття "вирішити задачу". До цього дослідник задовольнявся написанням математичної моделі. А якщо йому ще вдавалося довести, що рішення (алгоритм) в принципі існує, то цього було достатньо, якщо апріорі вважати, що модель адекватно описує досліджуване явище. Оскільки, як правило, немає простих формул, що описують поведінку моделі, а отже і об'єкта, що описується моделлю, то єдиний шлях - звести справу до обчислень, застосування чисельних методів розв'язання задач. У такому випадку необхідний конкретний алгоритм, який вказує послідовність обчислювальних і логічних операцій, які повинні бути зроблені для отримання чисельного рішення. З алгоритмами пов'язана вся історія математики. Саме слово "алгоритм" є похідним від імені середньовічного узбецького вченого Аль-Хорезмі. Ще давньогрецьким ученим був відомий алгоритм знаходження числа "пі" з високою точністю. Ньютон запропонував ефективний чисельний метод розв'язання алгебраїчних рівнянь, а Ейлер - чисельний метод розв'язання звичайних диференціальних рівнянь. Як відомо, модифіковані методи Ньютона і Ейлера до цих пір займають почесне місце в арсеналі обчислювальної математики. Її предметом є вибір розрахункової області і розрахункових точок, в яких обчислюються характеристики модельованого об'єкта, правильна заміна вихідної математичної моделі її аналогом, придатним для розрахунку, тобто деякої дискретної моделлю. Оскільки моделі повинні представляти досліджувані явища в необхідній повноті, зрозуміло, що вони стають дуже складними.

У моделі входять безліч величин, що підлягають визначенню, а самі ці величини залежать від великого числа змінних і постійних параметрів.

Нарешті, моделі реальних процесів виявляються нелінійними. Апарат класичної математичної фізики пристосований для роботи з лінійними моделями. У цьому випадку сума (суперпозиція) приватних рішень рівняння є також його рішення. Знайшовши приватне рішення рівняння для лінійної моделі, за допомогою принципу суперпозиції можна отримати рішення в загальному випадку. На цьому шляху в традиційній математичної фізики були отримані чудові результати. Однак вона стає безсилою, якщо зустрічається з нелінійними моделями. Принцип суперпозиції тут непридатний, і алгоритмів для побудови спільного рішення не існує. Тому для нелінійних моделей закінчених теоретичних результатів отримано небагато.

Методологія математичного моделювання в стислому вигляді виражена знаменитої тріадою "модель - алгоритм - програма", сформульованої академіком А. А. Самарським, основоположником вітчизняного математичного моделювання. Ця методологія отримала свій розвиток у вигляді технології "обчислювального експерименту ", розробленої школою А. А. Самарського, - однієї з інформаційних технологій, призначеної для вивчення явищ навколишнього світу, коли натурний експеримент виявляється занадто дорогим і складним.

У багатьох важливих галузях досліджень натурний експеримент неможливий, тому що він або заборонений (наприклад, при вивченні здоров'я людини), або занадто небезпечний (наприклад, при вивченні екологічних явищ), або просто нездійсненний (наприклад, при вивченні астрофізичних явищ).

Обчислювальний експеримент на відміну від натурних експериментальних установок дозволяє накопичувати результати, отримані при дослідженні будь-якого кола завдань, а потім швидко і гнучко застосовувати їх до вирішення завдань в абсолютно інших областях. Цією властивістю володіють використовуються універсальні математичні моделі. Наприклад, рівняння нелінійної теплопровідності придатне для опису не тільки теплових процесів, але і дифузії речовини, руху грунтових вод, фільтрації газу в пористих середовищах. Змінюється тільки фізичний зміст величин, що входять до це рівняння.

Проведення обчислювального експерименту можна умовно розділити на два етапи. Після першого етапу обчислювального експерименту, якщо треба, модель уточнюється як у напрямі її ускладнення (облік додаткових ефектів і зв'язків у досліджуваному явище), так і спрощення (з'ясування, якими закономірностями і зв'язками в вивчається явище можна знехтувати). На наступних етапах цикл обчислювального експерименту повторюється до тих пір, поки дослідник не переконується, що модель адекватна тому об'єкту, для якого вона складена.

Інформаційні технології, що підтримують обчислювальний експеримент, включають в себе методи побудови математичних моделей силами кінцевих користувачів інформаційних систем (фахівців у своїй предметній області, а не професійних математиків і програмістів), інформаційну підтримку їх діяльності для пошуку та вибору алгоритмів і програм чисельного рішення задач, методи і засоби контролю точності вироблених обчислень і правильності роботи застосовуваних програм. При проведенні обчислювального експерименту дослідник може за допомогою призначеного для користувача інтерфейсу "грати" на моделі, ставлячи його цікавлять і отримуючи відповіді. Таким чином, дослідник отримує потужний інструмент для аналізу і прогнозу поведінки складних нелінійних багатопараметричної об'єктів і явищ, вивчення яких традиційними методами ускладнено або взагалі неможливо.

Пора "дитинства" технології обчислювального експерименту припадає на 50-і роки XX століття.

Дата появи перших серйозних результатів обчислювального експерименту в СРСР зафіксована цілком офіційно - 1968 рік, коли Держкомітет СРСР у справах відкриттів та винаходів засвідчив відкриття явища, якого насправді ніхто не спостерігав. Це було відкриття, так званого, ефекту Т-шару (температурного струмового шару в плазмі, яка утворюється в МГД-генераторах). Свідоцтво на це відкриття було видано академікам А. Н. Тихонову і О. О. Самарському, члену-кореспонденту АН СРСР С. П. Курдюмова, докторів фізико-математичних наук П. П. Волосевич, Л. М. Дегтярева, Л. А. Заклязьмінскому, Ю. П. Попову (нині директору ІПМ ім. М. В. Келдиша РАН), В. С. Соколову і А. П. Фаворського. У даному випадку обчислювальний експеримент передував натурному. Натурні експерименти "замовляли" за результатами математичного моделювання. Через кілька років у трьох фізичних лабораторіях на різних експериментальних установках практично одночасно був надійно зареєстрований Т-шар, після чого технологам та інженерам став остаточно зрозумілий принцип роботи МГД-генератора з Т-шаром.

Плазма з її нелінійними властивостями стала одним з найважливіших об'єктів математичного моделювання та обчислювального експерименту. Приваблива перспектива рішення енергетичної проблеми пов'язана з керованим термоядерним синтезом ізотопів водню, дейтерію і тритію. Енергетична проблема для людства полягає в тому, що нафти і газу при нинішньому темпі їх споживання вистачить всього на кілька десятків років. А спалювати настільки цінна хімічна сировина в топках електростанцій і двигунах внутрішнього згоряння - це, за образним висловом Д. І. Менделєєва, "майже все одно, що топити піч асигнаціями ". З запасами вугілля все набагато краще, але його видобуток з кожним роком стає все важче. Виходом може бути лазерний термоядерний керований синтез, дослідження якого здійснюється за допомогою обчислювального експерименту. У 1974 р. колектив співробітників ФІАН і ІПМ АН СРСР під керівництвом академіків Н. Г. Басова, О. М. Тихонова та А. А. Самарського запропонував принципово нову концепцію лазерного термоядерного синтезу на основі результатів обчислювального експерименту.

Ще один область використання обчислювального експерименту - це "обчислювальна технологія "- застосування математичного моделювання з допомогою комп'ютерів не тільки для вирішення фундаментальних наукових проблем, а й для розробки технологічних процесів у промисловості. Для тих випадків, коли технологічні процеси описуються добре відомими математичними моделями, для розрахунку яких запропоновані ефективні обчислювальні алгоритми, розроблені пакети прикладних програм, технологія обчислювального експерименту дозволяє створювати нові програми й удосконалювати засоби спілкування людини з комп'ютером. У технологів є потреба у вивченні нових промислових технологій, наприклад лазерно-плазмової обробки матеріалів (плазмової термохіміі).

Засновник Нобелівських премій Альфред Нобель, як відомо, виключив математику з числа наук, за досягнення в яких присуджується ця вища наукова нагорода. Разом з тим, сучасне математичне моделювання охоплює галузі досліджень, до недавнього часу недоступні математики. В останні роки ряд Нобелівських премій з хімії, медицині, економіці, фізики елементарних частинок були присуджені робіт, методологічну основу яких становило математичне моделювання.

Наприклад, для подальшого дослідження нелінійних процесів у мікросвіті були розроблені відповідні чисельні методи із застосуванням комп'ютерів і комп'ютерних мереж (мережевих grid-технологій), орієнтовані на рішення задач фізики елементарних частинок. Алгоритми квантово-механічних розрахунків прогресують не менше швидкими темпами, ніж в інших областях обчислювальної математики.

Біологія під чому залишається експериментальної та описової дисципліною, а історія математичного моделювання біологічних процесів навряд чи налічує більше 20 років. І все-таки вже можна назвати біологічні завдання, для яких обчислювальний експеримент стає визначальною методологією.

Математичне моделювання та обчислювальний експеримент - провідні методології вивчення глобальних моделей процесів і явищ на Землі, наприклад клімату Землі. Проведення робіт з глобального моделювання стимулювався діяльністю Римського клубу, неурядової організації. Першу з таких моделей опублікував у 1971 р. американський фахівець з теорії управління Д. Форрестер.

Комп'ютерні ігри, проведені Д. Форрестер з глобальною моделлю, показали, що в середині ХХI століття людство чекає криза, пов'язаний насамперед з виснаженням природних ресурсів, падінням чисельності населення і виробництва продуктів, зростанням забруднення навколишнього середовища.

Відомі результати глобального моделювання явища "ядерної зими", виконані у ВЦ АН СРСР В. В. Александровим і Г. Л. Стенчіковим під керівництвом академіка М. М. Моїсеєва. Ці результати дали людству, у тому числі політикам, неспростовні аргументи проти ядерної війни, навіть так званої "обмеженої ядерної війни".

Для математичного моделювання та обчислювального експерименту використовувалися, головним чином, універсальні цифрові обчислювальні машини, доступні колективам дослідників. У СРСР в 70-80-х роках минулого століття це були БЕСМ-6 та моделі ЄС ЕОМ, для яких розроблялися бібліотеки і пакети прикладних програм обчислювальної математики. З появою персональних комп'ютерів стало можливо розвиток інформаційної технології обчислювального експерименту, яка передбачає підтримку призначеного для користувача інтерфейсу і пошуку потрібних алгоритмів і програм за допомогою персональних комп'ютерів (вітчизняного виробництва або імпортних), а проведення розрахунків на математичних моделях -- за допомогою високопродуктивних комп'ютерів БЕСМ-6, ЄС ЕОМ чи суперкомп'ютерів "Ельбрус".

Потреби обчислювального експерименту при вивченні явищ в найбільш складних областях науки, таких, як проблеми фізики елементарних частинок, молекулярної біології (наприклад, геном людини), геофізики (зокрема, фізики атмосфери) та ін, виявилися пов'язаними з необхідністю забезпечити гранично можливі обчислювальні потужності. Вихід було знайдено в колективному використанні обчислювальних потужностей, доступних дослідникам через комп'ютерні мережі. У розвитку так званих grid-технологій, що розробляються світовим співтовариством у даний час, беруть участь і провідні наукові інститути Росії: Об'єднаний інститут ядерних досліджень (м. Дубна), Науково-дослідний інститут ядерної фізики МДУ, Інститут фізики високих енергій РАН (м. Протвино), Інститут біофізики РАН (м. Пущино), Інститут прикладної математики ім. М. В. Келдиша РАН та ін Ідея організації розподілених обчислень в гетерогенної мережевому середовищі, звана метакомпьютінгом, образно виражається метафорою "grid (мережа) ". Подібно до того, як ми підключаємо до електромережі побутові прилади, не замислюючись про пристрій цієї електромережі, мережеві grid-технології покликані надати дослідникам необхідні обчислювальні потужності як колективні ресурси. У Європі такий мережею повинна стати Data Grid, до якої буде підключений і російський сегмент.

Список літератури

Самарський А. А., Михайлов А. П. Комп'ютери та життя. М., Педагогіка, 1987 (Серія "Бібліотека Дитячої енциклопедії ").