Алгоритм Кнута - Морріса - Пратта

Реферат

Алгоритм Кнута-Моріса-Пратта (КМП) одержує на вхід слово

X = x [1] x [2] ... x [n]

і переглядає його зліва направо буква за буквою, заповнюючи при це масив натуральних чисел l [1] ... l [n], де

l [i] = длина слова l (x [1] ... х [i])

(функція l визначена в попередньому пункті). Словами: l [i] є довжина найбільшого початку слова x [1] ... x [i], одночасно є його кінцем.

Яке відношення все це має до пошуку подслова?

Іншими словами, як використовувати алгоритм КМП для визначення того, чи є слово A подсловом слова B?

Рішення. Застосуємо алгоритм КМП до слова A # B, де # - спеціальна буква, не зустрічається ні в A, ні в B. Слово A є подсловом слова B тоді і тільки тоді, коли серед чисел в масиві l буде число, яке дорівнює довжині слова A.

Описати алгоритм заповнення таблиці l [1] ... l [n].

Рішення. Припустимо, що перший i значень l [1] ... l [i] вже знайдені. Ми читаємо чергову літеру слова (тобто x [i +1]) і повинні обчислити l [i +1].

Іншими словами, нас цікавлять початку Z слова

x [1] ... x [i +1,

що одночасно є його кінцями-з них нам треба брати саме довге. Звідки беруться ці початку? Кожне з них (не рахуючи порожнього) виходить з деякого слова Z 'приписуванням букви x [i +1]. Слово Z ' є початком і

кінцем слова x [1] ... x [i]. Однак не будь-яке слово, яке є початком і кінцем слова x [1] ... x [i], годиться - треба, щоб за ним слідувала буква x [i +1].

Отримуємо такий рецепт відшукання слова Z. Розглянемо всі початку слова x [1] ... x [i], що є одночасно його кінцями. З них виберемо підходящі - ті, за якими йде буква x [i +1]. З відповідних виберемо саме довге. Приписавши в його кінець х [i +1], отримаємо шукане слово Z. Тепер пора скористатися зробленими нами приготуваннями і згадати, що всі слова, що є одночасно початками і кінцями даного слова, можна отримати повторними застосуваннями до нього функції l з попереднього розділу.

Ось що виходить:

i: = 1; 1 [1]: = 0;

(таблиця l [1] .. l [i] заповнена правильно)

while i n do begin

len: = l [i]

(len - довжина початку слова x [1] .. x [i], яке є

його кінцем; дедалі довші початку виявилися

невідповідними)

while (x [len +1] х [i +1]) and (len> 0) do begin

(початок не підходить, застосовуємо до нього функцію l)

len: = l [len];

end;

(знайшли підходяще або переконалися у відсутності)

if x [len +1] = x [i +1] do begin

(х [1] .. x [len] - найдовше підходяще початок)

l [i +1]: = len +1;

end else begin

(відповідних немає)

l [i +1]: = 0;

end;

i: = i +1;

end;

Довести, що число дій у наведеному тільки що алгоритм не перевершує Cn для деякої константи C.

Рішення. Це не цілком очевидно: обробка кожної чергової букви може зажадати багатьох ітерацій у внутрішньому циклі. Однак кожна така ітерація зменшує len принаймні на 1, і в цьому випадку l [i +1] виявиться помітно менше l [i]. З іншого боку, при збільшенні i на одиницю величина l [i] може зрости не більше ніж на 1, так що часто і сильно спадати вона не може - інакше спадання не буде скомпенсовано зростанням.

Більш точно, можна записати нерівність

l [i +1]