Дискретні ланцюги

А. Т. Бізін

Сибірська Державна Академія телекомунікацій та інформатики

Новосибірськ 1998

Різницеві рівняння і дискретна ланцюг

Безперервний сигнал на вході лінійної системи x (t) і відповідний сигнал y (t) на виході пов'язані диференціальних рівнянням. Заміна безперервної змінної t на дискретну змінну nT призводить до заміни диференціального рівняння різницевим рівнянням. Канонічна форма різницевого рівняння загального вигляду, що враховує в явному вигляді наявність у системі як прямих, так і зворотних зв'язків, запишеться так

y (nT) = am x ( nT - mT) + y (nT - ), (2.1)

де (M + 1) -- кількість прямих зв'язків,

Z - число зворотних зв'язків,

m, , n - цілі позитивні числа .

Аналітичні методи розв'язування різницевих рівнянь багато в чому повторюють методи вирішення диференціальних рівнянь і дозволяють отримати рішення в загальному вигляді, придатному для аналізу роботи дискретної системи. Чисельні методи рішення призводять до результату у вигляді числової послідовності, тому різницеві рівняння в цьому випадку сприймається як алгоритм функціонування дискретної системи, придатною для програмування на ЕОМ роботи такої системи.

Система робота якій описується різницеві рівняння, є дискретної так як вона здатна впливати тільки на відліки сигналу. Дискретна система і дискретна ланцюг здійснює, згідно (2.1) наступні операції над дискретними сигналами.

Зрушення (запізнювання) на ціле число інтервалів T

Множення на деякий коефіцієнт am або b

Складання сигналів

Перераховані операції утворюють повний базис, в якому можна реалізувати заданий вплив на сигнал.

Набору операцій базису відповідає набір типів елементів дискретної ланцюга: елементи пам'яті (затримки), помножувачі і суматори.

Канонічна схема дискретної ланцюга загального вигляду, що відповідає різницевого рівняння (2.1), наведена на Рис. 2.1.

Різницеві рівняння з постійними коефіцієнтами am, b описує лінійну дискретну ланцюг . Різницеві рівняння з коефіцієнтами, залежними від рівня відліків дискретного сигналу, описує нелінійну дискретну ланцюг.

Різницеві рівняння складається безпосередньо за схемою ланцюга, з огляду на можливі шляхи проходження сигналу, або за системним характеристикам ланцюга.

Приклад. Скласти різницеві рівняння ланцюга, схема якої наведена на Рис. 2.2, а.

Рішення.

Тут є три шляхи проходження сигналу від входу до виходу ланцюга, по яких сигнали проходять і потім складаються в суматорі. Тому різницеві рівняння має вид

y (nT) = 0,5 x (nT) - 0,7 x (nT - T) + 0,35 x (nT - 2T).

Приклад. Визначити y (nT) (Мал. 2.2, б), якщо x (nT) = (1,0; 0,5).

Рішення.

Різницеві рівняння ланцюга y (nT) = 0,5 x (nT - T) + 0,1 x (nT) чисельне рішення різницевого рівняння:

n = 0; y (0T) = 0,5 x (-T) + 0,1 x (0T) = 0,1;

n = 1; y (1T) = 0,5 x (0T) + 0,1 x (1T) = 0,55;

n = 2; y (2T) = 0,5 x (1T) + 0,1 x (2T) = 0,25;

n = 3; y (3T) = 0,5 x (2T) + 0,1 x (3T) = 0.

Отже y (nT) = (+0,1; 0,55; 0,25).

Графіки сигналів x (nT) і y (nT) наведено на рис (2.3, а, б).

Приклад. Визначити сигнал на виході ланцюга (рис 2.2, в), якщо y (nT) = (0,1; 0,1).

Рішення.

Ланцюг містить зворотний зв'язок (ОС), тому сигнал на виході ланцюга формується як сигнал із боку входу, так і з боку виходу.

y (nT) = 0,4 x (nT-T) -- 0,08 y (nT-T)

n = 0 y (0T) = 0,4 x (-T) - 0,08 y (-T) = 0

n = 1 y (1T) = 0,4 x (0T) - 0,08 y (0T) = 0,4

n = 2 y (0T) = 0,4 x (1T) - 0,08 y (1T) = 0,368 і т.д. ...

Отже y (nT) = (0; 0,4; 0,368; ...}.

У даному випадку за рахунок циркуляції сигналу по ланцюгу ОС вихідний сигнал складається з нескінченного числа відліків.

Дискретна ланцюг, що містить ОС, називається рекурсивної. Дискретна ланцюг без ОС називається нерекурсівной.

Передавальна функція дискретної ланцюга

Заміна сигналів в різницевих рівнянь (2.1) на Z - зображення цих сигналів

,

приводить до алгебраізаціі різницевого рівняння

.

Алгебраізація здійснюється застосуванням теорем лінійності і запізнювання.

Перехід в область Z - зображень дозволяє ввести поняття передавальної функції дискретної ланцюга H (Z), що визначається як відношення Z - зображення сигналу на виході ланцюга до Z - зображенню сигналу на вході ланцюга. Тому, з огляду на алгебраїчну форму різницевого рівняння загального вигляду, можна записати загальний вигляд передавальної функції дискретної ланцюга

. (2.3)

Звідси, в Зокрема, для нерекурсівной ланцюга

. (2.4)

Якщо нерекурсівная ланцюг складається всього з одного елемента запізнення, то ,

що знаходить своє відображення в позначенні елементів пам'яті на схемах дискретних ланцюгів.

Передавальна функція конкретної ланцюга формується за передавальним функцій її елементів відповідно до загальних правил лінійних ланцюгів. Зокрема, для ланцюга містить ОС застосовується відома формула

, (2.5)

де - передавальна функція ланцюга

прямого проходження сигналу,

- предаточная функція ланцюга ОС.

Приклад. Оперделіть передавальний функцію ланцюга на рис. (2.4, а).

Рішення.

, де , .

Приклад. Визначити передавальний функцію на рис. (2.4, б).

Рішення.

,

де - передавальна функція рекурсивної частині схеми,

- передавальна функція нерекурсівной частини ланцюга.

За відомою передавальної функції можна легко визначити різницеві рівняння ланцюга.

Приклад. Скласти різницеві рівняння ланцюга на рис. (2.2, в).

Рішення.

Тут .

Тому .

Звідси .

Отже переходячи до оригіналів: y (nT) = 0,4 x (nT-T) - 0,08 y (nT-T).

Загальні властивості передавальної функції.

Критерій стійкості дискретної ланцюга збігається з критерієм стійкості аналогової цепи: полюси передавальної функції повинні розташовуватися в лівій півплощини комплексного змінного , що оответствует положенню полюсів в межах одиничного кола площині

z = x + jy.

Передавальна функція ланцюга загального вигляду записується, згідно (2.3), наступним чином:

, (2.6)

де знаки доданків враховуються в коефіцієнта ai, bj, при це b0 = 1.

Властивості передавальної функції ланцюга загального вигляду зручно сформулювати у вигляді вимог фізичної реалізованості раціональної функції від Z: будь-яка раціональна функція від Z може бути реалізована у вигляді передавальної функції стійкої дискретної ланцюга з точністю до множника H0ЧHQ, якщо ця функція задовольняє вимогам:

коефіцієнти ai, bj - речові числа,

корені рівняння V (Z) = 0, тобто полюси H (Z), розташовані в межах одиничного кола площині Z.

Множник H0ЧZQ враховує постійне посилення сигналу H0 і постійний зсув сигналу по осі часу на величину QT.

Частотні характеристики.

Комплекс передавальної функції дискретної ланцюга

визначає частотні характиристики ланцюга

- АЧХ, - ФЧХ.

На підставі (2.6) комплекс передавальної функції загального вигляду запишеться так

.

Звідси формули АЧХ і ФЧХ

, (2.7)

, (2.8)

Частотні характеристики дискретної ланцюга є періодичними функціями. Період повторення дорівнює частоті діскретезаціі wд.

Частотні характеристики прийнято нормувати по осі частот до частоти діскретезаціі

, (2.9)

де W - нормована частота.

У розрахунках з пріененіем ЕОМ нормування за частотою стає необхідністю.

Приклад. Визначити частотні характеристики ланцюга, передавальна функція якої

H (Z) = a0 + a1ЧZ-1.

Рішення.

Комплекс передавальної функції: H (jw) = a0 + a1e-jwT.

з урахуванням нормування за частотою: wT = 2p Ч W.

Тому

H (jw) = a0 + A1e-j2pW = a0 + a1 cos 2pW - ja1 sin 2pW.

Формули АЧХ і ФЧХ

H (W) = , j ( W) = - arctg .

графіки АЧХ і ФЧХ для позитивних значень a0 і a1 за умови a0 > A1 наведено на рис. (2.5, а, б.)

Логарифмічний масштаб АЧХ - ослаблення А:

; . (2.10)

Нулі передавальної функції можуть яка завантажується в будь-якій точці площини Z. Якщо нулі розташовані в межах одиничного кола, то характеристики АЧХ і ФЧХ такого ланцюга пов'язані перетворенням Гільберта і однозначно можуть бути визначені одна через іншу. Така ланцюг називається ланцюгом мінімально-фазового типу. Якщо хоча б один нуль з'являється за межами одиничного кола, то ланцюг відноситься до ланцюга нелінійно-фазового типу, для якого перетворення Гільберта не застосовується.

Імпульсна характеристика. Згортка.

Передавальна функція характеризує ланцюг в частотної області. У тимчасовій області ланцюг характеризується імпульсною характеристикою h (nT). Імпульсна характеристика дискретної ланцюга являє собою реакцію ланцюга на дискретну d - функцію. Імпульсна харакетерістіка і передавальна функція є системними характеристиками і пов'язані між собою формулами Z - перетворення. Тому імпульсну реакцію можна розглядати як певний сигнал, а передавальний функцію H (Z) - Z - зображення цього сигналу.

Передавальна функція є основною характеристикою при проектуванні, якщо норми задані относітеольно частотних характерітік системи. Відповідно, основною характеристикою є імпульсна характеристика, якщо норми задані під тимчасової обрости.

імпульсну характеристику можна визначити безпосередньо за схемою як реакцію ланцюга на d - функцію, або рішенням різницевого рівняння ланцюга, вважаючи, x (nT) = d (t).

Приклад. Визначити імпульсну реакцію ланцюга, схема якої наведена на ріс.2.6, б.

Рішення.

Різницеві рівняння ланцюга y (nT) = 0,4 x (nT-T) - 0,08 y (nT-T).

Рішення різницевого рівняння в чисельному вигляді за умови, що x (nT) = d (t)

n = 0; y (0T) = 0,4 x (-T) - 0,08 y (-T) = 0;

n = 1; y (1T) = 0,4 x (0T) - 0,08 y (0T) = 0,4;

n = 2; y (2T) = 0,4 x (1T) - 0,08 y (1T) = -0,032;

n = 3; y (3T) = 0,4 x (2T) - 0,08 y (2T) = 0,00256; і т.д. ... Звідси

h (nT) = (0; 0,4; -0,032; 0.00256; ...}

Для стійкої ланцюга відліки імпульсної реакції з часом прагнуть до нуля.

імпульсну характеристику можна визначити за відомою передавальної функції, застосовуючи

а. зворотне Z-перетворення,

б. теорему розкладання,

в. теорему запізнювання до результатів ділення полінома чисельника на поліном знаменника.

Останній з перерахованих способів відноситься до чисельних методів розв'язання поставленої задачі.

Приклад. Визначити імпульсну характеристику ланцюга на рис. (2.6, б) по передавальної функції.

Рішення.

Тут H (Z) = .

Розділемо чисельник на знаменник

Застосовуючи до результату поділу теорему запізнювання, отримуємо

h (nT) = (0; 0,4; -0,032; 0.00256; ...}

Порівнюючи результат з розрахунками по різницевого рівняння у предидущую прикладі, можна переконатися в достовірності розрахункових процедур.

Пропонується визначити самостійно імпульсну реакцію ланцюга на рис. (2.6, а), застосовуючи послідовно обидва розглянуті методу.

Відповідно з визначенням передавальної функції, Z - зображення сигналу на виході ланцюга можна визначте як твір Z - зображення сигналу на вході ланцюга і передавальної функції ланцюга:

Y (Z) = X (Z) ЧH (Z). (2.11)

Звідси, за теореми про пакунку, згортки вхідного сигналу з імпульсною характеристикою дає сигнал на виході ланцюга

y (nT) = x (kT ) Чh (nT - kT) = h (kT ) Чx (nT - kT). (2.12)

Визначення вихідного сигналу за формулою згортки знаходить застосування не тільки в розрахункових процедурах, але і в якості алгоритму функціонування технічних систем.

Приклад.

Визначити сигнал на виході ланцюга, схема якої наведена на рис. (2.6, б), якщо x (nT) = (1,0; 0,5).

Рішення.

Тут h (nT) = (0; 0,4; -0,032; 0,00256; ...}

Розрахунок по (2.12)

n = 0: y (0T) = h (0T) x (0T) = 0;

n = 1: y (1T) = h (0T) x (1T) + h (1T) x (0T) = 0,4;

n = 2: y (2T) = h (0T) x (2T) + h (1T) x (1T) + h (2T) x (0T) = 0,168;

Таким чином y (nT) = (0; 0,4; 0,168; ... ).

У технічних системах замість лінійної згортки (2.12) частіше застосовується кругова або циклічна згортка.

Круговая згортка

Реальним сигналами відповідають числові послідовності кінцевої довжини. Кінцеву числову послідовність можна продовжити по осі часу шляхом періодичного повторення і отримати періодичну числову послідовність. Періодичної числової послідовності відповідає спектр у вигляді періодичної числової послідовності. Обидві послідовності мають однаковий період N і пов'язані формулами ДПФ.

Заміна реальних послідовностей періодичними дозволяє підвищити ефективність використання обчислювальної техніки стосовно до дискретним сигналами (швидкісна згортка, БПФ та ін)

Згортка періодичних послідовностей називається круговою і визначається на інтервалі рівному одному періоду.

y (nT) = x (kT ) Чh (nT - kT), (2.13)

Лінійна і кругова згортки дають однаковий результат, якщо відповідним чином вибрати в круговій згортку розмір вихідних послідовностей. Справа в тому, що згортка кінцевих послідовностей призводить до послідовності, розмір N якої перевищує довжину кожної з вихідних послідовностей і, за визначенням, дорівнює

N = N1 + N2 - 1, (2.14)

де N1 - Довжина послідовності x (nT),

N2 -- довжина послідовності h (nT).

Тому заміна початкової послідовності на періодичну виконується з таким розрахунком, щоб довжина періоду вийшла рівною N, додаючи з цією метою взяти участь в якості відсутніх елементів.

Приклад.

Обчислити кругову згортку за даними прикладу в пункті 2.4.

Рішення.

Тут, нехтуючи малими значеннями відліків представимо імпульсну реакцію у вигляді кінцевої числової послідовності h (nT) = (0; 0,4; -0,032).

Звідси, оскільки x (nT) = (1,0; 0,5), з урахуванням (2.14)

N1 = 2, N2 = 3, N = 4.

Отже вихідні числові послідовності запишуться так

x (nT) = (1,0; 0,5; 0; 0), h (nT) = (0; 0,4; -0,032; 0).

Звідси, застосовуючи (2.13), отримуємо

n = 0: y (0T) = x (0T) h (0T) + x (1T) h (-1T) + x (2T) h (-2T) + x (3T) h (-3T) = 0;

n = 1: y (1T) = x (0T) h (1T) + x (1T) h (0T) + x (2T) h (-1T) + x(3T) h (-2T) = 0,4;

n = 2: y (0T) = x (0T) h (2T) + x (1T) h (1T) + x (2T) h (0T) + X (3T) h (-1T) = 0,168;

n = 3: y (0T) = x (0T) h (3T) + x (1T) h (2T) + x (2T) h (1T) + X (3T) h (0T) = -0,016;

Отже y (nT) = (0; 0,4; 0,168; -0,016), що збігається з розрахунками по лінійній згортку в прикладі параграфа 2.4.

Графіки періодичних числових послідовностей x (nT), h (nT), y (nT) наведено на рис. (2.7).

До періодичним числових послідовностей, отриманим викладеним вище способом, можна застосувати ДПФ, перемножити результати і після виконання зворотного ДПФ отримати послідовність y (nT), збігається з результатами розрахунків за коловою пакунку.

Енергія дискретного сигналу

Кореляція і енергетичний спектр.

Як енергії дискретного сигналу прийнята міра

Wx = x2 (nT), ( 2.15)

відповідно в частотної області, згідно з рівності Парсеваля,

Wx = X2 (w) dw = X (jw) X * (jw) d ( jw), (2.16)

де X (jw) = X (w) ejj (w) - спектр сигналу x (nT),

X * (jw) = X (w) e-jj (w) - спектр x (-nT) відповідно до теореми про спектр інверсно сигналу,

X2 (w) = X (jw) ЧX * (jw) = Sx (jw) - енергетичний спектр сигналу x (nT).

На рис. (2.8) показаний як приклад сигнал x (nT) і його інверсна копія x (-nT) для деякого окремого випадку

Енергетичний спектр виражає середню потужність сигналу x (nT), що припадає на вузьку смугу частот в околиці змінної w.

У тимчасовій області енергетичного спектру відповідає згортка інверних сигналів, що визначає кореляційний функцію Sx (nT) сигналу x (nT).

. (2.17)

Згідно (2.17) і (2.15) кореляційна функція в точці n = 0 дорівнює енергії сигналу, тобто

(2.18)

Для періодичних дискретних сигналів кореляційна функція і енергетичний спектр пов'язані формулами ДПФ

. (2.19)

Звідси утворюються розрахункові формули енергії періодичних дискретних послідовностей

, (2.20)

що відповідає рівності Парсеваля для дискретних періодичних сигналів. Кореляційна функція таких сигналів визначається за формулою кругової згортки

.

Розрахунок енергії дискретного сигналу можна виконати при необхідності, застосовуючи рівність Парсеваля щодо Z - зображень сигналу і його інверсної копії (теорема енергій)

, (2.21)

де - Z - зображення кореляційної функції.

Доречно зауважити, що стосовно до випадкових сигналів кореляційна функція частіше визначається формулою з ваговим множником , тобто

,

відповідно для енергетичного спектра

,

що призводить до результату, при якому середнє значення випадкової величини зі зростанням N сходиться до постійною величиною.

Згортка сигналу з інверсної копією іншого сигналу називається взаємної кореляцією цих сигналів.

Розрахунок енергії сигналу в дискретної ланцюга.

У будь-якій точці дискретної ланцюга енергію сигналу можна обчислити за відомим сигналу або за кореляційної функції сигналу в цій точці. Кореляційної функції сигналу в деякій точці ланцюга можна визначити не тільки за відомим сигналу, але і по відомої кореляційної функції вхідного сигналу і імпульсної реакції

, (2.22)

де - кореляційна функція сигналу на вході ланцюга,

- кореляційна функція імпулсного відгуку в даній точці,

- умовний знак згортки.

Доведемо рівність (2.22).

.

У цьому вираженні в силу лінійності ланцюга сигнали можна поєднувати різними способами. Тому

,

що доводить справедливість (2.22). Отже

. (2.23)

автокореляційних функція є парної функцією, тому застосовуючи кругову згортку (2.22), періоди і необхідно вирівняти з таким розрахунком, щоб зберегти парний характер цих функцій.

Приклад. Визначити енергію сигналу на виході ланцюга, якщо

x (nT) = (0,5; 0,5), h (nT) = (1,0; 0,5).

Рішення.

1. Розрахунок у часовій області.

Визначаємо сигнал на виході ланцюга за формулою кругової згортки

Звідси .

2. Розрахунок в частотної області.

Спочатку необхідно визначити відліки спектру сигналу за формулою прямого ДПФ

.

Звідси, згідно з рівності Парсеваля,

.

3. Розрахунок за формулою (2.23).

Визначаємо кореляційні функції і .

Отже, .

збільшуючи період і до N = 5, отримуємо

, .

На рис. (2.9, а) показана періодична послідовність до збільшення періоду, на рис. (2.9, б) - після збільшення періоду.

Згідно (2.22)

.

Звідси .

У висновку розглянемо важливий Приватний випадок застосування формули (2.23).

Для випадкових сигналів з нульовим середнім

, (2.24)

де - дисперсія випадкового сигналу x (nT).

Звідси, враховуючи (2.23),

.

Отже

, (2.25)

Формула (2.25) застосовується, зокрема, для розрахунку шумів квантування в цифрових ланцюгах.

секціонування.

Реальні сигнали можуть мати значну протяжність в часі, тому обробка таких сигналів на ЕОМ здійснюється посекціонно. Розрахунки по кожній секції виконуються за формулою кругової згортки

,

де h (nT) -- імпульсна характеристика, що визначає спосіб обробки сигналу.

Кожна секція поєднується з предидущую секцією з урахуванням зсуву між секціями вхідного сигналу.

Застосовуються два основні методи секціонування: метод перекриття з підсумовуванням і метод перекриття з накопиченням.

1. Метод перекриття з підсумовуванням.

Сигнал x (nT) розбивається на секції довжиною L. Звідси - довжина секції , - довжина секції , - довжина .

Довжина секції більше довжини секції на . Тому суміжні секції вихідного сигналу перекриваються на інтервалі довжиною . На інтервалі перекриття необхідно виконати арифметичні операції з підсумовування відліків.

2. Метод перекриття з накопиченням.

Сигнал x (nT) розбивається на секції довжиною L. Потім кожна секція нарощується ліворуч ділянкою предидущую секції довжиною . Тому

- довжина , - довжина , - довжина .

Штучне подовження кожної секції приводить до того, що перші й останні відліків секції є помилковими і тому відкидаються. Решта L відліків кожної секції, є щирими, тому суміжні секції поєднуються без перекриття і без зазору.

Приклад. Здійснити посекціонную обробку сигналу

x (nT) = (1,0; 0,5), якщо h (nT) = (1,0; 0,5).

Рішення.

Застосуємо метод перекриття з накопиченням.

Нехай L = 1. Звідси ;

, тому після штучного подовження секцій:

.

вирівнюємо періоди сигналів для застосування кругової згортки:

N = N1 + N2-1 = 3. Отже x0 (nT) = (0; 0,4; 0), x1 (nT) = (0,4; 0,8; 0), x2 (nT) = (0,8; 0; 0) Після згортки по кожній секції і відкидання відліків одержуємо: звідси

y (nT) = (0,4; 1,0; 0,4).

Метод перекриття з накопиченням набув переважного поширення, оскільки тут не потрібно проведення додаткових аріфметічкскіх операцій після обробки кожній секції.