Дискретні сигнали

А. Т. Бізін

Сибірська Державна Академія телекомунікацій та інформатики

Новосибірськ 1998

Дискретизація безперервних сигналів

Обробка сигналів на цифрових ЕОМ починається з заміни безперервного сигналу X (t) на дискретну послідовність, для якої застосовуються такі позначення

x (nT), x (n), xn, (x0; x1, x2; ...).

Дискретизація здійснюється електронним ключем (ЕК) через рівні інтервали часу T (Рис. 1.1).

Дискретна послідовність апроксимуються вихідний сигнал X (t) у вигляді гратчастої функції X (nT). Частота перемикання електронного ключа fд і крок дискретизації T пов'язані формулою

fд = 1/T. (1.1)

Дискретна послідовність або дискретний сигнал виражається через вихідний безперервний (аналоговий) сигнал наступним чином

x (nT) = x (t) d (t - nT), (1.2)

де d (t) - дискретна d - функція (Рис. 1.2, а),

d (t - nT) - послідовність d - функцій (Рис. 1.2, б).

Похибка, яка виникає при заміні аналогового сигналу дискретним сигналом, зручно оцінити порівнюючи спектри цих сигналів.

Зв'язок спектрів дискретного і безперервного сигналів.

Початкове вираз для спектру дискретного сигналу з урахуванням (1.2) запишеться наступним чином

X (jw) = x (nT ) e-jwt dt = x (t) < img src = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255893691_Diskretnye_signaly_6.gif" alt = "" width = "35" height = "46" /> d (t - nT) e-jwt dt.

Періодичну послідовність d - функцій тут можна розкласти в ряд Фур'є

d (t - nT) = < img src = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255893692_Diskretnye_signaly_8.gif" alt = "" width = "85" height = "48" />,

де з урахуванням формули зв'язку спектрів періодичних і неперіодичних сигналів

, оскільки Fd (jw) = 1

Після заміни у вихідному виразі періодичної послідовності d - функцій її розкладу в ряд Фур'є отримаємо

X (jw) = x (t ) () e-jwt dt = x (t) e-jwt dt.

Враховуючи тут теорему зміщення спектрів, тобто :

якщо f (t) ® F (jw), то f (t) ® F [j (w ± w0)],

останнє рівність можна представити у вигляді формули, що виражає зв'язок спектрів дискретного X (jw) і аналогового Xa (jw) сигналів

X (jw) = Xa [j (w - )]. (1.3)

На підставі формули (1.3) з урахуванням пояснювальних малюнків 1.3, а, б можна зробити наступні висновки:

Спектр дискретного сигналу складається з суми спектрів вихідного безперервного сигналу, зрушених один щодо одного по осі частот на величину рівну частоті дискретизації wд

Спектри аналогового та дискретного сигналів збігаються в діапазоні частот [-0,5 wд; 0,5 wд], якщо задовольняється нерівність

wв Ј 0,5 wд, (1.4)

де wв - верхня частота спектру аналогового сигналу.

Рівність у (1.4) відповідає твердженням теореми Котельникова про мінімальну частоті wд.

Суміжні спектри Xa (jw) в (1.3) частково перекриваються, якщо умова (1.4) не виконується (Рис 1.3, б). У цьому випадку спектр дискретного сигналу спотворюється по відношенню до спектру аналогового сигналу. Ці спотворення є неусувними і називаються помилками накладення.

Аналоговий сигнал можна відновити повністю за дискретного сигналу за допомогою ФНЧ, частота зрізу якого wс = 0,5 wд. Це твердження засноване але збігу спектрів дискретного сигналу на виході ФНЧ і безперервного сигналу. Сигнал відновлюється без спотворень, якщо виконується умова (1.4). в противному випадку сигнал відновлюється з спотвореннями, зумовленими помилками накладення.

Вибір частоти дискретизації здійснюється відповідно до (1.4). якщо частота wв не відома, то вибір з wд визначається розрахунком по формулі (1.1), в якій інтервал T вибирається наближено з таким розрахунком, щоб аналоговий сигнал відновлювався без помітних спотворень плавним з'єднанням відліків дискретного сигналу.

Перетворення Фур'є і Лапласа для дискретних сигналів.

Для дискретних сигналів формули Фур'є і Лапласа представляється можливим спростити. Дійсно, оскільки

то після переходу до дискретної змінної пара перетворень Фур'є приймає вигляд

Тут застосовуються формули одностороннього перетворення Фур'є, так як початок відліку поєднується з початком дії дискретного сигналу.

Формули Фур'є для дискретних сигналів застосовуються в нормованому вигляді, тому після заміни X (nT) ® X (nT)/T перетворення Фур'є бере остаточний вигляд

(1.5)

Формули Лапласа для дискретних сигналів виходять на підставі (1.5) після узагальнення частоти на всю площину комплексного змінного, тобто jw ® P = d + jw

(1.6)

Z - перетворення.

Ефективність частотного аналізу дискретних сигналів істотно зростає, якщо замінити перетворення Лапласа Z - перетворенням. У цьому випадку зображення сигналу X (p), що являє собою трансцендентну функцію змінної P = d + jw, замінюється Z - зображенням сигналу X (Z), яке є раціональною функцією змінної Z = x + jy.

Формули Z - перетворення виходять з формули Лапласа (1.6) заміною змінних

epT = Z. (1.7)

Підстановка (1.7) та її похідної

dZ/dp = TepT

в (1.6) приводить до формул прямого і зворотного Z - перетворення

(1.8)

Точки на уявної осі комплексного змінного p = d + jw, тобто точки p = jw, визначають реально частотні характеристики сигналу. Уявної осі відповідає на площині Z одинична коло, тому що в цьому разі згідно (1.7)

Z = ejwT = (1.9)

Тому безперервного росту змінної на уявної осі площини p = d + jw, відповідає багаторазовий обхід одиничною кола на площині z = x + jy (Рис. 1.4). Цим фактом пояснюється, зокрема, та обставина, що інтегрування у формулі зворотного z - перетворення (1.8) здійснюється вздовж одиничною окружності площині z замість інтегрування уздовж прямої паралельної уявної площини p.

З огляду на вищевикладене та формули (1.7), (1.9) можна стверджувати, що ліва півплощини змінного p = d + jw відображається на площину одиничного кола змінного z = x + jy, права півплощини - на площину z за межами одиничного кола.

Підстановка (1.9) в z - зображення сигналу приводить до спектра цього сигналу, підстановка (1.7) дає зображення по Лапласа.

Приклад. Визначити спектр і побудувати графіки модуля і аргументу спектральної щільності сигналу x (nT) = (a; b) (Мал. 1.5, а).

Рішення.

Z - зображення сигналу згідно (1.8)

X (Z) = x (nT ) Zn = x (0T) Z-0 + x (1T) Z-1 = A + bZ-1

Звідси підстановкою (1.9) визначаємо спектр сигналу

X (jw) = a + be-jwT.

Графіки модуля і аргументу спектральної щільності наведені на рисунку 1.6, а, б на інтервалі частот [0; wд].

Поза інтервалу частот [0; wд] частотні залежності повторюються з періодом wд.

Основні теореми Z - перетворення.

Перерахуємо без доведення теореми z -- перетворення, які будуть потрібні в наступних розділах.

1. Теорема лінійності.

Якщо x (nT) = ax1 (nT) + bx2 (nT) ,

то X (Z) = a X1 (Z) + BX2 (Z).

Теорема запізнення.

Якщо x (nT) = x1 (nT - QT),

то X (Z) = X1 (Z) Z-Q.

Теорема про згортку сигналів.

Якщо X (nT) = x1 ( kT) x2 (nT - kT),

то X (Z) = X1 (Z) X2 (Z).

Теорема про примноження сигналів.

Якщо x (nT) = x1 (nT) x2 (nT) ,

то X (Z) = X1 ( V) X2 () V-1 dV,

де V, Z - змінні на площині Z.

Теорема енергій (рівність Парсеваля).

x2 (nT) = X (Z) X (Z-1) Z-1 dZ .

Z - перетворення дискретних сигналів має значення рівне значенню перетворення Лапласа безперервних сигналів.

Дискретне перетворення Фур'є.

Якщо сигнал обмежений у часі значенням tu, а його спектр - частотою wв, то він повністю характеризується кінцевим числом відліків N як в тимчасовій, так і в частотній областях (Рис. 1.7, а, б):

N = tu/T - в тимчасовій області, де T = 1/fд,

N = fд/f1 - в частотної області, де f1 = 1/tu.

дискретних сигналів відповідає періодичний спектр, дискретного спектру буде відповідати періодичний сигнал. У цьому випадку відліки X (nT) = (X0; X1; ... XN-1) є коефіцієнтами ряду Фур'є періодичної послідовності X (jkw1), період, який дорівнює wд. Відповідно, звіти X (jkw1) = (X0; X1 ; ... XN-1) є коефіцієнтами ряду Фур'є періодичної послідовності X (nT), період, який дорівнює tu.

Зв'язок відліків сигналу і спектру встановлюється формулами дискретного перетворення Фур'є (ДПФ). Формули ДПФ випливають з формул Фур'є для дискретних сигналів (1.5), якщо безперервну змінну w замінити дискретної змінної kw1, тобто

w ® kw1, dw ® w1.

Після заміни змінної у (1.5) отримаємо

X (jkw1) = x (nT ) ,

x (nT) = X (jkw1) .

Звідси після підстановки w1 = wд/N, T = 2p/wд формули ДПФ беруть остаточний вигляд

X (jkw1) = x (nT ) - пряме ДПФ,

x (nT) = X (jkw1 ) - протилежне ДПФ (1.10)

Сигнал з обмеженим спектром має, строго кажучи, нескінченну довжину в часі і, відповідно нескінченне число відліків і безперервний спектр. Спектр залишиться безперервним, якщо число відліків сигналу обмежити кінцевим числом N. Формули (1.10) в цьому випадку будуть висловлювати зв'язок між N відліку дискретного сигналу та N відліку його безперервного спектру, який можна повністю відновити за його відліку.

Приклад. Визначити відліки спектру сигналу на Рис. 1.5, а.

Тут N = 2 тому X (jkw1) = x (nT) e-jpkn отже

X (j0w1) = x (nT ) e-j0 = x (0T) + x (1T) = a + b

X (j1w1) = x (nT ) e-jpn = x (0T) e-j0 + x (1T) e-jp = a - b

графік відліків спектра наведено на Рис. 1.5, б, де w1 = wд/N = 0,5 wд.

Сигнал з кінцевим числом відліків N має спектр, який повторює з кінцевою похибкою спектр сигналу з нескінченним числом відліків: спектри співпадають на відлікових частотах kw1 і відрізняються на інших частотах. Відмінність спектрів тим менше, чим більше N. Справді, реальні сигнали мають кінцевою енергією і, отже, починаючи з деякого номера відліку іншими номерами можна знехтувати зважаючи на їх трохи, що не матиме помітного впливу на спектр сигналу.

Приклад. Здійснити дискретизацію експоненціального імпульсу X (t) = Ae-at = 1 e-10t і порівняти спектри вихідного і дискретного сигналів.

Рішення.

Графік сигналу X (t) представлений на Рис. 1.8

Нехай T = 0,02 с. У цьому випадку плавним з'єднанням відліків сигналу (штрихова лінія на Рис. 1.8) сигнал відновлюється задовільно хоча помітні спотворення в околиці точки t = 0, тому помилки накладення будуть певним чином впливати на спектральні характеристики.

Нехай tu = 0,4 с. У цьому випадку

N = tu/T = 20.

Розрахунок спектра за формулою прямого ДПФ в точці w = 0 (k = 0) запишеться так

X (j0w1) = 1,0 + 0,8187 + 0,6703 + 05488 + 0,4493 + 0,368 + 0,3012 + 0,2466 + 0,2019 + 0,1653 + 0,1353 + 0,1108 + 0,09072 + 0,07427 + 0,06081 + 0,04979 + 0,04076 + 0,03337 + 0,02732 + 0,02237 = 5,41

Істинне значення спектру в точці w = 0 можна визначити знаючи спектр аналогового експоненціального імпульсу

Xa (jw) = , отже Xa (j0) = = 0,1.

щоб порівняти спектри дискретного і безперервного сигналів, дискретний спектр необхідно денорміровать множенням на T, тому що формули Фур'є для дискретних сигналів застосовуються в нормованому вигляді. Тому

X (jow1) = 5,41 T = 5,42 Ч0, 02 = 0,1082.

Таким чином збіг спектрів Xa (jw) і X (jw) в точці w = 0 цілком задовільний. Деяка неточність пояснюється впливом помилок накладення.

Доречно зауважити, що вибір кроку дискретизації досить контролювати в точках максимальної крутості вихідної функції X (t). У розглянутому прикладі такою точкою є момент часу t = 0.

На закінчення відзначимо, що формули ДПФ спрощують розрахункові процедури за взаємною перетворення сигналів та їх спектрів, що особливо важливо для технічних систем, що функціонують У реальному масштабі часу. У цих випадках застосовується алгоритм швидкого перетворення Фур'є (БПФ), заснований на формулах ДПФ. Прискорена процедура розрахунків по алгоритму БПФ досягається за рахунок виключення повторних арифметичних операцій, характерних для розрахунків за формулами ДПФ.