Позиційні
системи числення
Переклад
чисел з однієї позиційної системи числення в іншу
Арифметичні
операції з числами в позиційних системах числення
Системою
числення називається сукупність прийомів найменування і запису чисел. У будь-якій
системі числення для подання чисел вибираються деякі символи (їх
називають цифрами), а інші числа утворюються в результаті яких-небудь
операцій над цифрами даної системи числення.
Система
називається позиційної, якщо значення кожної цифри (її вага) змінюється в
залежно від її положення (позиції) в послідовності цифр, що зображують
число.
Число одиниць
якого-небудь розряду, що об'єднуються в одиницю більш старшого розряду, називають підставою
позиційної системи числення. Якщо кількість таких цифр одно P, то система
числення називається P-ічной. Основа системи числення збігається з
кількістю цифр, що використовуються для запису чисел в цій системі числення.
Запис
довільного числа x в P-ічной позиційної системі числення грунтується на
поданні цього числа у вигляді многочлена
x = anPn + an-1Pn-1 + ... + A1P1 + a0P0 + a-1P-1 + ...
+ A-mP-m
Арифметичні
дії над числами в будь-якій позиційної системі числення виробляються за тим
ж правилами, що і десяткового системі, тому що всі вони грунтуються на правилах
виконання дій над відповідними многочленами. При цьому потрібно тільки
користуватися тими таблицями додавання та множення, які відповідають даним
P основи системи числення.
При перекладі
чисел з десяткової системи числення в систему з основою P> 1 зазвичай
використовують наступний алгоритм:
1) якщо
перекладається ціла частина числа, то вона ділиться на P, після чого запам'ятовується
залишок від ділення. Отримане приватне знову ділиться на P, залишок
запам'ятовується. Процедура триває до тих пір, поки приватне не стане рівним
нулю. Залишки від ділення на P виписуються в порядку, зворотному їх отримання;
2) якщо
перекладається дрібна частина числа, то вона множиться на P, після чого ціла частина
запам'ятовується і відкидається. Знову отримана дрібна частина множиться на P і
т.д. Процедура триває до тих пір, поки дрібна частина не стане рівною
нулю. Цілі частини виписуються після двійкової коми в порядку їх отримання.
Результатом може бути або кінцева, або періодична двійкова дріб.
Тому, коли дріб є періодичною, доводиться обривати множення на
будь-якому кроці і задовольнятися наближеною записом вихідного числа в
системі з основою P.
Приклади рішення
завдань
1. Переклад
дане число з десяткової системи числення в двійкову:
а) 464 (10); б)
380,1875 (10); в) 115,94 (10) (отримати п'ять знаків після коми в двійковому
поданні).
Рішення.
+464 | 0 380 | 0 | 1875 115 | 1 | 94
232 | 0 190 | 0 0 | 375 57 | 1 1 | 88
116 | 0 95 | 1 0 | 75 28 | 0 1 | 76
58 | 0 47 | 1 1 | 5 14 | 0 1 | 52
а) 29 | 1
б) 23 | 1 1 | 0
в) 7 | 1 1 | 04
14 | 0 11 | 1 3 | 1
0 | 08
7 | 1 5 | 1 1 | 1
0 | 16
3 | 1 2 | 0
1 | 1 1 | 1
а)
464 (10) = 111010000 (2); б) 380,1875 (10) = 101111100,0011 (2); в) 115,94 (10) »1110011,11110 (2)
(у цьому випадку було отримано шість знаків після коми, після чого
результат був заокруглений).
Якщо необхідно
перевести число з двійкової системи числення в систему числення, підставою
якої є ступінь двійки, досить об'єднати цифри двійкового числа в
групи по стільки цифр про свій показник ступеня, і використовувати наведений
нижче алгоритм. Наприклад, якщо переказ здійснюється в вісімкову систему, то
групи будуть містити три цифри (8 = 23). Отже, у цілої частини будемо виробляти
угруповання справа наліво, в дробової - зліва направо. Якщо в останній групі
бракує цифр, дописуємо нулі: у цілої частини - зліва, в дробової - справа.
Потім кожна група замінюється відповідною цифрою нової системи.
Відповідності наведені в таблицях.
P
2
00
01
10
11
4
0
1
2
3
P
2
000
001
010
011
100
101
110
111
8
0
1
2
3
4
5
6
7
P
2
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
16
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
Переведемо з
двійкової системи в шістнадцяткову число 1111010101,11 (2).
0011 1101
0101,1100 (2) = 3D5, C (16).
При перекладі
чисел із системи числення з основою P в десяткову систему числення
необхідно пронумерувати розряди цілої частини справа наліво, починаючи з нульового,
і в дробової частини, починаючи з розряду відразу після коми зліва направо
(початковий номер -1). Потім обчислити суму добутків відповідних
значень розрядів на основу системи числення в ступені, що дорівнює номеру
розряду. Це і є подання вихідного числа в десятковій системі числення.
2. Переклад
дане число в десяткову систему числення.
а) 1000001 (2).
1000001 (2) = 1
