Графіка в системі Maple V

1. Двовимірна графіка

1.1. Основні можливості двовимірної графіки

Лідером з графічним можливостям серед математичних систем для персональних комп'ютерів довгий час вважалася система Mathematics 2. Однак у реалізації Maple V R4 можливості графіки системи Maple V наблизилися до таким у системи Mathematica 2 і навіть Mathematica 3. Вони настільки великі, що, будь математична графіка Maple V єдиним призначенням системи, воно цілком виправдало б її розробку.

Графіка Maple V реалізує всі мислимі (і навіть «немислимі») варіанти математичних графіків - від побудови графіків простих функцій у Декартовою і в полярній системах координат до створення реалістичних образів складних перетинаються в просторі фігур з їх функціональної забарвленням. Можливі наочні графічні ілюстрації рішень найрізноманітніших рівнянь, включаючи системи диференціальних рівнянь.

У саме ядро Maple V вбудовано обмежене число функцій графіки. Це перш за все функція для побудови двовимірних графіків (20-типу) - plot і функція для побудови тривимірних графіків (ЗО-типу) - plot3d. Вони дозволяють будувати графіки найбільш поширених типів. Для побудови графіків спеціального типу (наприклад, у вигляді векторних полів градієнтів, рішення диференціальних рівнянь, побудови фазових портретів і т.д.) у пакети розширення системи Maple V включено велику кількість різних графічних функцій. Для їхнього виклику необхідні відповідні вказівки.

Взагалі кажучи, засоби для побудови графіків прийнято вважати графічними процедурами або операторами. Однак ми збережемо за ними найменування функцій у силу двох принципово важливих властивостей:

• графічні засоби Maple V повертають деякі графічні об'єкти, які розміщуються у вікні документа у рядку висновку або в окремому графічному об'єкті;

• ці об'єкти можна використовувати як значень змінних, тобто змінним можна присвоювати значення графічних об'єктів і виконувати над ними відповідні операції (наприклад, за допомогою функції show виводити на екран кілька графіків).

Графічні функції задані таким чином, що забезпечують побудову типових графіків без будь-якої особливої підготовки. Все, що для цього потрібно, це вказати функцію, графік якої будується, і межі зміни незалежних змінних. Однак за допомогою додаткових необов'язкових параметрів - опцій можна суттєво змінити вигляд графіків, наприклад, змінити стиль і колір ліній, вивести титульну напис, змінити вид координатних осей і т.д.

13.1.2. Основна функція двовимірної графіки - plot

Для побудови двовимірних графіків служить функція plot. Вона задається у вигляді:

plot (f, h, v) або plot (f, h, v, о),

де f - функція (або функції), чий (чиї) графік (и) будуються, h - змінна з вказівкою області її зміни по горизонталі, v - задана опціонально змінна з зазначенням галузі зміни по вертикалі, про - опція або набір опцій, які задають стиль побудови графіка (товщину і колір кривих, тип кривих, мітки на них і т.д.).

Самими простими формами завдання цієї функції служать:

plot (i, xmin .. xmax) - побудова графіка функції f, заданої тільки ймення!

plot (f (x), x = xrnin .. xmax) - побудова графіка функції f (x).

Діапазон зміни незалежної змінної х задається як xmin .. xmax, де xmin і гпах - мінімальне та максимальне значення х, .. (дві крапки) - складової символ, що вказує на зміну незалежної змінної. Зрозуміло, ім'я х тут дано умовно - незалежна змінна може мати будь-яке припустиме ім'я.

Для двовимірної графіки можливі наступні опції:        axes         Висновок різних типів координат (axes = NORMAL - звичайні осі, виводяться за замовчуванням, axes = BOXES --   графік полягає в рамку з оцифрованим осями, axes = FRAME - осі у вигляді перехрещених ліній і axes = NONE - осі • не виводяться).             color         Визначає колір кривих (див. далі).             coords         Завдання типу координатних систем (див. далі).             numpoints         Визначає мінімальну кількість точок графіка (за замовчуванням numpoints = 49).             resolutions         Встановлює горизонтальну роздільну здатність пристрою виведення (за замовчуванням resolutions-200, параметр   використовується при відключеному адаптивний метод побудови графіків).             scaling         Визначає масштаб графіка CONSTRAINED (стиснутий) або UNCONSTRAINED (незжатий - за умовчанням).             size         Визначає розмір шрифту в пунктах.             style         Визначає стиль побудови графіка (POINT - точковий, LINE - лініями).             symbol         Визначає вид символу для точок графіка (можливі значення BOX - прямокутник, CROSS - хрест, CIRCLE --   коло, POINT - точка, DIAMOND - ромб).             title         Визначає побудова заголовка графіка (title = «string», де string - рядок).             titlefont         Визначає шрифт для заголовка (так само як і для font).             labelfont         Визначає шрифт для міток (labels) на осях координат (так само як і для font).             thickness         Визначає товщину ліній графіків (0, 1,2,3, за умовчанням 0).             view = [A, B]         Визначає максимальні і мінімальні координати, в межах яких графік буде відображатися на   екрані, А = [xmin .. xmax], B = [ymin .. кутах] (за замовчуванням відображається вся крива).             xtickmarks         Встановлює мінімальне число відміток по осі X.             ytickmarks         Встановлює мінімальне число відміток по осі Y.     

В основному завдання параметрів особливих труднощів не викликає. За винятком завдання титульної написи з вибором шрифтів за замовчуванням - в цьому випадку не завжди підтримується висновок символів кирилиці (російської мови). Підбором відповідного шрифту цю проблему вдається вирішити.

13.1.3. Завдання координатних систем 20-графіків і її перерахування

У версії Maple V R4 параметр coords задає 15 типів координатних систем для двовимірних графіків. За умовчанням задана прямокутна (Декартова) система координат (coords = cartesian). При використанні інших координатних систем координати точок для них (u, v) перетворюються в координати (х, у) як (u, v) -> (x, у). Нижче наведені найменування систем координат (значенні параметра coords) та відповідні формули перетворення:

bipolar

х = sinh (v)/(cosh (v)-cos (u)) у = sin (u)/(cosh (v)-cos (u))

cardiod

х = [/ 2 * (u'2-v ~ 2)/(u'2 + v'2Y2 у = u * v/(ir2 + v "2) -2

cartesian

х = u у = v

cassinian

x = a * 2 «(l/2)/2 * ((exp (2 * u) 2 * exp (l ^) * cos (v) + l)« (l/2) +

exp (u) * cos (v) + l) "(l/2) у = a * 2» (l/2)/2 * ((exp (2 * u) 2 * exp (u) * cos (v) + l) "(l/2) -

exp (u) * ws (v)-l )'-(/ 2))

elliptic

x = cosh (u) * cos (v) у = sinh (u) * sin (v)

hyperbolic

x = ((iT2 + v-2) - (l/2) + u) - (l/2) у = ((^ 2 + у'2Г (/ 2)-ІУ (1/2)

invcassinian

x = a * 2 ~ (l/2)/2 * ((exp (2 * u) 2 * exp (u) * cos (v) + l) "(l/2) +

exp (u) * cos (v) + l) »(l/2)/(exp (2 * u) 2 * exp (u) * cos (v) + l) - (l/2) у = a * 2 »(l/2)/2 * ((exp (2 * u) - ^ 2 * exp (u) * cos (v) + l) - (l/2) -

exp (u) * cos (v)-l) »(l/2)/(exp (2 * u) 2 * exp (u) * cos (v) + l) - (l/2)

invelliptic

x = a * cosh (u) * cos (v)/(cosh (u) "2-sin (v) '2) у = a * sinh (u) * sin (v)/(cosh (u ) "2-sin (v)» 2)

logarithmic

x = ii/Pi * ln (u'2 + v'2) у = 2 * a/Pi * arctan (v/u)

logcosh

x = a/Pi * n (c.osh (uy2-sm (vy2) у = 2 * a/Pi * arctan (tanh (u) * tan (v))

maxwell

x = a/Pi * (u + l + exp (u) * cos (v)) у = a/Pi * (v + exp (u) * sin (v))

parabolic

x = (u'2-v ^ 2)/2 у = u * v

I'I-

polar

x = u * cos (v) у = u * sin (v)

rose

x = ((u'2 + v'2Y (/ 2) + ur (/ 2)/(u ~ 2 + v'2) - (i/2) у = ((^ 2 + v'2 ) - (/ 2)-u) - (/ 2)/(u'2 + ^ 2r (/ 2)

tangent

x = u/tu ^ + v ^) у = v/(iT2 + v'2)

13.1.4. Управління стилем і кольором ліній 20-графіків

Maple V R4 дозволяє відтворювати на одному графіку безліч кривих. При цьому виникає необхідність з виділення. Для цього можна використовувати побудова лінії різними стилями і різними кольорами і різною товщиною ліній. Набір засобів виділення кривих дозволяє впевнено розрізняти їх як на екрані кольорового дисплея і роздруківках кольоровим струменевих принтером, так і при друку монохромними принтерами.

Параметр style дозволяє задавати наступні стилі для ліній графіків:

SPISV = POINT або point - графік виводиться по точках;

LINE або line - графік виводиться лінією.

Якщо задано побудова графіка точками то параметр symbol дозволяє представити точки у вигляді різних символів, наприклад, прямокутника, хреста, окружності або ромба.

Інший параметр color дозволяє встановити великий набір квітів ліній графіків:

aquamarine black blue navy coral cyan brown gold green gray grey khaki magenta maroon orange pink plum red sienna tan turquoise violet wheat white yellow

Різні кольорові відтінки виходять використанням RGB-комбінацій базових квітів: red - червоний, green - зелений, blue - синій. Наведемо переведення низки інших комбінованих кольорів: black - чорний, white - білий, khaki - колір «хакі», gold - золотистий, orange - помаранчевий, violet - фіолетовий, yellow -- жовтий і т.д. Переклад квітів деяких відтінків на російську мову не завжди однозначний і тому не наводиться. Засоби керування стилем графіків дають можливість легко виділяти різні криві на одному малюнку, навіть якщо для виділення не використовуються кольору.

13.2. Приклади побудови основних типів 20-графіків

13.2.1. Побудова графіків однієї функції

При побудові графіка однієї функції вона записується в явному вигляді на місце шаблону f. Приклади побудови графіка однієї функції представлені на рис. 13.1. Зверніть увагу на те, що графік функції sin (x)/x будується без

характерного провалу в точці х = 0, який спостерігається при побудові графіків цієї функції багатьма програмами. Він пов'язаний з використовуваним у них правилом - функція задається рівною нулю, якщо її чисельник дорівнює нулю. Ця функція в цій точці дає устранімим невизначеність 0/0-> 1, що і враховує графічний процесор системи Maple V.

Рис. 13.1. Приклади побудови графіків однієї функції.

При побудові графіків однієї функції можуть бути введені покажчики масштабів і різні опції, наприклад завдання кольору кривої, товщини лінії, якої будується графік функції та інші параметри. Наприклад, запис у списку параметрів со1ог = 0 (не документована можливість) або запис color = black задають висновок кривих чорним кольором, а запис thinkness = 2 задає в другому прикладі рис. 13.1 побудова графіка лінією, подвоєною в порівнянні зі звичайною товщиною.

13.2.2. Управління масштабом графіків

Для керування масштабом графіків служать покажчики масштабів. У ряді випадків їх можна не застосовувати і система автоматично задає прийнятні масштаби. Проте їх явне застосування дозволяє задати масштаб «вручну». Іноді відповідне завдання масштабу випадково чи цілеспрямовано веде до відсікання частини графіка - наприклад, на рис. 13.2 в першому прикладі відсічена верхня частина графіка.

Правильний вибір масштабу підвищує показність графіків функцій. Рекомендується спочатку пробувати будувати такі графіки з автоматичним масштабуванням, а вже потім використовувати покажчики масштабів.

13.2.3. Графіки функцій в необмеженій масштабі

Зрідка зустрічаються графіки функцій цх), які треба побудувати при зміні значення х від нуля до нескінченності або навіть від мінус нескінченності до

Рис. 13.2. Побудова графіків функції з явним зазначенням масштабу.

плюс нескінченності. Нескінченність у таких випадках задається в описах масштабу як особлива константа infinity. У цьому випадку масштаб автоматично змінюється по ходу побудови графіка. Рис. 13.2 (другий приклад) ілюструє сказане. Перерахунок значенні координати х, спрямовуються в нескінченність, виконується за допомогою функції для арктангенс.

13.2.4. Графіки функцій з розривами

Деякі функції, наприклад tan (x), мають при певних значеннях х розриви, причому трапляється що значення функції в цьому випадку спрямовуються в нескінченність. Функція tan (x), приміром, у точках розривів спрямовується до + ° ° і - ° °. Побудова графіків таких функцій нерідко дає погано передбачувані результати. Графічний процесор Maple V не завжди в змозі визначити оптимальний масштаб по осі ординат, а графік функції виглядає вельми непредставітельно - якщо не сказати потворно (див. рис. 13.3 - перший приклад).

Серед параметрів функції plot є спеціальний параметр discont. Якщо задати його значення рівним true, то якість графіків істотно поліпшується - см. рис. 13.3 - другий приклад. Поліпшення досягається розбивкою графіка на декілька ділянок, в яких функція неперервна, і більш ретельним контролем за масштабом.

13.2.5. Побудова графіків декількох функцій на одному малюнку

Важливе значення має можливість побудови на одному малюнку графіків декількох функцій. У простому випадку (рис. 13.4 перший приклад) для побудови таких графіків достатньо перерахувати потрібні функції і встановити для них загальні масштаби.

Рис. 13.3. Побудова графіків функції з розривами.

Зазвичай графіки різних функцій автоматично будуються різними кольорами. Але вони не завжди задовольняють користувача - наприклад, при роздруку графіків монохромним принтером деякі криві можуть виглядати занадто бляклими або навіть не пропечатані взагалі. Використовуючи списки параметрів color (колір лінії) і style (стиль ліній) можна домогтися виразного виділення кривих - це показує другий приклад на рис. 13.4.

Рис. 13.4. Графіки трьох функції на одному малюнку.

На рис. 13.5 показаний ще один приклад такого роду. Тут побудовано графік функції sin (x)/x і графік її поліноміальною апроксимації. Вона виконується настільки просто, що відповідні функції записані прямо в списку параметрів функції plot.

Рис. 13.5. Графік функції sin (x)/x і її поліноміальною апроксимації.

У даному випадку сама функція побудована суцільною лінією, а графік полінома - хрестиками. Добре видно, що при малих х апроксимація дає високу точність, але потім із зростанням х похибка її різко зростає.

Рис. 13.6 показує побудова декількох цікавих функцій, отриманих за допомогою комбінацій елементарних функцій. Ці комбінації дозволяють отримувати періодичні функції, що моделюють сигнали стандартного вигляду в технічних пристроях: у вигляді напруги на виході двухполуперіодного випрямляча, симетричних прямокутних коливань (меандр), Пікоподібне і трикутних імпульсів, трикутних імпульсів з округленій вершиною.

У цьому малюнку запис axes = NONE прибирає координатні осі. Зверніть увагу, що зсув графіків окремих функцій вниз з метою усунення їх накладення досягнуто просто додатком до запису кожної функції деякої константи.

13.2.6. Побудова графіків функцій, заданих окремими точками

Показаний на рис. 13.5 графік полінома, побудований хрестиками, не означає, що поліном представлений окремими точками. У даному випадку просто обраний стиль лінії у вигляді крапок, представлених хрестиками. Однак, часто виникає необхідність побудови графіків функції, які представлені просто сукупністю точок. Вона може бути створена штучно, як на рис. 13.7, або просто здаватися списком координат х і значень функції.

Рис. 13.6. Побудова графіків декількох цікавих функції.

Рис. 137. Формування списку окремих точок функції та їх побудова на графіку.

У даному випадку змінна Р має вигляд списку, в якому попарно перераховані координати точок функції sin (x). У цьому неважко переконатися, замінивши знак «:» після висловлення, що задає Р на знак «;». Далі за списком Р побудований графік точок у вигляді хрестиків, які відображають окремі значення функції sin (x).

На рис. 13.8 показано побудову графіків функцій по точках при явному завданні функції списком координат її окремих точок. У першому прикладі ці

точки з'єднуються відрізками прямих, так що виходить кусково-лінійний графік. Видно також, що вказівка типу точок після вказівки стилю лінії ігнорується, - а шкода, було б непогано, щоб поряд з кусково-лінійної лінією графіка будувалися і виділені колом точки.

Рис. 13.8. Побудова графіка функції явно заданої окремими точками.

У другому прикладі рис. 13.8 показано побудову тільки точок заданої функціональної залежності. Вони представлені маленькими гуртками.

Читачеві пропонується самому поєднати обидва підходи до побудови графіків по точках і створити графік у вигляді відрізків прямих, що з'єднують задані точки функції, представлені гуртками чи хрестиками.

13.2.7. Побудова графіків функцій, заданих їх іменами

Здатність Maple V до спрощення роботи користувача просто вражаюча - шкода тільки, що багато можливостей цього стають зрозумілими після грунтовного вивчення системи, на що йдуть на жаль не дні, а місяці, а то й роки. Стосовно до графіку однієї з таких можливостей є побудова графіків функцій, заданих тільки їх функціональними іменами - навіть без вказівки параметрів у круглих дужках. Таку можливість наочно демонструє рис. 13.9.

Цей приклад показує, що можлива побудова графіків функцій навіть без застосування в команді plot покажчиків масштабів. При цьому масштаб по горизонтальної осі встановлюється рівним за замовчуванням -10 .. 10, а по вертикальній осі встановлюється автоматично у відповідності з екстремальними значеннями функцій у зазначеному діапазоні зміни незалежної змінної - умовно х.

Рис. 13.9. Побудова графіків чотирьох функції, заданих тільки їх іменами.

13.2.8. Побудова графіків функції з ордината, заданими вектором

Часто виникає необхідність побудови графіка точок, ординати яких є елементами деякого вектора. Зазвичай при цьому передбачається рівномірне розташування точок по горизонтальній осі.

Приклад побудови такого графіка даний на рис. 13.10.

З цього прикладу неважко помітити, що дана задача вирішується складанням списку парних значень координат вихідних точок - до значень ординат точок, взятих з вектора додаються значення абсцис. Вони задаються суто умовно, оскільки ніякої інформації про абсциса точок у вихідному векторі немає. Так що фактично будується графік залежності ординат точок від їх порядкового номера п.

13.2.9. Побудова графіків функцій, заданих процедурами

Деякі види функцій, наприклад кусково, зручно задавати процедурами. Побудова графіків функцій, заданих процедур, не викликає ніяких труднощів і ілюструється рис. 13.11.

Тут, мабуть, корисно звернути увагу на те, що коли у функції plot вказується ім'я процедури без списку її параметрів, то покажчик масштабу повинен просто вказувати межі графічних побудов по осі х.

Рис. 13.10. Побудова графіка точок з ордината, заданими елементами вектора.

Рис. 13.11. Побудова графіка функцій, заданих процедурами

13.2.10. Побудова графіків функцій, заданих функціональними операторами

Ще один «екзотична» можливість функції plot - побудова графіків функцій, заданих функціональними операторами. Вона ілюструється рис. 13.12.

Рис. 13.12. Побудова графіків функції, заданої функціональними операторами.

Імена функції (без зазначення списку параметрів у круглих дужках теж по суті є функціональними операторами. Так що і вони можуть використовуватися при побудові графіків спрощеними способами.

13.2.11. Побудова графіків функцій, заданих параметрично

У ряді випадків для завдання деяких залежностей використовуються задані параметрично рівняння, наприклад x = fl (t) і y = f2 (t) при зміні змінної t в деяких межах. Точки (х, у) наносяться на графік у Декартовою системі координат і з'єднуються відрізками прямих. Для цього використовується функція plot в наступній формі:

plot ([fl (t), f2 (t), t = tmin .. tmax], h, v, p)

Якщо функції fl (t) і f2 (t) містять періодичні функції (наприклад, тригонометричні), то для одержання замкнутих фігур діапазон зміни змінної t задається зазвичай 0 .. 2 * Pi або-Pi .. Pi. Наприклад, якщо задати як функцій fl (t) і f2 (t) функції sin (t) і cos (t), то буде отриманий графік кола. Рис. 13.! 3 показує інші, трохи менш тривіальні приклади побудови графіків такого роду.

Завдання покажчиків масштабу h і v, а також параметрів р не обов'язково. Але, як і раніше, дозволяє отримати вигляд графіка, що задовольняє всім вимогам користувача.

Рис. 13.13. Побудова функції, заданих параметрично.

13.2.12. Побудова графіків функцій в полярній системі координат

Графіки в полярній системі координат являють собою лінії, які описує кінець радіус вектора r (t) при зміні кута t в певних межах - від tmin до tmax. Побудова таких графіків проводиться також функцією plot, що записується в наступному вигляді:

plot ([r (t), theta (t), t = tmin .. tmax], h, v, p, coords = polar)

Тут суттєвим моментом є завдання полярної системи координат опцією coords = polar. Рис. 13.14 дає приклади побудови графіків функцій у полярній системі координат.

Графіки параметричних функцій і функцій в полярній системі координат відрізняються величезною різноманітністю. Сніжинки і візерунки морозу на склі, деякі види кристалів і багато хто інші фізичні об'єкти підкоряються математичним закономірностям, покладеним в основу побудови таких графіків.

13.3. Побудова ЗО-графіків за допомогою функція plot3d

13.3.1. Особливості застосування функції plot3d

Для побудови графіків тривимірних поверхонь Maple має вбудовану в ядро функцію plot3d. Вона може використовуватися в наступних форматах:

Рис. 13.14. Побудова графіків функцій в полярній системі координат.

plot3d (exprl, x = a.. b, y = c.. d, p) plot3d (f, a.. b, c.. d, p)

plot3d ([exprf, exprg, exprh], s = a.. b, t = c.. d, p) plot3d ([f, g, h], a.. b, c.. d, p ).

У двох перших формах plot3d застосовується для побудови звичайного графіка однієї поверхні, в інших формах - для побудови графіка з параметричної формою завдання поверхні. У наведених формах: f, g та h - функції, expri - вираз, що відображає залежність від х і у, exprf, exprg і exprh - вирази, задають поверхню параметрично, s, t, а і b - числові константи дійсного типу, end - числові константи або вираження дійсного типу, х, у, s і t - імена незалежних змінних і р - параметри-опції. Параметри для функції plot3d задаються аналогічно їх завданням для функції plot.

13.3.2. Параметри функції plot3d

За допомогою параметрів р. можна в широких межах управляти видом тривимірних графіків, виводячи або прибираючи лінії каркасною сітки, вводячи функціональну забарвлення поверхонь, змінюючи кут їх огляду і параметри освітлення, змінюючи вигляд координатних осей і т.д.

Наступні параметри функції plot3d задаються аналогічно їх завданням для функції plot:

axesfont font color coords font labelfont linestyle numpoints scaling style symbol thickness title titlefont

Однак функція plot3d має ряд додаткових специфічних параметрів:        ambientlight = [r, g, o]         Визначає інтенсивність червоного (red), зеленого (green) і синього (blue) кольорів у відносних   одиницях (від 0 до 1).             axes = f         Визначає вид координатних осей (BOXED, NORMAL, FRAME і NONE, за замовчуванням NONE).             grid = [m, nl         Визначає число лінії каркаса поверхні.             gridstyle = x         Визначає стиль ліній каркаса х ( 'rectangular' або 'triangular').             labels = [x, y, z]         Визначає написи по осях (х, у і z - рядки, за замовчуванням порожні).             light = [phi, theta, r, g, b]         Визначає кути, під якими розташоване джерело освітлення поверхні та інтенсивності складових (г, g   і b) кольору.             lightmodel = x         Визначає режим яскравості (відповідно, none ", 'lightl', 'light2', 'light3' і 'light4').             orientation = [theta, phi]         Визначає кути орієнтації поверхні (за замовчуванням 45 градусів).             projection = r         Визначає перспективу при огляді поверхні (г може бути числом 0 або 1, що задає включення або   вимкнення перспективи, а також одного з рядків 'FISHEYE', 'NORMAL', або 'ORTHOGONAL' (це відповідає чисельному значенню г 0, 0.5, або 1,   відповідно, причому за замовчуванням задано projection = ORTHOGONAL).             shading = s         Визначає напрямки, за якими змінюється колір функціональної забарвлення (значення s можуть бути XYZ, XY,   Z, ZGREYSCALE, ZHUE, NONE).             tickmarks = [l, n, m]         Визначає характер маркування по осях х, у и z (числа 1, п и m мають значення не менше 1).             view = zmin .. zmax або Ixmin .. xmax, ymin .. ymax, zmin .. zmax]         Визначає мінімальні і максимальні координати поверхні для її видимих ділянок.     

13.3.3. Вибір і перерахунок координат ЗО-графіків

Для тривимірних графіків можливо завдання 31-го типу координатних систем за допомогою параметра соога5 = Тіп_коордінатноі_сістемь1. Оскільки на екрані дисплея поверхню відображається тільки в прямокутній системі координат і характеризується координатами х, у и z, то для подання поверхні, заданої в іншій системі координат з координатами u, v і w використовуються відомі [46,47] формули для перетворення (u, v, w) -> (х, у, z). Нижче представлені типи координатних систем для тривимірної графіки і відповідні формули перетворення:

bipolarcylindrical

х = a * sinh (v)/(cosh (v)-cos (u)) у = a * sin (u)/(cosh (v)-cos (u)) z = w

bispherical

х = sin (u) * cos (w)/d у = sin (u) * sin (w)/dz = sinh (v)/d (де d = cosh (v) - cos (u))

cardiodal

x = u * v * cos (w)/(lГ2 + v »2) -2 у = u * v * sin (w)/(ir2 + v" 2r2 z = (u "2-v'2 )/2/^ 2 + v'2) -2

cardiodcylindrical

x = (u'2-v ~ 2)/2/(u'-2 + v ~ 2) '-2 у = u * v/(u'2 + v-2) "2 z = w

casscylindrical

x = a * 2 ~ (l/2)/2 * ((exp (2 * u) 2 * exp (u) * cos (v) + l) - (l/2) + exp (u ) * cos (v) + l) - (l/2) y = a * 2 «(l/2)/2 * ((exp (2 * u) 2 * exp (u) * cos (v) + l)" (l/2)-exp (u) * cos (v )-l) "(l/2) z = w

confocalellip

x = ((a ~ 2-u) * (a'2-v) * (a "2-w)/(a'2-b''2)/(a-2-c-2) Y (l/2) у = ((b »2-u) * (b ~ 2-v) * (b" 2-w)/(b "2-a» 2)/(b »2-c« 2)) '(l/2) z = ((c''2-u) * (^ 2-v) * (c''2-w)/(c'2-a'2)/(c ^ 2 -)''2)) ~ (l/2)

confocalparab

x = ((a'2-u) * (si'2-v) * (a'2-w)/(V2-a'2)) '(l/2) у = ((b » 2-u) * (b »2-v) * (b-2-w)/(b-2-a-2) Г (1/2) z = (a "2 + b" 2-u-v-w)/2

conical

x = u * v * w/(a * b) у = u/b * ((v "2 - h ~ 2) * (b ~ 2-w''2)/(a ~ 2-V2 ) Y (l/2) z = u/a * ((a'2 - v'2) * (a'2 - w ~ 2)/(a-2-b »2))" (l/2)

cylindrical

x = u * cos (y) у = u * sin (y) z = w

ellcylindrical

x = a * cosh (u) * cos (v) у = a * sinh (u) * sin (v) z = w

ellipsoidal

x = u * v * w/a/b у = ((u '^-b ^ Mv ^-b ^ ^ b ^-w ^ Aa ^-b ^ ^ l ^/bz = ((u - 2-a »2) * (a • 2-v« 2) * (a »2-w" 2)/(a • 2-b'2)) »(l/2)/a

hypercylindrical

x = ((u "2 + v" 2Y (l/2) + u) '(l/2) y ^ u ^ + v ^ ni ^-iO-O/^) z = w

invcasscylindrical

x = a * 2 - (l/2)/2 * ((exp (2 * u) 2 * exp (u) * cos (v) + l) - (l/2) +

exp (u) * cos (v) + l) '(l/2)/(exp (2 * u) 2 * exp (u) * cos (v) + l)' (l/2) у = a * 2 - (l/2)/2 * ((exp (2 * u) 2 * exp (u) * cos (v) + l) - (l/2) -

exp (u) * cos (v)-l) »(l/2)/(exp (2 * u) 2 * exp (u) * cos (v) + l)« (l/2) z = w

invellcylindrical

x = a * cosh (u) * cos (v)/(cosh (ur2-sin (v) "2) у = a * sinh (u) * sin (v)/(cosh (u)" 2 -sin (v) ~ 2) z = w

invoblspheroidal

x = a * cosh (u) * sin (v) * cos (w)/(cosh (u) "2-cos (v)« 2) у = a * cosh (u) * sin (v) * sin (w)/(cosh (u) '2-cos (v) "2) z = a * sinh (u) * cos (v)/(cosh (u) «2-cos (v) '2)

invprospheroidal

x = a * sinh (u) * sin (v) * cos (w)/(cosh (u) '2-sin (v) "2) у = a * sinh (u) * sin (v) * sin (w)/(cosh (u) «2-sin (v)« 2) z = a * cosh (Ll) * cos (v)/(cosh (u) »2-s ^ n (v) • 2)

logcoshcylindrical

x =! i/Pi * n (cosh (uY2-sm (vY2) у = 2 * a/Pi * arctan (tanh (u) * tan (v)) z = w

maxwellcylindrical

x = a/Pi * (u + l + exp (u) * cos (v)) у = a/Pi * (v + exp (u) * sin (v)) z = w

oblatespheroidal

x = a * cosh (u) * sin (v) * cos (w) у = a * cosh (u) * sin (v) * sin (w) z = a * sinh (u) * cos ( v)

paraboloidal

x = u * v * cos (w) у = u * v * sin (w) z = (u "2 - v'2)/2

paraboloidal2

x = 2 * ((ua) * (av) * (aw)/(ab)) - (l/2) у = 2 * ((ub) * (bv) * (bw)/(ab) ) - (l/2) z = u + v + w-a-b

paracylindrical

x = (u'2 - v'2)/2 у = u * v z = w

prolatespheroidal

x = a * sinh (u) * sin (v) * cos (w) y = a * sinh (u) * sin (v) * sin (w) z = a * cosh (u) * cos ( v)

rectangular

x = і у = v • z = w

rosecylindrical

x = ((1Г2 + у-2) - (1/2) + и) - (1/2)/(1Г2 + у-2Г (1/2) у = ((u'2 + v ' 2y (l/2)-uY (l/2)/(u'2 + v'2V (/ 2) z = w

sixsphere

x = u/(u'2 + v'2 + w'2) у = v/(u'-2 + v'2 + v /''2) z = w/(u'2 + v '2 + w'2)

spherical

x = u * cos (v) * sin (w) у = u * sin (v) * sin (w) z = u * cos (w)

tangentcylindrical

x = u/(ir2 + v "2) у = v/(u« 2 + v »2) z = w

tangentsphere

x = u-costwVdj ^ + v ^) у = u * sin (w)/(ir2 + v "2) z = v/(u" 2 + v ~ 2)

toroidal

x = a * sinh (v) * cos (w)/d у = a * sinh (v) * sin (w)/dz = a * sin (u)/d (де d = cosh (v) - cos (u))

Ці формули корисно знати, оскільки в літературі зустрічаються дещо відмінні формули перерахунку.

Вид графіків тривимірних поверхонь дуже сильно відрізняється в різних

координатних системах. За замовчуванням тривимірні графіки будуються в прямокутній системі координат - rectangular.

13.4. Приклади побудови тривимірних поверхонь за допомогою функції plot3d

13.4.1. Найпростіше побудова ЗО-поверхні з різним стилем

На рис. 13.15 показано два приклади найпростіших побудов графіків тривимірної поверхні. За замовчуванням будується каркасна поверхню з функціональної забарвленням тонких ліній каркаса і видаленням невидимих ліній. Щоб графік виглядав більш чітким, побудова в першому прикладі задано лініями чорного кольору за допомогою параметра color-black.

Рис. 13.15. Приклади найпростішого побудови тривимірних поверхонь.

У другому прикладі та сама поверхня побудована з параметром style = patch, що призводить до появи її функціональної забарвлення (на жаль, на малюнках у книзі сприймається як забарвлення відтінками сірого кольору). Функціональна забарвлення робить малюнки більш інформативними.

Крім значення path, можна задавати ряд інших стилів для побудови тривимірних поверхонь: point - крапками, contour - контурними лініями, line -- лініями, hidden - лініями каркаса з видаленням невидимих ліній, wireframe - лініями каркаса з усіма видимими лініями, patchnogrid - з розфарбуванням, але без ліній каркаса, patchcontour - розфарбування з лініями однакового рівня.

Колір тривимірного графіка може задаватися (як і у двовимірного) опцією со1ог = с, де с - колір (відтінки кольору вказувалися вище). Можливо ще два алгоритму завдання кольору:

HUE - алгоритм з завданням кольору у вигляді color = f (x, y);

RGB - алгоритм з завданням кольору у вигляді color = [exprr, exprg, exprb], де вирази exprr, exprg і exprb - вирази, які визначають відносну значимість (від Про до 1) основних кольорів (червоного - red, зеленого - green і синього - blue).

Вдалий вибір кутів огляду фігури і застосування функціональної забарвлення дозволяють додати побудов тривимірних фігур дуже ефектний і реалістичний вигляд.

13.4.2. Побудова фігур в різних системах координат

Як зазначалося, вигляд графіка тривимірної поверхні істотно залежить від вибору координатної системи. Рис. 13.16 показує приклад побудови нелінійного конуса в циліндричної системи координат. Для завдання такої системи координат використовується параметр coords = cylindrical.

Рис. 13.16. Нелінійна циліндрична поверхня.

При побудові цієї фігури також використана кольорова функціональна забарвлення. Крім того, цей приклад ілюструє висновок над малюнком титульної написи.

Наведемо ще один приклад побудови тривимірної поверхні - на цей раз в сферичної системі координат (рис. 13.17). Тут функція задана взагалі елементарно просто - у вигляді числа 1. Але оскільки вибрана сферична система координат, то будується поверхню кулі одиничного радіусу.

При цьому побудові також задана функціональна забарвлення поверхні і висновок титульної написи.

Про те, наскільки незвичайним може бути графік тієї або іншої функції в різних системах координат свідчить рис. 13.18. На ньому показано графік параметрично заданої функції від однієї координати t - sin (t "3), побудований в сферичної системі координат.

До речі, рис. 13.18 ілюструє можливість одночасного спостереження більш ніж одного вікна - у даному випадку двох вікон. В одному вікні задано побудова графіка, а в іншому - побудований сам графік. При побудові графіка в окремому

Рис. 13.17. Побудова кулястої поверхні в сферичної системі координат.

Рис. 13.18. Графік ще однієї поверхні в сферичної системі координат.

вікні з'являється панель форматування графіка. За допомогою її досить наочних кнопок-піктограм можна легко скорегувати допоміжні параметри графіка (забарвлення, наявність ліній каркаса, орієнтацію та ін.)

13.4.3. Побудова графіків параметрично заданих поверхонь

На рис. 13.19 показано побудову поверхні при повному її параметричної завданні. У цьому випадку поверхня задається трьома формулами, що містяться в списку.

Рис. 3.19. Графік ЗО-поверхні при повному параметричної її завданні.

У даному випадку функціональна забарвлення задана з меню, тому до складу функції відповідний параметр не введений.

13.4.4. ЗО-графік як графічний об'єкт

Належність функції plot і plot3D до функцій (у ряді книг їх називають операторами, командами або процедурами) наочно виявляється при створенні графічних об'єктів.

Графічний об'єкт - це по суті звичайна змінна, якій присвоюється значення графічної функції. Після цього така змінна, будучи викликаною, викликає побудову відповідного графіка. Приклад цього дано на рис. 13.20.

У цьому випадку будується кільце Мебіуса, властивості якого (наприклад, плавний перехід з одного боку стрічки на іншу) вже багато століть розбурхують уяву людей.

13.4.5. Завдання 30-графіки у вигляді процедури

Мова програмування Maple V допускає застосування у процедурах будь-яких внутрішніх функцій, в тому числі графічних. Приклад такого застосування дає рис. 13.21.

Рис. 13.20. Приклад завдання і виведення тривимірного графічного об'єкта

Рис. 13.21. Приклад створення та застосування процедури ЗО-графіки.

Цей приклад показує ще один спосіб завдання та побудови кільця Мебіуса. Практично будь-які графічні побудови можна оформляти у вигляді процедури і використовувати такі процедури у своїх документах. Докладно створення графічних процедур описано в книзі [38], що поставляється в складі комерційної реалізації системи.

13.4.6. Побудова ряду тривимірних фігур

Функція plot3d дозволяє будувати одночасно кілька фігур, що перетинаються в просторі. При цьому вона володіє унікальною можливістю -- автоматично обчислює точки перетину фігур і показує тільки видимі частини відповідних фігур. Це створює графіки фігур, що виглядають цілком природно.

Для побудови таких графіків досить замість однієї функції зазначити ряд функцій. Приклад такої побудови для двох функцій показано на рис. 13.22.

Рис. 13.22. Приклад побудови двох SD-фігур, що перетинаються в просторі.

Фігура на рис. 13.22 показана після її корекції та функціональної фарбування в «ручному» режимі - з застосуванням інструментальної панелі вікна графіки.

13.5. Графічні структури двовимірної і тривимірної графіки

13.5.1. Поняття про графічних структурах

Опції PLOT і PLOT3D, з іменами, набраними великими літерами, дозволяють створювати графічні структури, що містять ряд графічних об'єктів si, s2, s3 і т.д. Кожен об'єкт може являти собою точку чи фігуру, полігон, напис і т.д., позиціонувати з високою точністю в заданій системі координат. Координатні осі також відносяться до графічних об'єктів. Важливо відзначити, що функції PLOT і PLOT3D одночасно є даними, що описують графіки. Їх можна записувати у вигляді файлів і (після зчитування файлів) представляти у вигляді графіків. Особливі властивості цих функцій підкреслюються записом їх прописними літерами.

13.5.2. Графічні структури двовимірної графіки

Графічна структура двовимірної графіки задається у вигляді:

PLOT (sl, s2, s3 ,..., o);

де si, s2, s3 .... - Графічні об'єкти (або елементарні структури-примітиви), о - загальні для структури опції).

Основними об'єктами є:

POINTS ([xl, yl], [x2, y2 ),...[ xn, ynj) - побудова точок, заданих їх координатами;

CURVES ([[xll, yll ],...[ xln, yln ]],[[ x21, y21 ],...[ x2n, y2n ]],...[[ xml, yml] ". . [xmn, yrnn]]) - побудова кривих по точках;

POLYGONS ([[xll, yll |,...[ xln, yln ]],[[ x21, y2H ,...[ x2n, y2n ]],...[[ xml, yml], .. . [xmn.ymn]]) - побудова замкнутої області - полігону (остання крапка має збігатися з першими);

Техт ([х, у], 'string', horizontal, vertical) - виведення текстової написи 'string', позіційованої координатами [х, у] з горизонтальної або вертикальної орієнтацією. Опція horizontal може мати значення ALIGNLEFT або ALIGNRIGHT, які вказують, в який бік (ліворуч або праворуч) йде напис. Аналогічно опція vertical може мати значення ALIGNABOVE або ALIGNBELOW, які вказують, в якому напрямку (вгору або вниз) йде напис.

При завданні графічних об'єктів (структур) si, s2, s3 і т.д. можна використовувати описані вище опції та параметри, наприклад, для завдання стилю STYLE-побудови (POINT, LINE, PATCH, PATCHNOGRID), товщини ліній THICKNESS