Арифметичні основи ЦВМ

1.1. Системи числення

У повсякденній практиці для подання чисел люди користуються майжевиключно десяткового системою числення. Лише в окремих випадкахзустрічаються залишки інших систем - римський рахунок, двенадцатірічная система
(години), шестидесяткова (хвилини).

Однак система зображення чисел, яка віками складаласястосовно до ручної праці, не дозволяє отримати найбільш ефективніметоди виконання обчислень. З цієї причини в обчислювальній техніцізастосовуються інші системи числення і найчастіше - двійкова.

Введемо кілька визначень.

Система числення - сукупність символів і правил для позначення чисел.

Розділяють системи числення позиційні і непозиційної.
Непозиційної система числення задається перерахуванням зображуваних у нійзначень. Позиційна система числення характеризується підставою і тим,що числа, як правило, передаються декількома розрядами (єбагаторозрядних), а вага будь-якого розряду визначається його позицією в числі.

Oснованіе позиційної системи числення визначає кількістьрізних цифр (символів), допустимий в системі числення. Це ж числовизначає, у скільки разів вага цифри даного розряду менше ваги цифрисусіднього старшого розряду.

Так, в десятковій системі числення, заснування якої дорівнює 10,розрізняють 10 арабських цифр - 0, 1, 2, ..., 9. Отже, при їївикористанні для запису числа, що не перевищує дев'яти, достатньо однієїцифри, і таке число записується як однорозрядних. А у випадку записучисла, більшого дев'яти, воно представляється як багаторозрядних. При цьомувага кожної більш старшого (розташованого зліва від поточного) розрядув десять (основа системи числення) разів більше поточного.

Так, наприклад, число 359 - трехразрядное, і в ньому 9 - цифра розрядуодиниць, 5 - цифра розряду десятків, 3 - цифра розряду сотень (у 10 разівперевищує вагу розряду десятків). При цьому значення трехразрядного числа 359виходить підсумовуванням трьох доданків: 3 сотні + 5 десятків + 9 одиниць.

Загальне правило визначення ваги розряду багаторозрядних числа таке:

Якщо пронумерувати розряди цілого числа справа наліво, починаючи від

0 для розряду одиниць, то вага будь-якого розряду виходить зведенням основи системи числення в ступінь, значення якої одно номером розряду.

Так, вага самого молодшого розряду цілих чисел дорівнює 1, оскільки номеррозряду дорівнює 0, а будь-яке число, у тому числі і число 10, зведена внульову ступінь, дає в результаті одиницю. Вага наступного ліворуч розрядудорівнює 10 в ступені 1, тобто дорівнює десяти, і т.д.

Це ж правило справедливо і для запису дрібних чисел. При цьомурозрядами праворуч від розряду одиниць, що має номер 0, присвоюютьсянегативні значення: -1, -2, і т.д., а їх ваги виходять також призведенні підстави 10 у відповідний ступінь. Так, наприклад,вага третього розряду в дробової частини числа 42,9724 буде дорівнює 10 вступеня (-3), тобто дорівнює однієї тисячної.

Зазначене правило можна проілюструвати наступним чином:

| Число | 7 | 5 | 0 | 6 | 8 |, 2 | 5 | 9 |
| Номер розряду | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | -1 | -2 | -3 |
| Вага розряду | 10000 | 1000 | 100 | 10 | 1 | 0,1 | 0,01 | 0,001 |

Як видно з прикладу, в позиційній системі числення достатньознати значення основи системи числення, символи, що зображуютьокремі цифри, і зазначене правило, щоб уявити будь-яке число.

У обчислювальній техніці широко застосовують двійкову, вісімкову ішестнадцатірічное систему числення.

Двійкова система числення має підставу 2, і, отже, дварізних цифри - 0 і 1; вісімкова - вісім різних цифр - 0, 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, а шестнадцатірічное - шістнадцять цифр - десять арабських цифр від 0до 9 і ще шість символів -

А (цифра, що зображає десять), D (цифра тринадцять),

В (цифра одинадцять), E (цифра чотирнадцять),

С (цифра дванадцять), F (цифрап'ятнадцять).

Найпростіше зіставити запис одних і тих самих чисел в цих системахчислення можна з використанням таблиці 1, наведеної на наступнійсторінці.

Ми вже говорили про те, що сучасні цифрові ЕОМ всі використовують вЯк основна двійкову систему числення. До її достоїнствналежить:

. простота виконання арифметичних і логічних операцій, що тягне за собою простоту пристроїв, що реалізують ці операції;
. можливість використання апарата алгебри логіки (булевої алгебри) для аналізу та синтезу операційних пристроїв ЕОМ.

До незручностей двійкової системи числення відноситься необхідністьперекладу чисел з десяткової в двійкову і навпаки, а також те, щозапис числа в двійковій системі громіздка (вимагає більшої кількості розрядів,ніж звична для людини десяткова). З цієї та ряду інших причин,крім двійковій застосовуються вісімкова і шестнадцатірічное системичислення.

Таблиця 1.1

| |
| С і с т е м а з ч и с л е н н я |
| 10 | 2 | 8 | 16 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 0 1 | 2 | 2 |
| 3 | 1 1 | 3 | 3 |
| 4 | 1 0 0 | 4 | 4 |
| 5 | 1 0 1 | 5 | 5 |
| 6 | 1 1 0 | 6 | 6 |
| 7 | 1 1 1 | 7 | 7 |
| 8 | 1 0 0 0 | 1 0 | 8 |
| 9 | 1 0 0 1 | 1 1 | 9 |
| 10 | 1 0 1 0 | 1 2 | A |
| +11 | 1 0 1 1 | 1 3 | B |
| 12 | 1 1 0 0 | 1 4 | C |
| 13 | 1 1 0 1 | 1 5 | D |
| 14 | 1 1 1 0 | 1 6 | E |
| 15 | 1 1 1 1 | 1 7 | F |
| 16 | 1 0 0 0 0 | 2 0 | 1 0 |

Спільне використання зазначених систем зумовлено двома причинами:
. в вісімковій і шістнадцятковій системах будь-яке число записується більш компактно, ніж двійкове;
. простотою перетворення із двійкової у вісімкову (шестнадцатіріч-ву) систему числення і навпаки.

Наведемо правила перекладу чисел із двійкової системи в вісімкову
(шестнадцатірічное) і навпаки.

П1. Правило перекладу "8с/с -> 2c/c"

При перекладі багаторозрядних числа кожну цифру вихідноговосьмеричного числа представити завжди точно трьома двійковими цифрами,взятими з наведеної вище таблиці. При цьому, якщо для записувідповідної вісімковій цифри у вигляді двійкової потрібно менше трьохдвійкових цифр, двійковий еквівалент доповнюється зліва нулями (незначущийнулі не спотворять значення числа). Таким чином, наприклад, при записічотирирозрядний восьмеричного числа повинно вийтидвенадцатіразрядное двійкове. Після закінчення такого перетворення можнавідкинути старші для всього числа незначущий двійкові цифри.

Відзначимо, що три цифри прийнято називати тріадою. Тому можнасказати, що при описуваному перекладі кожна вісімкова цифра замінюєтьсявідповідної їй тріадою двійкових цифр.

Якщо вихідне число дробове, тобто має цілу і дрібну частину, тов двійковому числі кома ставиться між тріадами, що представляютьвідповідні цифри вихідного числа.

Приклад.
Перетворимо вісімкове число 371,62.
Для цього запишемо для кожної цифри відповідну тріаду:

3 -> 011

7 -> 111

1 -> 001

6 -> 110

2 -> 010

Тепер можна записати число в двійковій формі (для наочності міжтріадами помістимо пробіли):

371,62 -> 011 111 001, 110 010

І, нарешті, запишемо отримане двійкове числа так, як це прийнято вматематики, без незначних нулів, а також відкинувши праві нулі вдробової частини числа:

371,62 -> 11111001,11001

П2. Правило перекладу "2с/с -> 8c/c"

При перекладі багаторозрядних двійкового числа у вісімкову формупоступають таким чином: Початкове число розбивають на тріади. При цьомудля цілої частини числа розбиття проводять від місцезнаходження комоювліво, а для дробової частині - від цього ж місця вправо. Потім сама лівагрупа при необхідності доповнюється незначущий нулями до освітитріади, а сама права група тільки в дробової частини доповнюється нулямиправоруч також до утворення повної тріади. Після цього кожна тріадазамінюється відповідної вісімковій цифрою. Розташування комоюзберігається за тими ж правилами, що і в правилі П1.

Приклад.
Уявити двійкове число 1101100,01111101 у формі восьмеричного.

Розіб'ємо вихідне число на групи по три цифри, прийнявши в якостіточки відліку місце розташування коми (для наочності між тріадамипомістимо пробіли):

1 101 100, 011 111 01

Тепер доповнимо до трьох цифр нулями саму ліву групу зліва і самуправу групу справа:

001 101 100, 011 111 010

І, нарешті, замінимо кожну тріаду відповідної вісімковійцифрою:

001 101 100, 011 111 100 -> 154,372

П3. Правило перекладу "16с/с -> 2c/c"

При перекладі багаторозрядних шестнадцатірічное числа у двійковуформу кожну цифру вихідного числа замінюють групою точно з чотирьохдвійкових цифр (замінюють тетрадою двійкових цифр). Розташування комоюзберігається за тими ж правилами, що і в правилі П1. В остаточнійзапису можна відкинути самі ліві (незначущий) нулі й самі праві нулідробової частини.

Приклад. Перетворити шестнадцатірічное число "6C, 7D" в двійковуформу.

Для цього запишемо для кожної цифри відповідну тетраду:

6 -> 0110

C -> 1100

7 -> 0111

D -> 1101

Тепер можна записати число в двійковій формі (для наочності міжзошитами помістимо пробіли):

6C, 7D -> 0110 1100, 0111 1101

І, нарешті, запишемо отримане двійкове числа так, як це прийнято вматематики, без незначних нулів:

6C, 7D -> 1101100,01111101

П4. Правило перекладу "2с/с -> 16c/c"

При перекладі багаторозрядних двійкового числа в шестнадцатірічное формунадходять у такий спосіб. Початкове число розбивають на тетради. При цьомудля цілої частини числа розбиття проводять від місцезнаходження комою вліво,а для дробової частини від цього ж місця вправо. Потім сама ліва групапри необхідності доповнюється незначущий нулями до утворення тетради, асама права група тільки в дробової частини доповнюється нулями справатакож до утворення повної тетради. Після цього кожна тетрадазамінюється відповідної шістнадцятковій цифрою. Розташуваннякомою зберігається за тими ж правилами, що і в правилі П1.

Приклад. Уявити двійкове число 1101100,01111101 у формішест-надцатірічного.

Розіб'ємо вихідне число на групи по чотири цифри, прийнявши в якостіточки відліку місце розташування коми (для наочності між зошитамипомістимо пробіли):

110 1100, 0111 1101

Тепер доповнимо до чотирьох цифр нулями зліва саму ліву групу:

0110 1100, 0111 1101

І, нарешті, замінимо кожну тетраду відповідної шістнадцятковійцифрою:

0110 1100, 0111 1101 -> 6С, 7D.

шестнадцатірічное і вісімкова системи числення використовуються длябільш компактною і зручною запису двійкових чисел.

Так, популярність шістнадцятковій системі принесло те, що з їївикористанням зручно представляти програми в кодах більшостісучасних ЕОМ.

1.2. Переклад чисел з однієї системи числення

в іншу

Оскільки в практичній діяльності люди звикли оперуватидесяткового системою числення, а в ЕОМ числа представляються в двійковій,необхідно навчитися перетворювати числа з однієї системи числення віншу. Розглянуті вище правила перекладу з двійкової системи числення ввісімкову і шестнадцатірічное і навпаки носять приватний характер іне можуть бути поширені на інші системи. Тут же ми розглянемозагальні правила перекладу, справедливі для будь-якої пари систем числення, хочаі більше громіздкі і трудомісткі в порівнянні з розглянутими вище.

Правила перекладу цілих і дрібних чисел не збігаються, тому наведемо три правила перекладу чисел із системи числення з основою R в системучислення з основою Q.

Правило 1. Переклад цілих чисел

Для переведення цілого числа N, представленого в системі числення (с/с) з підставою R, в с/с з підставою Q необхідно дане число ділити на основу Q за правилами с/с з підставою R до отримання цілого залишку, меншого Q. Отримане приватне знову потрібно ділити на основу Q до отримання нового цілого залишку, меншого Q, і т.д., до тих пір, поки останнє приватне буде менше

Q. Число N в с/с з підставою Q випаде у вигляді не впорядкованої послідовності залишків поділу в порядку, зворотному їх отримання (іншими словами, старшу цифру числа N дає останнє приватне).

Приклад. Перетворити десяткове число 67 у двійкову форму.

Підстава вихідної системи числення R = 107. Основа нової системичислення Q = 2.

Згідно з наведеним правилом треба вихідне число 67 ділити наоснову нової системи (на 2) за правилами десяткової системи числення
(початкова с/с).

Оскільки процес поділу на 2 дуже простий, скористаємося наступнимприйомом: у лівому стовпчику будемо писати поточні приватні, а у правому - поточнізалишки від їх ділення на 2 (це може бути або 0, або 1):

67 1 При діленні 67 на 2 виходить приватне 33 і залишок 1;

33 1 при діленні 33 - приватна 16 і залишок 1 і т.д.

16 0

8 0

4 0

2 0

1 1 старший цифра

0,4486 * 2 = 0,8972 0

0,8942 * 2 = 1,7944 1

0 , 7944 * 2 = 1,5888 1

0,5888 * 2 = 1,1776 1

0,1776 * 2 = 0,3552 0

0,3552 * 2 = 0,7104 0

шукалося подання число 0,7243 у двійковій системі числення
-> 0,101110.
Зверніть увагу, що для отримання шести цифр дробу виконано сіммножень
Це пов'язано з необхідністю виконати округлення, щоб представитидріб заданої довжини більш точно.

З останнього прикладу, кінцева дріб в одній системі численняможе стати нескінченної в іншій. Це твердження справедливо для всіхвипадків, коли одна система числення не може бути отриманазведенням в цілу ступінь підстави інший.

Приклади.

. Десяткова дріб 0,2 видається нескінченним дробом
0,33333 ... в шістнадцятковій системі числення (підстави с/з 10 і
16).
. Шестнадцатірічное дріб 0, В1 представляється кінцевої дробом
0,10110001 в двійковій системі числення (підстави з/с 16 і 2).

Правило 3. Переклад неправильного дробу

Переклад неправильного дробу з однієї системи числення в іншу здійснюється окремо для цілої і дробової частини за правилами, викладеним вище.

1.3. Двійкові коди для десяткових цифр

У ряді випадків в обчислювальній техніці застосовується не тількидвійкова, а й десяткова система числення. Однак і в цьому випадку дляпредставлення десяткових цифр використовується обладнання, розроблене дляподання двійкових цифр. У цьому випадку говорять про двійковій-десятковихкодах десяткових цифр.

Згідно формули Хартлі для подання 10 різних цифр потрібночотири біта інформації:

3 біти

Таким чином, при необхідності представити десять різних десятковихцифр комбінаціями двійкових цифр, кожну з них можна представити мінімумтетрадою двійкових чисел. Більшість кодів десяткових цифр використовуєтетради, хоча є і коди, у яких для кодування використовується більшечисло бітів.

Найбільш поширені двійковій-десяткові коди, у яких дляпредставлення десяткових цифр використовуються позиційні методи кодування.
Так, якщо розглядати чотири двійкових розряду тетради якчотирирозрядний двійкове число, то ваги її окремих розрядів ліворучнаправо будуть дорівнюють відповідно 8, 4, 2 і 1.

Тому перший двійковій-десятковий код, який ми розглянемо,позначається як код "8421". Його можна назвати кодом з природнимивагами.

У цьому коді кожна десяткова цифра видається її двійковимеквівалентом:

цифра 0 як 0000, цифра 1 як 0001, цифра 2 як 0010, цифра 5 як 0101, цифра 8 як 1000, цифра 9 як 1001.

У той же час , маючи чотири двійкових цифри, можна уявити не 10,а 16 різних комбінацій. Таким чином, при використанні коду "8421"шість комбінацій: 1010, 1011, ..., 1111 залишаться невикористаними,тобто не будуть зображувати жодної з десяткових цифр. Ці комбінаціївважаються забороненими.

а) Коди з надлишком

Крім розглянутої системи кодування досить широковикористовуються також так звані коди з надлишком. Розглянемо групукодів "8421" з надлишком ".

Код" 8421 "з надлишком W" будується за наступними правилами:

При кодуванні десяткової цифри, до неї спочатку додають W, і потім отримане число представляють як двійкове в коді "8421".

Значення W може бути рівним 1, 2, 3, 4, 5 або 6. При будь-якому значеннінадлишку W шість з шістнадцяти комбінацій залишаться невикористаними.
Тільки для різних надлишків ці значення будуть різними.

Приклад. Розглянемо код "8421" з надлишком 3 ".

а) Уявімо цифру 8 в даному коді.

Спочатку збільшимо 8 на 3. Вийде 11.
Потім запишемо 11 в коді "8421". Вийде 1011.
Число 1011 і є подання цифри 8 в даному коді.

б) Відновимо цифру, яка зображується комбінацією 0101.

Спочатку наведемо десяткове число, розглядаючи комбінацію 0101, як його зображення в коді "8421". Вийде число 5.
Потім віднімемо з нього (з 5) надлишок 3. Вийде 2.
Це і є шуканий відповідь: Комбінація 0101 зображує десяткову цифру 2 в коді "8421" з надлишком 3 ".в) Відновимо цифру, яка зображується комбінацією 1110.

Відновимо десяткове число. Вийде 14.
Віднімемо з нього надлишок 3. Вийде 11.
Оскільки 11 не є?? есятічной цифрою (це двухразрядное десяткове число), робимо висновок, що комбінація 1110 не зображує ніякої десяткової цифри і є забороненою.

б) Код "2421"

Крім кодів з природними вагами розрядів застосовуються і інші.
Одним з широко відомих кодів є позиційний код, побудований звикористанням тетради двійкових цифр, ваги яких зліва направо рівнівідповідно: 2, 4, 2 і 1.

Уявімо коди цифр у таблиці:

| Цифра | Код "2421" | Цифра | Код "2421" |
| 0 | 0000 | 5 | 0101 або 1011 |
| 1 | 0001 | 6 | 0110 або 1100 |
| 2 | 0010 або 1000 | 7 | 0111 або 1101 |
| 3 | 0011 або 1001 | 8 | 1110 |
| 4 | 0100 або 1010 | 9 | 1111 |

Як видно з таблиці, ряд десяткових цифр можуть бути представленідвома не співпадають двійковими комбінаціями.

Наприклад, комбінації 0100 і 0010 зображують цифру 2, комбінації 1010і 0100 зображують цифру 4 і т.д. Відмінною рисою даного кодує те, що в ньому немає невикористаних (заборонених) комбінацій.

в) Код "2 з 5"

Цей код належить до непозиційної кодами. Як і всі непозиційноїкоди він визначається табличним способом. Його назва відображає принциппобудови коду: будь-яка десяткова цифра представляється комбінацією з
5 двійкових цифр, в якій точно дві цифри 1 і, отже, три цифри
0.

Уявімо таблицю одного з можливих варіантів для даного коду:

| Цифра | Код | Цифра | Код |
| 0 | 11000 | 5 | 01010 |
| 1 | 00011 | 6 | 01100 |
| 2 | 00101 | 7 | 10001 |
| 3 | 00110 | 8 | 10010 |
| 4 | 01001 | 9 | 10100 |

Всі інші можливі комбінації, в яких число одиниць не однодвом, є забороненими.

Також як і всі коди на основі тетради "8421", останній кодналежить до групи кодів, що володіють так званими діагностичнимиможливостями: Якщо відомо, що деяка комбінація повинна зображатидесяткову цифру, але потрапляє в область заборонених, значить сталосяперекручування інформації. Ця властивість кодів активно використовується в апаратурі
ЕОМ.

Для закріплення матеріалу з перекладу чисел з однієї системи численняв іншу виконаємо кілька прикладів.

Приклад 1. Уявити десяткове число 581 у двійковій,вісімковій і шістнадцятковій системах числення.

Завдання можна вирішити з мінімальними витратами зусиль, виконавши,наприклад, переклад в двійкову с/р за загальним правилом (тобто поділом напідставу 2 за правилами десяткової системи числення), а потім здвійковій у восьми-і шестнадцатірічное системи числення, використовуючиспрощені правила (кодуванням відповідно зошити і тріад).

Приклад 2. Уявити десяткове число 993,761 в двійковій ішістнадцятковій системах числення.

Завдання можна вирішити таким же чином, як і попередню.

Приклад 3. Уявити шестнадцатірічное число 8363 в десятковійсистемі числення.

Скористаємося загальним правилом. Для цього треба вихідне число ділити на
10 за правилами шістнадцятковій системи числення.

Що ж це за правила? Це такі ж правила додавання, віднімання,множення і ділення, що і в десяткового с/с, але над числами впозиційної шістнадцятковій с/с.

Виконаємо переклад:

8 3 6 3 A
_ (131)

(130) D 2 3 A