Зміст
1. Введення. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2. Афіни перетворення на площині. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .4
3. Однорідні координати точки. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 9
4. Афінний перетворення в просторі. . . . . . . . . . .
. . . . . . . 15
5. Висновок. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .23
6. Список літератури. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 24
1. Введення
Висновок зображення на екран дисплея і різноманітні дії з ним, утому числі і візуальний аналіз, вимагають від користувача достатньоюгеометричній грамотності. Геометричні поняття, формули і факти,пов'язані, перш за все, до плоского і тривимірному випадках, грають узадачах комп'ютерної графіки особливу роль. Геометричні міркування,підходи та ідеї в поєднанні з постійно розширюються можливостямиобчислювальної техніки є невичерпним джерелом істотнихпросувань на шляху розвитку комп'ютерної графіки, її ефективноговикористання в наукових та інших дослідженнях. Часом навіть найпростішігеометричні методики забезпечують помітні просування на окремихетапах вирішення великої графічної задачі.
Перш за все, необхідно зауважити, що особливості використаннягеометричних понять, формул і фактів, як простих і добре відомих,так і нових більш складних, вимагають особливого погляду на них та іншогоосмислення.
Тепер необхідно розглянути графічну реалізацію 3-х мірнихоб'єктів, тому що вона тісно пов'язана з властивостями об'єктів. Система координатекрану, як відомо, є двовимірної, тому на екрані можливаемуляція 3-х мірної системи координат, що розташована найбільш зручно дляподальших розрахунків. Надалі всі об'єкти вважаються 3-х мірними, авідображення здійснюється за допомогою набору функцій розробленоїбібліотеки.
Одним із прикладів реалізації цього підходу може служити наступний.
Кожен об'єкт, в простому випадку, являє собою паралелепіпед ізберігається в пам'яті розмірами по трьох осях. Також в його структуру входитьнабір спеціальних точок, що відповідають за з'єднання блоків у просторі. Узагальному випадку, це точка прив'язки і початкова точка. В цілому, виходитьгнучка графічна модель, що дозволяє змінювати розміри блоківпрактично миттєво. Таким чином, з'являється можливість здійснитинайпростіший графічний редактор тривимірних об'єктів. При цьому всі блокибудуть змінюватися, створюючи загальну графічну модель. Маючи справу зграфічною моделлю, можна реалізувати обертання сукупності тривимірнихоб'єктів. Це здійснюється за допомогою набору функцій, які виробляютьобертання об'єктів. Для обертання кожного об'єкту існує алгоритм,який розбиває об'єкт (у простому випадку паралелепіпед) на набірточок, кожна з яких обертається, використовуючи найпростіші перетворення впросторі шляхом множення матриці радіус-вектора на матриціперетворень в просторі. Розглянемо більш детально даний підхід зформальної сторони.
2. Афіни перетворення на площині
У комп'ютерній графіці все, що відноситься до двовимірному нагоди прийнятопозначати символом (2D) (2-dimention).
Припустимо, що на площині введена прямолінійна координатна система.
Тоді кожній точці М ставиться у відповідність впорядкована пара чисел (х,у) її координат (рис. 1). Запроваджуючи на площині ще одну прямолінійну системукоординат, ми ставимо у відповідність тій же точці М іншу пару чисел - (x *,y *).
Рис. 1
Перехід від однієї прямолінійною координатної системи на площині доінший описується наступними співвідношеннями:
x * =? x +? y +?,
(2.1) y * =? x +? y +?,
(2.2)
де?,?,?,?,? - Довільні числа, пов'язані нерівністю:
? ?
'0.
(2.3)
? ?
Формули (2.1) та (2.2) можна розглядати двояко: або зберігаєтьсяточка і змінюється координатна система (рис. 2) - в цьому випадкудовільна точка М залишається тією ж, змінюються лише її координати (х, у)
| (Х *, y *), або змінюється точка і зберігається координатна система (мал.
3) - в цьому випадку формули (2.1) та (2.2) задають відображення, що переводитьдовільну точку М (х, у) в точку М * (х *, у *), координати якоївизначені в тій же системі координат.
X *
Y *
Рис. 2
Рис. 3
Надалі, формули (2.1) та (2.2) будуть розглядатися як правило,згідно з яким у заданій системі координат прямолінійних перетворюютьсяточки площини.
У афінних перетвореннях площині особливу роль грають кількавжних окремих випадків, що мають добре прослежіваемиегеометріческіехарактеристики. При дослідженні геометричного сенсу числовихкоефіцієнт у формулах (2.1) та (2.2) для цих випадків зручно вважати, щозадана система координат є прямокутної декартовій.
1. Поворот навколо початкової точки на кут? (рис. 4) описується формулами:
х * = x cos? - Y sin?,
(2.3) y * = x sin? - Y cos?.
(2.4)
2. Растяжение (стиснення) уздовж координатних осей можна задати так:
x * =? X,
(2.5) y * =? Y,
(2.6)
? > 0,? > 0.
(2.7)
Растяжение (стиснення) уздовж осі абсцис забезпечується за умови, що? > 1
(? <1). На рис. 5? '? > 1.
3. Відображення (щодо осі абсцис) (рис. 6) задається за допомогою формул:
x * = x,
(2.8) y * =-y.
(2.9)
4. На рис. 7 вектор переносу ММ * має координати?,?. Перенесення забезпечує співвідношення:
x * = x +?,
(2.10) y * = y +?.
(2.11) < p> Рис. 4
Рис. 5
Рис. 6
Рис. 7
Вибір цих чотирьох окремих випадків визначається двомаобставинами.
1. Кожне з наведених вище перетворень має простий і наочний геометричний зміст (геометричним змістом наділені і постійні числа, що входять у наведені формули).
2. Як відомо з курсу аналітичної геометрії, будь-яке перетворення виду (2.1) завжди можна представити як послідовне виконання
(суперпозицію) найпростіших перетворень виду 1 - 4 (або частини цих перетворень).
Таким чином, справедливо наступне важлива властивість афіннихперетворень площині: будь-яке відображення виду (2.1) можна описати задопомоги відображень, що задаються формулами (2.3) - (2.11).
Для ефективного використання цих відомих формул в задачахкомп'ютерної графіки більш зручною є їх матрична запис. Матриці,відповідні випадків 1 - 3, будуються легко і мають відповіднонаступний вигляд:
cos? sin? ? 0 1 0
-sin? cos? 0? 0 -1
3. Однорідні координати точки
Нехай М - довільна точка площини з координатами х і у,вичисленими щодо заданої прямолінійною координатної системи.
Однорідними координатами цієї точки називається будь-яка трійка одночасно нерівних нулю чисел х1, х2, х3, пов'язаних із заданими числами х і унаступними співвідношеннями:
x1/x3 = x, x2/x3 = y
(3.1)
При рішенні задач комп'ютерної графіки однорідні координати зазвичайвводяться так: довільній точці М (х, у) площини ставиться у відповідністьточка МЕ (х, у, 1) у просторі.
Необхідно зауважити, що довільна точка на прямій, що сполучаєпочаток координат, точку О (0, 0, 0), з точкою МЕ (х, у, 1), може бутизадана трійкою чисел виду (hx, hy, h).
Будемо вважати, що h = 0. Вектор з координатами hx, hy, h єнапрямних вектором прямої, що сполучає точки О (0, 0, 0) та МЕ (х, у, 1).
Ця пряма перетинає площину z = 1 в точці (х, у, 1), яка однозначновизначає точку (х, у) координатної площини ху.
Тим самим між довільною точкою з координатами (х, у) і безліччютрійок чисел виду (hx, hy, h), h = 0, встановлюється взаємно однозначнавідповідність, що дозволяє вважати числа hx, hy, h новими координатами цієїточки.
Широко використовувані в проективної геометрії однорідні координатидозволяють ефективно описувати так звані Невласні елементи (засуті, ті, якими проектна площину відрізняється від звичноїевклідової площині).
У проективної геометрії для однорідних координат прийнято наступнепозначення:
х: у: 1
(3.2)
або, більш загально,
х1: х2: х3
(3.3)
(тут неодмінно потрібно, щоб числа х1, х2, х3 одночасно в нуль незверталися).
Застосування однорідних координат виявляється зручним вже при вирішеннінайпростіших завдань.
Розглянемо, наприклад, питання, пов'язані зі зміною масштабу. Якщопристрій відображення працює тільки з цілими числами (або якщонеобхідно працювати тільки з цілими числами), то для довільного значенняh (наприклад, h = 1) точку з однорідними координатами (0.5, 0.1, 2.5)уявити не можна. Однак при розумному виборі h можна домогтися того, щобкоординати цієї точки були цілими числами. Зокрема, при h = 10 длярозглянутого прикладу маємо (5, 1, 25).
Розглянемо інший випадок. Щоб результати перетворення непризводили до арифметичного переповнення у точці з координатами (80000,
40000, 1000) можна взяти, наприклад, h = 0.001. В результаті отримаємо (80,
40, 1).
Наведені приклади показують корисність використання одноріднихкоординат при проведенні розрахунків. Однак основною метою введенняоднорідних координат в комп'ютерній графіці є їх безсумнівнузручність у застосуванні до геометричних перетворень.
За допомогою трійок однорідних координат і матриць третього порядку можнаописати будь-який Афінний перетворення площині.
Вважаючи, h = 1, порівняємо два записи:
? ? 0
(x * y * 1) = (x y 1)? ? 0 (3.4)
? ? 1
Неважко помітити, що після перемножування виразів, що стоять в правійчастини останнього співвідношення, ми отримаємо формули (2.1) та (2.2) і вірнечислове рівність 1 = 1. Тим самим порівнювані записи можна вважатирівносильними.
Елементи довільної матриці афінної перетворення не несуть у собіявно вираженого геометричного сенсу. Поетомучтоби реалізувати те абоінше відображення, тобто знайти елементи відповідної матриці позаданим геометричному опису, необхідні спеціальні прийоми. Зазвичайпобудова цієї матриці відповідно до складності поставленого завдання із описаними вище окремими випадками рзбівают на кілька етапів.
На кожному етапі пишеться матриця, що відповідає тому чи іншому звиділених вище випадків 1 - 4, що володіють добре вираженимигеометричними властивостями.
Випішнм відповідні матриці третього порядку.
А. Матриця обертання (rotation)
cos? sin? 0
[R] =-sin? cos? 0
(3.5)
0 0 1
Б. Матриця розтягування-стиснення (dilatation)
? 0 0
[D] = 0? 0
(3.6)
0 0 1
В. Матриця відображення (reflection)
1 0 0 < p> [M] = 0 -1 0
(3.7)
0 0 1
Г. Матриця переносу (translation)
1 0 0
[T] = 0 1 0
(3.8)
? ? 1
Розглянемо приклади афінних перетворень площини.
Приклад 1. Побудувати матрицю повороту навколо точки А (a, b) на кут?
(рис. 9).
?
Рис. 8
1-й крок. Перенесення на вектор - А (-a,-b) для зсуву центру поворотуз початком координат;
1 0 0
[TA] = 0 1 0
(3.9)
-a-b 1
матриця відповідного перетворення.
2-й крок. Поворот на кут?;
cos? sin? 0
[R? ] =-Sin? cos? 0
(3.10)
0 0 1
матриця відповідного перетворення.
3-й крок. Перенесення на вектор А (a, b) для повернення центру поворотув колишнє положення;
1 0 0
[TA] = 0 1 0
(3.11) ab 1
матриця відповідного перетворення .
перемноживши матриці в тому ж порядку, як вони виписані:
[TA] [R? ] [TA].
В результаті отримаємо, що шукане перетворення (в матричній запису)буде виглядати наступним чином:
cos?sin? 0
(x * y * 1) = (x y 1)-sin? cos?
0 (3.12)
-a cos? + B sin? + A-a sin?
- B cos? + B 1
Елементи отриманої матриці (особливо в останньому рядку) не таклегко запам'ятати. У той же час кожна з трьох перемножуєте матриць загеометричному опису відповідного відображення легко будується.
Приклад 2. Побудувати матрицю розтягування з коефіцієнта розтягування?уздовж осі абсцис і? уздовж осі ординат і з центром в точці А (a, b).
1-й крок. Перенесення на вектор-А (-a,-b) для поєднання центрурозтягування з початком координат;
1 0 0
[TA] = 0 1 0
(3.13)
-a-b 1
матриця відповідного перетворення.
2-й крок. Розтягування уздовж координатних осей з коефіцієнта? і?відповідно; матриця перетворення має вигляд
? 0 0
[D] = 0? 0
(3.14)
0 0 1
3-й крок. Перенесення на вектор А (a, b) для повернення центрурозтягування в колишнє положення; матриця відповідного перетворення:
1 0 0
[TA] = 0 1 0
(3.15) ab 1 < p> Премножів матриці в тому ж порядку
[TA] [D] [TA],отримаємо остаточно
? 0
0
(x * y * 1) = (xy 1) 0?
0 (3.16)
(1 -?) a (1 -?) b
1
Міркуючи подібним чином, тобто розбиваючи запропонованеперетворення на етапи, підтримувані матрицями [R], [D], [M], [T
], Можна побудувати матрицю будь-якого афінної перетворення за йогогеометричному опису.
4. Афінний перетворення в просторі
Розглянемо тривимірний випадок (3D) (3-dimension) і відразу введемооднорідні координати.
Потупа аналогічно тому, як це було зроблено в розмірності два,замінимо координатну трійку (x, y, z), задану точку в просторі, начетвірку чисел
(x y z 1)або, більш загально, на четвірку
(hx hy hz), h = 0.
Кожна точка простору (крім початкової точки О) може бути заданачетвіркою одночасно не рівних нулю чисел; ця четвірка чисел визначенаоднозначно з точністю до загального множника.
Запропонований перехід до нового способу завдання точок дає можливістьскористатися матричної записом і в більш складних тривимірних задачах.
Будь-яке Афінний перетворення в тривимірному просторі може бутипредставлено у вигляді суперпозиції обертань, розтягувань, відбитків іпереносів. Тому цілком доречно спочатку детально описати матриці самецих перетворень (ясно, що в даному випадку порядок матриць повинен бутидорівнює чотирьом).
А. Матриці обертання в просторі.
Матриця обертання навколо осі абсцис на кут?:
1 0 0 0 < p> 0. cos? sin? 0
0-sin? cos? 0
0 0 0 1
Матриця обертання навколо осі ординат на кут?:
cos? 0-sin? 0
0 1 0 1 sin? 0 cos? 0
0 0 0 1
Матриця обертання навколо осі аппікат на кут?:
cos? sin? 0 0
-sin? cos? 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
Корисно звернути увагу на місце знаку «-» в кожній з трьохнаведених матриць.
Б. Матриця розтягування-стиснення:
? 0 0 0
0? 0 0
0 0? 0
0 0 0 1
де
? > 0 - коефіцієнт розтягування (стискання) уздовж осі абсцис;
? > 0 - коефіцієнт розтягування (стискання) уздовж осі ординат;
? > 0 - коефіцієнт розтягування (стискання) уздовж осі апплікат.
В. Матриці відображення
Матриця відображення відносно площини ху:
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 -1 0
0 0 0 1
Матриця відображення відносно площини yz:
-1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
Матриця відображення відносно площини zx:
1 0 0 0
0 -1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
Г. Матриця переносу (тут (?,?,?) - вектор переносу):
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
? ? ? 1
Як і в двовимірному разі, всі виписані матриці невирождени.
Наведемо важливий приклад побудови матриці складного перетворення зйого геометричного опису.
Приклад 3. Побудувати матрицю обертання на кут? навколо прямий L,що проходить через точку А (a, b, c) і має що направляє вектор (l, m, n).
Можна вважати, що спрямовує вектор прямої є одиничним: l2 + m2 + n2 = 1
На рис. 10 схематично показано, матрицю якого перетворенняпотрібно знайти.
L
X
Рис. 10
Рішення сформульованої задачі розбивається на кілька кроків.
Опишемо послідовно кожен з них.
1-й крок. Перенесення на вектор-А (-a,-b,-c) за допомогою матриці
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
-a-b-c 1
У результаті цього преноса ми добиваємося того, щоб пряма Lпроходила через початок координат.
2-й крок. Поєднання осі апплікатс прямий L двома поворотами навколоосі абсцис і осі ординат.
1-й поворот - навколо осі абсцис на кут? (підлягає визначенню).
Щоб знайти цей кут, розглянемо ортогональну проекцію L 'вихідної прямий
L на площину X = 0 (мал. 11).
L 'L?
Y
?
0
Рис. 11
Направляючий вектор прямої L 'визначається просто - він дорівнює
(0, m, n).
Звідси відразу ж випливає, що
cos? 'N/d, sin? = M/d,
(4.10)
де
d = m2 + n2
(4.11) < p> Відповідна матриця обертання має такий вигляд:
1 0 0 0
0 n/dm/d 0
0 -m/dn/d 0
0 0 0 1
Під дією перетворення, що описується цією матрицею, координативектора (l, m, n) зміняться. Якщо підрахувати їх, в результаті отримаємо
(l, m, n, 1) [Rx] = (l, 0, d, 1).
(4.13)
2-й поворот навколо осі осі ординат на кут?, обумовленийспіввідношеннями сos? = L, sin? =-D
(4.14)
Відповідне матриця обертання записується в наступному вигляді:
l 0 d 0
0 1 0 0
-d 0 l 0
0 0 0 1
3-й крок. Обертання навколо прямої L на заданий кут?.
Так ка тепер пряма L співпадає з віссю апплікат, то відповіднаматриця має такий вигляд:
cos? sin? 0 0
-sin? cos? 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
4-й крок. Поворот навколо осі ординат на кут -?.
5-й крок. Поворот навколо осі абсцис на кут -?.
Однак обертання в просторі некоммутатівно. Тому порядок, вякому проводяться обертання, є досить существенним.
6-й крок. Перенесення на вектор А (a, b, c).
перемноживши знайдені матриці в порядку їх побудови, отримаємонаступну матрицю:
[T] [Rx] [Ry] [Rz] [Ry] -1 [Rx] -1 [T] -1.
випишемо остаточний результат, вважаючи для простоти, що вісьобертання ходить через початкову точку.
l2 + cos? (1 - l2) l (1 - cos?) m + n sin? l (1 - cos
?) n - m sin? 0 l (1 - cos?) M - n sin? m2 + cos? (1 - m2) m (1 - cos?) n + lsin? 0 l (1 - cos?) N + m sin? m (1 - cos?) n - lsin? n2 + cos
? (1 - n2) 0
0 0
0 1
Розглядаючи приклади подібного роду, ми будемо отримувати в результатіневироджені матриці виду
? 1? 2? 3 0
? 1? 2? 3 0
? 1? 2? 3 0 < p>? ? ? 1
За допомогою таких матриць можна перетворити будь-які плоскі іпросторові фігури.
Приклад 4. Потрібно піддати заданому афінному перетворенняопуклий багатогранник.
Для цього спочатку по геометричному опису відображення знаходимо йогоматрицю [A]. Помічаючи далі, що довільний опуклий багатогранникоднозначно задається набором всіх своїх вершин
Vi (xi, yi, zi), i = 1, ..., n,
Будуємо матрицю
x1 y1 z1 1
V =. . . . . . . .
. . (4.18) xn yn zn 1
Піддаючи цей набір перетворенню, описуваного знайденоїневироджених матрицею четвертого порядку, [V] [A], ми отримуємо набірвершин нового опуклого багатогранника - образу вихідного (рис. 12).
Z
0
Y
X < p> Рис. 11
5. Висновок
З огляду на вищеописані принципи, була розроблена програмамоделювання синтезу металорізальних верстатів, яка наочно показуєзалежність компонування верстата від форми оброблюваної поверхні через кодкомпонування, а також можливість побудови моделі верстата зі стандартнихвузлів для подальшої оцінки компонування. З причини того, що дана програмарозроблялася як дослідження, в ній лише наочно демонструєтьсямодель верстата для обробки довільній поверхні.
Програма побудована на основі принципів об'єктно-орієнтованогопрограмування (ООП). Такий підхід був визнаний оптимальним для даноїзавдання з урахуванням того, що модель верстата будується на основі компоновочнойкоду. При реалізації спочатку була розглянута ланцюжок вузлів, що представляєверстат. Це призвело до труднощів і незручності реалізації відображення 3-хмірної моделі в емулювати графічному просторі. Тому булареалізована концепція, яка розглядає верстат, як "дерево" об'єктів,виходячи з того, що один з вузлів верстата, а саме станина, єнерухомим і зафіксованим жорсткою прив'язкою до системи координат. Такимчином, отримана модель являла собою об'єкт, з якого виходилидва "гілки" об'єктів.
Принципи ООП дозволили створити базовий клас, з якого булиотримані дочірні класи для станини і інших вузлів. Кожен об'єктінкапсулювати свої властивості та "бачив" лише свої геометричні розміри ікоординати, в які він повинен бути поміщений, в результаті чого модельвийшла гнучкою.
6. Список використаної літератури.
1. Шишкін О. В., Боресков А. В. Комп'ютерна графіка. М.: Диалог-МИФИ,
1995. - 288 с., Іл.
2. Вайсберг А. В., Гриценко М. Е. Формування структури верстата на ранніх стадіях проектування. - Точність автоматизованих виробництв (ТАП - 97). Збірник статей міжнародної науково-технічної конференції. Пенза, 1997., С. 52 - 53.
-----------------------< br>M (x, y)
X
Y
0
0
Y
X
M 0 *
0
Y
X
M
M *
0
Y
X
M
M *
0
Y
X
M *
M
0
Y
X
M
M *
0
Y
X
M
M *
0
Y
X
А
(4.2)
[Ry] =
(4.1)
[Rx] =
[Rz] =
(4.3)
[D] =
(4.4)
[Mz] =
(4.5)
[Mx] =
(4.6)
[My ] =
(4.7)
[T] =
(4.8)
[T] =
Z
Y
(4.9)
Z
X
[Rx] =
(4.12)
[Ry] =
(4.15)
[Rz] =
(4.16)
[А] =
(4.17)
