Метод половинного поділу

Інформатика, програмування

Міністерство загальної та професійної освіти

Стерлітамакський Державний Педагогічний Інститут

кафедра інформатики та обчислювальної техніки

Курсова робота на тему:

«Метод половинного поділу в шкільному курсі інформатики»

Роботу виконали студенти 42 групи ФМФ:

Дубовицький Сергій і Волков Антон

Керівник: доцент Хусаинова Г.Я.

Стерлітамак 2001

ПЛАН:

Введення

Метод половинного поділу 4

Завдання 4

Алгоритм 6

Блок схема 7

Висновок 8

Література 9

Додаток

Введення

Метою даної курсової роботи є розкриття змісту теми «Методполовинного поділу »і подальше її закріплення шляхом виконаннялабораторної роботи та практичних завдань.

Однією з головних завдань у навчанні є розвиток творчих ідослідницьких здібностей учнів. На уроках інформатики застосуваннякомп'ютерів дозволяє учням займатися дослідницькою роботою прирішенні задач з різних областей (наприклад, фізичні, математичні,економічні задачі). При цьому вони повинні навчитися чітко формулюватизавдання, вирішувати її і оцінювати отриманий результат.

Використання нових інформаційних технологій дозволяє вирішуватидеякі задачі нетрадиційними способами, а також вирішувати прикладнізавдання, які раніше не могли розглядатися в силу складностіматематичного апарату. Так, в шкільному курсі математики учнірозглядають рівняння, які мають точні рішення. Однак у реальномупрактиці рішення більшості рівнянь не може бути записано в явному вигляді.
Їх рішення знаходиться тільки наближеними методами. Раніше способи вирішеннятаких рівнянь розглядалися після вивчення одного з алгоритмічнихмов. По-перше, розробляли алгоритм методу рішення (наприклад,ітерації, половинного поділу). По-друге, складали програму івикористовували її для отримання рішення та його дослідження. Найважче було прививченні теми "Моделювання", коли розглядали завдання оптимізації.
Завдання повинні були бути досить простими, що допускають тільки однупошукову змінну.

У шкільному курсі інформатики метод половинного ділення вивчається в 11класі на 42 уроці при вивченні розділу «Комп'ютерне моделювання»,закріплюється тема на 43 уроці у вигляді Лабораторної роботи.

Метод половинного поділу

Рішення алгебраїчного рівняння. Для чисельного рішенняалгебраїчних рівнянь існує безліч способів. Серед найбільшвідомих можна назвати метод Ньютона, метод хорд, і «всепереможний» метод
Половинного Поділу. Відразу зауважимо, що будь-який метод єнаближеним, і по суті справи лише уточнюючою значення кореня. Однакуточнюючою до будь-якої точності, заданої Нами.

Метод половинного поділу або дихотомії (дихотомія - зіставленняабо протиставлення двох частин цілого) при знаходженні коренярівняння f (x) = 0 полягає в поділі навпіл відрізка [a; b], де знаходитьсякорінь. Потім аналізується зміна знаку функції на половинних відрізках,і один з кордонів відрізка [a; b] переноситься в його середину. Переноситься тамежа, з боку якої функція на половині відрізка знака не змінює.
Далі процес повторюється. Ітерації припиняються при виконанні одного зумов: або довжина інтервалу [a; b] стає менше заданої похибкизнаходження кореня?, або функція потрапляє в смугу шуму? 1 - значенняфункції можна порівняти з похибкою розрахунків.

Спочатку поставимо завдання. Дана монотонна, безперервна функція f (x),яка містить корінь на відрізку [a, b], де b> a. Визначити корінь зточністю?, якщо відомо, що f (a) * f (b) 0, то тепер точкою a стане c: a = c; Якщо d?, то йдемо до пункту 1) якщо ні, то корінь з потрібної нам точністю знайдений, і він дорівнює: x = (a + b)/2;

Блок-схема

Висновок

Інформатиці важко існувати в школі як окремої науці, вона повиннадопомагати іншим навчальних предметів у розвитку пізнавального інтересу допредмету, у вирішенні логічних завдань, в обробці результатів лабораторнихробіт та індивідуальних практичних завдань. Школярі починають відчуватизадоволення, помічаючи, що елементи математики та інформатики маютьреальне втілення у фізичних процесах.

Математика є необхідною базою, яка дозволяє глибшевникнути в суть описуваних фізичних явищ і закономірностей. Hа урокахфізики розвиваються і конкретизуються багато математичні поняття:функції, графіки, рівняння, нерівність, похідна, інтеграл, вектор іін Це вимагає узгоджених дій від вчителя фізики та математики приформування загальних понять.

У застосуванні інформатики до викладання інших предметів використовуються восновному дві форми роботи: залучення програмних засобів для контролюзнань учнів і робота учнів з навчальними програмами. Остороньзалишаються можливості складання програм самими учнями для вирішення тихчи інших завдань, наприклад, з області фізики. Серед методистівпоширена думка, що подібна робота в школі можлива лише на високомурівні (у спеціалізованих класах) через слабку підготовку учнів уобласті програмування. Однак при узгоджених діях викладачівфізики, математики та інформатики цей недолік може бути легко виконаний.
Зокрема успішним виявляється проведення уроків за темою "Рух тілапід дією сили тяжіння при початковій швидкості управління горизонтальноабо під кутом до горизонту ", що вивчається в курсі фізики 9 класу спільно звчителем інформатики. В курсі інформатики Учням пропонуєтьсялабораторна робота "Артіллеріская завдання". При виконанні даної роботивчитель відпрацьовує навички програмування, вивчає метод дихотомії
(половинного поділу). При цьому доводиться вирішувати завдання фізично, тобтовиникають труднощі із застосування формул фізики. Таким чином затьмарюєтьсяголовна мета уроку з інформатики: формування вмінь і навичок вирішеннязадач методом половинного поділу з використанням ЕОМ. Тому тут інеобхідне проведення інтегрованих уроків з фізики та інформатики прирішенні задач. Тим більше, що до Збірника задач з фізики для 9-11 класів
(перевиданого в 1992 р.), автором якого є А.П. Римкевіч,включені програмувальні задачі, що для вирішення потребують знань зфізики та інформатики.

Література

1. Гейн А.Г., А.И. Сенокосов, Н.А. Юнерман «Інформатика: навчальний посібник для 10-11 класів». М.: Просвещение, 2001.

2. Гейн А.Г., В.Г. Житомирський, Е.В. Лінецький, М.В. Сапір, В.Ф.

Шолоховіч «Основи інформатики та обчислювальної техніки». М.:

Просвещение, 1992.

3. Симонович С., Г. Євсєєв. «Практична інформатика: Навчальний посібник для середньої школи. Універсальний курс ». - М.: Аст-Прес ": Інфорком-прес, 2001.

4. Мережа Internet

Додаток

Тематичне планування уроків у 11 класі (68 годин).

Завдання

1. Дано рівняння 2.2х-2х = 0. Знайти обидва кореня рівняння методомполовинного поділу і методом ітерацій.

Рішення:
Інтервал (а = 0, b = 4) на якому лежать коріння знаходиться з графіка (рис.1.):
(рис.1.)
(метод половинного поділу)

INPUT "Ведіть похибка"; ea = 0: b = 2: k = 0: d = 0start: z = 2.2 * a - 2 ^ adiv: x = (a + b)/2

IF (b - a)/2 0 THEN a = x: z = y ELSE b = x

GOTO divyes: PRINT "X ="; x, "K ="; k

IF d = 0 THEN a = b: b = 4: d = 1: GOTO start

Результати обчислень:

Ведіть похибка? 0.001
X = .7802734 K = 10
X = 2.400841 K = 21

2. Скласти алгоритм та програму на мові Turbo Basic, яка дозволяєкомп'ютера вгадати число, загадане користувачем (від 1 до 64) не більше,ніж за 7 спроб.

3. Задана функція у (х) = x (((exp (-x) - x (0.22.а) Методом половинного поділу опpеделіть коpень уpавненія y (х) = 0 наінтеpвале (0, 10) з точністю до 0.001.б) Мет?? будинок половинного поділу знайти максимум функції на інтервалі (0, 10)з точністю до 0.001 за аpгументу.

4. а) Для рівняння x3 - 3x + 3 = 0 визначте два числа, що утворюють
"Вилку" для кореня цього рівняння. скільки разів доведеться виконати поділнавпіл для знайденого вами відрізка, щоб отримати корінь з точністю
0,01? А з точність 0,001? б) Виконайте завдання а) для рівняння 2х = 3х. в) Виконайте завдання а) рівняння cos x = x.

Лабораторна робота

Комп'ютерним засобом, за допомогою якого ми будемо вирішувати завдання,є електронна таблиця. Підготуємо її заповнення.

| A | B | C | D |
| Відстань S | 3000 | Точність | 0.001 |
| Висота H | 1 | | C4-B4 |
| Початкова швидкість | 200 | | B3 ^ 2 |
| Кут | 0 | 0 | (B4 + C4)/2 |
| Відхилення від мети | B2-B1 * (D5-9.8 * B1 * (1 + D | | tg (D4) |
| | 5 ^ 2)/(2 * D3)) | | |

У клітинах B4 іС4 записані значення кута (в радіанах), що складають
«Вилку»; в клітці D4 - значення кута, для якого буде обчислюватисявідхилення від мети. Крім того, щоб по кілька разів не обчислювалося однеі оже число (а на це йде час), в клктке D5 записаний тангенс черговогозначення кута нахилу гармати до горизонту, а в клітині D3 - квадрат початковоїшвидкості (оскільки в електронній таблиці всі формули записуються в
«Лінійку», то і для показника ступеня використовується не верхній індекс, аспеціальний знак - ^). З тією ж метою - прискорення обчислень - ми у формуліоклоненія замінили 1/cos2 (на 1 + tg2 (. Заповнення інших клітин зрозумілоз таблиці. Значення g взято 9,8 м/с 2, відстань S = 3 км, а висота Н = 1 м.
Точність обчислення дорівнює 0,001.

Спочатку перевіримо, чи правильно ми вибрали відрізок для кореня. У таблиців клітинах B4 і С4 записані нулі, тому відхилення підраховується для (= 0.
Як бачите, на лівому кінці відрізка відхилення позитивно.

Запишіть тепер в клітинах В4 та С4 число 0,75 (це - наближенезначення для (/ 4). Тепер відхилення виявилося негативним.

1) Розпочнемо до знаходження потрібного кута (. Запишіть в клітці В4 чило 0, і електронна таблиця відразу визначить значення відхилення в точці

0,75/2 .

Це значення виявилося позитивним. Отже, значенням

0,75/2 треба замінити лівий кінець відрізка, записаний в клітці В4.

2) Міняємо 0 на значення клітини D4. Відхилення стало негативним.

Отже, треба поміняти значення клітини С4 на значення клітки

D4. Дійте!

3) Продовжуйте пошук кореня, поки не вийде задана точність

(нагадуємо, що індикатором точності служить клітка D2, в якій обчислюється довжина поточного відрізка). < p> Інші варіанти:

I.
| A | B | C | D |
| Відстань S | 4000 | Точність | 0.001 |
| Висота H | 1 | | C4-B4 |
| Початкова швидкість | 220 | | B3 ^ 2 |
| Кут | 0 | 0 | (B4 + C4)/2 |
| Відхилення від мети | B2-B1 * (D5-9.8 * B1 * (1 + D | | tg (D4) |
| | 5 ^ 2)/(2 * D3)) | | |

II.
| A | B | C | D |
| Відстань S | 3000 | Точність | 0.0001 |
| Висота H | 2 | | C4-B4 |
| Початкова швидкість | 220 | | B3 ^ 2 |
| Кут | 0 | 0 | (B4 + C4)/2 |
| Відхилення від мети | B2-B1 * (D5-9.8 * B1 * (1 + D | | tg (D4) |
| | 5 ^ 2)/(2 * D3)) | | |

Ш.
| A | B | C | D |
| Відстань S | 2000 | Точність | 0.01 |
| Висота H | 1,5 | | C4-B4 |
| Початкова швидкість | 250 | | B3 ^ 2 |
| Кут | 0 | 0 | (B4 + C4)/2 |
| Відхилення від мети | B2-B1 * (D5-9.8 * B1 * (1 + D | | tg (D4) |
| | 5 ^ 2)/(2 * D3)) | | |

-----------------------

Кінець

Висновок x, F3

| ba |>?

a = x1

b = x1

немає

так

F1 * F30

F1 = f (a); F2 = f (b)

Введення а, b,?

початок

Уточнити a, b