МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ З ВИКОНАННЯ ЗАВДАННЯ 5.
ОТРИМАННЯ Рівняння ПЕРЕХІДНОГО ПРОЦЕСУ
за передавальними ФУНКЦІЇ.
МЕТА. Навчитися визначати рівняння перехідного процесу по
зображенню регульованого параметра по
Лапласа.
ТЕОРЕТИЧНІ ПОЛОЖЕННЯ.
Побудова перехідного процесу є завершальним етапомдослідження автоматичної системи. За отриманому графіку перехідногопроцесу при одиничному дії можна наочно визначити основніпоказники якості регулювання - час регулювання, перерегулювання,усталену помилку.
Нехай нам відомі:
Wy (p) - передавальна функція системи з управління;
Wf (p) - передавальна функція системи по обурення;
U (p) - керуючий сигнал; f (p) - збурює сигнал.
Тоді зображення по Лапласа регульованого параметра буде:
x (p) = Wy (p) * U (p) + Wf (p) * f (p).
Спочатку розглянемо випадок, коли на систему діє керуючийсигнал U (p), а виводить із рівноваги вплив f (p) = 0:
x (p) = Wy (p) * U (p )=.
Таким чином для отримання зображення по Лапласа регульованоюкоординати необхідно передавальний функцію (ПФ) помножити на зображення по
Лапласа вхідного впливу.
Згідно таблиці 1 завдання 4 для вхідного впливу у виглядіодиночного імпульсу U (t) = 1 '(t) зображення U (p) = 1, для вхідного впливуу вигляді одиничного стрибка U (t) = 1 (t) зображення U (p )=.
Розглянемо кілька прикладів отримання рівняння перехідного процесуза відомою передавальної функції.
ПРИКЛАД 1. Вхідна дія - одиничний імпульс U (t) = 1 '(t).
Передавальна функція:
W (p )=.
Визначити рівняння вагової функції .
РІШЕННЯ.
1. Визначаємо зображення по Лапласа регульованого параметра x (p), враховуючи, що U (p) = 1.
x (p) = W (p) * U (p )=.
2. Визначаємо корені характеристичного рівняння.
p =
2. Перетворимо вираз x (p) згідно з формулою № 8 табл.1 (завдання 4). x (p )=.
2. Визначаємо рівняння вагової функції за формулою № 8.
x (t) = 4 * e-2t * sin (6t).
ПРИКЛАД 2. Дана наступна ПФ:
x (p) =
Визначити рівняння вагової функції.
РІШЕННЯ.
1. Визначаємо зображення по Лапласа регульованого параметра.
x (p) =
1. Корені характеристичного рівняння.
p1, 2 = -2 (j3.
3. Перетворимо вираз x (p) відповідно до формул № 8 і № 9.
x (p) =
3. Визначаємо рівняння вагової функції за формулами № 8 і № 9.
x (p) = 3 * e-2t * sin (3t) + e -2t * cos (3t).
ПРИКЛАД 3. Визначити рівняння перехідної функції по сле -дме ПФ:
W (p )=.
РІШЕННЯ.
1. Визначаємо зображення по Лапласа регульованого параметра, враховуючи, що U (p) =. x (p )=*.
2. Корені характеристичного рівняння.
p1 = 0, p2 = -0.2.
3. Перетворимо зображення x (p) згідно з формулою № 20.
x (p )=.
4. Визначаємо рівняння вагової функції за формулою № 20.
x (p) = 30 * (1 - e-0.2t).
Таким чином для побудови будь-якого перехідного процесу (ваговий абоперехідною функцій) необхідно насамперед визначити коріння зображеногопо Лапласа регульованого параметра. Це зробити складно, якщо знаменникє поліномом вище третього порядку.
ВИЗНАЧЕННЯ КОРН Методи наближення.
Розглянемо цей метод на конкретному прикладі.
ПРИКЛАД 4. Визначити коріння в наступному характеристичного рівняння:
L (p) = p4 +7.04 p3 +6.842 p2 +3.7104 p +0.5904 = 0
РІШЕННЯ.
В першому наближенні один з коренів можна визначити за двома останнімичленам цього рівняння.
3.7104p +0.5904 = 0 p1 = -= -0.1591.
Якби цей корінь був би обчислений точно, то дане рівняннярозділилося б на (p +0.1591) без залишку. Насправді отримуємо:
_p4 +7.04 p3 +6.842 p2 +3.7104 p +0.5904 | p +0.1591 _________. p4 +0.1591 p3 p3 +6.8809 p2 +5.748 p
_6.8809p3 +6.842 p2
6.8809p3 +1.094 p2
_5.748p2 +3.7104 p
5.748p2 +0.9145 p
2.7959p +0.5904
За отриманим залишку 2.7959p +0.5904 визначаємо корінь у другомунаближенні. p2 =
Знову ділимо рівняння на p +0.211 і отримуємо залишок 2.570p +0.5904.
Тоді корінь в третьому наближенні p3 = -0.2297. Рівняння знову ділимо наp +0.2297 і т.д. Нарешті, корінь у дев'ятому наближенні p9 = -0.24, а приватневід ділення
p3 +6.8 p2 +5.21 p +2.46 = 0.
За двома останніми членам цього рівняння знову визначаємо коріння впершому наближенні
5.21p +2.46 = 0 p1 = -0.472.
Після ділення рівняння на p +0.472 залишок 2.223p +2.46 і корінь удругому наближенні дорівнює p2 = -1.1066. Корінь в третьому наближенніp3 = +2.256. Процес розходиться. Корінь не може бути позитивним встійкої САУ.
Тоді за трьома (а не по двох) останнім членам цього рівняннявизначаємо відразу два комплексні кореня характеристичного рівняння.
Залишок в першому наближенні 6.033p2 +4.848 p +8.46.
Залишок у другому наближенні 5.996p2 +4.802 p +2.46.
Залишок в третьому наближенні 6.00p2 +4.80 p +3.46, який незначновідрізняється від залишку в другому наближенні і по ньому визначаємо значеннякомплексних коренів.
p2, 3 = -0.4 (j0.5.
Приватне від ділення на залишок у третьому наближенні
0.210p +2.46 = 0, тоді p4 = -6.0.
Примітка. Корені кубічного рівняння p3 +6.8 p2 +5.21 p +2.46 можна визначити методом Карно. Для цього представимо його у вигляді
p3 + ap2 + bp + c = 0
і шляхом підстановки p = приводимо до (неповного (віду. y3 + n * y + m = 0,де n =
m =
Коріння y1, y2, y3 (неповного (кубічного рівняння рівні:
y1 = A + B y2, 3 =
A = B = Q =.
Визначимо чисельні значення коренів (неповного (кубічного рівняння.
Q =
A =
B =
y1 = A + B =- 1.579 + (-2.155) =- 3.734
= 1.867 (j0.49968.
Визначаємо корені даного характеристичного рівняння третьогопорядку. p1 = y1-=-3.734-= -6.0 p3, 4 = 1.867 (j0.4996-=
-0.4 (j0.5.
Результати обчислення коренів рівняння третього ступеня методомнаближення і методом Карно - співпали.
Проведемо перевірку правильності визначення коренів рівняння по теоремі
Вієта.
-b = -6.8 = p1 + p2 + p3 = -6.0-0.4 + j0.5-0.4-j0.5 = -6.8
-c = -2.46 = -6.0 * (0.42 +0.52) = -2.46
розкладання зображення Регульований
ПАРАМЕТРАНА СУМУ прості дроби.
Визначення рівняння перехідного процесу x (t) за зображеннюрегульованого параметра у випадку, коли знаменник має (n (коренів можнавиконати шляхом розкладання зображення на прості дроби, за якими потімотримати пряме перетворення Лапласа, згідно з табл.1 завдання 4.
x (p) =
де ci - коефіцієнт розкладання; pi - корінь рівняння.
Коефіцієнт розкладання ci в залежності від виду коренів рівняннявизначається наступним чином.
1 ВИПАДОК. Всі корені дійсні і різні.
ci = де A ((p) = p = pi.
Тоді рівняння перехідного процесу
x (t )=(.
2 ВИПАДОК. Серед (n (дійсних коренів є корінь p = 0.
ci =
Тоді рівняння перехідного процесу
x (t) = + (.
3 ВИПАДОК. Серед (n (дійсних коренів є (m (пар комплексно -сполучених.
Для кожної пари комплексно-сполучених коренів p1, 2 = - ((j (визначаєтьсядва значення коефіцієнтів c:
з1 = с2 =,
які є теж комплексно-сполученими виразами c1, 2 = ((j (.
У цьому випадку визначається модуль | c | і кут (.
| c | = (= arctg
За табл.1 (завдання 4) кожній парі комплексно-сполучених кореніввідповідає перехідний процес
x (p) = 2 * | c | * e-(t * cos ((t +().
У загальному випадку за наявності в характеристичного рівняння одногонульового кореня, (k (- дійсних коренів і (m (- комплексно-сполученихперехідний процес описується рівнянням:
x (t) =
Примітка. 4-й випадок, коли в рівнянні є кратні речові коріння в цьому завданні не розглядаються.
Розглянемо кілька прикладів такого способу отримання рівняньперехідного процесу.
ПРИКЛАД 5. Одиничний імпульс поданий на систему з передавальної функцією
W (p) =
Визначити рівняння вагової функції.
РІШЕННЯ.
1. Визначаємо зображення по Лапласа регульованого параметра, враховуючи, що U (t) = 1 '(t), тоді U (p) = 1.
x (p) =
2. Визначаємо корені характеристичного рівняння.
p1 = -1 p2 = -2 p3 = -4.
3. Розкладемо отримане зображення x (p) на прості дроби.
x (p) =
4. Коефіцієнти закладення ci будемо визначати згідно з 1-му випадку (всі корені речові і різні).
c1 (-1) =
c2 (-2) =
c3 (-4) =
Примітка. При нульових початкових умовах алгебраїчна сумаотриманих коефіцієнтів розкладання повинна дорівнювати нулю.
c1 + c2 + c3 = -0.1666 + 1 - 0.8334 = 0
5. Зображення регульованого параметра.
x (p) =
6. Рівняння ваговій функції згідно з формулою 5 табл.1 (завдання 4). x (t) = -0.1666 * e-t +1 * e-2t -0.8334 * e-4t.
ПРИКЛАД 6. На систему з передавальної функцією прикладу 5 поданоодиничне ступеневу вплив. Визначити рівняння перехідної функції.
РІШЕННЯ.
1. Визначаємо зображення по Лапласа регульованого параметра.
x (p) =
2. Визначаємо корені характеристичного рівняння.
p1 = 0 p2 = -1 p3 = -2 p4 = -4
3. Розкладемо отримане вираження x (p) на прості дроби.
x (p) =
4. Коефіцієнти розкладу ci будемо визначати згідно 2-му нагоди
(серед речових коренів є один нульовий корінь).
c1 (-1) =
c2 (-- 2) =
c3 (-4) =
c0 (0) =
Перевірка: c1 + c2 + c3 + c0 = 0.1666 -0.5 -0.2084 +0.125 = 0.
5. Зображення регульованого параметра.
x (p) =
6. Рівняння ваговій функції відповідно до формул № 3 і № 5 табл.1 (завдання
4).
x (t) = 0.125 +0.1666 * et-0.5 * e-2t-0.2084 * e-4t.
Примітка. Враховуючи, що похідна по рівнянню перехідної функції дає рівняння вагової функції, порівняємо отримані рішення в прикладі № 6 з рішення в прикладі № 5.
x '(t) = 0 + (-1) * 0.1666 * et - (-2) * 0.5 * e-2t + (-4) * 0.2084 * e-4t =
= -0.1666 * e-t + e-2t-0.8336 * e-4t.
ПРИКЛАД 7. Визначити рівняння перехідної функції, якщо ПФ має вигляд:
W (p) =
РІШЕННЯ.
1. Визначаємо зображення по Лапласа регульованого параметра, враховуючи, що u (p) =. x (p) =
2. Визначаємо корені характеристичного рівняння.
p1 = 0 p2, 3 =- 3 (j4 p4 =- 2
3. Розклавши отримане зображення x (p) на прості дроби.
x (p) =
4. Коефіцієнти розкладу ci будемо визначати згідно з 3-му нагоди
(серед (n (дійсних коренів є комплексно-зв'язані). c0 ( p1 = 0) =
c1 (p2 =- 3 (j4) =
Для зведення в квадрат комплексного числа (-3 + j4) представимо його упоказовою формі.
Отримане комплексне число в показовою формі представимо уалгебраїчної формі.
25 * ej * 253 (36 '=
= 25 * cos253 (36' + j * 25 * sin 253 (36 '= 25 * (-0.28401) + j * 25 * (-0.95882) =
=- 7.100-j * 23.970.
ПРИМІТКА. Зведення в квадрат можна провести і без поданняйого в показовою формі:
(a + jb) 3 = (a3-3ab2) + j (3a2b-b3).
(-3 + j4) 2 = ((-- 3) 2-42) +2 * (-3) * j4 =- 7-j24.
Продовжуємо визначати c1 (p2).
c1 (p2 =- 3 + j4 ) =
=
Так як третє корінь p3 =-3-j4 комплексно - пов'язаний з другимp2 = -3 + j4, то значення c2 (p3) буде відрізнятися від c1 (p2) лише знакомступеня e. c2 (p3 =- 3 + j4) = 1.877 * ej * 111 (06 '.
Визначаємо значення c3 (p4 =- 2).
5. Зображення з Лапласа регульованого параметра у вигляді простих дробів з урахуванням отриманих значень c0, c1, c2, c3.
x (p) =
6. Рівняння перехідної функції отримуємо шляхом проведення зворотного перетворення по Лапласа (див. табл.1 завдання 4).
x (t) = 10-11.33 * e-2t +1.877 * e + j111 (* e (-3 +4 j) * t +1.877 * e-j111 (* e (-3-4j) * t =
= 10-11.33 * e-2t +1.877 * (e + j * (111 (+4 t) + ej * (111 (+4 t)) * e-3t.
Вираз в дужках перетворимо згідно з формулою Ейлера.
(e + j (+ ej () = 2 * cos (
x (t) = 10-11.33 * e-2t +1.877 * e-3t * 2 * cos (4t +111 ()=
= 10-11.33 * e-2t + 3.75 * e-3t * cos (4t-1.204).
Примітка. cos (111 () =-cos (180 (-111 () =-cos (-69 () =-cos (-- 1.204), де
1.204 кут в радіанах від (= 69 (.
Перевіримо правильність обчислення коефіцієнтів c.
При t = 0 значення x (t = 0) = 0, тому що початкові умови нульові.
x (t) = 10-11.33 * 1 +3.75 * 1 * cos (-1.2) =- 1.33 +3.75 * 0.3583 =- 1.33 +1.343 = 0.
Умови виконуються в межах точності обчислення.
6.Уравненіе перехідної функції.
x (t) = 10-11.33 * e - 2t +3.75 * e-3t * cos (4t-1.204).
ПРИКЛАД 8. Визначити рівняння вагової функції щодо ПФ прикладу № 7:
W (p) =
РІШЕННЯ.
1. Визначаємо зображення по Лапласа регульованого параметра, враховуючи, що U (p) = 1. x (p) =
2. Визначаємо корені характеристичного рівняння .
p1 = -2 p2, 3 = -3 (j4.
4. Розклавши отримане зображення x (p) на прості дроби.
x ( p) =
5. Визначаємо коефіцієнти розкладання c.
c1 (p1 =- 2) =
c2 (p2 =- 3 + j4) =
c3 (p3) =- 3-j4 = 7.45 * e + j * 137 (54 '.
5. Уявімо зображення по Лапласа регульованого параметра у вигляді простих дробів з урахуванням отриманих значень c1, c2, c3.
x (p) =
6. Рівняння ваговій функції отримуємо шляхом проведення зворотного перетворення по Лапласа.
x (t) = 22.66 * e-2t +7.45 * ej * 137 (54 '* e (-3-j4) * t +7.45 * ej * 137 (94' * e ( 3 + j4) * t =
= 22.66 * e-2t +7.45 +7.45 * e-3t * (ej * (-137 (54 '4 t) + ej * (-137 (54' 4 t ))=
= 22.66 * e-2t +14.9 * e-3t * cos (4t-2.4),
де 2.4 кут в радіанах від (=- 137 ( 54 '.
2. ВИХІДНІ ДАНІ ДЛЯ ВИКОНАННЯ ЗАВДАННЯ.
Визначити рівняння перехідного процесу по заданій П.Ф.
W (p) =
Значення коефіцієнтів k і Тi показано в таблиці 1.
Таблиця 1 - Значення коефіцієнтів k і Т для завдання 5.
| № | Вид | | | | | |
| варіанти | впливають на | k | T1 | T2 | T3 | T4 |
| | Ія | | | | | |
| 1 | 1 (t) | 2 | 0.25 | 0.005 | 0.07 | 0.325 |
| 2 | 1 (t) | 4 | 0.3 | 0.00625 | 0.03 | 0.325 |
| 3 | 1 (t) | 5 | 0.16 | 0.0 | 0.05 | 0.4 |
| 4 | 1 (t) | 3 | 0.12 | 0.0077 | 0.107 | 0.4 |
| 5 | 1 (t) | 10 | 0.24 | 0.015 | 0.21 | 0.8 |
| 6 | 1 '(t) | 6 | 0.15 | 0.03 | 0.4 | 1.2 |
| 7 | 1 '(t) | 8 | 0.2 | 0.002 | 0.04 | 0.18 |
| 8 | 1 '(t) | 4 | 0.08 | 0.012 | 0.16 | 0.62 |
| 9 | 1 '(t) | 4 | 0.72 | 0.018 | 0.18 | 2.2 |
| 10 | 1 '(t) | 2 | 0.32 | 0.01 | 0.06 | 0.92 |
3. ПОРЯДОК ВИКОНАННЯ ЗАВДАННЯ
1. Записати передавальний функцію, вид керуючого впливу відповідно до варіанту завдання.
2. Визначається регульований параметр в зображенні по Лапласа.
3. Визначити коріння.
4. Розкласти зображення по Лапласа регульованої величини на найпростіші дроби.
5. Визначити коефіцієнти розкладання C.
6. Перетворити найпростіші дробу з комплексними коренями до виду, зручному для проведення зворотного перетворення по Лапласа по першому і другому варіанту.
7. Отримати рівняння перехідного процесу при нульових початкових умовах.
4. СОДЕРЖЕНІЕ ЗВІТУ з виконання робіт.
У звіті повинно бути показано:
1. Задана ПФ.
2. Вид впливу.
3. Початкові умови.
4. Зображення з Лапласа регульованого параметра.
5. Визначення коренів.
6. Представлення регульованого параметра через прості дробу.
7. Обчислення коефіцієнтів розкладання.
8. Рівняння перехідного процесу.
5. КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ
1. Як виглядає зображення по Лапласа регульованого параметра при імпульсному впливі, якщо u (t) = 4.
2. Як виглядає зображення по Лапласа регульованого параметра при стрибкоподібному впливі, якщо u (t) = 4 (t).
3. Як визначається зображення по Лапласа регульованого параметра, якщо u '(t) = 4t.
4. Який вигляд має перехідний процес при стрибкоподібному впливі, якщо коріння речові негативні.
5. Який вигляд має перехідний процес, якщо коріння чисто уявні.
6. Який вигляд має перехідний процес, якщо коріння комплексні.
7. Який вигляд має перехідний процес, якщо коріння речові позитивні.
8. Як у першому наближенні можна визначити корені характеристичного рівняння.
9. Як у другому наближенні можна визначити корені характеристичного рівняння.
10. Що робити, якщо при визначенні коренів процес розходиться.
11. Як визначаються коефіцієнти розкладу, якщо коріння речові і різні.
12. Як визначаються коефіцієнти розкладу, якщо є один корінь рівний нулю.
13. Як визначаються коефіцієнти розкладу, якщо коріння комплексні.
14. Як перевірити правильність отримання коефіцієнтів розкладання.
15. Як отримати рівняння перехідного процесу при одночасному впливі керуючого і обурювало сигналів.
