§ 1. Чисельного рішення нелінійних рівнянь.

1п. Загальний вигляд нелінійного рівняння
F (x) = 0
Нелінійні рівняння можуть бути двох видів:
Алгебраїчні

anxn + an-1xn-1 + ... + a0 = 0
Трансцендентні-це рівняння в яких х є аргументомтригонометричної, логарифмічної або показовою функції.

Значення х0 при якому існує рівність f (x0) = 0 називається коренемрівняння.
У загальному випадку для довільної F (x) не існує аналітичних формулвизначення коренів рівняння. Тому велике значення мають методи,які дозволяють визначити значення кореня з заданою точністю. Процесвідшукання коренів ділитися на два етапи:
Відділення коренів, тобто визначення відрізка містить один корінь.
Уточнення кореня з заданою точністю.
Для першого етапу немає формальних методів, відрізки визначаються аботабуляцією або виходячи з фізичного сенсу або аналітичними методами.
Другий етап, уточнення кореня виконується різними ітераційним методами,суть яких в тому, що будується числова послідовність xi що сходятьсядо кореня x0
Виходом з ітераційного процесу є умови:
| f (xn )|??< br>| xn-xn-1 |??розглянемо найбільш вживані на практиці методи: дихотомії, ітерації тадотичних.

2 п. Метод половинного поділу.
Дана монотонна, безперервна функція f (x), яка містить корінь навідрізку [a, b], де b> a. Визначити корінь з точністю?, Якщо відомо, щоf (a) * f (b) a. Визначити корінь з точністю?.

Суть методу
Дано f (x) = 0 (1)
Замінимо рівняння (1) рівносильним рівнянням x =? (X) (2). Виберемо грубе,наближене значення x0, що належить [a, b], підставами його в праву частинурівняння (2), отримаємо:x1 =? (x0) (3), далі підставимо х1 в праву частину рівняння (3) отримаємо:

x2 =? (x1) (4)

x3 =? (x2 ) (5)
Проробимо даний процес n раз отримаємо xn =? (Xn-1)
Якщо ця послідовність є збіжної тобто існує межаx * = lim xn, то цей алгоритм дозволяє визначити шуканий корінь.
Вираз (5) запишемо як x *=? (X *) (6)

Вираз (6) є рішенням вираження (2), тепер необхіднорозглянути в яких випадках послідовність х1 ... хn є збіжної.

Умовою збіжності є якщо у всіх токах x належить [a, b]виконується умова:

Наведемо ДСА для методу ітерації:

4 п. Метод дотичних (Ньютона).
Дана безперервна функція f (x), яка містить єдиний корінь навідрізку [a, b], де b> a при чому визначені неперервні і зберігають знак f `(x)f `` (x). Визначити корінь з точністю?.

Суть методу
Вибираємо грубе наближення кореня х0 (або точку a, або b)
Наити значення функції точці х0 і провести дотичну до перетину звіссю абсцис, отримаємо значення х1
Визначити значення функції в точці х1, через цю точку провестидотичну отримаємо точку х2
Повторимо процес n раз

Якщо процес сходиться то xn можна прийняти за шукане значення кореня

Умовами збіжності є:
| f (xn )|??< br>| xn-xn-1 |??

Наведемо ДСА методу дотичних:

5п. Завдання для РГР
Обчислити корінь рівняння

На відрізку [2,3] з точністю? = 10-4 методами половинного поділу, ітерації,дотичних.
6 п. Порівняння методів
Ефективність чисельних методів визначається їх універсальністю, простотоюобчислювального процесу, швидкістю збіжності.
Найбільш універсальним є метод половинного поділу, він гарантуєвизначення кореня з заданою точністю для будь-якої функції f (x), яказмінює знак на [a, b]. Метод ітерації і метод Ньютона пред'являють дофункцій більш жорсткі вимоги, але вони мають високу швидкістьзбіжності.
Метод ітерації має дуже простий алгоритм обчислення, він застосовується дляпологих функцій.

Метод дотичних застосуємо для функцій з великою крутизною, а йогонедоліком є визначення похідної на кожному кроці.

ДСА головний програми, методи оформлені підпрограмами.

Програма за методами половинного поділу, ітерації й методу Ньютона.

CLS < br> --a = 2: b = 3: E = .0001

DEF FNZ (l) = 3 * SIN (SQR (l)) + .35 * l - 3.8

F1 = FNZ (a): F2 = FNZ (b)

IF F1 * F2> 0 THEN PRINT "УТОЧНИТИ КОРНИ": END

GOSUB 1

x0 = a

IF ABS ((-3 * COS (SQR (x)))/(.7 * SQR (x)))> 1 THEN PRINT "Не сходило"

DEF FNF (K) = - (3 * SIN (SQR (x)) - 3.8)/.35

GOSUB 2

x0 = b

F = FNZ (x0)

DEF FND (N) = (3 * COS (SQR (N))/(2 * SQR (N))) + .35
_

IF F * (-4.285 * (-SQR (x0) * SIN (SQR (x)) - COS (SQR (x)))/(2 * x * SQR (x)))
GOSUB 3

END

'========= Метод половинного поділу ========

1 x = (a + b)/2: T = T + 1

F3 = FNZ (x)

IF ABS (F3)

IF F1 * F3 <0 THEN b = x ELSE a = x

IF ABS (b - a)> E THEN 1
-
5 PRINT "X ="; x, "T ="; T

RETURN

'========= Метод ітерації ======== ==

2 x0 = a

12 X2 = FNF (x0): S = S + 1

IF ABS (X2 - x0)> E THEN x0 = X2: GOTO 12

PRINT "X ="; X2, "S ="; S

RETURN

'======= = Метод дотичних =======

3 x0 = b

23 D = D + 1

F = FNZ (x0): F1 = FND (x0)

X3 = x0 - F/F1

IF ABS (X3 - x0)

IF ABS (F)> E THEN x0 = X3: GOTO 23

100 PRINT "X ="; X3, "D ="; D

RETURN
Відповідь

x = 2,29834 T = 11

x = 2,29566 S = 2

x = 2,29754 D = 2

де T, S, D-число ітерації для методу половинного поділу, ітерації,дотичних відповідно.

-----------------------< br>Кінець

Висновок x, F3

| ba |>?

a = x1

b = x1

немає

так

F1 * F30

F1 = f (a); F2 = f (b)

Введення а, b,?

початок

Уточнити a, b

Кінець

Висновок x1

так

немає

| x1 | - | x0 |>?

x1 =? (x0)

Введення x0,?

початок

x0 = x1

немає

так

| f (x )|>?

x0 = x1

Кінець

Висновок x1

так

немає

| x1-x0 |