Введення
Впровадження ЕОМ в усі сфери людської діяльності вимагає від фахівців різного профілю оволодіння навичками використання обчислювальної техніки. Підвищується рівень підготовки студентів вузів, які вже з перших курсів долучаються до використання ЕОМ і найпростіших чисельних методів, не кажучи вже про те, що при виконанні курсових і дипломних проектів застосування обчислювальної техніки стає нормою в переважній більшості вузів.
Обчислювальна техніка використовується зараз не тільки в інженерних розрахунках і економічних науках, але й таких традиційно нематематичне спеціальності, як медицина, лінгвістика, психологія. У зв'язку з цим можна констатувати, що застосування ЕОМ набуло масового характеру. Виникла численна категорія фахівців - користувачів ЕОМ, яким необхідні знання із застосування ЕОМ у своїй галузі - навики роботи з уже наявним програмним забезпеченням, а також створення свого власного ПЗ, пристосованого для вирішення конкретного завдання. І тут на допомогу приходять користувачеві для мов програмування високого рівня (далі ЯВУ) і чисельні методи (далі ЧМ).
ЧС розробляють та досліджують, як правило, висококваліфіковані фахівці-математики. Для більшості користувачів головним завданням є розуміння основних ідей і методів, особливостей та областей застосування.
Проте, користувачі хочуть працювати з ЕОМ не тільки як з високоінтелектуальним калькулятором, а ще і як з помічником у повсякденній роботі, сховищем інформації зі швидким і впорядкованим доступом, а так само з джерелом і обробником графічної інформації. Всі ці функції сучасної ЕОМ я припускаю продемонструвати у цій роботі.
У першій частині роботи представлена програма зі знаходження коренів системи з двох нелінійних рівнянь методами Ньютона і простих ітерацій.
У другій частині моєї роботи представлена програма, що демонструє користувачеві всю міць і різноманіття графічних можливостей сучасних ПК на прикладі застосування графічних функцій мови С + + з використанням VGA-графіки.
У третій частині роботи представлена програма «Електронної блокнота», яка має і практичне значення для користувачів малопотужних персональних комп'ютерів і ПК блокнотів з малим дисковим ресурсом для яких нерентабельна експлуатація ПО типу Lotus Organizer і подібних ПЗ з потужним графічним інтерфейсом.
На мій жаль через відсутність необхідного довідкового матеріалу мені не вдалося продемонструвати в третій частині SUPER VGA-графіком, але це справа недалекого майбутнього. Перша і друга частини роботи виконані з застосування мови С + + фірми Borland версії 3.1 для DOS та WINDOWS, а третя частина виконана на ЯВУ «Турбо Паскаль» версії 7.0 для DOS та WINDOWS фірми Borland із застосуванням засобів TURBO VISION.
Теоретична частина.
Етапи рішення задачі на ЕОМ.
Найбільш ефективне застосування Вт знайшла при проведенні трудомістких розрахунків у наукових дослідженнях та інженерних розрахунках. При рішенні задачі на ЕОМ основна роль все-таки належить людині. Машина лише виконує його завдання з розробленою програмою. роль людини і машини легко усвідомити, якщо процес вирішення завдання розбити на такі етапи.
Постановка завдання. Цей етап полягає у змістовній (фізичної) постановці завдання і визначенні кінцевих рішень.
Побудова математичної моделі. Модель повинна правильно (адекватно) описувати основні закони фізичного процесу. Побудова або вибір математичної моделі з існуючих вимагає глибокого розуміння проблеми і знання відповідних розділів математики.
Розробка ЧС. Оскільки ЕОМ може виконувати лише прості операції, вона «не розуміє» постановки завдання, навіть в математичній формулюванні. Для її вирішення має бути знайдений чисельний метод, що дозволяє звести задачу до деякого обчислювальному алгоритмі. У кожному конкретному випадку необхідно вибрати відповідне рішення з вже розроблених стандартних.
Розробка алгоритму. Процес рішення задачі (обчислювальний процес) записується у вигляді послідовності елементарних арифметичних і логічних операцій, що приводить до кінцевого результату і званої алгоритмом розв'язання задачі.
Програмування. Алгоритм рішення задачі записується на зрозумілому машині мові у вигляді точно певної послідовності операцій - програми. Процес звичайно проводиться за допомогою деякого проміжного мови, а її трансляція здійснюється самою машиною і її системою.
Налагодження програми. Складена програма містить різного роду помилки, неточності, описки. Налагодження включає контроль програми, діагностику (пошук і визначення змісту) помилок, і їх усунення. Програма випробовується на рішенні контрольних (тестових) завдань для одержання впевненості в достовірності результатів.
Проведення розрахунків. На цьому етапі готуються вихідні дані для розрахунків та проводиться розрахунок за налагодженою програмі. при цьому для зменшення ручної праці з обробки результатів можна широко використовувати зручні форми видачі результатів у вигляді текстової та графічної інформації, в зрозумілому для людини вигляді.
Аналіз результатів. Результати розрахунків ретельно аналізуються, оформляється науково-технічна документація.
Математичні моделі.
Основна вимога до математичної моделі, - адекватність даного процесу, явища, тобто вона має досить точно (в межах допустимої похибки) відображати характерні риси явища. Разом з тим вона повинна володіти порівняльною простотою та доступністю дослідження.
Адекватність і порівняльна простота моделі не вичерпують пропонованих до неї вимог. Необхідно звернути увагу на правильність оцінки області застосування математичної моделі. Наприклад, модель вільно падаючого тіла, в якій знехтували опором повітря, дуже ефективна для твердих тіл з великою і середньою щільністю і формою поверхні, близької до сферичної. Разом з тим, у ряді інших випадків для вирішення завдання вже не достатньо відомих з курсу фізики найпростіших формул. Тут необхідні більш складні математичні моделі, що враховують опір повітря та інші фактори. Відзначимо, що успіх вирішення завдання в значній мірі визначається вибором математичної моделі; тут в першу чергу потрібні глибокі знання тій області, до якої належить поставлене завдання. Крім того, необхідні знання відповідних розділів математики та можливостей ЕОМ.
Чисельні методи.
За допомогою математичного моделювання рішення науково-технічної задачі зводиться до вирішення математичної задачі, що є її моделлю. Для вирішення математичних задач використовуються основні групи методів: графічні, аналітичні, чисельні.
Графічні методи дозволяють у ряді випадків оцінити порядок шуканої величини. Основна ідея цих методів полягає в тому, що рішення знаходиться шляхом геометричних побудов. Наприклад, для знаходження коренів рівняння f (x) = 0 будується графік функції y = f (x), точки перетину якої з віссю абсцис і будуть шуканими корінням.
При використанні аналітичних методів рішення завдання вдається виразити за допомогою формул. Зокрема, якщо математична задача полягає у вирішенні найпростіших алгебраїчних або трансцендентних рівнянь, диференціальних рівнянь і т.п., то використання відомих з курсу математики прийомів відразу приводить до мети. На жаль, на практиці це дуже рідкісні випадки.
Основним інструментом для вирішення складних математичних задач в даний час є чисельні методи, що дозволяють звести рішення задачі до виконання кінцевого числа арифметичних дій над числами; при цьому результати виходять у вигляді числових значень. Багато ЧС розроблені давно, однак при обчисленнях вручну вони могли використовуватися лише для вирішення не дуже трудомістких завдань.
З появою ЕОМ почався період бурхливого розвитку ЧС та їх впровадження в практику. Тільки обчислювальної машині під силу виконати за порівняно короткий час обсяг обчислень в мільйони, мільярди і більше операцій, необхідних для вирішення багатьох завдань. За рахунку вручну людині не вистачило б життя для вирішення однієї такої задачі. ЧС поряд з можливістю отримання результату за прийнятний час повинен мати і ще однією важливою якістю - не вносити в обчислювальний процес значних похибок.
Чисельні методи, що використовуються в даній роботі.
При написанні програми вирішення системи з двох нелінійних рівнянь мною використовувалися два відомих і широко застосовуваних чисельних методу. Це метод Ньютона і метод простих ітерацій.
Метод Ньютона. Цей метод має швидкої збіжністю і порівняно хорошою точністю обчислень. У випадку одного рівняння F (x) = 0 алгоритм методу був легко отриманий шляхом запису рівняння дотичної до кривої y = F (x). В основі методу ньютона для системи рівнянь лежить використання розкладання функцій Fi (x1, x2, ... xn) в ряд Тейлора, причому члени, що містять друге (і більш високих порядків) похідні, відкидаються.
Нехай наближені значення невідомих системи рівнянь
F1 (x1, x2, ... xn) = 0,
F2 (x1, x2, ... xn) = 0,

................ (1)
Fn (x1, x2, ... xn) = 0,
(наприклад, отримані на попередній ітерації) рівні відповідно a1, a2, ... an. Завдання полягає в знаходженні збільшень (поправок) до цих значень? X1,?? X2 ,....,?? xn, завдяки яким рішення системи (1) запишеться у вигляді:
xi = ai +?? x1, x2 = a2 +?? x2 ,..., xn, = an +?? xn. (2)
Проведемо розкладання лівих частин рівнянь (1) в ряд Тейлора, обмежуючись лише лінійними членами щодо збільшень:
F1 (x1, x2, ... xn)?? F1 (a1, ... an) +
F2 (x1, x2, ... xn)?? F2 (a1, ... an) +
..............................................< br /> Fn (x1, x2, ... xn)?? Fn (a1, ... an) +.
Оскільки відповідно до (1) ліві частини цих виразів повинні звертатися в нуль, то прирівняє нулю і праві частини. Отримаємо наступну систему лінійних алгебраїчних рівнянь щодо збільшень:
=- F1
=- F2 (2)
............................< br /> =- Fn
Значення F1, F2 ,..., Fn і їхні похідні обчислюються при x1 = a1, x2 = a2, ... xn = an.
Визначником системи (2) є якобіан:
J =
Для існування єдиного рішення системи (2) він повинен бути відмінним від нуля на кожній ітерації.
Таким чином, ітераційний процес вирішення системи рівнянь (1) методом Ньютона полягає у визначенні збільшень? X1,?? X2 ,...?? xn, до значень невідомих на кожній ітерації. Рахунок припиняється, якщо все збільшення стають малими за абсолютною величиною: max |?? Xi |