Робота в системі Eureka

РОБОТА В СИСТЕМІ EUREKA.
Введення
Інтегрована багатовіконний система Eureka призначена для вирішення не дуже
складних і часто зустрічаються математичних задач.
За допомогою системи Eureka можна вирішувати такі завдання:
1) Рішення нелінійного рівняння;
2) Обчислення коренів полінома;
3) Обчислення визначеного інтеграла;
4) Обчислення похідних функції;
5) Пошук екстремумів функцій однієї чи багатьох змінних;
6) Рішення системи лінійних рівнянь;
7) Рішення системи нелінійних рівнянь;
8) Апроксимація функцій;
9) Інтерполяція функцій;
10) Лінійне і нелінійне програмування;
Система об'єднує: редактор, обчислювач, Верифікатор (перевіряє правильність
обчислень), генератор звітів і простий графопостроітель.Сістема орієнтована
на ПК класу IBM PC XT і AT і може розміщуватися на одному гнучкому диску об'ємом до
360 Кбайт. Система може працювати на ПК без математичного співпроцесора, однак
його використання значно підвищує швидкість роботи.
Завантаження системи
Необхідно виконати файл eureka.exe.
Після запуску на екрані монітора з'являється табло оболонки системи. Екран
виявляється розділеним на чотири вікна:
Edit - для введення і редагування тексту задачі;
Solution - для виведення результатів;
Report - для виведення звіту про обчисленнях на екран, принтер або у файл з
розширенням log;
Verify - для перевірки точності результату.
Вікно в пасивному стані обведено одинарною рамкою, а в активному -
двойной.Курсор розташовується в активному вікні.
.
- 2 -
Меню системи
Крім вікон, табло оболонки містить верхню і нижню рядка меню.
У верхній частині оболонки перераховуються позиції основного
меню системи:
File - робота з файлами;
Edit - редагування поточного файлу;
Solve - запуск обчислювача;
Commands - вибір команди управління;
Report - підготовка звіту;
Graph - виведення графіків і таблиць;
Options - завдання опцій системи;
Window - робота з вікнами.
Перехід у верхній рядок меню виконується клавішею ESC.
Нижній рядок меню показує можливості роботи з ключовими клавішами (hot
keys). Ee вміст може змінюватися залежно від режиму роботи
сістеми.Наібольшій інтерес цей рядок представляє в режимі редактірованія.В
цьому випадку вона пропонує наступні команди:
F1 - Help - допомога по контексту (можна отримувати в будь-якій з зіціі меню і
підменю);
F2 - Save - текущегофайла запис на диск;
F3 - Load - завантаження файлу з диска;
F5 - Zoom - розширення активного вікна на весь екран і віз обертання його (при
Натиснувши) до початкових розмірів;
F6 - Next - переключення активності вікон (з циклу);
F7 - BegBek - відмітка початку блоку;
F8 - EndBek - позначка кінця блоку;
SCROOL - Size/move - зміна розміру і положення вікна.
Натискання клавіш Ctrl і Alt призводить до висвічення інших клю
чевих клавіш.
Esc - відміна команди (перехід в вищестояще меню);
Alt + E - перехід у вікно редагування;
Alt + S - почати вирішення задачі;
Alt + C - включити вбудований калькулятор;
Alt + X - вихід із системи.
.
- 3 -
Операції з файлами
Якщо активувати у верхній частині позицію File, то після
натискання клавіші Enter відкриється підменю з наступними пунктами:
Load - завантаження файлу;
New - підготовка до завдання нового файлу (очищення вікон);
Save - запис поточного файлу;
Directory - перегляд директорії;
Change dir - зміна поточної директорії;
New directory - створення нового каталогу;
Rename - перейменування поточного файлу;
OS shell - тимчасовий вихід в MS DOS (повернення по команді
Exit);
Quit - вихід з системи після закінчення роботи.
Редагування тексту задачі
Якщо активізувати другу позицію верхнього рядка і натиснути
клавішу Enter, то ми опинимося у вікні редагування завдань.
Рішення завдання
Третьою позицією верхнього рядка є команда Solve. Після того як
редагування завдання закінчено потрібно натиснути Esc (для потрапляння в верхній рядок
меню) і активізувавши пункт меню Solve, запустити завдання на рахунок натисканням клавіші
Enter. Якщо в описі завдання помилок з точки зору системи немає, то почнеться
процес вирішення. Після закінчення цього процесу результат роботи буде представлений
у вікні Solution.
Команди
Четверта позиція верхньої рядки - Commands. При активізації цієї позиції і
натискання клавіші Enter відкривається наступне підменю:
Verify - перевірка рішення (результат роботи цієї команди
виводиться в однойменне вікно);
Calculate - включення калькулятора (для виключення - Esc);
Find other - пошук іншого рішення (Так як ітераційні методи
.
- 4 -
призводять тільки до одного з можливих рішень,
то для знаходження інших треба виключити знайдений
ша і заново вирішити задачу. Саме це і робить
дана команда. При цьому радіус пошуку іншого
рішення задається установкою: radius = дії
валий число. За умовчанням радіус дорівнює нулю.);
Iterate - пуск ітерацій після зупинки рішення (Команда ис
користується для уточнення знайденого рішення при
умови, що задана точність не досягнута, а
час відведений на процес вирішення закінчено).
Формування звіту
Звіт містить: титул, лістинг програми, результат рішення та його верифікації і
графік заданої функції.
П'ята позиція верхнього рядка (Report) відкриває наступне підменю:
Go - складання звіту (результат цієї команди з'являється у вікні Report);
Output - направлення висновку звіту (екран, принтер);
Formatted - форматування звіту;
Capture - запис звіту в файл eureka.log (За запитом
EUREKA.LOG EXIST.A TO ADD, E TO ERASE
це фото можна доповнити або стерти. При
включеної команді в рядку перемикань
буде стояти ON, інакше OFF);
Logfile name - зміна імені log-файлу.
Побудова графіка
Підменю шостій позиції верхнього рядка (Gragh) складається з чотирьох пунктів:
Plot - побудова графіка;
Output - висновок графіка на екран або принтер;
List - висновок таблиці;
Function - завдання функції, яку треба побудувати.
Опишемо послідовність дій, необхідних для побудови графіка функції
більш докладно.
Спосіб N 1
.
- 5 -
Активуйте (тобто наведіть курсор і натисніть Enter) пункт верхнього меню під
назвою - Graph. У підменю, активуйте пункт - Function. В
інформацію, що з'явилася після цього строку введіть назву вашої функції (наприклад y (x) або
ab) і натисніть Enter. В знову з'явилася рядок введіть визначення вашої
функції (наприклад sin (x) + x ^ 2) та натисніть Enter. Після цього активуйте пункт
підменю з назвою - Plot. У що з'явилася рядок введіть початок інтервалу
побудови графіка та натисніть Enter. В знову вікно, що з'явилося введіть кінець
інтервалу та натисніть Enter. У результаті всіх перерахованих дій на дисплеї
з'явиться вікно, що містить графік, виконаний символами псевдографіки. Якщо
тепер натиснути F5, то графік перемалюють на весь екран за допомогою справжньої
графіки. Повторне натискання F5 призводить до повернення екрану в
стан, що існував до першого натискання цієї клавіші.
Графік може бути перемальований на весь екран в символах псевдографіки, якщо перед
F5 була натиснута клавіша F4. При цьому, для того щоб повернутися в режим,
що дозволяє використовувати справжню графіком, необхідно натиснути F7.
Спосіб N 2
Увійдіть у вікно Edit. Запишіть в ньому визначення однієї або декількох функцій
(наприклад:
z (x) = sin (x) + x ^ 2
p (x) = deriv (deriv (5 * cos (x), x), x)
m (x) = 1/x)
і будь-яку обчислювальну завдання (наприклад t = z (1)).
Підніміться у верхній рядок меню і активізуйте в ній пункт Solve. Після того,
як обчислювальна задача буде вирішена активуйте пункт меню Graph. В
підменю, активуйте пункт Plot. При цьому з'явиться меню,
дозволяє вибрати функцію (з числа визначених у вікні Edit) для побудови
графіка. Вибір функції здійснюється за допомогою курсору. Його треба підвести до
назвою функції і натиснути Enter. Далі виконуються ті ж дії, що і в 1-му
способі після активізації пункту Plot.
Якщо виникає потреба у побудові графіка іншої функції (з числа
визначених у вікні Edit), то необхідно: увійти у вікно Edit, вийти з цього вікна
(при цьому редагувати записи не обов'язково), активізувати пункт Solve і
далі повторити описані вище дії.
.
- 6 -
Примітка: Для виведення на екран функції у табличному вигляді придатні обидва описаних
вище способу. Відмінністю є лише те, що замість пункту Plot активізується
пункт List. При цьому Eureka зажадає ввести: початок інтервалу обчислень, крок
обчислення і кількість точок, в яких обчислюються значення функції.
Параметри системи
Сьома позиція верхнього рядка (Options) має наступне підменю:
Variables - зміна значень змінних без входження в редактор;
Settings - завдання установок системи:
accuracy - завдання похибки обчислень;
complex [yes/no] - з параметром yes дозволяє обчислення з комплексними числами;
casefold [yes/no] - з параметром yes скасовує наявне за замовчуванням відмінності
між прописи нимі і малими літерами;
digits - визначає кількість цифр у результатів вичі сленій;
substlevel = n - задає кількість перетворень змінних, в ході яких одні
змінні автомати тічеськи виражаються через інші. При n = 0 такі
перетворення не виконуються. Допустимі значення n: 0,1,2 ,...., 6. За замовчуванням
ця установка дорівнює шести. Якщо завдання не вирішується або вирішується пло хо, то
варіювання n в зазначених межах у ряді випадків покращує ситуацію. Так, в
N14 завдання для самостійної роботи рекомендується в якості першого рядка
лістингу записати $ substlevel = 2.
Крім перерахованих, цей пункт підменю содер жит ще ряд установок, про
призначення яких можна дізнатися, скориставшись клавішею F1 (тобто Help).
Сolors - установка фарбування вікон, рамок і текстів;
Directories - установка директорії (Система і окремі фай ли можуть зберігатися в
різних діректоріях.В цьому випадку потрібно вказати системі, де знаходяться її файли і
файли з прикладами розрахунків.);
Load SETUP - щоб завантажити інсталяційний файл;
Write SETUP - запис інсталяційний файл.
.
- 7 -
Робота з вікнами
Восьма позиція верхнього рядка (Window) також має підменю:
Open - відкриває активна або зазначене вікно;
Close - закриває активну або зазначене вікно;
Next - робить активним наступне вікно;
Zoom - розширює активне вікно;
Tile - робить розміри вікон рівними;
Stack - має у своєму розпорядженні вікна один за одним;
Goto - перехід в активне вікно з меню.
Відомості про систему
Eureka має наступні обмеження:
- Максимальна довжина ідентифікатора до 40 символів, з них 10 є основними;
- Число визначених користувачем функцій не більше 10;
- Число використовуваних числових констант не більше 200;
- Число змінних не більше 12;
- Число підстановок одних змінних в інші до 6.
При цьому може використовуватися підстановка одних змінних в інші, нерідко
зводить задачу до точного рішення.
Алфавіт системи Eureka містить стандартний набір символів.
Це латинські прописні (від А до Z) і малі (від а до z) букви, а також ряд
спецзнаки:
: - Роздільник для виразів розміщених в одному рядку;
; - Відзначає початок рядка коментарю;
() - Всередині дужок розміщується коментар;
[] - Використовується для роботи з розмірними коментарями;
$ - Вказує, що наступне слово - директива (установка);
= - Операція привласнення;
: = - Завдання (визначення) функції користувача або началь них значень
змінних.
Довгі вираження після символу арифметичної операції можна переносити на
інший рядок.
Eureka може проводити наступні операції:
+ Складання;
- Віднімання;
.
- 8 -
* Множення;
/ Розподіл;
^ Піднесення до степеня;
() Зміна пріоритету операцій;
<Менше;> більше; = більше або дорівнює.
Елементарні функції
Eureka має функції re (z) і im (z), які повертають дійсну і уявну частини
комплексного числа z = x + iy. Перед застосуванням цих функцій необхідно ввести
директиву: $ complex = yes
і позначити уявну одиницю i ^ 2 =- 1 або i = sqrt (-1).
abs (z) - модуль; exp (z) - обчислення e = 2,71828 ... в ступені z; floor (x) - ціла
частина х; ln (z) - обчислення натурального логарифма z; log10 (z) - обчислення
десяткового логарифма z; sqrt (z) - обчислення квадратного кореня з z; pos (x) -
повертає х при х> 0 і 0 у противному разі; sgn (x) - повертає: 1 при х> 0, -1
при х
(кут укладений між віссю Ох і відрізком, кінці якого (0,0) і (х, у));
polar (x, y) - перетворення декартових координат у полярні; sin (z), cos (z),
tan (z) - обчислення: синуса, косінуса і тангенса z; sinh (z), cosh (z), tanh (z)
-обчислення гіперболічних: синуса, косінуса і тангенса z.
Крім перерахованих вище функцій Eureka має ще ряд функцій і процедур:
fact (n) - обчислення факторіалу числа n;
ncum (x) - обчислює спеціальну функцію помилок Р (х) для нормального
розподілу;
sum (f (i), i, n, k) - обчислює суму f (i) при індексі i, що змінюється від n до k.
У системі Eureka користувач має можливість задавати необхідні йому функції
через наявні вбудовані. Функції користувача задаються у вигляді:
Ім'я функції (список змінних) = вираз
або
Ім'я функції (список змінних): = вираз
Друга форма використовується, якщо задана функціональна залежність
розглядається як наближена.
.
- 9 -
+------------------------------------------------- ------------+ Приклади завдань розв'язуваних системою EUREKA.
-------------------------------------------
+------------------------------------------------- ------------+ Приклад N1
------------ Вирішити нелінійне рівняння: e_5 (x ^ 2) _0-5x +1 = 0.
Рішення
Набираємо у вікні Edit: exp (x ^ 2) -5 * x +1 = 0. Виконуємо дії описані в пункті "
Рішення задачі "(далі це буде називатися" вирішити завдання ").
Вирішивши завдання отримуємо у вікні Solution:
Variables Values
x = 1.3086594
За допомогою відділення кореня можна спробувати знайти інше рішення, тобто набрати
у вікні Edit: (exp (x ^ 2) -5 * x +1)/(x-1.3086594) = 0 і вирішити задачу заново. Шукати
інше рішення можна також за допомогою пункту меню Find other й установки radius.
Приклад N2
------------ Обчислити корені полінома x_56_0-x_54_0-x_53_0 3 x_52_0-1, тобто розв'язати рівняння:
x_56_0-x_54_0-x_53_0 3 x_52_0-1 = 0.
Рішення
Для обчислення значень, а також дійсних і комплексних коренів полінома в
системі Eureka існує спеціальна функція:
poly (x, an ,......, a0).
Набираємо у вікні Edit:
$ Settings; Початок блоку установок
complex = yes; Працювати з комплексними числами
accuracy = 1.0e-9; задається точність обчислень
digits = 8; Кількість знаків у результатів обчислень $ end; Кінець блоку
установок
i = sqrt (-1); Визначення уявної одиниці
p (x): = poly (x, 1,0, -1, -1,3,0, -1)
Вирішивши завдання отримуємо у вікні Solution:
.
- 10 -
Roots to the polynomial p
# Real part Imaginary part
1 0.69807525 0.0000000
2 -0.54737816 0.0000000
3 0.94982970 0.6507578
4 0.94982970 -0.6507578
5 -1.0251783 0.9608054
6 -1.0251783 -0.9608054
Після знаходження коренів зробимо вибіркову перевірку. Підставивши першого, третього і
четвертий коріння в полином. Для цього зробимо у вікні Edit такі записи:
$ Settings
complex = yes
accuracy = 1.0e-9
digits = 8
$ End
i = sqrt (-1)
a = 0.69807525
z1 = a ^ 6-a ^ 4-a ^ 3 3 * a ^ 2-1
b = 0.94982970 +0.6507578 * i
c = 0.94982970-0.6507578 * i
z2 = b * b * b * b * b * b-b * b * b * b-b * b * b +3 * b * b-1
z3 = c * c * c * c * c * c-c * c * c * c-c * c * c 3 * c * c-1
Вирішивши завдання переконуємося в тому, що значення полінома у вибраних точках
практично дорівнюють нулю. На жаль інша форма запису при роботі з
комплексними числами в системі Eureka може привести до помилкового результату.
Якщо Eureka видає повідомлення "Error 5: too many formulas", перевіряємо коріння по
черги порціями, доступними для обробки системою.
Приклад N3
------------- _4_____
Обчислити похідну функції f (x) = 3lg (x)-_7? _0 (X/2) + x_52 _0в точці 0,5.
.
- 11 -
Рішення
Оскільки в системі Eureka надійніше працює функція обчислює натуральний
логарифм, то висловимо десятковий логарифм через ставлення натуральних:
lg (x) = ln (x)/ln (10).
Набираємо у вікні Edit:
a = 1/ln (10)
f (x) = 3 * a * ln (x)-sqrt (x/2) + x ^ 2
x = 0.5
z = deriv (f (x), x)
Вирішивши завдання отримуємо у вікні Solution:
Variables Values
a = 0.43429448
x = 0.50000000
z = 3.1057669
Приклад 4
----------- lg (1 + x)
Обчислити інтеграл від функції f (x) = _7 _0 на інтервалі [0,1].
(1 + x_52)
Рішення
Набираємо у вікні Edit:
a = 1/ln (10)
f (x) = a * ln (1 + x)/(1 + x ^ 2)
z = integ (f (x), x, 0,1)
Вирішивши завдання отримуємо у вікні Solution:
Variables Values
a = 0.43429448
z = 0.11821420
Приклад 5
----------- Перевірити, що при a
_7p
_7! _0 Sin_52_0 (x) _7 p
_72_0 _7 _0 Dx = _7
_71_0 1 + 2 a cos x + a_52_0 2
_50
.
- 12 -
Рівність перевірити в точках a = -0,9; -0,45; 0; 0,45; 0,9.
Рішення
Набираємо у вікні Edit:
t = 3.1415926/2
f (a, x) = sin (x) ^ 2/(1 +2 * a * cos (x) + a ^ 2)
t1 =- 0.9: i1 = integ (f (t1, x), x, 0,3.1415926)
t2 =- 0.45: i2 = integ (f (t2, x), x, 0,3.1415926)
t3 = 0: i3 = integ (f (t3, x), x, 0,3.1415926)
t4 = 0.45: i4 = integ (f (t4, x), x, 0,3.1415926)
t5 = 0.9: i5 = integ (f (t5, x), x, 0,3.1415926)
Вирішивши завдання отримуємо у вікні Solution:
Variables Values
i1 = 1.5707963
i2 = 1.5707963
i3 = 1.5707963
i4 = 1.5707963
i5 = 1.5707963
k = 1.5707963
t1 = -0.9000000
t2 = -0.4500000
t3 = 0.0000000
t4 = 0.4500000
t5 = 0.9000000
Приклад 6
----------- Eureka дозволяє вирішувати завдання пошуку екстремуму функції за допомогою завдання
директив: $ min та $ max. При цьому, якщо функція має кілька екстремумів, то
аби знайти, який потрібен, має сенс намалювати графік функції і
виходячи з цього графіка задати початкові наближення і обмеження для пошуку
екстремуму. В іншому випадку пошук екстремуму буде відбуватися від початкових
значень, заданих системою Eureka за замовчуванням і може призвести не до того
екстремуму, яке хотілося б знайти.
Обчислити максимум функції f (x) = 5xe_5 (-x/2) _0 (2 + sin (3x)), причому він повинен бути
більше 10.
.
- 13 -
Набираємо у вікні Edit:
$ Max (T)
V (x) = 5 * x * exp (-x/2) * (2 + sin (3 * x))
x: = 2
V (x)> 10
T = V (x)
Вирішивши завдання отримуємо у вікні Solution:
Variables Values
T = 10.629942
x = 2.5805009
Приклад 7
----------- Обчислити мінімум функції f (x) = x_52_0 + y_52_0 + z_52_0-1.
Набираємо у вікні Edit:
$ Min (Fxyz)
F (x, y, z) = x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 -1
Fxyz = F (x, y, z)
Вирішивши завдання отримуємо у вікні Solution:
Variables Values
Fxyz = -1.0000
x = 6.1257e-13
y =-1.3030e-12
z =-5.9622e-14
Приклад 8
----------- Є квадратний аркуш паперу зі стороною a. З листа робиться коробка
наступним чином: по кутах листа вирізають чотири квадрата і коробка
cклеівается по швах. Яка повинна бути сторона вирізуваного квадрата, щоб
коробка мала найбільшу місткість. Вирішити задачу при a = 6.
.
- 14 -
Набираємо у вікні Edit:
$ Settings
accuracy = 1.0e-12
$ End
$ Max (Y)
a = 6
G (x) = x * (a-2 * x) ^ 2
Y = G (x): 0