Математичне моделювання системних елементів

Видатний італійський фізик і астроном, один із засновників точного природознавства, Галілео Галілей (1564 - 1642гг.) говорив, що "Книга природи написана мовою математики". Майже через двісті років родоначальник німецької класичної філософії Іммануїл Кант (1742 - 1804гг.) Стверджував, що "У всякій науці стільки істини, скільки в ній математики". Нарешті, ще через майже сто п'ятдесят років, практично вже в наш час, німецький математик і логік Давид Гільберт (1862 - 1943р.) Констатував: "Математика - основа всього точного природознавства".

Наведені висловлювання великих учених, без додаткових коментарів, дають повне уявлення про роль і значення математики як у науково-теоретичної, так і предметно-практичної діяльності фахівців.

1.1. Три етапи математизації знань

Сучасна методологія науки виділяє три етапи математизації знань: математична обробка емпіричних (експериментальних) даних, моделювання і щодо повні математичні теорії.

Перший етап - це математична, частіше за все саме кількісна обробка емпіричних (експериментальних) даних. Це етап виявлення і виділення чисто феноменологічних функціональних взаємозв'язків (кореляцій) між вхідними сигналами (входами ) і вихідними реакціями (відгуками ) на рівні цілісного об'єкта (явища, процесу), які спостерігають в експериментах з об'єктами-оригіналами . Даний етап математизації має місце у всякій науці і може бути визначений як етап первинної обробки її емпіричного матеріалу.

Другий етап математизації знань визначимо як модельний. На цьому етапі не-які об'єкти виділяються (розглядаються) в якості основних, базових (фун-тальні), а властивості (атрибути), характеристики і параметри інших об'єктів дослідження пояснюються і виводяться виходячи з значень, що визначаються першими (назвемо їх оригіналами). Другий етап математизації характеризується ламкої старих теоретичних концепцій, численними спробами запровадити нові, більш глибокі й фундаментальні. Таким чином, на "модельному" етапі математизації, тобто етапі математичного моделювання, здійснюється спроба теоретичного програванням дення, "теоретичної реконструкції" деякого цікавить дослідника об'єктах-та-оригіналу у формі іншого об'єкта - математичної моделі.

Третій етап - це етап щодо повної математичної теорії даного рівня організації матерії в даній або розглянутої предметної області. Третій етап припускає існування логічно повної системи понять і аксіоматики. Математична теорія дає методологію і мова, придатні для опису явищ, процесів і систем різного призначення і природи. Вона дає можливість долати вузькість мислення, що породжуються спеціалізацією.

1.2. Математичне моделювання і модель

Математичне моделювання - це теоретико-експериментальний метод пізнавально-творчої діяльності, це метод дослідження і пояснення явищ, процесів і систем (об'єктів-оригіналів) на основі створення нових об'єктів - математичних моделей.

Під математичною моделлю прийнято розуміти сукупність співвідношень (рівнянь, нерівностей, логічних умов, операторів і т.п.), що визначають характеристики станів об'єкта моделювання, а через них і вихідні значення - реакції

, залежно від параметрів об'єкта-оригіналу , вхідних впливів , початкових і граничних умов, а також часу.

Математична модель, як правило, враховує лише ті властивості (атрибути) об'єкта-оригіналу , які відображають, визначають і становлять інтерес з точки зору цілей і завдань конкретного дослідження. Отже, в залежності від цілей моделювання, при розгляді одного й того самого об'єкта-оригіналу з різних точок зору і в різних аспектах, останній може мати різні математичні описи і, як наслідок, бути представлений різними математичними моделями.

Беручи до уваги викладене вище, дамо найбільш загальне, але в той же час суворе конструктивне визначення математичної моделі, сформульоване П.Дж.Коеном.

Визначення 2. Математична модель - це формальна система, що представляє собою кінцеве збори символів і абсолютно строгих правил оперування цими символами в сукупності з інтерпретацією властивостей певного об'єкта деякими відносинами, символами або константами.

Як випливає з наведеного визначення, кінцеве збори символів (алфавіт) і абсолютно строгих правил оперування цими символами ( "граматика" і "синтаксис" математичних виразів) призводять до формування абстрактних математичних об'єктів (АМО). Тільки інтерпретація робить цей абстрактний об'єкт математичної моделлю.

Таким чином, виходячи з принципово важливого значення інтерпретації в тех-нології математичного моделювання, розглянемо її детальніше.

1.3. Інтерпретації в математичному моделюванні

Інтерпретація (від латинського "interpretatio" - роз'яснення, тлумачення, тлумачення) визначається як сукупність значень (змістів), надавати будь-яким чином елементам деякої системи (теорії), наприклад, формул і окремих символів. У математичному аспекті інтерпретація - це екстраполяція вихідних положень будь-якої формальної системи на будь-яку змістовну систему, вихідні положення якої визначаються незалежно від формальної системи. Отже, можна стверджувати, що інтерпретація - це встановлення відповідності між деякої формальної і змістовної системами. У тих випадках, коли формальна система виявляється застосовної (скриптової) до змістовної системі, тобто встановлено що між елементами формальної системи та елементами змістовної системи існує взаємно однозначна відповідність, всі вихідні положення формальної системи отримують підтвердження у змістовній системі. Інтерпретація вважається повною, якщо кожному елементу формальної системи відповідає певний елемент (інтерпретант) змістовної системи. Якщо зазначена умова порушується, має місце часткова інтерпретація.

При математичному моделюванні в результаті інтерпретації задаються значення елементів математичних виразів (символів, операцій, формул) і цілісних конструкцій.

Грунтуючись на наведених загальних положеннях, визначимо зміст інтерпретації стосовно до задачі математичного моделювання.

Визначення 3. Аналіз в математичному моделюванні - це інформаційний процес перетворення абстрактного математичного об'єкта (АМО) в конкретну математичну модель (ММ) конкретного об'єкта на основі відображення

непорожньої інформаційного безлічі даних і знань, який визначається АМО і званого областю інтерпретації, в кообласть - інформаційне безліч даних і знань, яке визначається предметною областю і об'єктом моделювання і зване областю значень інтерпретації.

Таким чином, інтерпретацію слід розглядати як один з основних механізмів (інструментів) технології математичного (наукового) моделювання.

Саме інтерпретація, надаючи сенс і значення елементів (компонентів) математичного виразу, робить останнім математичної моделлю реального об'єкта.

1.4. Види і рівні інтерпретацій

Створення математичної моделі системного елемента - багатоетапний процес. Основним чинником, що визначає етапи переходу від АМО до ММ, є інтерпретація. Кількість етапів та їх зміст залежить від початкового (вихідного) інформаційного змісту інтерпретується математичного об'єкта - математичного опису і необхідного кінцевого інформаційного змісту математичного об'єкта - моделі. Повний спектр етапів інтерпретації, що відображає перехід від АМО - описи до конкретної ММ, включає чотири види інтерпретацій: синтаксичну (структурну), семантичну (смислове), якісну (чисельну) і кількісну. У загальному випадку, кожен з перерахованих видів інтерпретації може мати багаторівневу реалізацію. Розглянемо більш докладно перераховані види інтерпретацій.

Cінтаксіческая інтерпретація

синтаксичну інтерпретацію будемо розглядати як відображення морфологічної (структурної) організації вихідного АМО в морфологічну організацію структуру заданого (або необхідного) АМО. Синтаксична інтерпретація може здійснюватися як у рамках однієї математичної мови, так і різних математичних мов.

При синтаксичної інтерпретації АМО можливі кілька варіантів завдань реалізації.

Завдання 1. Нехай вихідний АМО не структурований, наприклад, заданий кортежем елементів. Потрібно за допомогою синтаксичної інтерпретації сформувати морфологічну структуру математичного виразу

(1)

Завдання 2. Нехай АМО має деяку вихідну морфологічну структуру,

яка з тих чи інших причин не відповідає вимогам дослідника (експерта). Потрібно за допомогою синтаксичної інтерпретації перетворити у відповідності з цілями і завданнями моделювання вихідну структуру St у адекватну потрібної St , т. е.

(2)

Завдання 3. Нехай АМО має деяку вихідну морфологічну структуру St , що задовольняє загальним принципам і вимогам дослідника з точки зору її синтаксичної організації. Потрібно за допомогою синтаксичної інтерпретації конкретизувати АМО зі структурою St до рівня вимог, що визначаються цілями і завданнями моделювання

(3)

Таким чином, синтаксична інтерпретація математичних об'єктів дає можливість формувати морфологічні структури АМО, здійснювати відображення (транслювати) морфологічні структури АМО з одного математичного мови на іншу, конкретизувати або абстрагувати морфологічні структурні подання АМО в рамках одного математичної мови.

Семантична інтерпретація

Семантична інтерпретація припускає завдання сенсу математичних виразів, формул, конструкцій, а також окремих символів та знаків у термінах сфери, предметної області та об'єкту моделювання. Семантична інтерпретація дає можливість сформувати за смисловим ознаками однорідні групи, види, класи та типи об'єктів моделювання. Залежно від рівнів узагальнення й абстрагування або, навпаки, диференціації або конкретизації, семантична інтерпретація представляється як багаторівневий, багатоетапний процес.

Таким чином, семантична інтерпретація, задаючи сенс абстрактного ма -

тематичним об'єкту, "переводить" останній у категорію математичної моделі з об'єкта-оригіналу, в термінах якого і здійснюється така інтерпретація.

Якісна інтерпретація

Інтерпретація на якісному рівні припускає існування якісних параметрів і характеристик об'єкта-оригіналу, в термінах (значеннях) яких і проводиться інтерпретація. При якісній інтерпретації можуть використовуватися графічні і числові представлення, за допомогою яких, наприклад, інтерпретується режим функціонування об'єкта моделювання.

Кількісна інтерпретація

Кількісна інтерпретація здійснюється за рахунок включення до розгляду кількісних цілочисельних і раціональних величин, що визначають значення параметрів, характеристик, показників.

У результаті кількісної інтерпретації з'являється можливість з класу, групи або сукупності аналогічних математичних об'єктів виділити один єдиний, який є конкретної математичної моделлю конкретного об'єкта-оригіналу.

Таким чином, в результаті чотирьох видів інтерпретацій - синтаксичної, семантичної, якісної і кількісної відбувається поетапна трансформація

АМО, наприклад, концептуальної метамоделі (КММ) функціональної системи , в конкретну математичну модель (ММ) конкретного об'єкта моделювання.

Глава Концептуальне метамоделірованіе функціонування системного

елемента

2.1. Системний елемент як об'єкт моделювання

Поняття "елемент" є одним з фундаментальних в загальній теорії систем (ОТС) - системологія. Воно походить від латинського "Elementarius" і має сенс: початковий, простий, найпростіший, кінцевий, неподільний, що лежить в основі чого-лібо.Впервие поняття "елемент" зустрічається, мабуть, у Арістотеля в його роботі "Метафізика".

Згідно ОТС, будь-яка система (позначимо її), незалежно від її природи і призначення, а також від свідомості суб'єкта (експерта), існує тільки в структурують-ванної формі. Структурованість виступає в якості загальної властивості матерії - її атрибуту. Саме властивість структурованості, а отже, і членімості цілісної системи на частини приводить до утворення компонент-підсистем і елементів < img src = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255912443_Modelirovanie_sistemnyh_elementov_13.gif" alt = "" width = "104" height = "30" />

У цілеспрямованих діючих системах будь-який компонент цілого характеризується як поведінкою, так і будовою. У тих випадках, коли при моделюю-вання розглядається (досліджується) і поведінку () і будова (), компонент визначається як підсистема системи. Якщо ж розгляду піддається тільки поводження компонента , то його визначають як елемент де Е - комплект елементів, який виступає носієм системи . Таким чином, сутність компонента "підсистема" дуально. Для вищерозташованих компонент підсистема виступає як елемент, а для нижчерозташованими - як система.

У системологія поняття "елемент" трактується двояко - як абсолютна і як відносна категорії. Абсолютна поняття елементу визначається фізико-хімічними підходом, відносна - системологічного.

Поняття абсолютного елемента пов'язано з визначенням початкового міні -мального компонента системи, тобто такої її частини, яка зберігає основні

властивості вихідної цілісної системи. При такому підході, назвемо його молекулярною, поняття "елемент" включає в себе і фіксує істотні властивості цілісної системи.

Поняття відносного елемента () пов'язане з рівнем пізнання

початкової цілісної системи. При цьому елемент розглядається як системна

категорія, що залежить від "погляду" і "ставлення" до нього суб'єкта (дослідника, експерта). Такий підхід до визначення елемента зв?? вєм системологічного. При системологічного підході компонент є елементом () тільки в рамках даного розгляду на виділеному рівні аналізу. Для системологічного підходу поняття елементу, як відносної категорії, може бути сформульовано таким чином.

Визначення 1. Елемент - це відносно самостійна частина системи,

розглянута на даному рівні аналізу як єдине ціле з інтегральним поведінкою, спрямованим на реалізацію властивою цього цілого функції.

З урахуванням викладеного вище, розглянемо елемент з точки зору цілісності.

2.2. Цілеспрямованість системного елемента

Фундаментальним властивістю системного елемента є його цілеспрямованість і , як наслідок, здатність функціонувати. Під функціонуванням прийнято прийнято розуміти реалізацію властивою елементу функції, т . е.

можливість отримувати деякі результати діяльності системного елемента , обумовлені його цільовим призначенням.

Цілеспрямовано діючий системний елемент повинен мати, по принаймні, трьома основними атрибутами:

- елемент виконує одну або декілька функцій,

- елемент володіє певною логікою поведінки,

- елемент використовується в одному або декількох контекстах .

Функція вказує на те, "що робить елемент ".

Логіка описує внутрішній алгоритм поведінки елемента , т . е. визначає "як елемент реалізує свою функцію".

Контекст визначає конкретні умови застосування (програми) елемента у тих чи інших умовах, в тій чи іншій середовищі.

Таким чином, беручи до уваги викладене, можна визначити змістовно що таке модель функціонування системного елемента .

Визначення 4. Модель функціонування елементу (МФЕ) - це відображення на неко-тором мовою сукупності дій, необхідних для досягнення цілей (цільової функції), тобто результату функціонування елемента . МФЕ не враховує будову, а також способи і засоби реалізації елемента. Така модель встановлюється кість факт "Що робить елемент для досягнення результату ", який визначається його цільовим призначенням.

2.3. Цілісність системного елемента

Цілісність одне з основних властивостей (атрибутів) системного елементу. Вона відображає завершену повноту його дискретного будови. Правильно сформований

системний елемент () характеризується явно вираженою відособленістю (межами) і певним ступенем незалежності від навколишнього його середовища . Відносна незалежність системного елемента визначається (характеризується) сукупністю чинників, які назвемо факторами цілісності.

Фактори цілісності Повна сукупність факторів цілісності елемента визначається двома групами, які назвемо зовнішні фактори цілісності і внутрішні.

Зовнішні фактори 1. Низький рівень зв'язності (число взаємозв'язків) елемента з ок - ружа його середовищем , тобто мінімальна зовнішня зв'язність елемента . Позначивши повну сукупність зовнішніх зв'язків елемента через , розглянутий фактор запишемо як умова мінімізації: Min.

2. Низький рівень взаємодії елемента з навколишнім його середовищем

, тобто слабка взаємодія, яке визначається мінімальної сукупної інтенсивністю обміну сигналами Min.

Внутрішні чинники 1. Високий ступінь зв'язності один з одним частин, з яких складається елемент , тобто сумарна внутрішня зв'язність максимальна Max.

2. Висока інтенсивність взаємодії частин, з яких складається елемент . Іншими словами, має місце сильне внутрішнє взаємодія Max.

Оцінка цілісності елемента Перераховані вище фактори можуть бути використані для оцінки цілісності системного елемента . Така оцінка, до певної міри, характеризує ступінь "міцності" елементу по відношенню до навколишнього його

середовищі .

Введемо поняття "міцність" як показник внутрішньої цілісності елемента і

визначимо його через сумарну композицію показників взаємозв'язків і взаємодій всіх частин, з яких складається елемент . Міцність елемента при

цьому визначається виразом

(1)

Для узагальненої оцінки зовнішніх взаємозв'язків і взаємодій < img src = "http://localhost/uploads/posts/2009-10/1255912447_Modelirovanie_sistemnyh_elementov_30.gif" alt = "" width = "24" height = "26" /> елемента

з навколишнім його середовищем введемо показник "зчеплення" і визначимо його як композицію показників і , тобто

(2)

Отримані показники міцності (1) і зчеплених (2) використовуємо для оцінки

цілісності елемента . Така оцінка визначається ставленням виду

(3)

тобто як відношення міцності елемента до її зчеплення з середовищем .

З урахуванням (1) і (2) вираз (3) приймає вигляд

(4)

Рівні цілісності елемента Аналіз виразів (3) і (4) дає можливість ранжі-ровать елементи за рівнями цілісності та якісно визначити їх стійкості-с-по відношенню до навколишнього середовища.

Випадок 1. Якщо значення показника міцності елемента перевершує значення показники зчеплення елемента з його середовищем , тобто > , а як наслідок і > 1, то елемент по своїм цілісним властивостям стійкий. У даному випадку має місце супераддітівная цілісність.

Випадок 2. Нехай значення показників міцності і зчеплених рівні,

тобто = . У цьому випадку показник цілісності = 1. Тоді елемент за своїм цілісним властивостям знаходиться на межі стійкості. Такий рівень цілісності елемента визначимо як адитивна цілісність.

Випадок 3. Нарешті, нехай значення показника міцності елемента нижче значень показники зчеплення елемента з його середовищем . У даному випадку умови записуються у вигляді < і <1. При цьому елемент за своїм цілісним властивостями не стійкий до інтегрального залученню (розчинення) в навколишньому середовищі . Розглянутий рівень цілісності елемента визначимо

як субаддітівная цілісність.

Таким чином, введений показник може використовуватися як критерій

оцінки якості цілісних властивостей елемента , а також для порівняння раелічних елементів (= 1, 2,. .., N) за критерієм цілісності.

2.4. Метод концептуального метамоделірованія

Концептуальне метамоделірованіе (КММ) засноване на використанні індуктивно-дедуктивного підходу. Створення КММ здійснюється на основі індуктивного підходу (від конкретного до абстрактного, від приватного до загального) за допомогою узагальнення, концептуалізації і формалізації.

Використання КММ припускає переходи від загального до конкретного, від абстрактного до конкретного на основі інтерпретацій.

КММ функціонування системного елемента передбачає опис динаміки поведінки на заданому рівні абстракції з точки зору його взаємодії з навколишнім середовищем, тобто зовнішньої поведінки. Математичний опис такого елемента має відображати послідовність причинно-наслідкових зв'язків типу "вхід - вихід" із заданою тимчасової спрямованістю з минулого в майбутнє. КММ функціонування системного елемента повинна враховувати базові концепції та істотні фактори , до числа яких, в першу чергу, слід віднести наступні.

1. Елемент , як компонент системи , пов'язаний і взаємодіє з іншими компонентами цієї системи.

2. Компоненти системи впливають на елемент за допомогою вхідних сигналів, в загальному випадку, що позначаються векторним безліччю .

3. Елемент може видавати в навколишню середу вихідні сигна-ли, що позначаються векторним безліччю .

4. Функціонування системного елемента () відбувається в часі із заданою тимчасової спрямованістю від минулого до майбутнього: де

5. Процес функціонування елемента представляється у формі відображення вхідного векторного безлічі у вихідне - , тобто за схемою "вхід - вихід" і представляється записом виду

.

6. Структура і властивості відображення при моделюванні на основі методу прямих аналогій визначається внутрішніми властивостями елемента , у всіх інших випадках - інваріантні і пов'язані феноменологічні.

7. Сукупність істотних внутрішніх властивостей елемента , представ-ся в моделі "зрізом" їх значень для фіксованого моменту часу , при

умови фіксованого "зрізу" значень вхідних впливів і визначається як внутрішній стан елемента .

8. Внутрішні властивості елемента характеризуються вектором параметрів

, які назвемо функціональними (- параметри) .

Концептуальне математичний опис системного елемента ()

з урахуванням викладених вище положень, уявімо кортежем

. (1)

Такий опис визначимо як концептуальну метамодель - КММ функціонування системного елемента .

2.5. Стратифікованій аналіз та опис КММ системного елемента

Концептуальні метамоделі елемента, засновані на записи (1), можуть утворювати деякі ієрархії. Рівні таких ієрархій визначаються ступенем (етапами) конкретизації властивостей елемента. Ранжування КММ (1) за шкалою "Абстрактне - Конкретне" на основі методу стратифікації, отже, призводить до ієрархічної дедуктивної системі концептуальних метамоделей. Таке система може бути використана для математичного моделювання конкретних елементів як деякий вихідний базовий інваріант, що інтерпретується в конкретну математичну модель.

Залежно від ступеня конкретизації, сформуємо дедуктивну систему, вклю-чающую такі рівні КММ елемента :

КММ елемента на теоретико-системному рівні ( ТСУ);

КММ елемента на рівні непараметричної статики (УНС );

КММ елемента на рівні параметричної статики (УПС );

КММ елемента на рівні непараметричної динаміки (УНД );

КММ елемента на рівні параметричної динаміки (УПД ).

Розглянемо більш детально КММ на кожному з перерахованих рівнів.

КММ теоретико-системного рівня

Найбільш загальну й абстрактну форму опису функціонування системного

елемента дає концептуальна метамодель теоретико-системного рівня (ТСУ). Цей опис включає векторний безліч вхідних впливів на елемент

і векторний безліч вихідних реакцій (відгуків) елемента

.

Крім того, на даному рівні абстракції враховується факт зв'язності векторного безлічі з відповідним векторним безліччю допомогою відображення" ". Однак, відображення "" не вказує яким чином розглянуті безлічі пов'язані.

Таким чином, КММ теоретико-системного рівня задаються трійкою

. (2)

КММ рівня непараметричної статики

Другий рівень представлення КММ включає в розгляд відображення , що визначає правила перетворення входів в виходи , тобто що необхідно зробити, щоб за умови отримати , адекватне цільовим функціонування елемента . У загальному випадку - відображення може бути представлено скалярною або векторної функцією, а також функціоналом або оператором. Концептуальна метамодель рівня непараметричної статики, отже, представляється кортежем виду

. (3)

Розкриття структури перетворення виду є основним завданням КММ рівня . Розглянемо як ілюстрація функціональний опис елемента , представлене скалярною функцією , причому: .

Функціонування елемента () на УНС описується як відображення . Це відображення називається функцією, якщо воно однозначно. Умови однозначності визначаються в такий спосіб. Нехай задані пари значень

сигналів