Роль математичних методів в економічному дослідженні

Реферат для здачі кандидатського іспиту з філософії виконав: здобувач наукового ступеня кандидата економічних наук Ісламутдінов Вадим Фаруаровіч

Курганська Державна сільськогосподарська академія ім. Т.С. Мальцева

Курган-1997

Вступ

Є різні точки зору на процеси, що відбуваються в нашому суспільстві в даний момент. Але незалежно від того, як різні політичні сили сприймають ці процеси (як відкат назад або як прогрес, рух вперед), жодна з них не може заперечувати того, що економічні умови життя стали набагато

складніше. Стало набагато важче прийняти рішення, як що стосується приватних інтересів, так і суспільних. Ці труднощі не могли не викликати хвилі нового інтересу до математичним методам, що застосовуються в економіці; тобто до тих методів, які дозволили б вибрати найкращу стратегію як на найближче майбутнє, так і на далеку перспективу. У той же час багато людей в таких випадках краще звертатися до власної інтуїції, досвіду, або ж до чогось сверхественному. Отже, необхідно оцінити роль математичних методів в економічних дослідженнях -- наскільки повно вони описують всі можливі рішення і пророкують найкраще, або навіть так: чи варто їх використовувати взагалі?

По відношенню до цього питання слід уникати двох крайніх думок: повне заперечення застосування математичних методів в економіці і фетишизація, перебільшення тієї ролі, яку математика можуть чи могли б зіграти. Обидва цих підходу засновані на незнанні реального стану речей, оскільки людина, хоча б частково знайомий з цим питанням, ніколи не поставить його руба: так чи ні; а буде говорити лише про питому вагу математичних методів у всій системі дослідження економічних проблем.

У цьому питанні є значний філософський аспект, пов'язаний з проблемою істини. Тобто наскільки математичні моделі економічних систем відображають реальні закони, за якими живе економіка. Повнота цього відображення залежить в деякій мірі і від мети дослідження. Для одних цілей достатньо мінімального рівня відповідності, для інших же може знадобитися більш детальний опис.

Крім того математичні методи не можуть не розвиватися, також як і самі економічні системи. Це відбувається як унаслідок змін в економіці, так і за внутрішньою логікою розвитку. При цьому необов'язково, що нові методи з неминучістю відкидають старі, може відбуватися взаємопроникнення, включення старих теорій в нові (В якості окремого випадку).

На розвиток і застосування математичних методів величезний вплив зробило і ще зробить розвиток обчислювальної техніки. Обчислювальна техніка останніх поколінь вже дозволила на практиці застосувати безліч методів, описаних раніше лише теоретично або на простих прикладах. Крім усього іншого розвиток систем комп'ютерної обробки, накопичення і зберігання інформації створює нову, досить широку інформаційну базу, яка можливо стане поштовхом до створення нових, раніше невідомих математичних методів пошуку і прийняття рішень.

1.Проблема універсальній застосовності математики

1.1. Причини універсальності математики

Математику можна визначити як науку, що оперує чистими абстракціями, тобто об'єктами, відокремленими від реального світу. Але ще в давнину математика і науки про природу не розділялися. Люди сприймали числа та операції над ними як закони реального світу. Лише в Стародавній Греції вперше виникла ідея про те, що числа можна вивчати окремо (школа піфагорійців). Правда погляди їх на число були майже забобонними. Але саме вони і відкрили першу закономірності, які не мають аналога в світі речей, хоча і приховали їх від усього світу. Таким чином у Стародавній Греції були покладено початку розвитку математики як самостійної науки.

У Середні віки розвиток математики як такої відбувалося в основному в Середній Азії. У Європі ж йшов процес розвитку формальної логіки всередині церковної схоластики. Це також було позитивним моментом, оскільки застосування математики припускає певну формалізацію знання.

Hачіная з 17 століття можливості математики починають рости. Спочатку розвиток математики визначалося потребами вивчення і вираження об'єктивних законів. Згодом математика стала розвиватися підкоряючись також внутрішній логіці розвитку і виходячи з власних потреб. Але роль математики, як апарату для вираження об'єктивних законів, аніскільки не зменшилася.

При цьому нові закономірності, виведені чисто математично, дозволяють передбачати властивості, притаманні об'єктам фізичної природи.

Математика стала широко проникати в усі сфери науки, і тут з'ясувалося, рівняння і вирази, створені для цілей однієї науки, часто застосовні, після певної підробки, в іншій.

У чому ж причина такої універсальної придатності математичних методів?

На думку Вігнера універсальність застосування математики слід вважати чимось надприродними. Вчені повинні просто користуватися нею, не намагаючись зрозуміти причини цього. А саму математику він розглядає як науку про хитромудрих операції, які здійснює за спеціально розробленими правилами над спеціально придуманими поняттями. Причому нові поняття виводяться для того і так, щоб над ними можна було зробити якісь хитромудрі операції, які імпонують людського почуття прекрасного самі по собі і по одержуваних з їх допомогою результатами, що володіє великою простотою й спільністю.

Але такий підхід ненауковий. Причина такої універсальності математики криється в високому рівні абстрагування математичної мови. Вже запровадження поняття числа було переходом на більш високий рівень абстрагування. Числа не мають смаку, запаху, ваги та інших емпіричних характеристик, будучи лише суб'єктивним судженням про кількість якого-небудь предмета, явища. У той же час вони дозволяють визначити кількісні характеристики і відносини практично будь-якого об'єкта. Єдина складність полягає лише у виборі одиниці виміру. Тобто вимірявши об'єкт, висловивши його кількісно, можна потім відволіктися від його змісту і оперувати отриманими даними за всіма правилами математичного мови. Отримані таким чином результати можна і потрібно перевіряти емпірично.

Взагалі, мова математики має певні переваги перед природними мовами. Він мінімально надмірний, моносемантічен і містить у собі правила перетворення. Все це дозволяє порівняно легко оперувати елементами мови: об'єднувати фрагменти в блоки, застосовувати алгоритми до блоків, а потім розгортати результат через систему підстановок і т.д.

Застосування математичної мови, в свою чергу вимагає певного рівня формалізації. Введення одиниць виміру - вже часткова формалізація. Але одиниці виміру формалізують лише кількісну сторону явищ і процесів, не дозволяючи створити нові методи для вирішення нових завдань.

Формалізація ж якісних характеристик об'єктів відбувається двома шляхами:

1) створення формалізованих аксіоматичних систем;

2) алгоритмізація.

аксіоматична система - це один зі способів побудови теорії на основі базових положень ( аксіом), з яких потім виводиться основний зміст теорії. Аксіоматичні системи в ході еволюції пройшли три етапи, яким відповідають три типи аксіоматичних систем:

а) Змістовні аксіоматичні системи - коли на основі основних уявлень за допомогою інтуїції описуються змістовно ясні об'єкти. Тобто та об'єкти і аксіоми мають свої аналоги в світі речей. Hа початкових етапах розвитку науки всі теорії являли собою такі аксіоматичні системи. Такі системи не представляють цінності в сенсі універсальності їх застосування.

б) Полуформалізованная аксіоматична система припускає завдання абстрактних об'єктів, для яких описуються змістовно ясні аксіоми. Такі системи вже в досить великою мірою універсальні, оскільки часто буває, що подібність початкових умов дозволяє застосовувати стару теорію для вивчення нових об'єктів (звичайно ж з певною часткою скептицизму).

в) Повністю формалізовані системи. У цьому випадку спочатку задаються та алфавіт системи і аксіоми і правила перетворення знаків алфавіту, що зберігають істинність аксіом. Такі системи можуть розвиватися за своїми внутрішніми законами. Але теорії і методи створені в рамках таких формалізованих систем можуть знайти несподіване застосування в різних галузях наукового знання.

Але головним критерієм застосовності того чи іншого методу є перевірка результатів дослідження на досвіді, на практиці.

Алгоритмізація, другий вид повної формалізації, передбачає створення алгоритмів - єдиних методів для вирішення цілого ряду завдань. При цьому метод рішення полягає в здійсненні якоїсь послідовності заздалегідь певних дій. При цьому створення алгоритму вже передбачає універсальність. У свій час навіть намагалися створити єдиний алгоритм для вирішення будь-яких завдань.

Універсальність алгоритмів має певні обмеження. По-перше, це їх дискретність, тобто розбивка на кроки, які не можна пропускати, по-друге для ряду завдань взагалі немає алгоритму рішення.

Тобто слід помітити, що математика універсальна не абсолютно. При застосуванні математичних методів в різних науках спостерігається певна специфіка.

1.2. Специфіка застосування математики в різних науках

Специфіка застосування математики в різних галузях науки значною мірою визначається особливостями процесу пізнання в цих науках, які в свою чергу залежать від властивостей об'єкта дослідження.

А властивості об'єкта дослідження в свою чергу визначаються заборонами, які накладає на можливі руху цього об'єкта закони об'єктивної реальності. Звідси однієї із завдань науки є звуження безлічі "мислимих", або віртуальних рухів, з'ясування принципів відбору реальних рухів з числа можливих. Виходячи з цього проблема математичного опису матеріального світу зводиться перш за все до пошуку описів різних механізмів відбору, що лежать в основі причинності всіх реальних рухів матерії [6 (55 )].

За Мойсеєвим, опис механізмів відбору - це по суті один із способів викладу природничих наук. Основними принципами відбору в природничих науках є:

- закон збереження, що відображає варіаційні принципи (принципи економного досягнення мети);

- другий закон термодинаміки (про неубиваемості ентропії);

- принцип мінімуму дисипації енергії (принцип, за яким з декількох руйнівних процесів реалізується найменш руйнує);

- принцип стійкості (збереження лише стійких форм руху).

На основі цих і багатьох інших принципів відбору в природничих науках будуються математичні моделі феноменологічної природи. Але феноменологічна база природознавства постійно розширюється, що призводить до ускладнення та узагальнення моделей. Основний шлях розвитку таких моделей - індуктивний, тобто рух від простіших до більш складним. Але дедуктивний шлях не менш важливий.

Одним з методів, який дозволяє отримувати класи спрощених моделей, є так асимптотичний званий метод, або асимптотичний аналіз [6 (68 )].

Таким чином, можна зробити висновок, що система природничо-наукових методів має важливу особливість. Вона полягає в прагненні використовувати феноменологію тільки на мікрорівні, охопити якомога ширший клас явищ, а потім методами асимптотичного аналізу одержати більш прості моделі макрорівня, як приватні випадки [7 (23 )].

При переході до більш складним рівнями організації виникають нові поняття, математичні моделі набувають іншого характеру, ускладнюється апарат дослідження. Так, при переході до рівня живої матерії незмінно стає складніше організація, змінюються старі і з'являються нові принципи відбору.

На відміну від неживої природи, процеси живої природи не можуть бути описані без застосування терміна "зворотний зв'язок".

Тобто характер взаємодій тут визначається ще одного вільного (незалежної) функцією, яку часто називають управлінням, вибір якої в тій чи іншій мірі довільний, у всякому разі, не випливає з законів збереження (хоча, звичайно їм не суперечить). При цьому вибір цей провадиться виходячи з прагнення досягти певну мету. Для того, щоб зробити правильний вибір, живому організму потрібна відповідна інформація. При цьому інформація потрібна не будь-яка, а тільки така, яка дозволить або досягти мети як мінімум, або досягти її найкращим чином, як максимум. У цьому розумінні поняття інформації відрізняється від поняття інформації як знання про стан системи (на основі поняття ентропії).

Відповідно, для опису біотичних процесів необхідно мати уявлення про структуру зворотних зв'язків, реалізованих функціями поведінки. Але аргумент функції поведінки - Це відстань до гомеостатичні межі існування організму. Значить, перший необхідний крок будь-яких системних досліджень, які досліджують математичні моделі - визначення кордону гомеостазіса, тобто критичних значень параметрів навколишнього середовища. Другий етап дослідження - це визначення реакції на відхилення від гомеостатичні кордону, тобто визначення функцій поведінки [6 (87 )].

Тут також можливе застосування асимптотичних методів і агрегування, але поки ще мало зроблено для цього. Це викликано тим що біотичні системи набагато більше складні. Наприклад при описі ієрархічної структури "стадо -- індивід "вчені стикаються з проявом протиріч цілого і частин. Інтереси ціле го тут далеко не сума інтересів окремих його частин. Таким чином, щоб зрозуміти природу цього рівня організації матерії, необхідно взяти до уваги діалектичну єдність протиставлення, що породжуються наявністю гомеостазісов і рефлексні, тобто дією тієї системи зворотних зв'язків, яка виникає на цьому рівні. Через систему конфліктів ці суперечності стимулюють розвиток і ускладнення (удосконалення) організації.

Ця внутрішня суперечливість визначає специфічну структуру відповідної системи моделей і породжує труднощі узгодження моделей різних рівнів, без подолання яких, однак, неможливо говорити про організацію (системності) безлічі моделей.

При переході до наступного, громадському рівню організації матерії слід зазначити, що методи вивчення цього рівня безсумнівно включають всі попередні методи, оскільки за рамки об'єктивних законів природи вийти не можна. Проте, говорячи про специфіці застосування математичних методів слід вказати на два корінних відмінності суспільних взаємодій від біологічних.

По-перше, за міру розвитку трудової діяльності людини як соціального тварини відбувається безперервне ускладнення громадської організації, з'являється велика різноманітність гомеостатичних спільнот, ускладнюються цілі, прагнення і тому суперечності. Разом з ускладненням інфраструктури організації все більше число її окремих частин набуває рис організмів і, отже, структура зворотних зв'язків ускладнюється.

По-друге, при побудові моделі не можна не враховувати поступовий розвиток інтелекту і, отже, здібності все більшого розуміння індивідом наслідків його дій, ступеня їх впливу на характер гомеостатичні стабільності. Саме завдяки цьому реакції втрачають свою рефлексні, і при аналізі зворотних зв'язків стає необхідним враховувати процеси переробки інформації та прийняття рішень.

Люди мають різним рівнем інтелекту, тому їх реакції на однакові ситуації можуть відрізнятися. Крім цього треба враховувати характер інформованості суб'єкта, особливості процесів прийняття рішень; тобто всю логічний ланцюжок, яка може призвести до тих чи інших висновків. Все це зумовлює нові вимоги до застосовуваним математичним методам.

Схематично специфіку застосування математичних методів в залежності від галузі науки можна подати так: метод математичних моделей нарівні організації неживої природи вимагає головним чином використання законів збереження і найпростіших механізмів відбору. На біотичному рівні організації виникає необхідність опис структури зворотного зв'язку рефлексні типу. На рівні суспільства якісно нової особливістю є необхідність описувати суперечлива єдність інтересів і цілей окремих організмів, що беруть участь в тому чи іншому процесі, суперечлива єдність пов'язаних між собою, ієрархічно організованих ланцюжків організмів [6 (129 )].

В економіці такими організмами можна вважати окремих людей, групу людей, організацію, підприємство. Навіть економічну систему окремої країни можна розглядати як організм з притаманними йому реакціями на різні фактори зовнішнього середовища. Те є в залежності від цілей дослідження слід виділяти економічну систему будь-якого рівня і розглядати її як організм.

При цьому в Залежно від обраного рівня деталізації виникають свої особливості застосування математичних методів, які й визначають ступінь придатності того чи іншого методу, його ефективність.

2. Особливості економічних завдань, що вирішуються математичними методами

Економічна наука, як і будь-яка інша має свою специфіку. Специфіка її визначається загальною специфікою наук про людину. Усі суспільні науки вивчають найскладнішу і високоорганізованої форму руху - соціальну. Як уже згадувалося вище, на цьому рівні організації матерії доводиться враховувати зворотній зв'язок між суб'єктом і зовнішнім середовищем. При цьому зв'язок цей представляє суперечливе єдність інтересів і цілей окремих організмів, що беруть участь у тому чи іншому процесі. Економічна наука вивчає великий пласт процесів, як прямо що мають місце між суб'єктами при обміні різними продуктами, так і мають до цього якесь відношення. До того, як люди стали обмінюватися продуктами своєї праці, відносини між ними ніяк не можна було назвати економічними. Виникнення економічних відносин поклало початок спеціалізації праці та відповідно, всьому соціально-економічному прогресу.

На сучасному етапі економічні взаємини між суб'єктами утворюють економічні системи зі складною структурою, великою кількістю елементів і зв'язків між ними, які і є причиною майже всіх особливостей економічних завдань.

За Гатауліну основою економічної системи є виробництво, отже економічну систему можна розглядати як сукупність керованою (виробництво) і керуючої систем. З цього випливають такі особливості:

1) масштаби виробництва як керованої системи незрівнянно більше ніж будь-якої технічної керованої системи;

2) виробництво, як система, що постійно вдосконалюється, і управління ним включає управління процесами вдосконалення;

3) у зв'язку з науково-технічним прогресом і розвитком продуктивних сил змінюються параметри системи, що обумовлює необхідність дослідження нових закономірностей розвитку виробництва та їх використання в управлінні;

4) з ускладненням виробництва підвищуються вимоги до методів збору, накопичення, переробки інформації; її диференціації по рівнях ієрархії з урахуванням суттєвості з точки зору прийняття управлінських рішень;

5) участь людини у виробництві як невід'ємної частини продуктивних сил суспільства обумовлює необхідність врахування комплексу соціальних, біотичних, екологічних та інших факторів;

6) участь у сільськогосподарському виробництві біологічних систем як засобів виробництва, їх істотна залежність від випадкових природних факторів обумовлюють імовірнісний характер багатьох виробничих процесів, що необхідно враховувати в управлінні виробництвом [3 (21 )].

Але крім виробничих систем до складу економічних систем входить також сфера звернення і невиробнича сфера, які також мають свою специфіку. Вона полягає в тому, що участь в процесах поводження безлічі покупців і продавців передбачає необхідність врахування таких факторів як конкуренція, закони попиту та пропозиції, а також те, що більшість умов тут також має імовірнісний характер.

Зі сказаного випливає, що економічні завдання, це завдання з великим числом невідомих, що мають різні динамічні зв'язки і взаємини. Тобто економічні завдання багатомірні, і навіть будучи представлені у формі системи нерівностей і рівнянь, не можуть бути вирішені звичайними математичними методами.

Ще однією характерною рисою планово-економічних та інших економічних завдань є множинність можливих рішень; певну продукцію можна отримати різними способами, по різному вибираючи сировину, яке використовується обладнання, технологію та організацію виробничого процесу [4 (7)]. У той же час для управління потрібно по можливості мінімальна кількість варіантів і бажано найкращі. Тому другий особливістю економічних завдань є те, що це завдання екстремальні, що в свою чергу передбачає наявність цільової функції.

Говорячи про критерії оптимальності, слід згадати, що в ряді випадків може виникнути ситуація, коли доводиться брати до уваги одночасно ряд показників ефективності (наприклад, максимум рентабельності і прибутку, товарної продукції, кінцевої продукції і т.д.). Це пов'язано не тільки з формальними труднощами вибору та обгрунтування єдиного критерію, а й багатоцільовим характером розвитку систем. У цьому випадку буде потрібно кілька цільових функцій і відповідно якийсь компроміс між ними.

Близько до багатоцільовим завданням лежать завдання з дрібно-лінійної функцією, коли цільова функція виражається відносними показниками ефективності виробництва (рентабельність, собівартість продукції, продуктивність праці і т.д.) [3 (139 )].

Крім усього вищевикладеного, треба враховувати, що вхідними величинами виробничих систем служать матеріальні ресурси (природні, засоби виробництва), трудові ресурси, капіталовкладення, інформаційні ресурси (відомості про ціни, технології та ін.) З цього випливає ще одна особливість економічних задач: наявність обмежень на ресурси. Тобто це передбачає вираження економічної завдання в вигляді системи нерівностей.

Випадковий характер чинників, що впливають на економічну систему, припускає імовірнісний (стохастичний) характер техніко-економічних коефіцієнтів, коефіцієнтів цільової функції, що також є особливістю економічних завдань.

У той же час нерідко зустрічаються умови, коли залежності між різними факторами або в цільової функції нелінійними. Наприклад, це має місце в залежності між витратами ресурсів і виходом кінцевого продукту. Але основна частина таких завдань зустрічається при моделюванні ринкової поведінки, коли слід враховувати фактори еластичності попиту та пропозиції, тобто нелінійний характер змін цих величин від рівня цін.

При моделюванні ринкової поведінки крім нелінійності залежностей, зустрічається така особливість, як вимога враховувати поведінку конкурентів. Навіть радянські економісти визнавали, що дія об'єктивних економічних законів здійснюється через діяльність безлічі господарських підрозділів. У той Водночас, здійснення рішення, прийнятого в одному з цих підрозділів, може мати значний вплив на ті чи інші характеристики економічної ситуації, в якій приймають рішення інші підрозділи (міняються кількість сировини, ціни на вироби та ін.) Виникає, отже, комплекс оптимізаційних завдань, у кожній з яких якісь змінні величини залежать від обраних управлінь в інших задачах [4 (124 )].

Ще однією загальною особливістю економічних завдань є дискретність (або об'єктів планування, або цільової функції). Ця цілочисельності випливає із самої природи речей, предметів, якими оперує економічна наука. Тобто не може бути дробовим число підприємств, кількість робітників і т.д. При цьому дискретний характер мають не тільки об'єкти планування, а й часові проміжки, усередині яких здійснюється планування. Це означає, що при плануванні будь-які дії завжди слід визначити, на який термін воно здійснюється, в які терміни може бути здійснено, і коли будуть результати. Таким чином, вводиться ще одна дискретна змінна - тимчасова.

Дискретність багатьох економічних показників не віддільна від точність значень (реальних предметів або відрізків часу не може бути менше нуля).

Не слід забувати і про те, що економічна система - не застигла, статична сукупність елементів, а розвивається, який змінюється під дію зовнішніх та внутрішніх факторів механізм. При це виникає ситуація, коли рішення, прийняті раніше, детермінують частково або повністю рішення, прийняті пізніше.

Таким чином, легко помітити, що економічні задачі, які вирішуються математичними методами, мають специфіку, обумовлену особливостями економічних систем, як більш високих форм рухи в порівнянні з технічними чи біологічними системами. Ці особливості економічних систем зробили недостатніми ті математичні методи, які виросли з потреб інших наук. Тобто знадобився новий математичний апарат, причому не стільки більш складний, скільки просто враховує особливості економічних систем на базі вже існуючих математичних методів.

Крім того, економічні системи розвиваються і ускладнюються самі, змінюється їхня структура, а іноді і зміст, зумовлене науково-технічним прогресом. Це робить застарілими багато методи, що застосовувалися раніше, або вимагає їх коригування. У той же час науково-технічний прогрес впливає і на самі математичні методи, оскільки поява та удосконалення електронно-обчислювальних машин зробило можливим широке використання методів, описаних раніше лише теоретично, чи застосовувалися лише для невеликих прикладних задач.

3. Особливості математичних методів, які застосовуються до вирішення економічних завдань

В економічних дослідженнях здавна застосовувалися найпростіші математичні методи. У господарського життя широко використовуються геометричні формули. Так, площа ділянки поля визначається шляхом перемноження довжини на ширину або обсяг силосної траншеї - перемножуванням довжини на середню ширину і глибину. Існує цілий ряд формул і таблиць, що полегшують господарським працівникам визначення тих чи інших величин. [5 (52 )].

Не варто й говорити про застосування арифметики, алгебри в економічних дослідженнях, це вже питання про культуру дослідження, кожен поважаючий себе економіст володіє такими навичками. Окремо тут стоять так звані методи оптимізації, частіше звані як економіко-математичні методи.

У 60-і роки нашого століття розгорнулася дискусія про математичні методи в економіці. Наприклад, академік Немчінов виділяв п'ять базових методів дослідження при плануванні:

1) балансовий метод;

2) метод математичного моделювання;

3) векторно-матричний метод;

4) метод економіко-математичних множників (оптимальних суспільних оцінок);

5) метод послідовного наближення. [9 (153 )].

У той же час академік Канторович виділяв математичні методи в чотири групи:

-- макроекономічні моделі, куди відносив балансовий метод і моделі попиту;

- моделі взаємодії економічних підрозділів (на основі теорії ігор);

- лінійне моделювання, включаючи ряд завдань, трохи відрізняються від класичного лінійного програмування;

- моделі оптимізації, що виходять за межі лінійного моделювання (динамічне, нелінійне, цілочисельне, і стохастичне програмування).

І з того, і з іншою класифікацією можна сперечатися, оскільки, наприклад моделі попиту можна по ряду особливостей віднести до нелінійного програмування, а стохастичне моделювання йде корінням в теорію ігор. Але все це проблеми класифікації, які мають певне методологічне значення, але в даному випадку не настільки важливі.

З точки ж зору ролі математичних методів варто говорити лише про широту застосування різних методів у реальних процесах планування.

З цієї точки зору безперечним лідером є метод лінійної оптимізації, який був розроблений академіком Канторовичем в 30-ті роки ХХ-го століття. Найчастіше завдання лінійного програмування застосовується при моделюванні організації виробництва. От як по Канторович виглядає математична модель організації виробництва:

У виробництві беруть участь M різних виробничих факторів (інгредієнтів) - робоча сила, сировина, матеріали, устаткування, кінцеві і проміжні продукти та ін Виробництво використовує S технологічних способів виробництва, причому для кожного з них задані обсяги вироблених інгредієнтів, розраховані на реалізацію цього способу з одиничною ефективністю, тобто задано вектор ak = (a1k, a2k ,..., amk), k = 1,2 ..., S, в якому кожна з компонент aik вказує обсяг виробництва відповідного (i-го) інгредієнта, якщо вона позитивна, і обсяг його витрачання, якщо вона негативна (в способі k).

Вибір плану означає вказівку інтенсивностей використання різних технологічних способів, тобто план визначається вектором x = (x1, x2 ,..., xS) c невід'ємними компонентами [4 (32 )].

Зазвичай на кількості що випускаються і витрачаються інгредієнтів накладаються обмеження: зробити потрібно не менше, ніж потрібно, а витрачати не більше, ніж є. Такі обмеження записуються у вигляді

s

S a ikxk > Bi; i = 1,2 ,..., m. (1)

k = 1

Якщо i> 0, то нерівність означає, що є потреба в інгредієнті в розмірі i, якщо i <0, то нерівність означає, що є ресурс даного інгредієнтів розмірі - i = | i |. Далі передбачається, що використання кожного способу, пов'язаного з витратою одного з перерахованих інгредієнтів або особливо виділеного інгредієнта в кількості Ck при одиничної інтенсивності способу k. В якості цільової функції приймається сумарний витрата цього інгредієнта в плані.

s

f (x) = S ckxk. (2)

k = 1

Тепер загальна задача лінійного програмування може бути представлена в математичній формі.

Для заданих чисел aik, ck, і bi знайти

s

min S ckxk

k = 1

за умов

k> 0, k = 1,2 ,..., s [1]

s

S aikxk > Bi, i = 1,2 ,..., m [2]

k = 1

План, задовольняє умовам [1] і [2], є допустимим, а якщо в ньому, крім того, досягається мінімум цільової функції, то цей план оптимальний. [K33]

Завдання лінійного програмування двоїста, тобто, якщо пряма задача має рішення, (вектор x = ( x1, x2 ,..., xk)), то існує і має рішення зворотна задача заснована на транспонування матриці прямої задачі. Рішенням зворотної задачі є вектор y = (y1, y2 ..., ym) компоненти якого можна розглядати як об'єктивно обумовлені оцінки ресурсів, тобто оцінки, що показують цінність ресурсу і наскільки повно він використовується.

На основі об'єктивно обумовлених оцінок американським математиком Дж. Данцигом - був розроблений симплекс-метод розв'язання задач оптимального програмування. Цей метод досить широко застосовується. Алгоритм його дуже детально опрацьовані, і навіть складені прикладні пакети програм, які застосовуються в багатьох галузях планування.

Метод лінійної оптимізації з того моменту, як він був розроблений Канторовичем, не залишався без змін, він розвивався і продовжує розвиватися. Наприклад, формула (2) в сучасній інтерпретації виглядає наступним чином.

S aij xj