Інформатика
ЗМІСТ
ВСТУП
1. Завдання 1
1.1.Постановка завдання
1.2. Рішення
2. Завдання 2
2. 1. Постановка завдання
2. 2. Рішення
3. Завдання 3
3. 1. Постановка завдання
3. 2. Рішення
4. Завдання 4
4. 1. Постановка завдання
4. 2. Рішення
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
ВСТУП
Основою автоматизації розумової праці людини є широке впровадження
обчислювальної техніки в усі сфери діяльності людини. Застосування ЕОМ
прискорило процес математизації науки і техніки. Розширюється коло професій, для
яких математична грамотність та наявність практичних навичок застосування
ЕОМ стають необхідними.
Рішення технічної чи наукової задачі включає її математичний опис
мовою рівнянь, функцій. Дуже часто математична формулювання завдання
може виявитися не перекладається на мову ЕОМ, тому що ЕОМ виконує тільки арифметичні
дії.
Чисельний метод розв'язання задачі-це певна послідовність операцій
над числами, мова якого числа і арифметичні дії. Чисельні методи
легко реалізуються на ЕОМ, що робить ці методи потужним і універсальним інструментом.
Процес рішення інженерної задачі на ЕОМ складний і тривалий. Він включає
в себе етапи, що вимагають від розробника професійної підготовки і грамотності.
Для зниження трудомісткості, на всіх типах ЕОМ створений потужний апарат технологічної
підтримки роботи користувача ЕОМ.
1. Завдання 1
1. 1. Постановка завдання
Необхідно графічно визначити один корінь рівняння. Уточнити корінь рівняння
з точністю Е = 0,001 методом Ньютона. Дано нелінійне рівняння:
tg (a x + b) = x2
де a = 0,5 і b
= 0,2
1. 2. Рішення
Для того, щоб визначити корінь, перетворимо рівняння до вигляду:
tg (0. 5x 0. 2) = x2
Побудуємо графіки двох функцій:
y1 = tg (0. 5x 0. 2) та y2 = x2;
Криві на рис. 1 описані в такий спосіб:
y1 = tg (0. 5x 0. 2) функція періодична, її значення зведемо в
таблицю 1. 1
Таблиця 1. 1.
x
-3. 1
-3
-2
-1
0
1
2
2. 1
2. 2
y
-4. 45
-2. 57
-1. 02
-0,3
0,2
0,84
2. 57
3. 0
3. 6
y2 = x2 - парабола
y2 = 0 коли x = 0
y2 = 4 при x = ± 2
По графіку визначаємо, що рівняння має кілька коренів. Для уточнення
кореня виберемо інтервал [0,1]
. Уточнюємо корінь за формулою Ньютона:
xn +1 = xn-
Необхідно вибрати початкове значення x0, виходячи з умови збіжності:
f (x0) f "(x0)> 0
f (x) = tg (0. 5x 0. 2) - x2
Перевіряємо умови збіжності для x = 0:
f (0) f "(0) <0, умова не дотримується
Перевіряємо умову збіжності для x = 1. 0:
f (0) f "(0)> 0, умова дотримується
беремо за x0 = 1
і умова:
Т = 
Рішення запишемо у вигляді таблиці:
n
x n
f (x n)
f '(x n)
T
0
1. 000000
-0. 158000
-1. 151000
0. 137271
Ні
1
0. 862728
-0. 013000
-0. 976000
0. 013119
Ні
2
0. 849416
-0. 000467
-0. 958000
0. 000487
Ні
3
0. 848929
-0. 000009
-0. 958000
0. 000009
Так
4
0. 848920
У результаті проведеної роботи ми визначили один корінь рівняння виду
tg (0. 5x 0. 2) = x2 графічно, а потім уточнили його методом Ньютона
і отримали
X = 0. 848929
Висновок за рішенням:
У результаті проведеної роботи ми визначили один корінь рівняння
Tg (0. 5x 0. 2) = x2 графічно, а потім уточнили його методом Ньютона
і отримали x = 0. 848929
2. Завдання 2
2. 1. Постановка завдання
Вибрати формулу інтерполяції і з її допомогою визначити значення функції в
точці x = 0,38. Функція задана у вигляді таблиці 2. 1, Ступінь інтерполяційного
многочлена дорівнює 3.
Таблиця 2. 1
0,15
0,860708
0,25
0,778801
0,30
0,740818
0,40
0,670320
0,45
0,637628
0,55
0,576950
0,60
0,548812
0,65
0,522046
0,70
0,496585
0,75
0,472237
2. 2. Рішення
Рішення будемо робити методом Лагранжа. Oценіваем крок
h = xi +1-xi
У цій таблиці h = const. Для інтерполяції функції з довільно заданими вузлами
вибираємо інтерполяційний многочлен Лагранжа:
;
Вирази, звані коефіцієнтами Лагранжа:
Далі побудуємо матрицю Лагранжа:
Позначимо твір строк через 
, а
твір елементів головної діагоналі через 
, тоді
:
Обчислимо її:
звідси:
Пn +1 = 4,00384. 10-9
D0 = 7,68488. 10-6 D5 = 1. 1475.
10-8
D1 =- 1. 84275. 10-7 D6 = -1. 16944.
10-8
D2 = 4. 2525. 10-8 D7 = 2. 3625.
10-8
D3 = 2. 92313 10-9 D8 = -8. 91.
10-8
D4 = -7. 0875. 10-9 D9 = 7. 86713.
10-7
Далі за формулою:
,
маємо
У результаті проведеної
роботи ми виробили інтерполяції функції заданої таблицею 2. 1 і отримали
значення функції в точці х = 0,38 y = 0,683860.
Про справедливість отриманого результату ми можемо судити з того, що точка
х = 0,38 знаходитися точками х = 0,30 та х = 0,40 і шукане значення повинне знаходитися
між відповідними значеннями цих точок. Отримане значення y = 0,683860
перебувати в межах між y (0. 30) = 0. 670320 і y (0. 40) = 0. 740818.
Отже рішення вірно.
3. Завдання 3
3. 1. Постановка завдання
Вирішити систему лінійних рівнянь:
методом Гаусса. Всі розрахунки ведіть з трьома значущими цифрами після коми.
2) Результати обчислення прямого ходу уявіть у вигляді таблиці з контролем
у вигляді підсумовує стовпця. Обчислення зворотного ходу зробіть докладно,
записавши всі проміжні обчислення.
3. 2. Рішення
Перепишемо систему лінійних рівнянь у вигляді:
Введемо позначення: 
або 
А15, а25, А35, а45 --- вільні члени
--- що підсумовує (контрольний)
коефіцієнт
Прямий хід. Заповнення таблиці:
1. Запишемо аij в чотирьох рядках і п'яти стовпцях розділу 1 таблиці (i = 1,2,3,4, j = 1,2,3,4,5)
2. Стимулюючі аi6 запишемо у стовпці
