Московського державного будівельного університету
Курсова робота
«Програма наближеного обчислення певного інтеграла за допомогою ф - ли Сімпсона на комп'ютері»
Виконав:
студент ф - та ЕОУС - 1 - 12
Валюгін А. С.
Прийняв:
Зоткін С. П.
Москва 2001
1. Введення
Визначений інтеграл від функції, що має неелементарную первісних, можна обчислити за допомогою тієї чи іншої наближеної формули. Для вирішення цього завдання на комп'ютері, серед
інших, можна скористатися формулами прямокутників, трапецій або формулою Сімпсона. У даній роботі розглядається
саме остання.
Розглянемо функцію y = f (x). Будемо вважати, що на відрізку [a, b] вона позитивна і безперервна.
Знайдемо площу криволінійної трапеції aABb (рис. 1).
рис. 1
Для цього поділимо відрізок [a, b] точкою c = (a + b)/2 навпіл і в точці C (c, f (c)) проведемо
дотичну до лінії y = f (x). Після цього розділимо [a, b] точками p і q на 3 рівні частини і проведемо через них прямі x = p і x = q. Нехай P і Q - точки перетину цих прямих з дотичній.
Поєднавши A з P і B з Q, отримаємо 3 прямолінійні трапеції aAPp, pPQq, qQBb. Тоді площа трапеції aABb можна
наближено порахувати за такою формулою
I »(aA + pP)/2 * h + (pP + qQ)/2 * h + (qQ +
bB)/2 * h, де h = (b - a)/3.
Звідки отримуємо
I »(b - a)/6 * (aA + 2 * (pP + qQ) + bB)
зауважимо, що aA = f (a), bB = f (b), а pP + qQ = 2 * f (c), у результаті отримуємо малу
фор - лу Сімпсона
I »(b - a)/6 * (f (a) + 4 * f (c) + f (b)) (1)
Мала формула Сімпсона дає інтеграл з хорошою точністю, коли графік
підінтегральною функції мало зігнутий, у випадках ж, коли дана більш складна функція мала формула Сімпсона непридатна. Тоді, щоб порахувати інтеграл
заданої функції потрібно розбити відрізок [a, b] на n частин і до кожного з відрізків застосувати формулу
(1). Після наведених вище дій вийде "велика" формула Сімпсона, що має вигляд,
I »h/3 * (Yкр + 2 * Yнеч + 4 * Yчет) (2)
де Yкр = y1 + yn, Yнеч = y3 + y5 + ... + yn - 1, Yчет = y2 + y4 + ... + yn - 2, а h =
(b - a)/n.
Завдання. Нехай потрібно проінтегрувати функцію f (x) = x
