РОБОТА В СИСТЕМІ EUREKA.
Введення
Інтегрована багатовіконний система Eureka призначена для вирішення не дуже складних і часто зустрічаються математичних задач.
За допомогою системи Eureka можна вирішувати такі завдання:
1) Рішення нелінійного рівняння;
2) Обчислення коренів полінома;
3) Обчислення визначеного інтеграла;
4) Обчислення похідних функції;
5) Пошук екстремумів функцій однієї чи багатьох змінних;
6) Рішення системи лінійних рівнянь;
7) Рішення системи нелінійних рівнянь;
8) Апроксимація функцій;
9) Інтерполяція функцій;
10) Лінійне і нелінійне програмування;
Система об'єднує: редактор, обчислювач, Верифікатор (перевіряє правильність обчислень), генератор звітів і простий графопостроітель.Сістема орієнтована на ПК класу IBM PC XT і AT і може розміщуватися на одному гнучкому диску об'ємом до 360 Кбайт. Система може працювати на ПК без математичного співпроцесора, проте його використання значно підвищує швидкість роботи.
Завантаження системи
Необхідно виконати файл eureka.exe.
Після запуску на екрані монітора з'являється табло оболонки системи. Екран виявляється розділеним на чотири вікна:
Edit - для введення і редагування тексту задачі;
Solution - для виведення результатів;
Report - для виведення звіту про обчисленнях на екран, принтер або у файл з розширенням log;
Verify - для перевірки точності результату.
Вікно в пасивному стані обведено одинарною рамкою, а в активному - двойной.Курсор розташовується в активному вікні.
.
- 2 -
Меню системи
Крім вікон, табло оболонки містить верхню і нижню рядка меню.
У верхній частині оболонки перераховуються позиції основного
меню системи:
File - робота з файлами;
Edit - редагування поточного файлу;
Solve - запуск обчислювача;
Commands - вибір команди управління;
Report - підготовка звіту;
Graph - виведення графіків і таблиць;
Options - завдання опцій системи;
Window - робота з вікнами.
Перехід у верхній рядок меню виконується клавішею ESC.
Нижній рядок меню показує можливості роботи з ключовими клавішами (hot keys). Ee вміст може змінюватися залежно від режиму роботи сістеми.Наібольшій інтерес цей рядок представляє в режимі редактірованія.В цьому випадку вона пропонує наступні команди:
F1 - Help - допомога по контексту (можна отримувати в будь-якій з зіціі меню і підменю);
F2 - Save - запис поточного файлу на диск;
F3 - Load - завантаження файлу з диска;
F5 - Zoom - розширення активного вікна на весь екран і віз обертання його (при повторному натисканні) до початкових розмірів;
F6 - Next - переключення активності вікон (з циклу);
F7 - BegBek - відмітка початку блоку;
F8 - EndBek - позначка кінця блоку;
SCROOL - Size/move - зміна розміру і положення вікна.
Натискання клавіш Ctrl і Alt призводить до висвічення інших клю
чевих клавіш.
Esc - відміна команди (перехід в вищестояще меню);
Alt + E - перехід у вікно редагування;
Alt + S - почати вирішення задачі;
Alt + C - включити вбудований калькулятор;
Alt + X - вихід із системи.
.
- 3 -
Операції з файлами
Якщо активувати у верхній частині позицію File, то після
натискання клавіші Enter відкриється підменю з наступними пунктами:
Load - завантаження файлу;
New - підготовка до завдання нового файлу (очищення вікон);
Save - запис поточного файлу;
Directory - перегляд директорії;
Change dir - зміна поточної директорії;
New directory - створення нового каталогу;
Rename - перейменування поточного файлу;
OS shell - тимчасовий вихід в MS DOS (повернення по команді
Exit);
Quit - вихід з системи після закінчення роботи.
Редагування тексту задачі
Якщо активізувати другу позицію верхнього рядка і натиснути
клавішу Enter, то ми опинимося у вікні редагування завдань.
Рішення завдання
Третьою позицією верхнього рядка є команда Solve. Після того як редагування завдання закінчено потрібно натиснути Esc (для потрапляння в верхній рядок меню) і активізувавши пункт меню Solve, запустити завдання на рахунок натисканням клавіші Enter. Якщо в описі завдання помилок з точки зору системи немає, то почнеться процес вирішення. Після закінчення цього процесу результат роботи буде представлений у вікні Solution.
Команди
Четверта позиція верхньої рядки - Commands. При активізації цієї позиції і натискання клавіші Enter відкривається наступне підменю:
Verify - перевірка рішення (результат роботи цієї команди
виводиться в однойменне вікно);
Calculate - включення калькулятора (для виключення - Esc);
Find other - пошук іншого рішення (Так як ітераційні методи
.
- 4 -
призводять тільки до одного з можливих рішень,
то для знаходження інших треба виключити знайдено
ша і заново вирішити задачу. Саме це і робить
дана команда. При цьому радіус пошуку іншого
рішення задається установкою: radius = дії
валий число. За умовчанням радіус дорівнює нулю .);
Iterate - пуск ітерацій після зупинки рішення (Команда ис
користується для уточнення знайденого рішення при
умови, що задана точність не досягнута, а
час відведений на процес вирішення закінчено).
Формування звіту
Звіт містить: титул, лістинг програми, результат рішення та його верифікації і графік заданої функції.
П'ята позиція верхнього рядка (Report) відкриває наступне підменю:
Go - складання звіту (результат цієї команди з'являється у вікні Report);
Output - направлення висновку звіту (екран, принтер);
Formatted - форматування звіту;
Capture - запис звіту в файл eureka.log (За запитом
EUREKA.LOG EXIST.A TO ADD, E TO ERASE
цей файл можна доповнити або стерти. При
включеної команді в рядку перемикань
буде стояти ON, інакше OFF);
Logfile name - зміна імені log-файлу.
Побудова графіка
Підменю шостій позиції верхнього рядка (Gragh) складається з чотирьох пунктів:
Plot - побудова графіка;
Output - висновок графіка на екран або принтер;
List - висновок таблиці;
Function - завдання функції, яку треба побудувати.
Опишемо послідовність дій, необхідних для побудови графіка функції більш докладно.
Спосіб N 1
.
- 5 -
Активізуйте (тобто наведіть курсор і натисніть Enter) пункт верхнього меню під назвою - Graph. У підменю, активуйте пункт - Function. У що з'явилася після цього строку введіть назву вашої функції (наприклад y (x) або ab) і натисніть Enter. В знову з'явилася рядок введіть визначення вашої функції (наприклад sin (x) + x ^ 2) та натисніть Enter. Після цього активуйте пункт підменю з назвою - Plot. У що з'явилася рядок введіть початок інтервалу побудови графіка та натисніть Enter. В знову вікно, що з'явилося введіть кінець інтервалу та натисніть Enter. У результаті всіх перерахованих дій на дисплеї з'явиться вікно, що містить графік, виконаний символами псевдографіки. Якщо тепер натиснути F5, то графік перемалюють на весь екран за допомогою справжньої графіки. Повторне натискання F5 призводить до повернення екрану в стан, що існував до першого натискання цієї клавіші.
Графік може бути перемальований на весь екран в символах псевдографіки, якщо перед F5 була натиснута клавіша F4. При цьому, для того щоб повернутися в режим, що дозволяє використовувати справжню графіком, необхідно натиснути F7.
Спосіб N 2
Увійдіть у вікно Edit. Запишіть в ньому визначення однієї або кількох функцій (наприклад:
z (x) = sin (x) + x ^ 2
p (x) = deriv (deriv (5 * cos (x), x), x)
m (x) = 1/x)
і будь-яку обчислювальну завдання (наприклад t = z (1 )).
Підніміться у верхній рядок меню і активізуйте в ній пункт Solve. Після того, як обчислювальна задача буде вирішена активуйте пункт меню Graph. У підменю, активуйте пункт Plot. При цьому з'явиться меню, що дозволяє вибрати функцію (з числа визначених у вікні Edit) для побудови графіка. Вибір функції здійснюється за допомогою курсору. Його треба підвести до назви функції і натиснути Enter. Далі виконуються ті ж дії, що і в 1-му способі після активізації пункту Plot.
Якщо виникає потреба у побудові графіка іншої функції (з числа визначених у вікні Edit), то необхідно: увійти у вікно Edit, вийти з цього вікна (при цьому редагувати записи не обов'язково), активізувати пункт Solve і далі повторити описані вище дії .
.
- 6 -
Примітка: Для виведення на екран функції у табличному вигляді придатні обидва описаних вище способу. Відмінністю є лише те, що замість пункту Plot активізується пункт List. При цьому Eureka зажадає ввести: початок інтервалу обчислень, крок обчислення і кількість точок, в яких обчислюються значення функції.
Параметри системи
Сьома позиція верхнього рядка (Options) має наступне підменю:
Variables - зміна значень змінних без входження в редактор;
Settings - завдання установок системи:
accuracy - завдання похибки обчислень;
complex [yes/no] - з параметром yes дозволяє обчислення з комплексними числами;
casefold [yes/no] - з параметром yes скасовує наявне за замовчуванням відмінності між прописи нимі і малими літерами;
digits - визначає кількість цифр у результатів вичі сленій;
substlevel = n - задає кількість перетворень змінних, в ході яких одні змінні автомати тічеськи виражаються через інші. При n = 0 такі перетворення не виконуються. Допустимі значення n: 0,1,2 ,...., 6. За замовчуванням ця установка дорівнює шести. Якщо завдання не вирішується або вирішується пло хо, то варіювання n в зазначених межах у ряді випадків покращує ситуацію. Так, в задачі N14 для самостійної роботи рекомендується в якості першого рядка лістингу записати $ substlevel = 2.
Крім перерахованих, цей пункт підменю содер жит ще ряд установок, про призначення яких можна дізнатися, скориставшись клавішею F1 (тобто Help).
Сolors - установка фарбування вікон, рамок і текстів;
Directories - установка директорії (Система і окремі фай ли можуть зберігатися в різних діректоріях.В цьому випадку потрібно вказати системі, де знаходяться її файли і файли з прикладами розрахунків .);
Load SETUP - щоб завантажити інсталяційний файл;
Write SETUP - запис інсталяційний файл.
.
- 7 -
Робота з вікнами
Восьма позиція верхнього рядка (Window) також має підменю:
Open - відкриває активна або зазначене вікно;
Close - закриває активну або зазначене вікно;
Next - робить активним наступне вікно;
Zoom - розширює активне вікно;
Tile - робить розміри вікон рівними;
Stack - має у своєму розпорядженні вікна один за одним;
Goto - перехід в активне вікно з меню.
Відомості про систему
Eureka має наступні обмеження:
- максимальна довжина ідентифікатора до 40 символів, з них 10 є основними;
- число визначених користувачем функцій не більше 10;
- число використовуваних числових констант не більше 200;
- число змінних не більше 12;
- число підстановок одних змінних в інші до 6.
При цьому може використовуватися підстановка одних змінних в інші, нерідко зводить задачу до точного рішення.
Алфавіт системи Eureka містить стандартний набір символів.
Це латинські прописні (від А до Z) і малі (від а до z) букви, а також ряд спецзнаки:
: - роздільник для виразів розміщених в одному рядку;
; - відзначає початок рядка коментарю;
() - всередині дужок розміщується коментар;
[] - використовується для роботи з розмірними коментарями;
$ - вказує, що наступне слово - директива (установка);
= - операція привласнення;
: = - завдання (визначення) функції користувача або началь них значень змінних.
Довгі вираження після символу арифметичної операції можна переносити на інший рядок.
Eureka може проводити наступні операції:
+ складання;
- віднімання;
.
- 8 -
* множення;
/розподіл;
^ піднесення до степеня;
() зміна пріоритету операцій;
<менше;> більше; <= менше або рівне;> = більше або дорівнює.
Елементарні функції
Eureka має функції re (z) і im (z), які повертають дійсну і уявну частини комплексного числа z = x + iy. Перед застосуванням цих функцій необхідно ввести директиву: $ complex = yes
і позначити уявну одиницю i ^ 2 =- 1 або i = sqrt (-1).
abs (z) - модуль; exp (z) - обчислення e = 2,71828 ... в ступені z; floor (x) - ціла частина х; ln (z) - обчислення натурального логарифма z; log10 (z) - обчислення десяткового логарифма z; sqrt (z) - обчислення квадратного кореня з z; pos (x) - повертає х при х> 0 і 0 у противному разі; sgn (x) - повертає: 1 при х> 0, -1 при х <0 і 0 при x = 0; atan2 (y, x) - обчислення арктангенс за координатами x і у (кут укладений між віссю Ох і відрізком, кінці якого (0,0) і (х, у)); polar (x, y) - перетворення декартових координат у полярні; sin (z), cos (z), tan ( z) - обчислення: синуса, косінуса і тангенса z; sinh (z), cosh (z), tanh (z)-обчислення гіперболічних: синуса, косінуса і тангенса z.
Крім перерахованих вище функцій Eureka має ще ряд функцій і процедур:
fact (n) - обчислення факторіалу числа n;
ncum (x) - обчислює спеціальну функцію помилок Р (х) для нормального розподілу;
sum (f (i), i, n, k) - обчислює суму f (i) при індексі i, що змінюється від n до k.
У системі Eureka користувач має можливість задавати необхідні йому функції через наявні вбудовані. Функції користувача задаються у вигляді:
Ім'я функції (список змінних) = вираз
або
Ім'я функції (список змінних): = вираз
Друга форма використовується, якщо задана функціональна залежність розглядається як наближена.
.
- 9 -
+---------------------------------------------- ---------------+
| Приклади завдань розв'язуваних системою EUREKA. |
| ------------------------------------------- |
+---------------------------------------------- ---------------+
Приклад N1
------------
Вирішити нелінійне рівняння: e_5 (x ^ 2) _0-5x +1 = 0.
Рішення
Набираємо у вікні Edit: exp (x ^ 2) -5 * x +1 = 0. Виконуємо дії описані у пункті "Рішення задачі" (далі це буде називатися "вирішити завдання ").
Вирішивши завдання отримуємо у вікні Solution:
Variables Values
x = 1.3086594
За допомогою відділення кореня можна спробувати знайти інше рішення, тобто набрати у вікні Edit: (exp (x ^ 2) -5 * x +1)/(x-1.3086594) = 0 і вирішити задачу заново. Шукати інше рішення можна також за допомогою пункту меню Find other й установки radius.
Приклад N2
------------
Обчислити корені полінома x_56_0-x_54_0-x_53_0 3 x_52_0-1, тобто розв'язати рівняння:
x_56_0-x_54_0-x_53_0 3 x_52_0-1 = 0.
Рішення
Для обчислення значень, а також дійсних і комплексних коренів полінома в системі Eureka існує спеціальна функція:
poly (x, an ,......, a0).
Набираємо у вікні Edit:
$ settings; Початок блоку установок
complex = yes; Працювати з комплексними числами
accuracy = 1.0e-9; задається точність обчислень
digits = 8; Кількість знаків у результатів обчислень $ end; Кінець блоку установок
i = sqrt (-1); Визначення уявної одиниці
p (x): = poly (x, 1,0, -1, -1,3,0, -1)
Вирішивши завдання отримуємо у вікні Solution:
.
- 10 -
Roots to the polynomial p
# Real part Imaginary part
1 0.69807525 0.0000000
2 -0.54737816 0.0000000
3 0.94982970 0.6507578
4 0.94982970 -0.6507578
5 -1.0251783 0.9608054
6 -1.0251783 -0.9608054
Після знаходження коренів зробимо вибіркову перевірку. Підставивши перший, третій і четвертий коріння в полином. Для цього зробимо у вікні Edit такі записи:
$ settings
complex = yes
accuracy = 1.0e-9
digits = 8
$ end
i = sqrt (-1)
a = 0.69807525
z1 = a ^ 6-a ^ 4-a ^ 3 3 * a ^ 2-1
b = 0.94982970 +0.6507578 * i
c = 0.94982970-0.6507578 * i
z2 = b * b * b * b * b * b-b * b * b * b-b * b * b +3 * b * b-1
z3 = c * c * c * c * c * c-c * c * c * c-c * c * c 3 * c * c-1
Вирішивши завдання переконуємося в тому, що значення полінома у вибраних точках практично дорівнюють нулю. На жаль інша форма запису при роботі з комплексними числами в системі Eureka може привести до помилкового результату. Якщо Eureka видає повідомлення "Error 5: too many formulas", перевіряємо коріння по черзі порціями, доступними для обробки системою.
Приклад N3
-------------
_4_____
Обчислити похідну функції f (x) = 3lg (x)-_7? _0 (x/2) + x_52 _0 в точці 0,5.
.
- 11 -
Рішення
Оскільки в системі Eureka надійніше працює функція обчислює натуральний логарифм, то висловимо десятковий логарифм через ставлення натуральних: lg (x) = ln (x)/ln (10).
Набираємо у вікні Edit:
a = 1/ln (10)
f (x) = 3 * a * ln (x)-sqrt (x/2) + x ^ 2
x = 0.5
z = deriv (f (x), x)
Вирішивши завдання отримуємо у вікні Solution:
Variables Values
a = 0.43429448
x = 0.50000000
z = 3.1057669
Приклад 4
-----------
lg (1 + x)
Обчислити інтеграл від функції f (x) = _7 _0 на інтервалі [0,1].
(1 + x_52)
Рішення
Набираємо у вікні Edit:
a = 1/ln (10)
f (x) = a * ln (1 + x)/(1 + x ^ 2)
z = integ (f (x), x, 0,1)
Вирішивши завдання отримуємо у вікні Solution:
Variables Values
a = 0.43429448
z = 0.11821420
Приклад 5
-----------
Перевірити, що при | a | <= 0,9 виконується рівність:
_7p
_7! _0 sin_52_0 (x) _7 p
_72_0 _7 _0 dx = _7
_71_0 1 + 2 a cos x + a_52_0 2
_50
.
- 12 -
Рівність перевірити в точках a = -0,9; -0,45; 0; 0,45; 0,9.
Рішення
Набираємо у вікні Edit:
t = 3.1415926/2
f (a, x) = sin (x) ^ 2/(1 +2 * a * cos (x) + a ^ 2)
t1 =- 0.9: i1 = integ (f (t1, x), x, 0,3.1415926)
t2 =- 0.45: i2 = integ (f (t2, x), x, 0,3.1415926)
t3 = 0: i3 = integ (f (t3, x), x, 0,3.1415926)
t4 = 0.45: i4 = integ (f (t4, x), x, 0,3.1415926)
t5 = 0.9: i5 = integ (f (t5, x), x, 0,3.1415926)
Вирішивши завдання отримуємо у вікні Solution:
Variables Values
i1 = 1.5707963
i2 = 1.5707963
i3 = 1.5707963
i4 = 1.5707963
i5 = 1.5707963
k = 1.5707963
t1 = -0.9000000
t2 = -0.4500000
t3 = 0.0000000
t4 = 0.4500000
t5 = 0.9000000
Приклад 6
-----------
Eureka дозволяє вирішувати завдання пошуку екстремуму функції за допомогою завдання директив: $ min та $ max. При цьому, якщо функція має кілька екстремумів, то для знаходження того, який потрібен, має сенс намалювати графік функції і виходячи з цього графіка задати початкові наближення і обмеження для пошуку екстремуму. В іншому випадку пошук екстремуму буде відбуватися від початкових значень, заданих системою Eureka за замовчуванням і може призвести не до того екстремуму, яке хотілося б знайти.
Обчислити максимум функції f (x) = 5xe_5 (-x/2) _0 (2 + sin (3x)), причому він повинен бути більше 10.
.
- 13 -
Набираємо у вікні Edit:
$ max (T)
V (x) = 5 * x * exp (-x/2) * (2 + sin (3 * x))
x: = 2
V (x)> 10
T = V (x)
Вирішивши завдання отримуємо у вікні Solution:
Variables Values
T = 10.629942
x = 2.5805009
Приклад 7
-----------
Обчислити мінімум функції f (x) = x_52_0 + y_52_0 + z_52_0-1.
Набираємо у вікні Edit:
$ min (Fxyz)
F (x, y, z) = x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 -1
Fxyz = F (x, y, z)
Вирішивши завдання отримуємо у вікні Solution:
Variables Values
Fxyz = -1.0000
x = 6.1257e-13
y =-1.3030e-12
z =-5.9622e-14
Приклад 8
-----------
Є квадратний аркуш паперу зі стороною a. З листа робиться коробка наступним чином: по кутах листа вирізають чотири квадрата і коробка cклеівается по швах. Яка повинна бути сторона вирізуваного квадрата, щоб коробка мала найбільшу місткість. Вирішити задачу при a = 6.
.
- 14 -
Набираємо у вікні Edit:
$ settings
accuracy = 1.0e-12
$ end
$ Max (Y)
a = 6
G (x) = x * (a-2 * x) ^ 2
Y = G (x): 0
Вирішивши завдання отримуємо у вікні Solution:
Variables Values
a = 6.0000000
x = 1.0000000
Y = 16.0000000
Приклад 9
----------- _7
_7 (
_72 _0 2x + 3y + z = 11 Вирішити систему лінійних рівнянь: _7 _0 _7 * _0x + y + z = 4 _72_0 7x - 2y - 3z = -37 Решеніе_7 9
Набираємо у вікні Edit:
2 * x 3 * y + z = 11
x + y + z = 4
7 * x-2 * y-3 * z =- 37
Вирішивши завдання отримуємо у вікні Solution:
Variables Values
x = -3.000000
y = 5.000000
z = 2.000000
.
- 15 -
Приклад 10
------------
| 5 7 |
Обчислити матрицю зворотну до заданої A = | |.
| 2 3 |
Рішення
Система Eureka не має спеціальної функції для обчислення оберненої матриці. Однак нам відомо, що: A * A_5-1_0 = E. Тобто :
| 5 7 | | ab | | 1 0 |
| | * | | = | | або
| 2 3 | | cd | | 0 1 |
| 5 7 | | a | | 1 | | 5 7 | | b | | 0 |
| | * | | = | | і | | * | | = | |
| 2 3 | | c | | 0 | | 2 3 | | d | | 1 |
Набираємо у вікні Edit:
5 * a 7 * c = 1
2 * a 3 * c = 0
5 * b 7 * d = 0
2 * b +3 * d = 1
Вирішивши завдання отримуємо у вікні Solution:
Variables Values
a = 3.000000
b = -7.000000
c = -2.000000
d = 5.000000
Приклад 11
------------
_7 (
_72_0 _7 _0e_52x_0 + sin (3x) - y_52_0 = 0 Вирішити систему нелінійних рівнянь: _7 *
_72_0 x_53_0 + 7 * y + tg (5 * x_52_0) = 0 _79
при початкових умовах x_40_0 =- 1 y_40_0 = 0,3.
.
- 16 -
Набираємо у вікні Edit:
exp (2 * x) + sin (3 * x)-y ^ 2 = 0
x ^ 3 7 * y + tan (5 * x ^ 2) = 0
x: =- 1: y: = 0.3
Вирішивши завдання отримуємо у вікні Solution:
Variables Values
x = -1.0414127
y = 0.32744950
Приклад 12
------------
Отримані експериментальні дані залежності твердості по Брінеллю Hb від ступеня деформації e для одного з сортів сталі.
Ці дані представлені в наступній таблиці:
+---------------------------------------------- -------------+
| e | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 40 | 50 | 60 |
+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+---- -+-----+-----|
| Hb | 130 | 141 | 152 | 163 | 170 | 180 | 194 | 206 | 213 |
+---------------------------------------------- -------------+
Побудувати емпіричну залежність виду: Hb (e) = 118 + a * e ^ b.
Обчислити Hb (e) при e = 25 для отриманої залежності.
Набираємо у вікні Edit:
Hb (e) = 118 + a * e ^ b
Hb (5) = 130: Hb (10) = 141
Hb (15) = 152: Hb (20) = 163
Hb (25) = 170: Hb (30) = 180
Hb (40) = 194: Hb (50) = 206
Hb (60) = 213
t = 25: y = Hb (t)
Вирішивши завдання отримуємо у вікні Solution:
Variables Values
a = 5.2800065
b = 0.70583936
t = 25.00000
y = 169.21009
.
- 17 -
Приклад 13
------------
Функція задана у вигляді таблиці. Побудувати інтерполяційний поліном Лагранжа і обчислити його значення в точках: 6,9 і 7,9.
+---------------------------------------------+
| x | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
+-----+-------+-------+-------+-------+-------|
| y | 13,14 | 8,28 | 9,91 | 5,976 | 16,68 |
+---------------------------------------------+
Якщо емпірична залежність має вигляд полінома і при цьому кількість точок заданих в таблиці в точності так само ступеня полінома плюс одиниця, то система Eureka здійснює Лагранжа інтерполяції.
Набираємо у вікні Edit:
L (x) = a * x ^ 4 + b * x ^ 3 + c * x ^ 2 + d * x + e
L (2) = 13.14: L (4) = 8.28
L (6) = 9.91: L (8) = 5.97
L (10) = 16.68
x = 6.9: y = L (x)
x1 = 7.9: y1 = L (x1)
У вікні Solution отримуємо
Solution
Variables Values
a = 0.08406250
b = -1.93250000
c = 15.59500000
d = -51.97750000
e = 68.83000000
x = 6.90000000
x1 = 7.90000000
y = 8.36504340
y1 = 6.11795090
.
- 18 -
+---------------------------------------------- -----+
| Завдання для самостійної роботи студентів. |
+---------------------------------------------- -----+
Завдання 1
-----------
Вирішити систему лінійних рівнянь:
_7 (
_72_0 3x + 2z + v = 0
_7 * _0-x + 5y + 4z - v = -14
_72_0 x + y + z + v = 1
_79_0 1,5 x + 0,5 y + z -7 * v = -6,5
Завдання 2
-----------
Знайти матрицю зворотну до заданої матриці A:
| 3 4 2 |
| |
A = | 2 3 5 |
| |
| 1 2 9 |
Завдання 3
-----------
Визначити коефіцієнти a, b, c емпіричної залежності
y (x) = ax_52_0 + bx + c.
.
- 19 -
Таблиця експериментальних даних
+---------------------------------------------- ----+
| | | | | | | | |
| x | 1 | 1,5 | 2 | 2,5 | 3 | 4 | 5 |
+-----+-----+-------+-----+-------+-----+-----+ ----|
| | | | | | | | |
| y | 0,1 | 0,225 | 0,4 | 0,625 | 0,9 | 1,6 | 2,5 |
+---------------------------------------------- ----+
Провести обчислення за отриманою формулою для точок
x = 1,5, 3 і 5.
Завдання 4
-----------
Визначити коефіцієнти a, b, c і d емпіричної залежності
y (x) = aT_40_0 (t) + bT_41_0 (t) + cT_42_0 (t) + dT_43_0 (t), де:
T_40_0 (t) = 1, T_41_0 (t) = t, T_42_0 (t) = 2t_52_0-1, T_43_0 (t) = 4t_53_0-3t.
Таблиця експериментальних даних
+---------------------------------------------- ---+
| | | | | | | |
| x | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
+-----+------+------+------+------+-------+---- ---|
| | | | | | | |
| y | 50,3 | 60,1 | 80,3 | 91,9 | 101,1 | 110,6 |
+---------------------------------------------- ---+
Провести обчислення за отриманою формулою для точок
x = 6, 8 та 10.
Завдання 5
-----------
Знайти значення функції f (x), заданої таблично, в наступних
точках:
.
- 20 -
h 3h 5h 7h 9h
x_41_0 + _7_0, x_41_0 + _7 _0, x_41_0 + _7 _0, x_41_0 + _7 _0, x_41_0 + _7 _0.
2 2 2 2 2
Вихідні дані:
h = 0,005 x_41_0 = 1,335
Функція задана таблицею
+---------------------------------------------- -------+
| | | | | | | |
| x | 1,335 | 1,340 | 1,345 | 1,350 | 1,355 | 1,360 |
+-----+-------+-------+-------+-------+-------+ -------|
| | | | | | | |
| f (x) | 4,162 | 4,256 | 4,353 | 4,455 | 4,562 | 4,673 |
+---------------------------------------------- -------+
Завдання 6
-----------
Методом зворотного інтерполювання, знайти значення аргу
ментів x, для яких значення функції y = f (x) відомі і рівні
4,21; 4,31; 4,41; 4,51; 4,61.
Функція задана таблично
+---------------------------------------------- -----------+
| | | | | | | |
| x | 1,335 | 1,340 | 1,345 | 1,350 | 1,355 | 1,360 |
+---------+-------+-------+-------+-------+---- ---+-------|
| | | | | | | |
| y = f (x) | 4,162 | 4,256 | 4,353 | 4,455 | 4,562 | 4,673 |
+---------------------------------------------- -----------+
Завдання 7
-----------
Визначити, чи корені рівняння
.
- 21 -
x_55_0 + 0,5 x_54_0 - 3x_53_0 + 27x_52_0 + 13,5 x - 81 = 0
дійсні.
Завдання 8
-----------
Перевірити, що при | a | <= 0,9 виконується рівність
_7p
_7! _0 sin (x)
_72_0 __________________________ dx = 2.
_72_0 _7 |
_71_0 _7? _0 1 - 2 a cos x + a_52
_50
Рівність перевірити в точках a = -0,9; -0,45; 0; 0,45; 0,9.
Завдання 9
-----------
Перевірити рівність
a a_52
_7! _0 1 _7!
_72_0 x_53_0 sin (x_52_0) dx = _7_0 _72_0 x sin (x) dx _72_0 2 _72
_71_0 _71
_50_0 _50
прі_5 _0a, що змінюється від 1 до 2 з кроком h = 0,2.
Завдання 10
------------
Визначити, корінь якого з рівнянь,
_7 | _0 1
_7? _0 x + 1 - _7_0 = 0_7 _0 або x_52_0 - sin (_7p_0x) = 0, x
.
- 22 -
що належить відрізку [0,7; 0,8], більше?
Коріння знайти з точністю e = 0,00001.
Завдання 11
------------
Визначити, корінь якого з рівнянь,
_7 (| )
7 _72_0 0,7854 - x_7? _0 1-x_52_7 _0 _72 lg (6x) - _7 _0 = 0 або 0,3 + x-cos_72 2_0 = 0, 6 (2x +1) _72_0 _7 _0 1-x_52_7 _0 _7 2 _79 _0 _7 0
що належить відрізку [0,5; 0,6], менше?
Коріння знайти з точністю e = 0,00001.
Завдання 12
-------------
Знайти рішення системи нелінійних рівнянь:
_7 (_0 _7 |
_72_0 tg (xyz_52 _0 + 0,4) - x_52_0 + _7? _0z - 1 = 0, _72
_72
_7 * _0 0,5 x_52_0 + 2y_52_0 + z_52_0 - 2 = 0,
_72
_72
_72_0 x + y + z - 2,54732 = 0,
_79
прийнявши за початкове наближення точку (1,1; 0,5; 0,95)
і задав точність обчислень е = 0,00001.
Завдання 13
------------
Знайти рішення системи нелінійних рівнянь:
.
- 23 -
_7 (_0 _7 |
_72_0 e_5XY_0 - x_52_0z_52_0 + y_7? _0z - 1,5 = 0,
_72
_72_0 _7 |
_7 * _0 (x + _7? _0z - 0,5) + y_52_0 - 1 = 0,
_72
_72
_72_0 x + y + z - 1,84643 = 0,
_79
прийнявши за початкове наближення точку (0,4; 0,5; 0,95)
і задав точність обчислень е = 0,00001.
Завдання 14
------------
Експериментальні дані залежності відносного удлин
ня від температури для катаного молібдену представлені
наступними таблицями:
Температура t, гр. C
+---------------------------------------------- ---+
| | | | | |
| 27 | 327 | 402 | 477 | 627 |
+---------+---------+---------+---------+------ ---|
| | | | | |
| 777 | 927 | 1077 | 1227 | 1827 |
+---------------------------------------------- ---+
Відносне подовження _7d_0,%
+---------------------------------------------- ---+
| | | | | |
| 10 | 7,5 | 6 | 5,5 | 5 |
|---------+---------+---------+---------+------ ---|
| | | | | |
| 5 | 5 | 8 | 10 0 | 2 |
+---------------------------------------------- ---+
апроксимувати експериментальні дані залежністю
.
- 24 -
_7d_0 (t) = a + b * t + c/t + d * sin (t).
Виконати обчислення за отриманою залежності для
точок t = 402; 627; 1077; 1827.
Завдання 15
------------
Значення інтегрального синуса
x
_7! _0 sin (u)
Si (x) = _72_0 ------- du
_71_0 u
0
дані в таблиці:
+---------------------------------------------- -----------+
| x | 0,000 | 0,500 | 1,000 | 1,500 | 2,000 | 2,500 | 3,000 |
+--------+------+------+------+------+------+-- ----+------|
| Si (x) | 0,000 | 0,493 | 0,946 | 1,325 | 1,605 | 1,779 | 1,849 |
+---------------------------------------------- -----------+
Обчислити Si (2,357) за допомогою апроксимуючої
залежності. Для порівняння обчислити інтеграл за допомогою на
щи вбудованої в систему Eureka функції integ (f (x), x, a, b).
При обчисленні інтегралу нижня межа брати рівним 0,0000001.
Завдання 16
------------
Значення повного нормального еліптичного інтеграла
Лежандра другого роду
_7p_0/2
_7! _0 _7 |
y (t) = _72_0 _7? _0 1 - sin_52_0 (t) sin_52_0 (x) dx
_71
0
.
- 25 -
дані в таблиці:
+---------------------------------------------- ------------+
| t | 0,000 | _7p_0/36 | _7p_0/18 | _7p_0/12 | _7p_0/9 | 5_7p_0/36 | _7p_0/6 | +--------+-------+ ------+------+------+------+------+------|
| y (t) | 1,571 | 1,568 | 1,559 | 1,544 | 1,524 | 1,498 | 1,467 |
+---------------------------------------------- ------------+
Методом зворотного інтерполірова?? ия, вичісліть_7 _0t
при y (t) = 1,46 і 1,56.
Перевірити виконання рівності:
_7p_0/2
_7! |
y (t) - _72_0 _7? _0 1 - sin_52_0 (t) sin_52_0 (x) dx = 0.
_71
0
при отриманих значеннях.
.
- 26 -
Автори: Сігітов Євген Васильович,
Гопенгауз Володимир Ізраільевіч
Друкарня МГІСіС. Замовлення ___________. Тираж 800 прим.
