Квантування сигналів за часом
Курсовий
проект з дисципліни «Теорія інформації і сигналів»
Виконала
студентка групи 03-КТ-11 курсу 3 факультету
КТАС
Кубанський
Державний технологічний університет
Кафедра
Вт та АСУ
Краснодар,
2005
Введення
В даний
час інформація стала чинником, що визначає ефективність будь-якої сфери
діяльності. Збільшилися інформаційні потоки і підвищилися вимоги до
швидкості передачі даних, одним з факторів підвищення швидкості передачі даних
служить метод дискретизації сигналів за часом, тобто при передачі сигналу,
можна передавати не весь сигнал, а тільки його звіти, і відновлювати сигнал
за звітами. У цьому випадку передаються тільки імпульси (клацання), а на приймачі,
за цими клацанням відновлюється сигнал
У роботі
реалізується алгоритм квантування сигналів за часом.
1. Класифікація
видів модуляції
Повідомлення,
представлене електричним сигналом, повинно бути передано на певний
відстань (у тому числі на досить велике). Для цієї мети використовуються
сигнали - переносники. Енергія переносників повинна бути достатньою для
передачі на задану відстань.
Таким чином,
перетворення сигналів при передачі складається у впливі на переносник,
змінює той чи інший його параметр. Цей вплив називається модуляцією.
Різні види
модуляції характеризуються різними видами переносників, а так само поруч
параметрів, що піддаються зміні.
По виду
переносників розрізняють:
модуляцію
синусоїдальних (гармонічних) сигналів;
модуляцію
імпульсних сигналів.
За змінним
параметрами розрізняють:
амплітудну
модуляцію;
частотну
модуляцію;
фазову
модуляцію;
кодову
модуляцію та ін
У тих випадках,
коли безперервне повідомлення передається в дискретної (цифровій) формі,
здійснюється попереднє перетворення безперервного повідомлення в
дискретне, що включає дискретизацію (квантування) за часом і за рівнем.
2. Модуляція
імпульсних переносників
У новітніх
системах передачі інформації, особливо в багатоканальних системах з
тимчасовим ущільненням (поділом) каналів, переносником є
послідовність прямокутних імпульсів. У такого переносника можна змінювати
наступні параметри: амплітуду імпульсів, їх ширину, частоту проходження,
позицію або фазу і коди, утворені ними. Відповідно розрізняють наступні
модуляції:
амплітудно-імпульсна
модуляція АІМ;
широтно-імпульсна
модуляція ШІМ;
час-імпульсна
модуляція ВІМ;
позиційно-імпульсна
модуляція (фазо-імпульсна) ПІМ (ФІМ);
частотно-імпульсна
модуляція ЧИМ;
Кодо-імпульсна
модуляція КІМ.
При передачі
безперервних повідомлень в інформаційних системах досить широке застосування
отримала кодоімпульсная модуляція (КІМ) сигналів. КІМ складається з трьох
операцій:
дискретизації
сигналів за часом;
дискретизації
сигналів за рівнем;
кодування.
Дискретизація
за часом полягає в заміні безперервної за часом сигналу X (t) дискретним
сигналом, значення якого для дискретних моментів часу t збігаються
відповідно з миттєвими значеннями безперервного сигналу. Така операція
називається також квантуванням сигналу за часом.
Дискретизація
за рівнем (квантування за рівнем) полягає в заміні безперервної безлічі
значень сигналу X (t) безліччю дискретних значень. При цьому шкала можливих
значень сигналу розбивається на певну кількість інтервалів та
безперервне значення сигналу замінюється найближчим дискретним. Отримані
дискретні значення потім кодуються (зазвичай двійковим кодом).
КІМ
(Кодо-імпульсна модуляція) забезпечує суттєве підвищення
завадостійкості передачі повідомлень. Крім того, дискретизація за часом
дозволяє використовувати одні й ті самі пристрої (канали зв'язку, пристрої
обробки інформації та ін) для великого числа різних сигналів.
При КІМ вельми
важливим є правильний вибір способу квантування сигналу за часом і
рівня. У зв'язку з цим розглянемо деякі питання теорії квантування
неперервних функцій за часом і рівнем.
3. Квантування
сигналів за часом
3.1 Визначення дискретизації сигналів за часом
При квантуванні за часом безперервна по аргументу
функція x (t) перетворюється на функцію 
дискретного
аргументу. Таке перетворення може бути виконане шляхом взяття відліків
функції x (t) у визначені дискретні моменти часу 
. У результаті
функція x (t) замінюється сукупністю миттєвих значень x (ti) [i = 0,1,2, ..., n].
Часовий інтервал 
між двома сусідніми фіксованими моментами
часу, в яких задається дискретна функція, називається інтервалом
тимчасового квантування. Величина, зворотна тимчасового інтервалу квантування 
називається
частотою квантування.
Частота квантування повинна вибиратися таким чином,
щоб по відліковим значень x (ti) можна було б із заданою точністю отримати
вихідну функцію.
3.2 Вибір кроку квантування за часом
Відомо кілька критеріїв вибору частоти
квантування за часом. До таких критеріїв належить, зокрема, частотний
критерій В.А. Котельникова. Даний критерій, який отримав назву теореми
В.А. Котельникова, грунтується на наступній моделі сигналів:
сигнал являє собою стаціонарний випадковий
процес;
спектр сигналу суцільної та обмежений деякої
частотою, за межами якої він тотожно дорівнює нулю.
Теорема В.А. Котельникова: якщо безперервна функція
x (t) задовольняє умовам Діріхле (обмежена, кусково-неперервна і має
кінцеве число екстремумів) і її спектр обмежений певною частотою fc, то вона
повністю визначається відліку, що знаходяться на відстані 
один від одного.
Для доведення теореми розглянемо вираження
прямого та зворотного перетворення Фур'є неперервної функції x (t).
(1)
. (2)
У даному окремому випадку функції з
обмеженим спектром можна записати
. (3)
Доповнимо функцію до періодичної з періодом, рівним
2fc (малюнок 1) і розкладемо її в ряд Фур'є
Малюнок 1 - функція з періодом, рівним 2fc.
, (4)
. (5)
Порівнюючи вирази (3) та (5) помічаємо, що вони
збігаються з точністю до постійного множника 
, якщо взяти
.
Отже,
.
Підставивши знайдене вираз для 
в (4) , одержимо
. (6)
Після підставки (6) у (3), заміни знака за k (тому що
підсумовування виконується по всіх позитивним і негативним значенням k) і
перестановки операцій підсумовування та інтегрування отримаємо
. (7)
Обчислимо інтеграл
(8)
тому 
.
Після підстановки (8) в (7) остаточно отримаємо
. (9)
Отримане вираз представляє аналітично теорему
Котельникова.
З (9) видно, що безперервна функція X (t) (малюнок 2,
а), що володіє обмеженим спектром, може бути представлена розкладанням в
ряд, кожен член якого виражається однаковою функцією виду sin (x)/x (функція
відліку), але з різними коефіцієнтами 
(малюнок 2, б).
Малюнок 2, а - Функція відліку
Малюнок 2, б - Функція відліку, але з різними
коефіцієнтами
Ряд (9) представляє собою розкладання випадкового
процесу з координатними функціями (детермінованими функціями часу) і
ваговими коефіцієнтами 
, які є
випадковими величинами, рівними миттєвим значенням сигналу в точках 
.
Функція відліків в момент часу 
досягає максимуму і дорівнює одиниці. У моменти
часу 
, де i = 1,2,3 ...
функція відліків убуває, звертаючись в нуль при t =
