П'єр де Ферма

Аналітик, будь чесний
!

Інакше вночі Еквідомід -месник

стисне твоє горлосмертельною тугою ..

Луї Ферронії, "Досвід мюідальнойгеометрії "

" П'єр, син Домініка Ферма, буржуа і другий консулату міста Бомон,хрещений 20 серпня 1601 Хрещений батько - П'єр Ферма, купець і братназваного Домініка, хрещена мати - Жанна Казнюв, і я ". Підписвідсутній, але попередній запис підписана: "Дюма, вікарій". Цей документшукали півтора століття і виявили лише в 1846 р. завдяки зусиллям адвоката
Топіака. До цього вважалося, що Ферма народився і помер в Тулузі, де 34 (!)року справно служив чиновником касаційної палати Тулузького парламенту.
Маленьке містечко Бомон на лівому березі Гаронни поблизу Монтабане-на-тарний
(у Франції більше 30 Бомон) і всі його п'ять тисяч жителів до цього дня не всилах усвідомити значимість знахідки дійшлого адвоката. Тут народився великий
Ферма, останній математик-алхімік, вирішував марні завдання прийдешніхстоліть, Найтихіший суддівський гачок, лукавий сфінкс, замучилилюдство своїми загадками, обережний і гречний чинуша,подтасовщік, інтриган, домосід, заздрісник, геніальний компілятор, один зчотирьох титанів математики нового часу.

Цей сучасник Д'Артаньяна майже не виїжджав з Тулузи, де оселпісля одруження з кузині своєї матері Луїзі де Лон, дочки радника того -самого парламенту. Завдяки тестеві він дослужився до звання радника іпридбав омріяну приставку "де". Син третього стану, практичнийнащадок багатих шкіряників, нашпигований латиною і францисканськимблагочестям, він не ставив перед собою грандіозних завдань у реальному житті.
Він мав п'ятьох чад, надалі стали суддівськими чиновниками ісвящениками. Дві дочки Ферма прийняли чернецтво.

У свій бурхливий вік він прожив грунтовно і тихо. Він не писавфілософських трактатів, як Декарт, не був повірників французьких королів,як Вієт, не воював, не подорожував, не створював і не відвідувавматематичні гуртки, не мав учнів і майже не друкувався за життя.
Чиновникам провінційних судів пропонувалося вести замкнуте життя,уникаючи будь-яких проявів публічності. Ймовірно Ферма, вважаючи себе соліднимлюдиною, соромився своєї пристрасті до дозвільних формальним ігор. На схиліроків наш герой пише: "Тому що, відверто кажучи, я вважаю геометрію самимвисоким вправою для розуму, але водночас настільки марним, що я роблюмало розходження між людиною, яка займається тільки геометрією, імайстерним ремісником. Я називаю геометрію найпрекраснішої професією усвіті, але все ж тільки професією, і я часто кажу, що вона хороша дляпроби сил, але не для того, щоб вкладати в неї всі сили ... ". Він змінивсобі лише перед смертю, опублікувавши в Тулузі далеко не самі блискучі зсвоїх знахідок у невеликому трактаті "Про порівняння кривих ліній прямими". Чи невиявивши жодних свідомих претензій на місце в історії, Ферманесподівано помирає у віці 64 років під час поїздки у службових справах.

Його прижиттєва популярність заснована на рясної листуванні, вякої він дошкуляв друзів і недругів незвичайними завданнями. Його посмертнаслава розрослася завдяки скромним позначками на полях "Арифметики"
Діофанта. Зазвичай людству необхідно кілька десятків років, щоброзібратися зі спадщиною чергового невгамовного генія. Навіть такий загадковий
"Обранець богів" як Еваріст Галуа випередив свій час максимум на 60 років.
На остаточне осмислення загадок Ферма знадобилося майже чотиристоліття. Ах, Ваша честь, найдобріший пан П'єр, чому від Вас так пахнесіркою?

Інтерес до математики позначився у Ферма якось несподівано і вдосить зрілому віці. В 1629 році в його руки потрапляє латинський перекладроботи Паппа, що містить коротке зведення результатів Аполлонія про властивостіконічних перерізів. Ферма, поліглот, знавець права і античної філології,раптом ставить за мету повністю відновити хід міркувань знаменитоговченого. З таким же успіхом сучасний адвокат може спробуватисамостійно відтворити всі докази в монографії залгебраїчної топології. Однак, немислиме підприємство одержуєуспіхом. Більш того, вникаючи в геометричні побудови древніх, вінздійснює дивне відкриття: для знаходження максимумів і мінімумівплощ фігур не потрібні хитромудрі креслення. Завжди можна скласти і вирішитиякесь просте алгебраїчне рівняння, корені якого визначаютьекстремум. Він придумав алгоритм, який стане основою диференціальногообчислення. У обривках листів, у незавершених рукописах крізь громіздківербальні позначення на латині виразно проступає щось боліснознайоме:

.

Він швидко просунувся далі. Він знайшов достатні умовиіснування максимумів, навчився визначати точки перегину, провівдотичні до всіх відомих кривих другого і третього порядку. Щекілька років, і він знаходить новий чисто алгебраїчний метод знаходженняквадратур для парабол і гіпербол довільного порядку (тобто інтеграліввід функцій виду yp = Cxq і ypxq = С), обчислює площі, обсяги, моментиінерції тіл обертання. Це був справжній прорив. Відчуваючи це, Фермапочинає шукати спілкування з математичними авторитетами того часу. Вінвпевнений в собі і прагне визнання.

У 1636 р. він пише перший лист Єгомость Марену Мерсенна:
"Святий отче! Я Вам надзвичайно вдячний за честь, яку Ви менінадали, подавши надію на те, що ми зможемо розмовляти письмово; ... Я будудуже радий дізнатися від Вас про всіх нових трактатах і книгах з Математики,які з'явилася за останні п'ять-шість років. ... Я знайшов також багатоаналітичних методів для різних проблем, як числових, так ігеометричних, для вирішення яких аналіз Вієта недостатній. Усім цим яподілюся з Вами, коли Ви захочете, і до того ж без будь-якої зарозумілості, відякого я більш вільний і більш далекий, ніж будь-яка інша людина насвітлі. "

Хто такий батько Мерсенн? Це францисканський чернець, вчений скромнихдарувань і чудовий організатор, протягом 30 років очолювавпаризький математичний гурток, який став справжнім центром французькоїнауки. Надалі гурток Мерсенна указом Людовика XIV буде перетворенийв Паризьку академію наук. Мерсенн невпинно вів величезну переписку, і йогокелія в монастирі ордена мініма на Королівській площі була свого роду
"Поштамтом для всіх учених Європи, починаючи від Галілея і кінчаючи Гоббсом".
Листування заміняла тоді наукові журнали, які з'явилися значнопізніше. Зборища у Мерсенна відбувалися щотижня. Ядро гуртка складалинайблискучіші натуралісти того часів: Робервіль, Паскаль-батько,
Дезарга, Мідорж, Арді і звичайно ж знаменитий і повсюдно визнаний
Декарт. Рене Декарт дю Перон (Картезій), дворянська мантія, два родовихмаєтку, основоположник картезіанства, "батько" аналітичної геометрії,один із засновників нової математики, а так само друг і товариш Мерсенна поєзуїтського коледжу. Цей чудовий людина стане кошмаром для
Ферма.

Мерсенн визнав результати Ферма досить цікавими, щоб ввестипровінціала в свій елітний клуб. Ферма тут же зав'язує листування зібагатьма членами гуртка і буквально засипає листами самого Мерсенна.
Крім того він відсилає на суд вчених мужів закінчені рукописи: "Введеннядо плоских і тілесним місцях ", а рік по тому -" Спосіб відшукання максимумів імінімумів "та" Відповіді на запитання Б. Кавальєрі ". Те, що викладав Ферма булаабсолютна новь, однак сенсація не відбулася. Сучасники нездригнулися. Вони мало, що зрозуміли, але зате знайшли однозначні вказівку нате, що ідея алгоритму максимізації Ферма запозичив із трактату Иоханнес
Кеплера із кумедною назвою "Нова стереометрія винних бочок".
Дійсно, в міркування Кеплера зустрічаються фрази типу "Обсяг фігуринайбільший, якщо з обох боків від місця найбільшого значення спаданняспочатку непомітно ". Але ідея малості приросту функції поблизуекстремуму зовсім не носилася в повітрі. Кращі аналітичні уми тогочасу були не готові до маніпуляцій з малими величинами. Справа в тому, щов той час алгебра вважалася різновидом арифметики, тобто математикоюдругого сорту, примітивним підручним засобом, розробленим для потребнизовинної практики ( "добре вважають тільки торговці"). Традиціянаказувала дотримуватися суто геометричних методів доказів,висхідних до античної математики. Ферма першим зрозумів, що нескінченно малівеличини можна складати і скорочувати, але досить важкозображувати у вигляді відрізків.

Знадобилося майже століття, щоб Жан Д'Аламбер в знаменитій
"Енциклопедії" визнав: "Ферма був винахідником нових обчислень. Самеу нього ми зустрічаємо першу додаток диференціалів для знаходженнядотичних ". Наприкінці XVIII століття ще більш виразно висловиться Жозеф
Луї граф де Лагранж: "Але геометри - сучасники Ферма - не зрозуміли цьогонового роду числення. Вони побачили лише окремі випадки. І цевинахід, який з'явився незадовго перед "Геометрія" Декарта,залишалося безплідним протягом сорока років ". Лагранж має на увазі 1674,коли вийшли в світ "Лекції" Ісаака Барроу, докладно висвітлювали метод Ферма.

Крім усього іншого швидко виявилося, що Ферма більш схильнийформулювати нові проблеми, ніж, ніж смиренно вирішувати завдання,запропоновані метрами. В епоху дуелей обмін завданнями між вченими мужамибув загальноприйнятий, як форма з'ясування проблем, пов'язаних з субординацією.
Однак Ферма явно не знає міри. Кожне його лист - це виклик, який міститьдесятки складних невирішених завдань, причому на найнесподіваніші теми. Осьзразок його стилю (адресовано Френіклю де Бессі): "Item, який найменшийквадрат, що при зменшенні на 109 та додатку одиниці дасть квадрат?
Якщо Ви не надішлете мені спільного рішення, то надішліть приватне для цих двохчисел, які я вибрав невеликими, щоб Вас не дуже ускладнити. Післятого як я отримаю від Вас відповідь, я запропоную Вам деякі інші речі. Яснобез особливих застережень, що в моєму реченні потрібно знайти цілі числа,оскільки в разі дрібних чисел саме незначне арифметик зміг биприйти до мети. "Ферма часто повторювався, формулюючи одні й ті ж питання покілька разів, і відверто блефував, стверджуючи, що має в своєму розпорядженнінезвичайно витонченим рішенням запропонованої задачі. Не обходилося і безпрямих помилок. Деякі з них були помічені сучасниками, а де-якіпідступні затвердження вводили в оману читачів протягом століть.

Гурток Мерсенна прореагував адекватно. Лише Робервіль,єдиний член гуртка, який мав проблеми з походженням, зберігаєдружній тон листів. Добрий пастир батько Мерсенн намагався напоумити
"Тулузького нахабу". Але Ферма не має наміру виправдовуватися: "Преподобний отець!
Ви мені пишете, що постановка моїх неможливих проблем роздратувала таохолодила панів Сен-Мартена і Френікля і що це стало причиноюприпинення їхніх листів. Однак я хочу заперечити їм, що те, що здаєтьсяспочатку неможливим, насправді не є таким і що є багатопроблем, про які, як сказав Архімед ... ", Тощо.

Однак Ферма лукавить. Саме Френіклю він послав задачу про знаходженняпрямокутного трикутника з цілочисельними сторонами, площа якогодорівнює квадрату цілого числа. Послав, хоча знав, що завдання явно немає рішення.

Найбільшу ворожу позицію по відношенню до Ферма зайняв Декарт. У йоголисті Мерсенна від 1938 р. читаємо: "так як я дізнався, що це той самийлюдина який перед тим намагався спростувати мою "Діоптріку", і так як
Ви повідомили мені, що він послав це після того, як прочитав мою "Геометрія" таздивовані, що я не знайшов ту саму річ, тобто (як маю підставу йоговитлумачити) послав це з метою вступити в суперництво і показати, що вце він знає більше, ніж я, і так як ще з ваших листів я дізнався, що заним числиться репутація дуже обізнаного геометра, то я вважаю себезобов'язаним йому відповісти. "Свою відповідь Декарт надалі урочистопозначить як "малий процес Математики проти р. Ферма".

Легко зрозуміти, що привело в лють іменитого вченого. По-перше, вміркуваннях Ферма постійно фігурують координатні осі і поданнячисел відрізками - прийом, який Декарт всебічно розвиває у своїйщойно виданої "Геометрії". Ферма приходить до ідеї заміни кресленняобчисленнями абсолютно самостійно, в чомусь він навіть більшепослідовний, ніж Декарт. По-друге, Ферма блискуче демонструєефективність свого методу знаходження мінімумів на прикладі задачі пронайкоротший шлях світлового променя, уточнюючи і доповнюючи Декарта з його
"Діоптрікой".

Заслуги Декарта як мислителя і новатора величезні, але відкриємосучасну "Математичну енциклопедію" і переглянемо список термінівпов'язаних з його ім'ям: "декартові координати" (Лейбніц, 1692), "Декартлист "," Декарта овали ". Жодне з його міркувань не ввійшло в історію як
"Теорема Декарта". Декарт в першу чергу ідеолог: він засновникфілософської школи, він формує поняття, вдосконалює систему літернихпозначень, але в його творчій спадщині мало нових конкретних прийомів. Упротилежність йому П'єр Ферма мало пише, але за будь-якого приводупридумати масу дотепних математичних трюків (див. там же "Теорема
Ферма "," Принцип Ферма "," Метод нескінченного спуску Ферма "). Ймовірно, воницілком справедливо заздрили один одному. Зіткнення було неминуче. Приєзуїтському посередництва Мерсенна розгорається війна, що тривала два роки.
Втім, Мерсенн і тут виявився прав перед історією: люта сутичкадвох титанів, їх напружена, м'яко кажучи, полеміка сприялаосмислення ключових понять математичного аналізу.

Першим втрачає інтерес до дискусії Ферма. Мабуть, він безпосередньопорозумівся з Декартом і більше ніколи не зачіпав суперника. В одній зсвоїх останніх робіт "Синтез для рефракції", рукопис якої він послав дела Шамбру, Ферма через слово поминає "вчені Декарта" і всілякопідкреслює його пріоритет у питаннях оптики. Тим часом саме цярукопис містила опис знаменитого "принципу Ферма", якийзабезпечує вичерпне пояснення законів відбиття і заломленнясвітла. Реверанси у бік Декарта в роботі такого рівня були зовсімзайві.

Що ж сталося? Чому Ферма, відклавши в сторону самолюбство, пішов напримирення? Читаючи листи Ферма тих років (1638 - 1640 рр..), Можнаприпустити найпростіше: у цей період його наукові інтереси різкозмінилися. Він закидає модну циклоїди, перестає цікавитисядотичними і площами, і на довгі 20 років забуває про свій методзнаходження максимуму. Маючи величезні заслуги в математиці безперервного,
Ферма цілком занурюється в математику дискретного, залишивши остогидлігеометричні креслення своїм опонентам. Його новою пристрастю стаютьчисла. Власне кажучи, вся "Теорія чисел", як самостійнаматематична дисципліна, своєю появою на світ цілком зобов'язана життя ітворчості Ферма.

У працях стародавніх, з їх культом креслення, ми знаходимо напрочуд малодосліджень з теорії чисел. Евклід відзначає де-не-які правила подільності ідоводить безмежність безлічі простих чисел. Можна також пригадатиcribrum Eratosthenis (решето Ератосфена) - метод виділення простих чисел знатурального ряду. Ось, мабуть, і все. Окремо стоять твори Діофанта
(III століття до н. Е..), Який розглядав завдання про представлення чисел івирішував невизначені рівняння в цілих числах. З тринадцяти книг його
"Арифметики" до наших днів дійшло лише шість. У Європі переклади творів
Діофанта на латинську і французька мови з'явилися лише на початку XVII ст.
БАШЕЄВ де Мезіріак в 1621 р. видав переклад "Арифметики" з власнимидокладними коментарями та доповненнями. Саме це видання, потрапивши вруки Ферма, зіграє визначну роль в історії математики.

Ферма уважно вивчає "Арифметику" і поміщає наполях книги 46 зауважень до тексту. Крім цих позначок, положення з теоріїчисел (в основному без доказів) розпорошені в листах Ферма. Цьогоцілком вистачило для виникнення нового напряму в математиці. Післясмерті Ферма його син Самюель видав в 1670 р. належить батькові примірник
"Арифметики" під назвою "Шість книг арифметики олександрійці Діофанта зкоментарями Л. Г. БАШЕЄВ та зауваженнями П. де Ферма, Тулузького сенатора ". Укнигу були включе?? и також деякі листи Декарта і повний текст твору
Жака де Більі "Нове відкриття в мистецтві аналізу", написаний на основілистів Ферма. Видання мало неймовірний успіх. Перед здивованимифахівцями відкрився небачений яскравий світ. Несподіванка, а головнедоступність, демократичність теоретико-числових результатів Ферма породилимасу наслідувань. У той час мало хто розумів як обчислюється площапараболи, але кожен школяр міг усвідомити формулювання Великої теореми Ферма.
Почалося справжнє полювання за невідомими і втраченими листами вченого. Докінця XVII ст. було видано і перевидано кожне знайдене його слово. Алебурхлива історія розвитку ідей Ферма тільки починалася.

Надалі Ферма пояснить своє захоплення числами в листіанглійською математикам Дігбі і Броункеру. Цей лист має спеціальнийпідзаголовок: "Другий виклик Ферма математикам". Ферма пише: "Навряд чи хто -небудь може запропонувати або навіть зрозуміти чисто арифметичні задачі. Бохіба Арифметика не тлумачив швидше геометрично, ніж арифметично.
Це підтверджує більшість праць давніх і нових авторів; підтверджуютьце і праці самого Діофанта. Він трохи більше за інших віддалився відгеометрії, коли почав викладати Аналітикові в раціональних числах; однак іця частина не зовсім позбавлена геометрії, що цілком довели книги Вієта
"Зететіка", де метод Діофанта переноситься на безперервні величини, азначить, і на геометрію. ... Лише я, мов що йде попереду факелоносец,пропоную вам для доказу або побудови наступну теорему абозавдання. Якщо ви її вирішите, то зрозумієте, що завдання такого роду ні тонкістю,ні труднощами, ні способом докази не поступаються знатнішимпроблем геометрії ".

Що ж шукав і що відкрив П'єр Ферма, займаючись числами? Ризикнемоприпустити, що більш за все Ферма цікавили способи побудови простихчисел. Він мріяв знайти явну формулу, яка дозволяє швидко обчислюватияк завгодно великі прості числа. На полях "Арифметики" він висловивприпущення, що таким "генератором" простих чисел буде формула

, n = 0,1,2 ,...< br>Дійсно, при n = 0, 1, 2, 3, 4 отримуємо прості числа 3, 5, 17, 257,
65537. Ферма вважав, що при всіх інших числа n F (n) - прості, інеодноразово пропонував своїм кореспондентам довести цей результат.

Знадобилося сто років, щоб Леонард Ейлер в 1733 р. спростувавтвердження Ферма. Це відбулося з подачі Христіана Гольдбаха, який в
1729 писав що знаходився в Петербурзі Ейлера: "Чи відомо тобіФерма зауваження про те, що всі числа виду саме 3, 5, 17, тощо.суть прості, причому сам він, за його зізнанням, не зміг цього довести і,наскільки я знаю, після нього ніхто не довів ". Ейлер пару років подумав іпоказав, що вже при n = 5 число F (5) ділиться на 641:

.
Для отримання цього результату Ейлера довелося випробувати 160 дільників.
Складовими виявилися й багато інших числа Ферма (при n = 6, 7, 8, 9, 10,
11, 12, 15, 16, 18, 23, 36, 38, 73). Найбільша з відомих у даниймомент складових чисел Ферма F (452) складається з 10135 цифр і ділиться на
27 (2455 +1 (показано з допомогою ЕОМ). Справедливості ради слідпідкреслити, що Ферма, вважаючи числа F (n) простими, ніколи не стверджував,що має в своєму розпорядженні доказом цього факту. З іншого боку до цьогочасу відомо стільки ж простих чисел Ферма, скільки з знали вчаси Ферма, а саме: 3, 5, 17, 257, 65537.

Отже, Ферма помилявся. Його формула виробляла в основному складові, ане прості числа. Проте, ідея "генерування" простих чисел буласприйнята з ентузіазмом. Все той же аж ніяк не легковажний Ейлерзапропонував многочлен x2-x 41, що за всіх цілих x від 0 до 40 даєтільки прості числа. Ейлер не полінувався виконати ці обчислення, хочачудово знав, що многочлен з цілими коефіцієнтами не може при всіхнатуральних значеннях аргументу приймати тільки прості значення. Сьогодні,незважаючи на зусилля сотень тисяч професіоналів і дилетантів, ми як і ранішене вміємо обчислювати як завгодно великі прості числа, хоча знаємо масунюансів про їх розподіл. Один з найбільш яскравих результатів цієї областіналежить академіку Пафнутія Львовичу Чебишева (1850): число простихчисел не переважаючих n приблизно дорівнює при n ((.

Ферма помилився, але Ферма був би не Ферма, якщо би дозволив хоч одногосвоєї теореми безславно кануть в лету. "Прокляті числа як перевертні"вилазили в самих далеких від теорії чисел дослідженнях. У 1796 р. 19-річнийстудент Геттінгенського університету Карл Фрідріх Гаус викликав сенсацію,довівши теорему: правильний багатокутник може бути побудований за допомогоюциркуля і лінійки тоді і тільки тоді, коли число його сторін одно
2ap1p2 ... pb, де всі прості числа pi є числами Ферма, тобто маютьвид. То була помста Ферма пихатим геометрії. Теорема Гауса підвелариску під багатовіковими спорами щодо можливості побудовиправильних многокутників і зекономила масу часу любителям математики.
З цієї теореми випливає, що можна побудувати правильні 3 -, 5 -, 17 -, 257 -,
65537 - і інші багатокутники і не можна побудувати, наприклад, правильні 7 -,
11 -, 13 - кутники. Для невіруючих Гаус не полінувався побудувати правильний
17-кутник.

Займаючись таємницями простих чисел Ферма сформулював багато положень пропредставимо чисел квадратичних форм. Наприклад, він виявивнаступні дивно прості і глибокі закономірності:

1. Формою x2 + y2 представимо всі прості числа, які лежать впрогресії 4n +1, причому кожне з них представимо цією формою єдинимчином. Жодне просте число з прогресії 4n 3 НЕ представимо сумоюдвох квадратів.

2. Формою x2 2 y2 представимо всі прості числа, що лежать в прогресія
8n 1 і 8n 3. Жодне просте число з прогресій 8n 5 і 8n +7 НЕпредставимо у вигляді x2 2 y2.

3. Формою x2-2y2 представимо всі прості числа, що лежать в прогресія
8n 1 і 8n 7. Жодне просте число з прогресій 8n 5 і 8n 3 НЕпредставимо у вигляді x2-2y2.

4. Формами x2 3 y2 і x2 + xy + y2 представимо всі прості числа, що лежатьв прогресії 3n 1. Жодне просте число з прогресії 3n +2 НЕ представимозазначеними формами.

Ферма залишив вкрай мало пояснень, що дають можливість встановити,як йому вдалося отримати ці надзвичайно загальні результати. Лише передсмертю в листі до де Каркаві Ферма частково обгрунтував положення (1) сдопомогою свого методу нескінченного спуску. Можна лише пошкодуватисучасників Ферма, які регулярно отримували варіації на темутверджень (1) - (4) в якості завдань. Перші повні докази цихтверджень вдалося отримати лише Ейлера. Попутно він сформулював дужеважливу теорему про подільності - так званої квадратичного закону взаємності,доказ якого дав Гаус. Через захоплення квадратичних формпройшли Лагранж, Лежандр, Чебишев, а в наш час - Вейл, Артін і багатоінші блискучі математики. Як завжди ідеї Ферма виявилися надзвичайноплідні в сенсі побудови далекосяжних узагальнень і формуваннянових понять. Добра половина термінів сучасної абстрактної алгебривиникла із спроб довести твердження Ферма.

Один з найважливіших результатів Ферма отримав спеціальну назву
"Мала теорема Ферма". Це фундаментальний факт теорії подільності на простічисла: для будь-якого простого p і будь-якого a (1, яке не ділиться на p,різниця ap -1-1 ділиться на p. Наприклад, нехай a = 5,p = 2, 3, 7, 11. Тоді 52-1-1 = 2 (2, 53-1-1 = 3 (8, 57-1-1 = 7 (2232, 511-1 -
1 = 11 (8878. Ферма висловив цю теорему в листі Френіклю де Бессі в 1640 р.зі звичайним для нього зауваженням: "... я б Вам надіслав доказ, якщоб не боявся бути занадто довгим ".

Перший доказ" Малої теореми Ферма "дав Лейбніц. Потім Ейлер,починаючи з 1736, публікує відразу три різні докази, якіпоказують, що Ферма цілком міг вміти доводити свою теорему. Нащадкичасто шукали елементарні докази тверджень Ферма, намагаючись зрозумітинаскільки лукавив великий тулузец. Проблеми Ферма хвилювали Ейлера напротягом усього життя. У 1760 р. він отримав суттєве узагальнення його
"Малої теореми": хай ((m) - кількість натуральних чисел, не переважаючих mі взаємно простих з m. Тоді для будь-якого m і будь-якого a (1, взаємно простого зm, різниця a ((m) -1 ділиться на m. Цю терема Ейлер скромно опублікував уяк четвертий докази "Малої теореми Ферма"

Нарешті, ми переходимо до викладу самої знаменитої теореми в історіїматематики. Ця теорема здобула популярність як "Велика теорема Ферма"
(вона ж "Велика", вона ж "Остання"). На сучасному це мовою звучитьтак: не існує відмінних від нуля цілих чисел x, y і z, для яких має місце рівність

при n> 2.

Звісно, ніякої рівняння у Ферма не було. Він взагалі не знавзнаку рівності, а використовував латинське eq. Наводимо твердження Ферма воригінальному вигляді:

"Куб, однак, на два куба або квадроквадрат на два квадроквадрата івзагалі ніяку до нескінченності понад квадрата ступінь в два того жназви неможливо розділити ". І не поставивши крапку, Ферма приписав: "явідкрив воістину дивовижне доказ цієї пропозиції. Але воно неуміщається на вузьких полях. "

Цією фразою Ферма прокоментував завдання з Діофанта:" Вказанийквадрат розкласти на два квадрата ". Дане зауваження є другим зарахунку з зроблених ним на полях "Арифметики". Перше стосувалося життєвих тем.

Невизначені рівняння (тобто рівняннями з двома невідомими)виду цікавили давніх греків у зв'язку з теоремою Піфагора. Вонишукали (і знаходили) трійки цілих чисел, що утворюють сторони прямокутноготрикутника. Це означає, що при n = 1, 2 рівняння в рамці маєнезліченна безліч рішень. Здогадка Ферма полягала в тому, що приусіх інших n таких трійок не існує.

Навряд чи Ферма був першим, хто прийшов до такого висновку. Наприклад,близько тисячі років тому узбецький математик Хамід ал-Хадженді (що означає
Хамід з Ленінабада) стверджував, що рівняння x3 + y3 = z3 не має рішень уцілих числах. Сьогодні ясно, що Хамід не мав жодних шансів довести цетвердження.

Відносно Ферма достовірно відомо, що він довів "Великутеорему "при n = 4 на полях все тієї ж" Арифметики ". І це єдинетеоретико-числове доказ Ферма що дійшов до наших днів. НаПротягом 20 років Ферма уперто намагається привернути увагу математиків до
"Великої теореми", пропонуючи окремі випадки в якості завдань. Випадок n = 3він формулює в п'яти листах, причому в останньому листі (від серпня 1659р.) пише, що довів теорему для n = 3 методом узвозу. Тим часом "Великутеорему "для загального випадку n> 2 Ферма сформулював тільки один раз назгаданому зауваженні на полях "Арифметики". Він не формулює її жодного разу нів одному з листів. Він пропонує тільки окремі випадки (n = 3, 4), відноснояких впевнено говорить, що має в своєму розпорядженні доказом. Навіть у листі доде Каркаві від 1659 р., в якому Ферма перераховує свої основнідосягнення, про "Великої теореми" у загальному вигляді немає ні слова. Це можеозначати тільки одне: Ферма виявив прогалини у своєму "воістинудивовижному доказі ", які так і не зміг усунути.

Зрозуміло, це не охолодило нащадків. Починаючи з кінця XVII ст.почалася небачена за своєю напруженості гонка за доказом
"Великої теореми Ферма". Оманна простота формулювання теореми приреклатисячі шанувальників математики на безплідні пошуки докази абоспростування теореми. Більше ста років нікому з учених не вдавалосяпросунутися вперед навіть при розгляді окремих випадків конкретнихзначень показника n.

Перший серйозний результат був отриманий звичайно ж Ейлером (1768). Вінпоказав, що випадок n = 4 унікальний. Це єдиний приватний варіант "Великоїтеореми ", коли доказ має цілком елементарний характер. Вже приn = 3 виникають значні ускладнення. Настільки істотні, щоз'являється привід в черговий раз сумніватися в чесності Ферма. Ейлердовів теорему для випадку n = 3, розглядаючи комплексні числа вигляду,де a, b - цілі числа. У XVII ст. подібна єресь не могла прийти в головунавіть Ферма.

Строго кажучи, доказ Ейлера було дефектним, оскільки віннеобгрунтовано переніс ряд властивостей звичайних чисел на числа виду. УЗокрема він передбачав єдиність розкладу таких чисел на простімножники. Для усунення прогалин у доведенні Ейлера знадобилисяпринципово нові алгебраїчні абстракції: числові кільця і поля.
Реалізацію цієї програми почав Гаус, якому належить першаабсолютно суворе доказ "Великої теореми Ферма" для n = 3.

Доказ для випадку n = 5 запропонували майже одночасно ватмосфері гострого суперництва два французи: Лежень-Діріхле і Лежандр
(1825). Обидва докази були дуже складними. У 1839 р. теорема Фермабула доведена для наступного простого показника n = 7. Це вдалося завдякититанічним зусиллям Ламі. Він же в 1847 р. оголосив, що довів теорему длявсіх простих показників n> 3. Однак пильний Ліувіль відразу ж виявивв міркуваннях Ламі помилку подібну до тієї, яку допустив Ейлер. Ламі бувзмушений визнати свою поразку.

Поки у Франції відбувалися ці події, в Німеччині молодий математик
Куммер наполегливо займається теоремою Ферма. Повторивши всі помилки Ламі, вінприйшов до поняття "ідеальних чисел", для яких розкладання на простімножники єдино. Узагальнення цього поняття призвело до створеннязапаморочливих абстрактних конструкцій, які сьогодні вивчаються вспеціальному розділі алгебри під назвою "Теорія ідеалів". Куммер,присвятив теоремі кілька десятків років, наприкінці життя умів доводити
"Велику теорему Ферма" для всіх простих показників n