Реферат з історії механіки
Іоганн Кеплер
Виконав:
Дитинство і юність
У двох десятках кілометрів на захід від Штутгарта - головного містаземлі Баден-Вюртемберг (Німеччина), серед мальовничих пагорбів неподалік відлісистого Шварцвальда розташувався невелике провінційне містечко Вейл -дер-Штадт за все з шістьма тисячами жителів. Багато що нагадує тут про давноминулі дні - давні міські стіни, середньовічні будинки, старовиннаратуша і церква з трьома шпилями. На центральній площі пам'ятник-нависокому постаменті застиг з циркулем в руці літній чоловік у старовиннійодязі.
Розповідають, що коли на початку 1945 р. до містечка підійшли французьківійська, командування вирішило піддати Вейл-дер-Штадт потужномуартилерійському обстрілу, побоюючись, що за міцними стінами знайшли притулокнедобиті гітлерівці. Однак вогонь так і не був відкритий: командир скасувавартилерійський наліт, дізнавшись, що перед ним рідне місто Кеплера. Цеобставина врятувала містечко від значних руйнувань і зберегло його
Стародавній вигляд.
У цьому місті (носівшем тоді більш коротку назву Вейл) 27 грудня
1571 р. у 2 години 30 хвилин пополудні в домі бургомістра народився Йоганн
Кеплер - знаменитий астроном, фізик і математик кінця XVI - першої третини
XVII ст. У ті далекі часи в містечку проживало всього близько двохсотсімейств бюргерів, в більшості ремісників: ткачів і шкіряників.
Кеплер влаштувалися в Вейл близько 1520, коли сюди з Нюрнбергапереселився прадід майбутнього астронома, кушнір Себальда Кеплер, синпалітурника. У Себальда Кеплера, у свій час виконував обов'язкиміського скарбника, була велика сім'я. Один з його синів, теж Себальда,одружений на Катерині Мюллер з близького містечка Марбах, був з 1569 по 1578м. бургомістром Вейля. І його бог не скривдив дітьми (їх було рівно дюжина.
Четвертим за старшинством був Генріх, відсвяткував 16 травня 1571 весілляз дочкою сільського шинкаря з сусіднього селища Ельтінгена
Катериною Гульденман. Жениху і нареченій було в той час за 24 роки. Черезсім з половиною місяців після весілля у них з'явився первісток - маленькийі дуже слабкий дитина, названий при хрещенні Іоганном.
Про несприятливій обстановці, в якій пройшло дитинство вченого, можнасудити за характеристиками, які Кеплер дав своїм найближчим родичамйого у родинному гороскопі, складеному їм уже в зрілому віці, в 1597 році.
Ось що він пише про свого батька:
«Генріх, батько мій, народився 19 січня 1547. ... Людина злобний,непохитний, сварлива, він приречений на худий кінець ..., скиталец ... в 1574р. мій батько вже в Бельгії. У 1575 мати відправилася до Бельгії і разом збатьком повернулася. У 1576 батько знову опинився в Бельгії, а в 1577 ... ледвеуникнув небезпеки бути повішеним. Він продав свій будинок і відкрив харчевню. У
1578 ... зайнялися банку рушничного пороху й понівечив обличчя батька ...в 1589 ... залишивши мати тяжко хворий, він зник з дому остаточно ...».< br>У такому оточенні грубих неосвічених людей пройшли перші роки життямаленького Йоганна. Його дитинство та юність були затьмарені та іншимиобставинами - відсутністю належного догляду і дуже слабким здоров'ям,що призводять до частих і тривалих захворювань. Слабке здоров'я булосерйозною перешкодою для астрономічних спостережень в холодні ночі, алеще більшою перешкодою був вроджену ваду зору - сильнакороткозорість і Монокулярний поліопсія (множинне зір) - станочі, звичайно невиправних, при якому фіксується одиночний об'єктздається множинним.
Відомою компенсацією за негаразди дитинства була для Кеплеравідносна доступність освіти в тодішньому Вюртемберг. Хочабатьків, мабуть, мало турбувало освіта Йоганна, в семирічному віці
(1578 р.) вони помістили його в німецьку початкову школу, де навчаличитання, письма та елементарним навичкам в обчисленнях.
Ще перед закінченням школи батьки стали думати, що робити далі зхлопчиком. Убогих і слабке здоров'я не дозволяли використовувати його наважких польових роботах. Поради вчителів, грошові міркування і в меншомумірою релігійні спонукання привели їх до вирішення вибрати для дитинидуховну кар'єру. Шлях до високих духовних постам давало закінченнятеологічного факультету університету, для вступу на який потрібнобуло закінчити нижчу і вищу семінарії. Кеплер починає навчання в 1584році в граматичній школі (нижчій семінарії) в Адельсберге, а через 2року, з 26 листопада 1586, продовжує навчання у вищій семінарії в
Маульбронн. Програма навчання була дуже велика: окрім богослов'я,вивчалися римські і грецькі класики, риторика і діалектика, математика імузика. Режим був жорстокий: заняття в класах починалися взимку в 5 годинранку, а влітку - в 4.
25 вересня 1588г. Кеплер витримує в Тюбінгені іспит на ступіньбакалавра, після чого ще рік продовжує навчання в Маульбронн. 17 вересня
1589 починається його навчання в Тюбінгенському університеті. Середвикладачів університету, які мали вплив на молодого Кеплера, слідвідзначити професора класичної філології Мартіна Крузіуса (1526 - 1607),богослова Маттіаса Гафенреффера (1561 - 1619), пізніше ректора університету,і особливо Міхаеля Местліна (1550 - 1630). Местлін дуже скоро помітивнадзвичайні здібності Кеплера до математики і астрономії, проявлялися, вЗокрема, в тому, що той виводив нові теореми (як їх тоді називали --пропозиції) і робив побудови, лише потім переконуючись, що вони вжевідомі. Местлін увів молодого вченого до кола небагатьох своїхвихованців, які користувалися його особливою довірою, серед яких вінпропагував Коперниканська вчення. Поряд з астрономією Кеплер вже в тіроки цікавився астрологією, що для нього було не тільки даниною часу,але і відповідало його тодішнім уявленням про причинність івзаємозв'язках між явищами. Серед студентів він мав славу великим майстром ускладанні гороскопів.
У другій половині 1594 теологічну освіту Кеплера маєбуло завершитися. Але в перші місяці цього року, перш ніж він зміготримати документи про закінчення університету, відкривали йому формальношлях до блискучої духовної кар'єри, несподівано відбулися події, врезультаті яких намітився вирішальний поворот у його житті і діяльності. Упротестантської середній школі в Граці, головному місті австрійської провінції
Штирії, помер викладач математики, вихованець Тюбінгена Георг
Стадіус. Штирійські протестантська громада звернулася до сенату Тюбінгенськогоуніверситету з проханням підшукати гідного наступника середуніверситетських вихованців. Викладачів математики в Тюбінгені, як,мабуть, і в інших тодішніх університетах, спеціально не готували, і вибірсенату, не без участі Местліна, упав на 22-річного магістра мистецтв
Йоганна Кеплера, краще за інших підготовленого до цієї діяльності. Хоч іне хотілося Кеплеру залишати навчання, а разом з нею і мрію про духовнукар'єрі, а подітися було нікуди - він був зобов'язаний підкоритися з постановоюсенату і відправитися за призначенням. «Я виховувався на рахунок герцога
Вюртембергського і ... наважився взяти першу запропоновану мені посаду,хоча і з не особливою полюванням », - писав він пізніше.
Кеплер в Граці. «Космографіческая таємниця»
Обстановка, що оточувала Кеплера в Граці, мало сприяла йогонаукової діяльності. Бо, як зауважив його друг Коломан Цегантмаір,секретар барона Герберштейна, Штирійські знати виявляла разючуневігластво у всьому, володіла варварської точкою зору у своїх судженнях,ненавиділа науку і нічим менше не цікавилася, ніж вченими. Предмет,викладати який належало Кеплеру, не викликав у дворянських ібюргерських нащадків ентузіазму. Вивчення математики не було, мабуть,обов'язковим, і якщо в перший рік її уроки ще відвідувало кількаучнів, то наступного не залишилося жодного. Однак контролювалироботу викладачів інспектори виявилися досить великодушними, неставлячи це в провину вчителю, так як, на їхню думку, на «вивчення математики невсяк здатний ». Натомість математики Кеплеру довелося викладати арифметику,класичну літературу (Вергілія), риторику і інші предмети.
Разом з посадою викладача з існуючої традиції віннабував також звання і посада «Landschaftsmathematikus» (тобтоматематика провінції [Штирії]), йому ставилося також в обов'язок щорічноскладати календарі. У виданому в дві фарби перші календарі Кеплерамістилися різні астрономічні відомості, у тому числі дані про фази
Місяця, про положення планет і Сонця серед зірок, короткі статті проастрономічних і фізичних явищах. Слідуючи давно усталеноютрадиції, а також піклуючись про «збереження платні, посади й даху»,довелося «для задоволення безрозсудно-дурного цікавості» прикласти докалендарем «Прогнози» ( «Prognostika») - види на погоду і на врожай,політичні та інші пророкування астрологічного характеру. Кеплернеодноразово досить скептично і досить самокритично оцінював своїзаняття складанням календарів і астрологією для заробітку. В одному злистів він висловлюється так: «Щоб шукає істину міг вільно віддаватисяцього заняття, йому необхідні щонайменше їжа і кров. У кого немаєнічого, той раб за все, а кому хочеться йти за рабів? Якщо я складаю календарі таальманахи, то це, без сумніву, - прости мені, господи, - велике рабство, алевоно в даний час необхідно. Борони я себе хоч на короткий час відцього - мені довелося б йти в рабство ще більш принизливе. Кращевидавати альманахи з прогнозами, ніж просити милостиню. Астрологія --дочка астрономії, хоч і незаконна, і хіба не природно, щоб дочкагодувала свою матір, яка інакше могла б померти з голоду ». Впливнебесних світил на мешканців Землі Кеплер намагався пояснити у зв'язку зпоявою комети 1607 наступним чином: «Якщо дійсно вірно, щозгідно з порядком природи поява комети викликає, а значить і провіщаєтакі явища, як вітер, повені, засуху, землетрусу або чуму, теце має відбуватися таким чином: коли на небі з'являється якийсьнебудь винятковий феномен, то життєві сили всіх природних речейповинні відчувати це. Ця симпатія, що зв'язує всі з небом, простягаєтьсяособливо на силу, приховану в Землі і панівну над її внутрішнімстаном. Внаслідок цього з Землі виділяються вологі випаровування,тягнуть за собою дощі, повені, а під кінець і чуму ». Однакобмежений характер астрологічних прогнозів не раз підкреслювався
Кеплером: «Той астролог, який передбачає деякі речі по небу, невраховуючи характеру, душі, розуму, сили і статури того, кому він маєпередбачити, поступає неправильно »,-писав він.
У той же час віра в астрологію Кеплера підтверджується багатьмафактами, і серед них такий: у січні 1598 у нього народився син Генріх,а у Местліна - син серпня. Складаючи їм гороскопи, Кеплер дійшов висновку,що обох чекає швидка смерть. Чи не спотворюючи цей страшний прогноз, він повідомляєйого Местліну. Діти й справді незабаром померли, але не в передбаченечас.
Влітку 1595 Кеплер, як йому здалося, підійшов до великоговідкриття: він вирішив, що їм виявлені найважливіші закономірності в будовісвіту, встановлена першопричина взаємного розташування планет Сонячноїсистеми. Ще в студентські роки, познайомившись через Местліна з вченням
Коперника, Кеплер став переконаним його прихильником. При цьому, однак, новеастрономічне вчення вкладалося у нього в рамки релігійної свідомості,звідки і черпалися їм джерела нових побудов. Прагнучи глибокопроникнути в таємниці будови Всесвіту, він хоче досягти цього пізнаннямбожественних планів творення світу. Будучи впевненим в існуванні мудрогопромислу божого, він думає, що при створенні світу бог повинен буввиходити з простих числових властивостей і співвідношень, використовувативчинені геометричні форми. Цей піфагорейської-платонівська підхід довивчення питань світобудови ліг в основу його першого великогоастрономічного дослідження, інтенсивну роботу над яким він розгорнувприблизно через рік після приїзду в Грац.
У числі перших питань, що виникли перед Кеплером, був наступний:чому існує тільки шість планет, а не двадцять, або, скажімо, сто?
Це питання треба вирішити разом із поясненням відносної величинивідстаней між траєкторіями руху планет. Спробою відповісти на питаннятакого роду розпочалися багаторічні дослідження, які врешті-рештпривели до відкриття законів руху планет. Спочатку він припустив, щоміж параметрами планетних орбіт повинні бути прості співвідношення,виражаються цілими числами. «Я витратив багато часу на це завдання, нацю гру з числами, але не зміг знайти ніякого порядку ні в чисельнихспіввідношеннях, ні у відхиленнях від них »- пише він у передмові до
«Космографіческой таємницю». Потім він спробував вирішити це завдання, припустившиіснування додаткових, ще не відкритих внаслідок малих розмірів,планет: одну з них він помістив між Меркурієм і Венера, а іншу - між
Марсом і Юпітером, розраховуючи, що тепер вдасться знайти бажаніспіввідношення, але і цей прийом не привів його до очікуваних результатів.
Рис. 1
«Я витратив майже все літо на цю важку роботу, і врешті-рештабсолютно випадково підійшов до істини ». 9 липня 1595 - Кеплер скрупульознозафіксував цю дату, - вирішуючи з учнями якусь геометричну задачу,він накреслив на класній дошці рівносторонній трикутник з вписаною внього і описаної біля нього колами (див. Рис.1). Раптом його осяяладумка, яка з'явилася, на його думку, ключем до розгадки таємниці Всесвіту.
Прикинувши відношення між радіусами кіл, він зауважив, що воно близькедо відношення радіусів кругових орбіт Сатурна та Юпітера, як вони булиобчислені Коперником (тут ставлення R: r = 2: 1, а відношення RС: RЮ =
8.2: 5.2, за Коперника). Надалі хід міркувань був таким: Сатурн і
Юпітер - «перший» планети (рахуючи по напрямку до Сонця) та «трикутник --перша фігура в геометрії. Негайно я спробував вписати в наступнийінтервал між Юпітером і Марсом квадрат, між Марсом і Землею --п'ятикутник, між Землею і Венерою-шестикутник ...». За часів Кеплерабуло відомо лише шість планет Сонячної системи, які спостерігаютьсянеозброєним поглядом: Меркурій, Венера, Земля, Марс, Юпітер і Сатурн.
Планета Уран була відкрита В. Гершелем багато пізніше - в 1781 р., Нептунвідкритий астрономом Галле і математиком Левер'є в 1846 р., Плутон буввиявлений тільки в 1930 р.
Але справа не було добре, хоча, здавалося, мета була зовсім близькою. «І осья знову кинувся вперед. Навіщо розглядати фігури двох вимірювань дляпригін орбіт в просторі? Слід розглянути форми трьох вимірів, іось, дорогий читачу, тепер моє відкриття у Ваших руках! ». Можна побудуватибудь-яке число правильних многокутників на площині, але можна побудуватилише обмежена кількість правильних багатогранників в просторі трьохвимірювань. Такими правильними многогранниками, всі грані яких єправильними і рівними між собою багатокутниками і всі двогранні кутияких рівні між собою, є: тетраедр (4 трикутні грані), куб (6граней-квадратів), октаедр (8 трикутних граней), Додекаедр (12п'ятикутний граней) і ікосаедр (20 трикутних граней).
Важливою властивістю правильних багатогранників є існування длякожного з них вписаного і описаного куль (сфер) таких, що поверхнявписаного кулі стосується центру кожної грані правильного багатогранника, аповерхню описаного кулі проходить через усі його вершини. Центри цихкуль збігаються між собою і з центром відповідного багатогранника. Щедревнім грекам було відомо, що кількість видів правильних багатогранниківобмежується п'ятьма. Але ж і проміжків між планетами, подумав
Кеплер, теж п'ять. Як важко було припустити, що це проста випадковість
(до того ж умовивід спиралося на невірне уявлення про числопланет) і як заманливо було бачити в цьому збігу мудрість творця.
Відповідь на питання, чому планет шість, не менше і не більше, здавалосязнайдений. Одночасно назріває і вирішення питання про відноснівідстанях між орбітами планет: у сферу, на якій розташована орбіта
Сатурна, вписаний куб, в нього вписана наступна сфера - з орбітою Юпітера,далі послідовно вписані тетраедр, сфера Марса, Додекаедр, сфера
Землі, ікосаедр, сфера Венери, октаедр, сфера Меркурія, в центрі всієїсистеми у коперніканца Кеплера, зрозуміло, Сонце, і - таємниця Всесвітурозкрита, розкрито молодим вчителем протестантської школи в Граці іматематиком провінції Штирії.
Рис. 2 Правильні багатогранники (з книги Кеплера «Космографіческая таємниця»)
Математичний апарат, що застосовується у цьому випадку, достатньоелементарен, справа зводиться до обчислень залежностей між радіусами сфер,описаних навколо відповідних правильних багатогранників і вписаних вних. Нехай, наприклад, радіус орбіти Землі, а значить і відповідноїсфери, дорівнює 1. Ця сфера описана навколо ікосаедра, в який вписано сфера
Венери. Вирішуючи геометричну задачу на визначення радіуса сфери, вписаноюв ікосаедр, і порівнюючи отриману величину з радіусом описаної навколоікосаедра сфери Кеплер отримав співвідношення 0,762: 1. Відноснівідстані до Сонця для шести планет Сонячної системи, отримані
Коперником і Кеплером, і сучасні усереднені значення наводяться втаблиці:
| | Меркурій | Відні | Земля | Марс | Юпіте | сатура |
| | | Ра | я | | р | н |
| За Копернику | 0,379 | 0,71 | 1,00 | 1,52 | 5,219 | 9,174 |
| | | 9 | 0 | 0 | | |
| За Кеплеру | 0,419 | 0,76 | 1,00 | 1,44 | 5,261 | 9,163 |
| | | 2 | 0 | 0 | | |
| Сучасні усереднені | 0,387 | 0,72 | 1,00 | 1,52 | 5,203 | 9,539 |
| значення | | 3 | 0 | 4 | | |
Бачимо, що дані Кеплера вельми значно відрізняються від обчисленихще Коперником, і до того ж у всіх випадках - у бік погіршення. Пояснюючиці розбіжності, Кеплер припустив, що кожна з планетних сфер, небудучи матеріальної, проте має певну товщину.
Закінчивши рукопис, Кеплер назвав її так: «Prodromos dissertationemcosmographicum continens Mysterium cosmographicum »-« Передвісниккосмографіческіх досліджень, що містить космографіческую таємницю ».
Головний пошук. «Нова астрономія»
Над «Нової астрономією» Кеплер працював з невеликими перервами з 1600за 1606 Значення цієї книги полягає насамперед у тому, що в ній данвисновок двох із трьох знаменитих законів руху планет, названих йогоім'ям. У сучасній формулюванні ці закони зазвичай звучать так:
I. Всі планети рухаються по еліпсах, в одному з фокусів яких
(спільному для всіх планет) знаходиться Сонце.
II. Площі, описані радіусами-векторами планет, пропорційнічасу.
Третій закон був опублікований Кеплером пізніше, в 1619 р., у книзі «Harmonices
Mundi »(« Гармонія світу »). Кеплерово твір і за формою і за змістомзначно відрізняється від багатьох наукових трактатів того часу. Якщо
Коперник, Галілей і Ньютон знайомлять нас тільки з кінцевими результатамисвоїх наукових досягнень, то Кеплер абсолютно свідомо описує хідсвоєї роботи у всіх деталях, включаючи всі невдачі й успіхи, помилки ігеніальні здогади, пастки і їх обходи. Чому він це робить, вінпояснює в передмові: «Для мене важливо не просто повідомити читачеві, що яповинен сказати, але насамперед ознайомити його з доводами, застереженнями,щасливо подоланими небезпеками, які привели мене до моїх відкриттів.
Коли Христофор Колумб, Магеллан і португальці, з яких перший відкрив
Америки, друге Китайський океан, а останні - морський шлях навколо Америки,оповідають, як вони збивалися з шляху і блукали в свої подорожі, ми нетільки прощаємо їм це, але, більше того, ми не бажаємо пропуску цихоповідань, тому що тоді при читанні було б втрачено враження про всезначному в їхніх підприємствах. Нехай же тому й мені не поставлять у провину,коли я, викликаючи у читача інтерес, піду подібним шляхом у своємувикладі. Звичайно, при читанні, наприклад пригод аргонавтів, ми самі неберемо участі в їх пригоди, а труднощі і терни на моєму уявномушляху можуть зачепити і самого читача, але така вже доля всіх математичнихтворів ».
Кеплер розпочав своє дослідження складанням на підставі спостережень
Тихо Браге повного списку моментів, довгот і широт для всіх протистояньпланети Марс з 1580 р. (Бразі спостерігав протистояння Марса десять разів з
1580 по 1600 р., два рази - в 1602 і 1604 рр.. їх спостерігав Кеплер). Ще
Коперник, слідуючи Птолемею, вважав центр земної орбіти справжнім центроморбіт всіх планет. Бразі також визначав протистояння планети якположення, протилежне цій точці, тобто так називаного "середньому
Сонцю ». Кеплер вже в «Космографіческой таємницю» вказував, що Сонце самеє природним центром планетної системи, і вважав, щопротистояння слід брати по відношенню до реального, а не до середнього
Сонцю. Це було першим істотним нововведенням в методи дослідження.
Кеплер вперше припустив, що рух планет відбувається внаслідоквпливу на них певної сили, що виходить від Сонця. Таким чином, у
Кеплера Сонце стає не тільки джерелом світла і тепла для всієїпланетної системи, але також і джерелом рушійною планети сили.
Друге нововведення Кеплера полягала в наступному. Орбіти всіх планетлежать не зовсім в одній площині - їх площини утворюють один з іншогоневеликі кути (наприклад, площини орбіт Землі і Юпітера складають кут в
1 ° 18,5 '). Якщо не врахувати цей факт, доводиться зустрічатися з великимитруднощами при поясненні деяких особливостей у спостережуваних з Земліположеннях Марса. Коперник, наприклад, вважав, що площина орбіти Марсаколивається в просторі, не цікавлячись фізичної причиною такогодивного явища. Припустивши, що справа тут в наявності деякогопостійного кута між площинами планетних орбіт, Кеплер без особливогопраці, за даними спостережень Бразі, переконується в правильності своєї гіпотезиі знаходить кут між площинами орбіт Землі та Марса рівним 1 ° 50 '.
Третє нововведення Кеплера більш радикально. Від Платона і Птолемея до
Коперника і Бразі астрономи були впевнені в тому, що планети здійснюють своїкругові рухи з рівномірною швидкістю. Кеплер, зберігаючи на перших порахрух круговим, відкидає аксіому рівномірного руху. І при цьому вінкерується перш за все фізичними міркуваннями: якщо Сонцеуправляє рухом, є його джерелом, то його сила повиннадіяти на планету більш інтенсивно, коли вона знаходиться ближче доджерела, і менш інтенсивно, коли планета від нього віддалиться,отже, планета буде рухатися з більшою чи меншою швидкістю взалежно від її відстані до Сонця. Ця ідея була не тільки запереченнямантичної традиції, вона відкидала і припущення Коперника, по якому немогло бути, «... щоб просте небесне тіло нерівномірно рухалося однієїсферою ... ». Коперник був у свою чергу рішуче не погоджується з вченням
Птолемея про те, що планети рухаються рівномірно не навколо центрів своїхорбіт, а навколо уявної точки на деякій відстані від центру. Цяточка називалася punctum aequans або aequant (зрівнює точкою, абоеквантом). Коперник, відмовившись від Птолемеєва еквантов, ввів замість нихдодаткові епіциклом. Кеплер, відкидаючи догму рівномірного руху,повернувся до поняття екванта, розглядаючи його як важливу обчислювальнийзасіб.
Цими нововведеннями Кеплер кілька полегшив майбутнє рішеннясвого завдання. Кеплер писав: «Ох, скільки я мав пролити сліз надзворушливим старанням Апіа, який, слідуючи Птолемею, даремно витрачав своєдорогоцінний час і винахідливість на побудову спіралей, петель,гвинтових ліній, завитків і цілого лабіринту інволюцій, щоб зобразити те,що існує тільки в уяві і яка природа відмовляється прийнятияк свою подобу ».
Рис. 3
Перша спроба вирішити задачу описується Кеплером в XVI чолі «Новоїастрономії ». Його завдання полягало насамперед у визначенні деякихпараметрів орбіти Марса, яку, нагадаємо, Кеплер поки ще думавкругової. Потрібно було визначити радіус орбіти (див. Рис. 3), напрямок повідношенню до нерухомих зірок лінії аспид, тобто осі, що з'єднує точку, вякої планета буває найближче до Сонця (перигелій), і протилежнуїй точку (афелій), а також положення Сонця (S), центру орбіти (C) іекванта (Е), які лежать на цій осі. З журналів спостережень Тихо Браге,якими він тепер мав у своєму розпорядженні, він вибрав запис про чотирьох спостерігалисяпротистояннях Марса - в 1587, 1591, 1593 і 1595 рр.. На самому початку своїхобчислень Кеплер через неуважність допускає кілька помилок, якіповинні були б істотно вплинути на правильність обчислень. Кеплер такі не помітив їх до кінця своєї роботи, але їх виявив французький історикастрономії Деламбр. Тим не менше виправлені Деламбром обчислення врезультаті дали майже ті ж значення - виявилося, що в самому кінціобчислень Кеплер при розподілі знову припустився помилки, що перекрили першим! Урезультаті обчислень Кеплер отримав повний ексцентриситет, рівний 0,18564часткам радіусу, причому Сонце відстоїть від центру на 0,11332, а еквант - на
0,07232 частки радіуса (сучасна теорія показує, що обидва відстаніповинні бути приблизно рівні 0,5625 і 0,4375 повного ексцентрісітета;значення, отримані Кеплером - 0,6104 і 0,3896 відповідно). ДовготаОфелія для 1587 становила 148 ° 48'55''. Отримані ним значення припідстановці в дані десяти спостережень Бразі розходилися менш ніж на 2 ',що було цілком допустимим.
Однак вже наступна глава починається здивованим вигуком: «Як жеце могло бути? Гіпотеза, яка добре узгоджується зі спостереженнямипротистоянь, все ж таки помилкова ». І в двох наступних розділах Кеплердокладно пояснює, як він встановив, що гіпотеза помилкова і чому їїпотрібно відкинути. Намагаючись застосувати свою модель до обчислення проміжнихположень Марса за даними спостережень Бразі, Кеплер виявляє розбіжністьтеорії з практикою, що досягає в числовому виразі 8 '.
Наступний етап досліджень Кеплер описує в книзі третій.
Багаторазові обчислення говорять Кеплеру про те, що неможливо побудуватикругову орбіту планети, яка повністю відповідає даними спостережень.
Коло повністю визначається завданням трьох точок на ній, будь-яка іншакрива лінія вимагає знання положення більшої кількості точок на ній. Длявизначення форми орбіти Марса, копь скоро вона не була колом,було потрібно насамперед уточнити орбіту небесного тіла, на якомурозміщений спостерігач, тобто самої Землі. Адже з неправильногоуявлення про рух спостерігача висновки про рух спостережуваних об'єктівбудуть теж невірні. Якщо б було можливо в кожний момент часу знаходитибезпосередньо величину відрізка Земля - Сонце. Але такої можливості у
Кеплера не було. Інший принципово можливий випадок полягає у виборів просторі деякого нерухомого орієнтир про який відомо, що вінпротягом тривалого часу зберігає своє становище незмінним. Тодіземні спостерігачі могли б при необхідності візувати направлення нанього.
Рис. 4
Припустимо, що в певний момент часу Земля (З) знаходиться напрямій, що сполучає Сонце (С) з нашим орієнтиром М (див. Рис. 4). Якщо вцей час візувати з Землі напрям на орієнтир М, то отримаємонапрям СМ (Сонце-орієнтир). Нехай цей напрямок зафіксований нанебосхилі. Розглянемо положення Землі в інший момент (З1). Якщо і
Сонце (С) і орієнтир М видно з Землі (З1) то в трикутнику СЗ1М відомийкут (= СЗ1М. Напрямок прямий РМ щодо нерухомих зіроквизначено раз і назавжди. Але тепер, встановивши направлення на Сонце З1Спрямим спостереженням, можна визначити і кут (= З1СМ. Отже,трикутник СЗ1М може бути тепер побудований за боці СМ і двома кутами (і
(Для кожного положення З1 і при цьому визначиться це саме положення З1щодо заданого базису РМ. Таким чином можна отримати необхіднукількість точок, що належать орбіті Землі.
Але де ж взяти орієнтир М? Винахідливий розум великого астрономавикористовував орієнтир, хоч і не строго нерухомий, але періодично, черезвідомі заздалегідь інтервали часу, що займає одне і те ж положення впросторі. Справа в тому, що вже й тоді була досить точно відоматривалість марсіанського року, тобто період обертання Марса навколо
Сонця, - 687 днів. Використовуючи цю величину як вихідну, тепердостатньо було врахувати, що будь-яке зафіксоване положення Марса (і довжинавідрізка МС) через ціле число марсіанських років буде повторюватися, у той часяк положення Землі на її орбіті кожного разу буде, взагалі кажучи, іншим.
Таким чином можна встановити таку кількість точок орбіти Землі.
Природно, що, не мав у своєму розпорядженні Кеплер даними багаторічних спостережень Бразіза Марсом, швидке вирішення цього завдання виявилося б неможливим.
Результати проведених Кеплером обчислень співпали з йогоприпущеннями: Земля, як і інші планети, всупереч думці Коперника ійого попередників, не рухається рівномірно, а швидше, коли вона ближче до
Сонця, і повільніше, коли далі від нього. Так вперше в історії астрономіїбула показана помилковість арістотелівського уявлення про рівномірнихрухах планет. Далі, займаючись обчисленням відстані Марс - Земля,
Кеплер знайшов, що найбільшу відстань, в афелії (у частинах радіуса земноїорбіти), становить 1,6678, а найменше, в перигелії, 1,3850. Тоді радіусорбіти Марса буде дорівнює:
а відстань Сонця від центру орбіти Марса
тобто половині раніше виведеного з руху Мара повного ексцентрісітетайого орбіти (рівного 0,1856). Таким чином Кеплером було встановлено, щоповний ексцентриситет планет ділиться центром орбіти на дві рівні частиниміж Сонцем і еквантом.
Кеплеровская концепція тяжіння.
Протягом багатьох століть у природознавстві панувала аристотелівськаточка зору на природу тяжіння: «Земля і Всесвіт мають загальний центр;важке тіло рухається до центра Землі, і відбувається це внаслідок того, щоцентр Землі збігається з центром Всесвіту ».
У «Новій астрономії» на думку Кеплера, тяжіння - це «взаємне тілеснепрагнення подібних (родинних) тіл до єдності чи з'єднанню ». Упримітках до свого більш пізнього твору про місячну астрономії Кеплерпише: «Гравітація я визначаю як силу, подібну до магнетизму - взаємномутяжінню. Сила тяжіння тим більше, чим обидва тіла ближче одне до одного
... ». Цим самим Кеплер істотно просувається в напрямку, якийпізніше приводить Ньютона до відкриття його знаменитого закону всесвітньоготяжіння. Тут же Кеплер додає: «Причини океанських припливів і відливівбачимо в тому, що тіла Сонця і Місяця притягають води океану за допомогоюдеяких сил, подібних до магнетизму ». Намагаючись встановити кількіснузалежність між силою притягання і відстанню, Кеплер припустив, щосила притягання прямо пропорційна ваги, але назад пропорційнавідстані.
Увага Кеплера було залучено і до такої властивості матеріальних тіл,як інерція. Сам термін «інерція» був введений у саме Кеплером. Вінпозначив ним явище опору руху покояться тел. Інерціяруху, принаймні до 1620 р., їм не розглядається. Важливовідзначити, що поняття інерції було поширено Кеплером (у йогорозумінні) на неземні тіла і явища. У «Новій астрономії» він пише:
«Планетні кулі повинні бути по природі матеріальні ..., вони володіютьсхильністю до спокою, чи відсутності руху ».
Рис. 5 До висновку Кеплером закону площ
Для пояснення ексцентричності орбіт Кеплер припустив, що планетиявляють собою «величезні круглі магніти», магнітні осі якихзберігають постійний напрямок, подібно осі дзиги. Отже,планети будуть періодично то притягатися ближче до Сонця, товідштовхуватися від нього, у відповідності з розташуванням їх магнітних полюсів.
Далі Кеплер поділяє всю орбіту Землі на 360 частин, відзначивши на орбітіположення Землі З1, З2, ..., З360 у відповідні моменти часу t1, t2,
..., T360. Кеплер зіставляв суму відстаней між Землею і Сонцем умоменти часу ti і tk (і в усі проміжні моменти) із проміжкомчасу, необхідним планеті, щоб перейти з положення Зi, Зk. Прискладання виявилося, що ця сума відрізків не залежить від обраного ділянкиорбіти, а тільки від величини проміжку часу. Згадавши потім, як
Архімед для знаходження площі кола разлагал його на велике числотрикутників, Кеплер заміняє суму відстаней площею сектора,описаного радіусом-вектором крапки орбіти, вважаючи ці величинипропорційними, хоча і не говорячи про це прямо (див. Рис. 5). Необхіднопомітити, що при виведенні закону площ (наприкінці 1601 - початку 1602)
Кеплер зустрівся і по-своєму справився із завданням, що має пряме відношеннядо того розділу математики, бурхливе розвиток якого незабаром ознаменував??настання нового етапу в історії математики, зв'язаного з обчисленнямнескінченно малих. Його спроба нескінченного підсумовування власне кажучи булапершим кроком у чисельному інтегрування. Другий закон визначав змінашвидкості руху планет по їхній орбіті, однак сама форма орбіти залишаласяще невідомою.
Тепер Кеплеру належало дати математичний опис тієї кривої, поякій рухається планета, і ця задача виявилася найбільш складною ітрудомісткою. Довелося перевіряти одну за іншою багато гіпотез. При цьому,правда, у розпорядженні Кеплера вже був потужний засіб дослідження - йогозакон площ. Це давало можливість, задаючи гіпотезу про криву тієї чиіншої форми, обчислювати положення, які повинен був би займати на Марсцієї передбачуваної орбіті в різні моменти часу, і порівнювати їх зспостерігаються положеннями. «Правда лежить між кругом і овалом, неначеорбіта Марса є точний еліпс ». Але, помістивши Сонце в його центр, Кеплерзнову не прийшов до згоди з даними спостережень результату.
На початку 1605 Кеплеру вдалося знайти справжню зв'язок міжвідстанню Сонце - Марс і так званої ексцентричної аномалією. Вінзнайшов тоді рівняння, що зараз називається його ім'ям і широковикористовується в теоретичній астрономії. Це рівняння має вигляд:
- Константи. Це рівняння є одним з перших трансцендентнихрівнянь, які знайшли практичне застосування. Нарешті Кеплер помітив,що бічне стиснення орбіти складає 0,00429 частки радіуса, що точно так самополовині квадрата визначеного їм раніше ексцентрісітета (0,09262
= 0,00857). І тоді Кеплер припустив, що орбіта Марса - еліпс, але Сонцерозташовується не в його центрі, а в одному з фокусів. Перевірка гіпотезиеліпса швидко привела його до успішного завершення роботи, позначенийвисновком першого закону: Марс рухається по еліпса, в одному з фокусівякого знаходиться Сонце. Кеплер не сумнівався, що по цьому ж законурухаються й інші планети, що незабаром їм було підтверджено. Він був впевненийтакож, що й орбіта Землі - еліпс, але через малу ексцентрісітета (e =
0,01673) і недостатньої точності спостережень цей еліпс тоді щенеможливо було відрізнити від окружності. Відкриті Кеплером законипідготували грунт Ньютону для відкриття закону всесвітнього тяжіння.
Закони Кеплера зберігають своє значення і в наш час. Правда, будучиабсолютно суворими математичними законами для руху двох матеріальнихтел (точніше - матеріальних крапок), вони не враховують впливу на кожнупланету інших планет, які хоча і дуже слабкі, але все-таки приводять доневеликим відхиленням їх руху від еліптичної орбіти. Але математики іастрономи навчилися враховувати ці впливи (завдяки чому, міжіншим, були відкриті планети Нептун і Плутон).
Третій закон руху планет Кеплер вивів значно пізніше (в 1619р.). Суть цього закону була викладена в праці за назвою «Світовагармонія ». Кеплер формулює цей закон так: «... відношення міжперіодами звертання яких-небудь дво
