Основні положення методу кінцевих елементів і суперелементов
Метод кінцевих елементів (МКЕ) займає виняткове місце в теоріїрозрахунку конструкцій, а його узагальнення - метод суперелементов - дозволяєприродним чином ввести і описати ідеєю ієрархічно побудованихскладних систем.
Розглянемо плоску раму каркасу промислової будівлі, стійки якоїжорстко защемлени у фундаментах, а ригелі жорстко прикріплені до стійок.
Обмежимо розгляд випадком, коли на раму діє тільки вузлованавантаження. Пронумеруем вузли - точки перетину осей стрижнів один з однимі "землею". У кожному вузлі i рами на неї можуть діяти зосередженісили Fx, Fy і момент М, задані в деякій глобальній системі координат,пов'язаної з рамою.
Введемо в розгляд вектор (Fi) узагальнених сил, що діють на рамуу вузлі i
(1)
Сукупність зовнішніх впливів на всю раму буде характеризуватисявектором (F):
(2)
Де N-число вузлів рами. Розмірність цього вектора 3хN (поки невраховуємо факт прикріплення деяких вузлів до "землі"). Під дієюзовнішніх сил (F) стрижні рами отримують деформації, а вузли перемістяться.
Після переміщення вузлів рами будемо описувати в глобальній системікоординат. Переміщення ((i) кожного вузла характеризується трьома числами --лінійними переміщеннями (xi, (yi і кутом повороту (i, що єкомпонентами вектора узагальнених переміщень вузла (i:
(3)
А переміщення всієї рами вектором (:
(4)
Тут , як і вище, не враховуються умови закріплення стійок рами івузлів.
Напружено-деформований стан кожного стрижня зручнішехарактеризувати в локальній системі координат, пов'язаної з ним. Ось х 'цієї системи координат спрямуємо від "початку" q стрижня до його "кінця" r
(поняття "початок" і "кінець" умовні і потрібні тільки для того, щоб задатипозитивний напрямок на осі х '), ось у' - в площині рами, а вісь z '--перпендикулярно площині. Позитивні напрямки осей y 'і z' виберемотак, щоб вони утворювали з x 'праву систему координат.
Проведемо в кожному стрижні рами по 2 поперечних перетину на відстані,нескінченно близьких до вузлів - кінцях стрижнів q і r. У кожному з отриманихрішень в загальному випадку діють три зусилля N, Q, M, прикладені до вузла.
Введемо вектор узагальнених зусиль в перетині з 'стрижня m:
(5)
І вектор зусиль (fm), що характеризує напружене перетин стрижня mчерез вектори зусиль у його кінцевих стрижнях q і r ( "початку" і "кінець")
(6)
(штрих означає, що компоненти (fm ') обчислені в локальній системікоординат).
Вектор (fm ') повністю характеризує напружено-деформованийстан стрижня, якщо до його внутрішнім точкам не включені зовнішнівпливу і відомі жесткостние характеристики стрижня. Зрозуміло шістькомпонент вектора (fm ') пов'язані між собою рівняннями рівноваги стрижняяк жорсткого тіла, але ці рівняння в явному вигляді далі не використовуються.
Напружено-деформований стан того ж стрижня характеризується івектором узагальнених переміщень кінців стрижня q і r, який будується звідповідних компонент вектора, див. вираз (4):
(7)
Відзначимо, що при такому введення вектора узагальнених переміщень стержняйого напружено деформований стан залежить не тільки від значень
((m), але й від способів прикріплення стрижня m до вузлів q і до і йогожорсткості.
Наприклад, якщо б кінець q ригеля був приєднаний до стійки шарнірно, тозусилля М в перетині q було б дорівнює нулю, незалежно від значень компонент
((m).
Компоненти вектора (fm ') завдання в локальній системі відліку, акомпоненти вектора ((m) - в глобальній. Для встановлення зв'язку векторів
(fm ') і ((m) в простому вигляді запишемо компоненти ((m) теж в локальнійсистемі відліку, пов'язаної з даним стрижнем. Позначимо матрицюперетворення координат
(8)
через [L]:
(9)
Тоді, наприклад, компоненти вектора в локальній системікоординат запишуться у вигляді
(10)
Аналогічно компоненти вектора в глобальній системі відлікупов'язані з компонентами, співвідношенням
(11)
Вектори узагальнених зусиль і переміщень для стержня, виражені влокальної та глобальної системах відліку, пов'язані співвідношенням
, (12)
де матриця [?] має вигляд
(13)
Введемо матрицю жорсткості стрижня [km '], що характеризує зв'язок міжвекторами (fm ') і ((m)
(14)
Спосіб одержання матриці жорсткості [km'] є предметом особливоїрозгляду. Конкретні приклади обчислення окремих компонент матриці
[km '] для стрижнів з різними умовами закріплення вузлів наводяться вкурсах будівельної механіки. Фізична сутність процесу одержанняматриці [km '] полягає в необхідності вирішення задач будівельноїмеханіки для окремого стрижня-отримання вектора зусиль у кінцевихперетинах стрижня по заданих переміщень решт стрижнів (крайова задачапершого роду) або отримання вектора переміщень-решт стрижня по заданихсилових дій на його кінцях (крайова задача другого роду). Длястрижневих елементів з жорсткістю, постійної по довжині, завдання вирішується взамкнутому вигляді і матриця [km '] відома. Для фізичних елементів більшезагального вигляду - пластинчастих різного обриси, оболонкових, складнихелементів, що є композицією елементів, більш простих, - процедураотримання матриці [km '] зводиться до фактичного вирішення того чи іншого завданнябудівельної механіки або механіки суцільного середовища. Як правило вирішити цюзадачу в загальному вигляді на вдається і матриця жорсткості [km '] будується чисельнодля кожного з утворюють конструкцію елементів.
Надалі передбачається, що матриця [km '] відома. Для стрижня,обидва кінці якого жорстко прикріплені до вузлів, вона має вигляд:
(15)
де Е-модуль пружності матеріалу стержня; S-площа поперечногоперетину; J-момент інерції перетину; I = EJ/l; l-довжина стрижня.
Фактична сенс компонент і блоків матриці [km '] ясний. Блок [Kqq] ійого компоненти характеризують зусилля, що виникають в перетині q стрижня призсуві вузла q, а блок [Kqr] та його компоненти - зусилля в перетині q стрижняпри зсуві вузла r. Залежно від орієнтації систем відліку і правилазнаків при визначенні зусиль можуть змінюватись знаки деяких компонентматриці [K'm].
Основне співвідношення (15) дозволяє висловити зусилля в кінцевихперетинах кожного стрижня через переміщення його решт - вузлів системи. Зіншого боку, зусилля в кінцевих перетинах стрижнів з точністю до знакадорівнюють силам, що діють з боку стрижнів на вузли, тому матриця [K'm]дозволяє зв'язати переміщення вузлів стрижневий системи з силами, з якимистрижні діють на вузли при переміщень останніх.
Запишемо систему рівноваги вузлів. Для вузла маємо систему трьохрівнянь рівноваги:
(16) де підсумовування поширюється на всі стрижні, що сходяться у вузлі i,а з позначає перетин кожного з цих стержнів, безконечно близьке до вузла.
Число цих рівнянь дорівнює кількості невідомих переміщень вузла. Але оскількивеличини (fmc) залежать не тільки від переміщень зазначеного вузла, але, в силу
(14) - (15), і від переміщень сусідніх вузлів, з якими вузол i пов'язаний хочаб одним стрижнем, то рівняння (16) для вузла i входять і переміщеннясусідніх вузлів. Щоб визначити переміщення сусідніх вузлів, системирівняння типу (16) треба записати для всіх вузлів системи і вирішувати їхспільно.
Рівняння (16) зручно записувати в глобальній системі відліку, а зв'язок
(14) встановлена в локальній системі координат, пов'язаних з окремимистрижнями.
Щоб працювати постійно в глобальній системі координат, висловимо зв'язок
(14) в глобальній системі координат за допомогою співвідношень (10) - (13):
. (17)
Помножимо це рівність зліва на [?] -1 І врахуйте при цьому, що в силуортогональності [?] має місце рівність
(18)
Тоді
(19)
Вираз (19) визначає матрицю [Km ] в глобальній системі координат.
Перепишемо (16), використовуючи позначення блоків (15) матриці
(20)
де підсумовування поширюється на всі стрижні, що з'єднуються звузлом i. Повна система рівнянь рівноваги для стрижневий системи з Nвузлами в матричній формі набуде вигляду:
(21)
Якщо будь-який вузол Р на пов'язаний ні з одним стрижнем з вузлом r, тоблок [Kpr] в матриці (21) буде тотожно дорівнює нулю. Такому чином,вміючи обчислювати блоки [Kqq] і [Kqr] для окремих стрижнів, на підставіінформації про систему в цілому можна побудувати систему рівнянь рівноваги
(21) щодо шуканих переміщень ((). Вектор зовнішніх сил (F)передбачається відомим.
Наявність опорних закріплення приводить до того, що деякі компонентивектора (заздалегідь відомі. Відповідні компоненти повинні бутивиключені з шуканого вектора ((), так само як і стовпці з тими ж номерамиз матриці (21). Рівняння рівноваги для закріплених вузлів нескладаються, що рівносильно зменшення числа рівнянь (числа рядків уматриці) системи (21).
Після цього можна вирішити систему (21) щодо ((). Зазвичай длярішення використовуються прямі методи, типу методу послідовноговиключення невідомих Гаусса. Знайшовши ((), за формулами (14) або (19) можнавизначити зусилля в усіх стрижневих елементах системи, у тому числі істрижнях, що примикають до опорних вузлів. На цьому закінчується етапстатичного розрахунку стрижневий конструкції.
Література:
Геммерлінг Г.А. Система автоматизованого проектування сталевихбудівельний конструкцій. - М.: Стройиздат, 1987р.
