Роль систем числення в історії комп'ютерів

Олексій Стахов

В передмові до книги Анрі Лебега "Вимірювання величин" академік А.Н. Колмогоров зауважує: "У математиків існує схильність, вже володіючи закінченої математичної теорією, соромитися її походження. У порівнянні з кристалічної ясністю розвитку теорії, починаючи з вже готових її основних понять і припущень, здається брудним і неприємним заняттям копатися в походження цих основних понять і припущень. Весь будинок шкільної алгебри та весь математичний аналіз можуть бути споруджені на понятті дійсного числа без будь-якої згадки про вимірювання конкретних величин (довжин, площ, проміжків часу і т.д.). Тому на різних ступенях навчання з різною ступенем сміливості незмінно виявляється одна й та сама тенденція: можливо швидше розправитися з введенням чисел і далі вже говорити тільки про числа і співвідношеннях між ними. Проти цієї тенденції і протестує Лебег ".

До жаль, щось подібне іноді спостерігається і в комп'ютерній науці. Володіючи розвиненої комп'ютерної теорією, комп'ютерні фахівці іноді забувають про ту ролі, яку відіграли системи числення в історії комп'ютерів. Адже перший рахункові прилади (абаки і арифмометри), прообрази сучасних комп'ютерів, почали створюватися задовго до виникнення алгебри логіки, теорії алгоритмів -- і головну роль при їх створенні зіграли саме системи числення. Про це не слід забувати, прогнозуючи подальший розвиток комп'ютерної техніки.

В історії систем числення виділяють кілька етапів: початкова стадія рахунку, непозиційної системи числення, алфавітні системи нумерації, помісні або позиційні системи числення. Початкова стадія рахунку "характеризується зображенням сосчітиваемих множин за допомогою частин тіла, особливо пальців рук і ніг, паличок, вузлів мотузки і т.д. Як підкреслюється в статті І.Г. Башмакова і А.П. Юшкевича "Походження систем числення" ( "Енциклопедія елементарної математики", том 1, "Арифметика", 1951 р.), ": незважаючи на крайню примітивність цього способу зображення, він зіграв виняткову роль в розвитку поняття числа ". І саме в цей початковий період було зроблено одне з найбільших відкриттів античної математики. Мова йде про позиційному принципі представлення чисел. Як підкреслюється в згаданій вище статті Башмакова І.Г. і Юшкевича А.П., "перший відомої нам системою числення, заснованої на помісному, або позиційному принципі, є Шістдесяткова система стародавніх вавілонян, що виникла приблизно за 2000 років до н.е. ".

Для пояснення питання про її походження в історії математики виникло декілька конкуруючих гіпотез. М. Кантор спочатку припустив, що сумерійци (первинне населення долини Євфрату) вважали рік рівним 360 діб і що Шістдесяткова система має астрономічне походження. За гіпотезою Г. Кевіча в долині Євфрату зустрілися два народи, з яких у одного була десяткова система числення, а в іншого підставою було число 6 (виникнення такої підстави Кевіч пояснює особливим рахунком на пальцях, в якому стиснута в кулак рука означала 6). Завдяки злиттю обох систем виникло "компромісне" підстава 60. Зауважимо, що гіпотези Кантора і Кевіча стосуються питання про походження підстави 60, але не самого позиційного принципу представлення чисел.

На останнє запитання відповідає гіпотеза Нейгебауера про вимірювальному походження позиційного принципу, викладена в книзі "Лекції з історії античних математичних наук "(т. 1 -" догрецької математика ", 1937 р.). Відповідно до цієї гіпотези "основні етапи освіти позиційної системи в Вавилоні були такі: 1) встановлення кількісного співвідношення між двома самостійними існуючими системами мір і 2) опускання назв разрядових одиниць при письмі ". Ці етапи виникнення позиційних систем Нейгебауер вважає абсолютно загальними, підкреслюючи при цьому, що "позиційна Шістдесяткова система: виявилася цілком природним кінцевим результатом тривалого розвитку, нічим принципово не відрізняється від аналогічних процесів в інших культурах ".

Що стосується підстави 60, яке, на думку Нейгебауера, виникло як синтез вавілонських систем заходів, то більш переконливою все ж таки є гіпотеза Кантора про його "астрономічному" походження. Походження числа 60 в Як підставу вавілонської системи числення, а також чисел 12, 30 і 360 як вузлових чисел усіх календарних систем, систем вимірювання часу і кутових величин можна пояснити з позицій астрологічних і астрономічних знань і заснованих на них уявлень про гармонію Всесвіту. У Вавилоні та Єгипті з давніх часів при складанні календарів велике значення надавали найбільшої з планет-гігантів - Юпітера, який приблизно за 12 років робить повний оборот навколо Сонця. Не меншу роль грав також Сатурн, який здійснює повний оборот навколо Сонця приблизно за 30 років. Прийнявши 60 років в якості головного циклу Сонячної системи, укладачам стародавніх календарів вдалося ідеально узгодити цикли Юпітера (5x12 = 60) і Сатурна (2x30 = 60).

Гармонію Всесвіту з давніх часів символізували п'ять "правильних" геометричних тіл, званих "Платонове тілами". Особливу роль при це грав Додекаедр - правильний 12-гранника, гранями якого є Правильний п'ятикутник ( "пентаграми"). Звідси випливає, що число кутів на поверхні Додекаедр одно 5x12 = 60 (що відповідає 60-річному циклу). Додекаедр має 30 ребер (що відповідає циклу Сатурна) і 12 граней (що відповідає циклу Юпітера), а твір цих чисел 30x12 = 360. Дотримуючись магічної числової символіки Додекаедр, яка відображала числову гармонію циклів Юпітера й Сатурна, стародавні вавілоняни і вибрали число 60 як підстави своєї системи числення, а стародавні єгиптяни прийшли до думки розбити рік на 12 місяців (число граней Додекаедр), кожен з яких містив рівно 30 днів (число ребер Додекаедр). Таким і був єгипетський календар, створений у четвертому тисячолітті до н.е. У цьому календарі рік складався з 365 днів. Він ділився на 12 місяців по 30 днів кожний, в кінці року додавалося п'ять святкових днів, які, однак, не входили до складу місяців. Зауважимо, що в своєї системи вимірювання часу і кутових величин єгиптяни також використовували "магічні" числа Додекаедр (1 доба = 24 (2x12) години, 1 год = 60 хвилин, 1 хвилина = 60 секунд, 2p = 360