Синтез і аналіз аналогових і цифрових регуляторів

Міністерство вищої освіти російської федерації

Кубанський Державний технологічний Університет

Кафедра Автоматизації виробничих процесів

Курсова робота

За курсом "Теорія управління "

Тема курсової роботи:« Аналіз та синтез оптимальної одноконтурною САУ при використанні безперервного і цифрового регуляторів »

Виконав студент групи 96-ОА-61 номер залікової книжки

96-ОА-612

... ... ... ... ... ... ... ....

Перевірив професор

... ... ... ... ... ... ... ... ..

Краснодар 1999

РЕФЕРАТ

Курсовий робота. ___ Аркушів, ___ малюнків, ____табліци,
____ Джерела, ____ додаток.

Передавальна функція, перехідна функція, регулятор, фіксаторнульового порядку, оптимальне управління, цифрової-фільтр.

У даному курсової роботі запропоновано синтезувати і проаналізуватироботу одноконтурною САУ при використанні безперервного і цифровогорегуляторів, що реалізують П-, ПІ-і ПІД-закон регулювання. Оптимізація
САУ проводиться за критерієм максимальної динамічної точності. Узавершенні був розрахований цифровий фільтр, який забезпечує переведення системиз одного стану в інший за мінімальне число періодів квантування принаявності обмеження на керуючі вплив.

ЗМІСТ

Введення

Розвиток усіх областей техніки в даний врамя характкрізуетсяширокої автоматизацією різних виробничих процесів. При цьомузвільняється праця людини, підвищується точність і швидкість виконанняоперацій, що значно підвищує продуктивність виробництва.

Автоматизація забезпечує роботу таких об'єктів, безпосереднєобслуговування людиною неможливо через шкідливості, віддаленості абошвидкого протікання процесу.

В даний час різко збільшується виробництво різногообладнання для автоматизації промисловості, а також впроваджуються новітипи автоматичних устроіств, засновані на останніх досягненнях науки ітехніки. Ефективне використання автоматики в народному господарствіможливо лише за умови раціонального розв'язання завдань на всіх етапах їїрозробки та освоєння. Найбільш відповідальним етапом при проектуваннісистем автоматизації є їх синтез, розрахунок і подальший аналіз,які на сьогоднішній день базуються на теорії управління. Ця наукадозволяє не тільки знайти параметри, при яких система працюєстійко, різні якісні показники системи, але також іоптимізувати систему для більш раціонального використання різнихресурсів.

1ОПРЕДЕЛЕНІЕ Оптимальні параметри НАЛАШТУВАННЯ РЕГУЛЯТОРІВ

Визначення оптимальних параметрів налаштування П, ПІ, ПІД - регуляторіввиготовляємо за розширених амплітудно-фазових характеристиках.

Розширеної амплітудно-фазової характеристикою ланки або системиназивають відношення вектора гармонійних вимушених загасаючих коливаньна вході до вектору гармонійних загасаючих коливань на вході.

Існують два показники ступеня затухання:

(- відносна ступінь загасання; m - логарифмічна декремент загасання, які пов'язані між собоюнаступним далі співвідношенням:

, (1.1)

З попередньої формули (1.1) визначаємо значення логарифмічногодекремент загасання m:

, (1.2)

Система автоматичного керування буде мати необхідноївідносної ступенем загасання, якщо розширена амплітудно-фазовахарактеристика розімкнутого система автоматичного керування будепроходити через точку на комплексній площині (-1, j0), тобто

Wp (m, j () * Wo (m, j () = -1, (1.3)

або

-Wp (m, j () = 1/Wo (m, j (), (1.4)

Для отримання розширеної амплітудно-фазової характеристикинеобхідно в передавальний функцію підставити:

p =-m (+ j (= ((jm).

Малюнок 1.1 Структура схеми безперервної САУ

Передавальна функція нашого вихідного об'єкту має наступний далівигляд:

, (1.5)

, (1.6)

Формула (1.6) являє собою інверсно розширену амплітудно --фазової характеристику об'єкта.

Так як завдання значень (= 0.96, то за формулою (1.2) визначимозначення m і підставами його в попередню формулу розширеної амплітудно -фазової характеристики, m = 0.512.

Перед тим, як визначити оптимальні параметри налаштування П, ПІ, ПІДрегуляторів знайдемо частоту зрізу нашого об'єкта.

Частота зрізу - це таке значення частоти w = wc, при якомузначення амплітуди на виході на перевищувало б трьох відсотків від амплітудипри нульовій частоті.

Запишемо вираз амплітудно - фазової характеристики нашого об'єкта:

, (1.7)

Амплітудно-фазову характеристику об'єкта можна знайти з наступноїформули:

, (1.8)

де Re (w) - дійсна частина амплітудно-фазової характеристики;

Jm (w) - уявна частина амплітудно-фазової характеристики.

При нульовій частоті значення амплітуди одно 3.1. Значить необхіднознайти таке w = wс, щоб = 0.03 * 3.1 = 0.093.

Таким чином необхідно розрахувати рівняння

, (1.9)

Рішенням цього рівняння є те, що ми знаходимо наступніпараметри w = 0.417, отже й wc = 0.417.

опреленія Для оптимальних параметрів регулятора необхідно вирішитирівняння (1.6). Прирівнявши речові й уявні частини в рівнянні (1.6),можено отримати розрахункові формули для визначення параметрів регуляторів
[4, ст 250]:

- П - регулятор:

- Пі - регулятор:

< p> - Під - регулятор:

де С0 = 1/Tu;

C1 = Kp;

C2 = Tg.

Для ПІД - регулятора маємо два рівняння з трьома невідомими, тодізадаємося ставленням:

У цьому випадку розрахунок формули для ПІД - регулятора приймає наступнийдалі вигляд:

де а = w (m2 +1);

;

Розрахунок оптимальних параметрів налаштування для П - регуляторапредставлений таким чином:

, (1.10)

З другого рівняння системи (1.10) знайдемо w і підставимо цезначення в перше рівняння системи. При вирішенні отримай, що w і = 0.354оптімільнимі параметрами налаштування П - регулятора є значення Кропт =
1.01.

Розраховуємо оптимальні значення параметрів налаштування для ПІ --регулятора.

Для кожного значення частота від 0 до частоти зрізу знаходь точки С1С0і С1, відповідні необхідного ступеня загасання (. Оптимальним параметромє є точка на лінії, рівною мірою загасання С1С0 = f (С1),лежащія праворуч від глобального максимуму. Ці параметри забезпечують:

Отже, запишемо далі наступну систему рівнянь для Пі - регулятора:

, (1.11)

Таблиця 1.2

Дані для розрахунку оптимальних параметрів настройок ПИ - регулятора.

| w | C0 | C1 | C1C0 |
| 0 | 0 | -0.323 | 0 |
| 0.1 | 0.029 | 0.117 | 4.858 * 10-4 |
| 0.2 | 0.073 | 0.382 | 0.028 |
| 0.3 | 0.059 | 0.777 | 0.046 |
| 0.4 | -0.09 | 1.228 | -0.11 |
| 0.417 | -0.134 | 1.307 | -0.175 |
| 0.5 | -0.443 | 1.753 | -0.777 |

Рисунок 1.2 - Графік звісімості С1С0 = f (C1) для Пі - регулятора

Максимальне значення функції С1С0 = 0.048 при С1 = 0.694. Беремоточку правіше глобального максимуму С1 = 0.777, С1С0 = 0.0459. Вирішившисистему рівнянь (1.11) отримаємо оптимальні параметри пастройкі Кропт =
0.777, Tuопт = 16.928.

Розраховуємо оптимальні параметри налаштування для ПІД - регулятора:

, (1.12)

Для кожного значення частота від 0 до частоти зрізу знаходь точки С1С0і С1, відповідні необхідного ступеня коливального m = 0.512 вирішившисистему (1.12). Дані розрахунків представлені в таблиці 1.1 за ці данимипобудуємо графік залежності С1С0 = f (С1).

Таблиця 1.1

Дані для розрахунку оптимальних параметрів настройок ПІД - регулятора.
| w | C0 | C1 | C1C0 |
| 0 | 0 | -0.323 | 0 |
| 0.1 | 0.12 | 0.097 | 0.012 |
| 0.2 | 0.2 | 0.485 | 0.097 |
| 0.3 | 0.226 | 0.913 | 0.207 |
| 0.4 | 0.184 | 1.447 | 0.266 |
| 0.417 | 0.172 | 1.556 | 0.268 |
| 0.5 | 0.113 | 2.206 | 0.25 |

Рисунок 1.3 - Графік звісімості С1С0 = f (C1)

Потрібно взяь точку, що лежить праворуч від глобального максимуму .
Максимального значень С1С0 = 0.268, при С1 = 1.576. Беремо точку С1С0 =
0.2592 при С1 = 1.9456. За цим значенням визначимо оптимальні параметрирегулятора:

Таким чином оптімільние параметри налаштування для ПІД - регулятора:

2. ПЕРЕХІДНІ ПРОЦЕСИ В замкнутої системи

Запишемо вираз передатічной функції для системи в замкнутомустані:

, (2.1)

де.

Тоді вираз (2.1) матимуть вигляд:

, (2.2)

Знайдемо передавальний функия для замкнутої системи з П - регулятором,тобто Wp (p) = КP. КP - оптимальне значення, знайдене в першому розділі,тобто КP = 1.01.

Предаточная функція замкнутої системи з П - регулятором маєнаступні вигляд:

, (2.3)

Перехідна функція замкнутої системи:

, (2.4)

Знайдемо полюса фунгкціі (2.4) .

Для цього необхідно знайти коріння наступного рівняння:

p () = 0.

Вони рівні:

p1 = 0; p2 = - 0.435; p3 = - 0.181 - j0.34; p4 = - 0.181 + j0.34.

Перехідна функція для замкнутої системи з П - регулятором будемати такий вигляд:

h (t) = 0.757-0.052e-0.424t * cos (0.254t) - 0.3857e-0.181t * sin (0.354t).

Побудуємо перехідний процес функції, представим графік цього процесуна малюнку 2.1.

Малюнок 2.1 - Перехідний процес в замкнутій системі з П --регулятором.

Запишемо передавальний функцію для замкнутої системи з ПІ --регулятором, тобто:

Як Кр і ТU беремо значення, які були отримані в першому розділі,тобто беремо Кр = 0.777 і ТU = 16.928. Тоді вираз передавальної функціїмає наступні далі вигляд:

, (2.5)

Запишемо предаточную функція замкнутої системи з ПІ - регулятором, дляцього скористаємося формулою (2.1):

, (2.6)

Перехідна функція замкнутої системи має такий вигляд:

, (2.7)

Знайдемо полюса фунгкціі (2.7).

Для цього необхідно знайти коріння наступного рівняння:

p () = 0.

Вони рівні:

p1 = - 0.421; p2 = - 0.075; p3 = - 0.149 - j0.29; p4 = - 0.149 + j0.29; p5 = 0.

Перехідна функція для замкнутої системи з ПІ -- регулятором будемати такий вигляд:

h (t) = 1 - 0.0609e-0.421t - 0.757e-0.148t * cos (0.29t)-0.4870.148t

* sin (0.29 t)-0.181e-0.075t

Побудуємо перехідний процес функції, представим графік цього процесуна малюнку 2.2.

Малюнок 2.2 - Перехідний процес в замкнутій системі з ПІ --регулятором.

Запишемо передавальний функцію для замкнутої системи з ПІД --регулятором, тобто:

Як Кр, ТU і Тg беремо значення, які були отримані в першійрозділі, тобто беремо Кр = 1.9456, ТU = 7.506, і Тg = 0.976. Тоді виразпередавальної функції має наступний далі вигляд:

, (2.8)

Запишемо предаточную функція замкнутої системи з ПІД - регулятором,для цього скористаємося формулою (2.1):

, (2.9)

Перехідна функція замкнутої системи має такий вигляд:

, (2.10) < p> Знайдемо полюса фунгкціі (2.10).

Для цього необхідно знайти коріння наступного рівняння:

p () = 0.

Вони рівні:

p1 = 0; p2 = -0.405 - j0.116; p3 = -0.405 + j0.116; p4 = -0.039 - j0.192; p5 = -0.039 + j0.192.

Перехідна функція для замкнутої системи з ПІД - регулятором будемати такий вигляд:

h (t) = 1 - 0.2927e-0.404t * cos (0.1157t) - 0.032e-0.404t * sin (0.1157t) - 0.6934e- < p> 0.038t * cos (0.1918t) - 0.2055e-0.0388t * sin (0.1918t).

Побудуємо перехідний процес функції, представим графік цього процесуна малюнку 2.3.

Малюнок 2.3 - Перехідний процес в замкнутій системі з ПІД --регулятором.

3 ВИЗНАЧЕННЯ ПЕРІОДУ Квантування цифровий регулятор та перерахунок ЙОГО
ВАРАМЕТРОВ

Необхідно з'ясувати відповідність коефіцієнтів неопределенногоіцифрового регуляторів. Для вибору періоду вимірювань цифрового регуляторабудуємо амплетудно - частотну характеристику замкнутої системи і визначаємочастоту зрізу, при якій значення амплетуди на виході не перевищує тривідсотки від амплітуди при нульовому значенні частоти.

Для цього візьмемо передавальні функції замкнутої системи (для всетипів регуляторів), які були знайдені в другому завданні курсової роботи.

Передавальна функція замкнутої системи з П - регулятором:

, (3.1)

Передавальна функція замкнутої системи з ПІ-регулятором:

, (3.2)

Передавальна функція замкнутої системи з ПІД - регулятором:

, (3.3)

Вираз амплетудно - частотної характеристики для системи з П --регулятором буде мати такий вигляд:

. (3.4)

Вираз амплетудно - частотної характеристики для системи з ПІ --регулятором буде мати такий вигляд:

. (3.5)

Вираз амплетудно - частотної характеристики для системи з ПІД --регулятором буде мати такий вигляд:

. (3.6)

Така як частота зрізу дорівнює трьом відсоткам від нульового значення, тонеобхідно розв'язати рівняння такого вигляду:

. (3.7)

При рішенні рівнянь було отримано:

-частота зрізу для системи має в стоем складі П - регулятор wс =
2.25;

-частота зрізу для системи має в стоем складі ПІ - регулятор wс =
1.6738;

-частота зрізу для системи має в стоем складі ПІД - регулятор wс
= 3.8194.

Частоту вимірювань приймають як:

, (3.8)

де wc = 3.8194 (найбільше значення), при якому період квантування дорівнює
T0 = 0.411.

Так як отримане значення менше заданого, то зробимо перерахунокпараметрів.

У загальному вигляді діскрктную передавальний функцію іскоіого елемента можназаписати наступним чином:

. (3.9)

У нашому випадку вираз (3.9) набуде вигляду:

, (3.10)

де;

;

C урахуванням цих виразів необхідно перерахувати параметри безперервнихрегуляторів в параметри цифрових.

Запишемо передавальні функції безперервних регуляторів:

- П - регулятор

Wp (p) = 1.01; (3.11)

- ПІ - регулятор

; (3.12)

- ПІД - регулятор

. (3.13)

Після обчислення коефіцієнтів q0, q1 і q2 діскрктние передавальніфункції будуть мати вигляд:

- П - регулятор

; (3.14)

- ПІ - регулятор

; (3.15)

- ПІД - регулятор

. (3.17)

4 АНАЛІЗ СТІЙКОСТІ СИСТЕМИ АВТОМАТИЧНОГО УТРАВЛЕНІЯ За критерієм
Джур і ПОБУДОВА ПЕРЕХІДНИХ ПРОЦЕСІВ У ЦИФРОВИХ СИСТЕМАХ

При аналізі цифрових систем управління їх представляють у вигляді трьохелементів: цифрового фільтра (регулятора), фіксатора і наведеноїбезперервної частини.

де y - дискретне значення регульованої величини; f - задане значення регульованої величини; e - помилка управління; u - керуючий вплив.

Малюнок 4.1 Структурна схема цифрової системи автоматичногоуправління

Так як в системі має помсти фіксатор нульового порядку зпередавальної функцією виду:

, (4.1)

то з урахуванням того, що z = e-pT, цю функцію можна записати в наступномудалі вигляді:

. (4.2)

співмножники 1/р відносять до лінійної частини, тому передавальнафункція наведеної безперервної частини може бути записана в наступному вигляді:

. (4.3)

Так як

перехідна фнукція ленейной частини системи, то z - передавальний функціюлінійної частини знаходимо за наступним висловом:

. (4.4)

Знайдемо вираз для передавальної функції лінійної частини:

. (4.5)

Для обчислення h (t) скористаємося методом невизначенихкоефіцієнтів. Необхідно визначити полюса. Для цього необхідно знайтикоріння следйющего рівняння:

() * р = 0.

Вирішивши дане рівняння ми отримали, що його коріння такого вигляду: p1 = 0; p2 = - 0,2; p3 = - 0,33; p4 = -0,25.

Перехідна функція лінійної частини має такий вигляд:

h (t) = -21,93 e-0.2t-4.03e - 0.33t +22.86 e-0.25t +3.1. (4.6)

З урахуванням формули (4.4) отримуємо

Після розкриття дужок і приведення подібних ми отримуємо рівність унаступному вигляді:

. (4.7)

Результуюча передавальна функція розімкнутого системи може бутивизначена як добуток передавальної функції наведеної безперервноїчати і передавальної функції цифрового фільтра:

. (4.8)

Дискретна передавальна функція замкнутої системи:

. (4.9)

Визначимо значення W3 (z) для кожної з систем:

- система з П - регулятором. Wр (z) = 1.01, Wн.ч. (z) - визначення за формулою (4.7), тоді:

; (4.10)

- система з ПІ - регулятором.

;

Wн.ч. (z) - визначена за формулою (4.7), тоді:

; (4.11)

-- система з ПІД - регулятором.

Wн.ч. (z) - визначена за формулою (4.7), тоді:

. (4.12)

Після того, як отримаємо вираз діскрктних передавальних функційдля всіх систем, проаналізуємо стійкість цих систем за критерієм Джури.

Критерій стійкості полягає в наступному.

Нехай задано А (z) - характкрістіческій поліном:

A (z) = a0zn + a1n-1 + ... + an, a0> 0.

Введемо поняття зворотного полінома, одержуваного перестановкоюкоефіцієнтів вихідного у зворотному порядку:

A (z) = anzn + an-1n-1 + ... + a0.

Розділемо A (z) на зворотному йому. У результаті отримуємо частку від діленнячисло q0 і залишок А1 (z) - поліном n-1 ступеня.

домножити отриманий результат на z-1 отримуємо:

A1 (z) = (a0-anq0) zn - 1 + ... + (an-1-a1q0).

Потім ділимо залишок A1 (z) на зворотний йому A10 (z) і визначаємо новеq1 і A2 (z)

і т.д.

Виконуючи поділ поліномів Ai (z) на зворотні йому Ai0 (z), отримуємопоследовате?? ьность чисел qi = (q0, q1, q2, ..., qn-2).

Необхідною і достатньою умовою стійкості цифрової системиє нерівності:

А (1) = (a0 + a1 + a2 + ... + an)> 0;

(-1) nА (-1) = (a0 (-1) n + a1 (-1) n-1 + ... + an)> 0;

| qi | 0.

(-1) 3A (-1) = - (1 -- 2.7544 + 2.5359 - 0.7817)> 0.

А (z) = z3-2.7544z2 +2.5359 z - 0.7817

Зворотній поліном

Розділемо A (z) на A0 (z).

| | |
| - () | -0.7817 = Q0, | q0 | 0.

Зворотній поліном:

Розділемо A (z) на A0 (z).