МОСКОВСЬКА АКАДЕМІЯ МВС РОСІЇ

КАФЕДРА ІНФОРМАТИКИ І МАТЕМАТИКИ

РЕФЕРАТ

ТЕМА № 19:

Системний аналіз і проблеми прийняття рішень .

ВИКОНАВ: слухачів 3 - го курсу 311 навчальної групи заочної форми навчання

МА МВС

Росії

лейтенант юстиції

Трофимов А.А.

МОСКВА 2000р.

ПЛАН РОБОТИ:

1. СИСТЕМНИЙ АНАЛІЗ.

2. Аксіоматики СИСТЕМНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ.

3. СИСТЕМНИЙ АНАЛІЗ ТА ПРОБЛЕМИ ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ.

4. ОПЕРАЦІЯ. ЕФЕКТИВНІСТЬ ОПЕРАЦІЇ МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ ОПЕРАЦІЇ.

5. ЗАГАЛЬНА ПОСТАНОВКА ЗАВДАННЯ.

6. ДОСЛІДЖЕННЯ ОПЕРАЦІЇ. Детерміновані ВИПАДОК.

7. ЗАГАЛЬНА ПОСТАНОВКА ЗАВДАННЯ ДОСЛІДЖЕННЯ ОПЕРАЦІЇ. ОПТИМІЗАЦІЯ РІШЕННЯ У
УМОВАХ НЕВИЗНАЧЕНОСТІ.

СИСТЕМНИЙ АНАЛІЗ ТА ЙОГО ОСНОВНІ СКЛАДОВІ:

Системний аналіз
- Сукупність методологічних засобів, що забезпечують вирішення складних проблем політичного, соціального, економічного, правового і т. д. характеру.
- Системний аналіз базується на ряді прикладних математичних дисциплін, зокрема на дослідженні операцій.
- Прикладами завдань, що вирішуються за допомогою методів досліджень операцій і математичного програмування, є:
1.Разработка високоефективних методів управління людьмиі технікою.
2.Определеніе і обгрунтування цілей функціонуваннясистеми.
- Дослідження операцій - наука, що виробляє рішення в усіх сферах діяльності людини.

Розробка методів використання наявної техніки,забезпечує виконання поставленого завдання змінімальними витратами і з максимальною ефективністю.

ОСНОВНІ СИСТЕМНІ ПОНЯТТЯ

аксіоматика системних властивостей

Система - сукупність елементів, об'єднаних загальноюфункціональної середовищем і метою функціонування.

Функціональна середу системи - характерна для системисукупність законів, алгоритмів і параметрів, заяким здійснюється взаємодія між елементамисистеми та функціонування системи в цілому.

Елемент системи - умовно неподільна, самостійнофункціонуюча частина системи.

Компонент системи - безліч щодо одноріднихелементів, об'єднаних спільними функціями при забезпеченнівиконання загальних цілей розвитку системи.

Структура системи - сукупність зв'язків, за якимизабезпечується енерго-, масо-та інформаційний обмінміж елементами системи, що визначає функціонуваннясистеми в цілому і способи її взаємодії із зовнішньоюсередовищем.

Прикладом складної системи є Міністерствовнутрішніх справ, складною як по своїй структурі, так іхарактеру виконуваних міністерством завдань: забезпеченнябезпеки країни та окремих громадян у спільнійдіяльності з іншими правоохоронними системамикраїни.

Функціональну середу правоохоронної системистановлять: конституція країни, законодавчі акти,
КПК та інші нормативні документи. Ці законивизначають можливу динаміку взаємозв'язків міжслужбами і підрозділами міністерства різнимидокументами, що не дозволяють даними елементіврозвиватися на шкоду цілому.
Системне розгляд правоохоронних органівдозволяє представити кожну систему як підсистемусистеми вищого рівня. Тоді специфіку кожної зних визначають ті її властивості, які важливі саме зточки зору функціонування системи вищогорівня. При цьому дані властивості оцінюютьрозглянуту підсистему в цілому і мають загальний,інтегральний по відношенню до неї характер. Такі властивостіназиваються системоутворюючими факторами, абоінтегральними властивостями системи.

Таким чином, розглядаючи будь-який системний об'єкт, йогонеобхідно виділити як цілісне утворення, звертаючиувагу, по-перше, на інтегральні властивості, важливі зточки зору його специфіки як компоненту системинаступного (вищого) рівня. По-друге, слідвизначити складові частини розглянутого об'єкта івивчити узагальнену структуру їх взаємодії,характеризує інтегральні властивості.

Системне вивчення різних об'єктів має, вЗокрема, науково-організаційне значення. В данийчас вироблення управлінських рішень, особливовеликого масштабу, сама по собі часто представляєсерйозну наукову проблему. Для її рішення застосовується
ЕОМ.

Системне уявлення об'єктів, поділ їх напідсистеми, обмеження враховуються характеристик тількиінтегральними показниками, побудова узагальненоїструктури об'єктів та інші аналогічні прийоми різкознижують розмірність математичних моделей, що застосовуютьсяв прикладних цілях. Попередня системнаструктуризація об'єктів і проблем управління --практично єдина можливість конструктивнозастосувати для їх вирішення математичні методи звикористанням засобів обчислювальної техніки.

Відповідно до закону адаптації реакції системи назовнішній вплив в першу чергу спрямовані на те,щоб зменшити негативні наслідки цьоговпливу.

СИСТЕМНИЙ АНАЛІЗ ТА ПРОБЛЕМИ ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ

Побудова моделі, що цікавить дослідника процесуабо явища не завжди можливо. Вироблення управлінськихрішень при неможливості створення, наприклад,динамічних, ігрових та інших кількісних моделей, здопомогою яких відпрацьовувалися раціональні таоптимальні елементи управління в самому широкому значенніЦей термін, призвела до появи в рамках системногоаналізу напряму, що стосується прийняття рішень вумовах так званого унікального вибору.

Процес унікального вибору характеризується трьоманеобхідними умовами: наявністю проблеми, що вимагаєдозволу;наявністю особи або групи осіб, які приймають рішення;декількома варіантами, з яких здійснюється вибір.
При відсутності хоча б однієї з цих складовихпроцесу вибору немає.

Важкі, нестандартні, по-своєму унікальні процеси іявища характеризуються рядом моментів.

багатокритеріальний характер найбільш актуальних проблем.
Зазвичай не вдається зводити оцінку кожній із запропонованихальтернатив до якого-небудь одному чисельного показником,наприклад до визначення сил і засобів на виконанняправоохоронних заходів. Необхідно одночаснооцінювати кожну альтернативу з багатьохпоказателям.__________

Суб'єктивізм оцінок якості альтернатив (тим більше вбагатокритеріальної випадку.

Невизначеність в повноті списку альтернатив. Завждиможна запитати: "А чи всі можливі варіанти вирішеннябули розглянуті? "Такого роду труднощі роблять процесвирішення проблем унікального вибору досить непростим іхарактеризується постійним підвищенням "ціни помилки".

ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ ДОСЛІДЖЕННЯ ОПЕРАЦІЙ

1. ОПЕРАЦІЯ. ЕФЕКТИВНІСТЬ ОПЕРАЦІЇ

Під операцією ми будемо розуміти будь-який захід
(або систему дій), об'єднане єдиним задумом іспрямоване до досягнення певної мети.

Приклади операцій.

1. Система заходів, спрямована до підвищеннянадійності технічного пристрою.

2. Відображення повітряного нальоту засобами ППО.

3. Розміщення замовлень на виробництвообладнання.

4. Розвідувальний пошук групи літаків у тилупротивника.

5. Запуск групи штучних супутників Землідля встановлення системи телевізійного зв'язку.

6. Система перевезень, що забезпечує постачанняряду пунктів певного виду товарами.

Операція завжди є керованимзаходом, тобто від нас залежить вибрати тих чиіншим способом якісь параметри, що характеризуютьспосіб її організації. «Організація» тут розуміється вширокому сенсі слова, включаючи і вибір технічнихзасобів, що застосовуються в операції. Наприклад, організовуючивідбиття повітряного нальоту засобами ППО, ми можемо, взалежно від обстановки, вибирати тип і властивостізастосовуваних технічних засобів (ракет, установок) абож, при заданих технічних засобах, вирішувати тількизавдання раціональної організації самої процедуривідображення нa ^ eтa (розподіл цілей між установками,кількість ракет, що направляються на кожну мету і т. д.).

Всякий певний вибір залежних від наспараметрів ми будемо називати рішенням.

Рішення можуть бути вдалими і невдалими,розумними і нерозумними. Оптимальними називаютьсярішення, які, з тих чи інших міркувань,найкращим за всі інші.

Основне завдання дослідженняоперацій-попереднє кількісне обгрунтуванняоптимальних рішень.

Зауважимо, що саме прийняття рішення виходить зарамки дослідження операцій і відноситься до компетенціївідповідальної особи (або групи осіб), якимнадано право остаточного вибору. При цьомувиборі відповідальні за нього особи можуть враховувати,поряд з рекомендаціями, що випливають з математичногорозрахунку, ще ряд міркувань (кількісного іякісного характеру), які не були врахованірозрахунком.

Таким чином, дослідження операцій не ставитьсобі завданням повну автоматизацію прийняття рішень,повне виключення з цього процесу роздумує,оцінює, що критикує людської свідомості. УЗрештою, рішення завжди приймається людиною
(або групою осіб); завдання дослідження операцій --підготувати кількісні дані та рекомендації,полегшують людині прийняття рішення *).

*) Навіть у тих випадках, коли прийняття рішення,здавалося б, повністю автоматизовано (наприклад, впроцесі автоматичного керування підприємством абокосмічним кораблем), роль людини не усувається,бо, зрештою, від нього залежить вибір алгоритму,по якому здійснюється управління.

Поряд з основним завданням - обгрунтуваннямоптимальних рішень - до галузі дослідження операційвідносяться і інші завдання, такі як

- порівняльна оцінка різних варіантіворганізації операції;

- оцінка впливу на результат операції різнихпараметрів (елементів рішення і заданих умов);

- дослідження так званих «вузьких місць», тоє елементів керованої системи, порушення роботияких особливо сильно позначається на успіху операції,і т. д.

Ці «допоміжні» завдання дослідженняоперацій набувають особливої важливості, коли мирозглядаємо дану операцію не ізольовано, а якскладовий елемент цілої системи операцій. Так званий
«Системний» підхід до завдань дослідження операційвимагає врахування взаємної залежності та обумовленостіцілого комплексу заходів. Зрозуміло, в принципізавжди можна об'єднати систему операцій в одну складнуоперацію більш «високого порядку», але на практиці це незавжди зручно (і не завжди бажано), і в ряді випадківдоцільно виділяти як «операцій» окреміелементи системи, а остаточне рішення приймати зурахуванням ролі і місця даної операції в системі.

Отже, розглянемо окрему операцію О. Роздумуючинад організацією операції, ми прагнемо зробити їїнайбільш ефективною. Під ефективністю операціїзрозуміло ступінь її пристосованості до виконаннящо стоїть перед нею завдання. Чим краще організованаоперація, тим вона ефективніша.

Щоб судити про ефективність операції тапорівнювати між собою за ефективністю по-різномуорганізовані операції, потрібно мати деякий чисельнийкритерій оцінки або показник ефективності (вдеяких посібниках показник ефективності називають
«Цільовою функцією »).

Будемо надалі позначати показникефективності літерою W.
Конкретний вид показника ефективності W, якимслід користуватися при чисельної оцінки ефективності,залежить від специфіки розглянутої операції, їїцільової спрямованості, а також від завдання дослідження,яка може бути поставлена в тій чи іншій формі.

Багато операції виконуються в умовах,що містять елемент випадковості (наприклад, операції,пов'язані з коливаннями попиту та пропозиції, зрухом народонаселення, захворюваністю, смертністю,а також усі військові операції). У цих випадках результатоперації, навіть організованою строго певнимчином, не може бути точно передбачений, залишаєтьсявипадковим. Якщо це так, то в якості показникаефективності W вибирається не просто характеристикарезультату операції, а її середнє значення (математичнеочікування). Наприклад, якщо завдання операції - отриманнямаксимального прибутку, то в якості показникаефективності береться середній прибуток. В інших випадках,коли завданням операції є здійснення цілкомпевної події, в якості показникаефективності беруть ймовірність цієї події (наприклад,ймовірність того, що в результаті повітряного нальотудана група цілей буде вражена).

Правильний вибір показника ефективності --необхідна умова корисності дослідження,застосовуваного для обгрунтування рішення.

Розглянемо ряд прикладів, у кожному з якихпоказник ефективності W обраний відповідно доцільовою спрямованістю операції.

Приклад 1. Розглядається робота промисловогопідприємства під кутом зору його рентабельності, причомупроводиться ряд заходів з метою підвищення цієї рентабельності
Показник ефективності - прибуток (або середняприбуток), принесена підприємством за господарський рік

Приклад 2 Група винищувачів піднімається в повітрядля перехоплення одиночного літака супротивника Метаоперації - збити літак. Показник ефективності --ймовірність ураження (збито) літака

Приклад 3. Ремонтна майстерня займаєтьсяобслуговуванням машин; її рентабельність визначаєтьсякількістю машин, обслужених протягом дня. Показникефективності - середня кількість машин, обслугованих за день
( «Середня» тому, що фактичне число випадково)

Приклад 4. Група радіолокаційних станцій впевному районі веде спостереження за повітрянимпростором. Завдання групи - знайти будь-який літак,якщо він з'явиться в районі Показник ефективності --ймовірність виявлення будь-якого літака, що з'явився врайоні.

Приклад 5. Робиться ряд заходів з підвищеннянадійності електронної цифрової обчислювальної машини
(ЕЦОМ). Мета операції - зменшити частоту появинесправностей ( «збоїв») ЕЦОМ, або, що рівносильно,збільшити середній проміжок часу між збоями
( «Наробіток на відмову»). Показник ефективності --середній час безвідмовної роботи ЕЦОМ (або середнєвідносний час справної роботи).

Приклад 6. Проводиться боротьба за економію коштівпри виробництві певного виду товарів. Показникефективності-кількість (або середня кількість)зекономлених коштів.

У всіх розглянутих прикладах показникефективності, яким би він не був, потрібно звернутив максимум ( «чим більше, тим краще»). Взагалі, це необов'язково: в дослідженні операцій часто користуютьсяпоказниками, які потрібно звернути не в максимум,а в мінімум ( «чим менше, тим краще»). Наприклад, вприкладі 4 можна було б як показникаефективності взяти «ймовірність тозі, що з'явивсялітак не буде виявлений »- цей показник бажанозробити якомога менше. У прикладі 5 за показникефективність можна було б прийняти «середнє число збоївза добу », яке бажано мінімізувати. Якщооцінюється якась система, що забезпечує наведенняснаряда на ціль, то в якості показника ефективностіможна вибрати середнє значення «промаху» снаряда
(відстані від траєкторії до центру цілі), якебажано зробити якомога менше. Наряд коштів,що виділяються на виконання якої-небудь завдання, тежбажано зробити мінімальним, так само як і вартістьробиться, системи заходів. Таким чином, убагатьох задачах дослідження операцій розумне рішенняповинно забезпечувати не максимум, а мінімум деякогопоказника.

Очевидно, що випадок, коли показникефективності W треба звернути в мінімум, легко зводитьсядо завдання максимізації (для цього достатньо, наприклад,змінити знак величини W). Тому надалі,розглядаючи в загальному вигляді завдання дослідження операцій,ми будемо для простоти говорити тільки про випадок, коли Wпотрібно звернути у м а к с і м у м. Що стосуєтьсяпрактичних конкретних завдань, то ми будемо користуватисяяк показниками ефективності, які потрібномаксимізувати, так і тими, які потрібномінімізувати.

2. МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ ОПЕРАЦІЇ

Для застосування кількісних методівдослідження в будь-якій області завжди потрібно побудуватиту або іншу математичну модель явища. Meстав винятком і дослідження операцій. Припобудові математичної моделі явище (у нашому випадку
- Операція) якимось чином спрощується,схематизує; з незліченної безлічі факторів,що впливають на явище, виділяється порівняно невеликакількість найважливіших, і отримана схема описується задопомогою того чи іншого математичного апарату. Урезультаті встановлюються кількісні зв'язки міжумовами операції, параметрами рішення і результатомоперації - показником ефективності (або показниками,якщо їх в даній задачі декілька).

Чим більш вдало підібрана математична модель, тимкраще вона відображає характерні риси явища, тимуспішніше буде дослідження і корисніше - що випливають знього рекомендації.

Загальних способів побудови математичних моделейне існує. У кожному конкретному випадку модельбудується, виходячи з цільової спрямованості операції тазавдання наукового дослідження, з урахуванням необхідноїточності рішення, а також точності, з якою можуть бутивідомі початкові дані.

Вимоги до моделі суперечливі. З одногобоку, вона повинна бути достатньо повною, тобто в нійповинні бути враховані всі важливі чинники, від якихістотно залежить результат операції. З іншого боку,модель повинна бути досить простою для того, щобможна було встановити доступні для огляду (бажано -аналітичні) залежності між що входять до неїпараметрами. Модель не повинна бути «засмічена» безліччюдрібних, другорядних факторів - їх облік ускладнюєматематичний аналіз і робить результати дослідженняважко доступним для огляду.

Одним словом, мистецтво складати математичнімоделі є саме мистецтво, і досвід у цій справінабувається поступово. Дві небезпеки завждипідстерігають укладача моделі: перша - потонути вподробицях ( «з-за дерев не побачити лісу»); другий
- Занадто огрубіть явище ( «виплеснути з ванни разомз водою і дитини »). У складних випадках, коли побудовамоделі викликає найбільшу сумнів, кориснимвиявляється своєрідний «суперечка моделей», коли один і тойж явище досліджується на кількох моделях. Якщонаукові висновки та рекомендації від моделі до моделізмінюються мало, це - серйозний аргумент на користьоб'єктивності дослідження. Характерним для складнихзадач дослідження операцій є також повторнезвернення до моделі: після того, як перший циклдосліджень виконаний, повертаються знову до моделі івносять у неї необхідні корективи.

Побудова математичної моделі - найбільшважлива і відповідальна частина дослідження, що вимагаєглибоких знань не тільки і не стільки в математиці,скільки в суті модельованих явищ. Однак разстворена вдала модель може знайти застосування і далекоза межами того кола явищ, для якого вонаспочатку створювалася. Так, наприклад, математичнімоделі масового обслуговування знайшли широке застосування вцілому ряді областей, далеких, з першого погляду, відмасового обслуговування (надійність технічнихпристроїв, організація автоматизованого виробництва,завдання ППО та ін.) Математичні моделі, спочаткупризначені для опису динаміки розвиткубіологічних популяцій, знаходять широке застосування приописі бойових дій і навпаки - бойові моделі зуспіхом застосовуються в біології.

Математичні моделі, що застосовуються в данийчас в задачах дослідження операцій, можна грубопідрозділити на два класи: а н а л і т и ч е с к и е і зт а т и с т и ч е с к и е.

Для першого характерне встановлення формульних,аналітичних залежностей між параметрами задачі,записаних в будь-якому вигляді: алгебраїчні рівняння,звичайні диференціальні рівняння, рівняння зприватними похідними і т. д. Щоб таке аналітичнеопис операції було можливо, як правило, потрібноухвалити ті або інші допущення або спрощення. За допомогоюаналітичних моделей вдається із задовільноюточністю описати тільки порівняно прості операції,де число взаємодіючих елементів не надто велике.
В операціях ж великого масштабу, складних, в якихпереплітається дію величезної кількості факторів, втому числі і випадкових, на перший план виходить методстатистичного моделювання. Він полягає в тому, щопроцес розвитку операції як би «копіюється» наобчислювальної машини, з усіма супровідними йоговипадковостями. Кожного разу, коли в хід операціївтручається якийсь випадковий фактор, його впливвраховується за допомогою «розіграшу», що нагадуєкидання жереба. У результаті багаторазового повтореннятакої процедури вдається отримати цікавлять насхарактеристики результату операції з будь-яким ступенемточності.

Статистичні моделі мають перед аналітичнимиту перевагу, що вони дозволяють врахувати більше числофакторів і не вимагають грубих спрощень і припущень. Затерезультати статистичного моделювання важчепіддаються аналізу і осмислення. Більш грубіаналітичні моделі описують явище лише приблизно,зате результати більш наочні і чіткіше відображаютьвластиві явищу основні закономірності. Найкращірезультати виходять при спільному застосуванніаналітичних та статистичних моделей: проста аналітична модель дозволяє начорнорозібратися в основних закономірностях явища, намітитиголовні його контури, а будь-яке подальше уточнення можебути отримано статистичними моделюванням.

3. ЗАГАЛЬНА ПОСТАНОВКА ЗАВДАННЯ

ДОСЛІДЖЕННЯ ОПЕРАЦІЇ. Детерміновані ВИПАДОК

Розглянемо завдання дослідження операцій в загальнійпостановці, безвідносно до виду та мети операції.

Нехай є деяка операція 0, тобтокероване захід, на результат якого ми можемо вякоюсь мірою впливати, вибираючи тим чи іншим способомзалежні від нас параметри. Ефективність операціїхарактеризується якимсь чисельним критерієм абопоказником W, який потрібно звернути у максимум
(випадок, коли його потрібно звернути в мінімум,зводиться до попереднього і окремо не розглядається).

Припустимо, що той чи інший спосібматематична модель операції побудована, вона дозволяєобчислити показник ефективності W при будь-якому прийнятомурішенні, для будь-якої сукупності умов, в якихвиконується операція.

Розглянемо спочатку найбільш простий випадок: всічинники, від яких залежить успіх операції, діляться надві групи:

- задані, заздалегідь відомі фактори (умовипроведення операції) а1, а2 ..., на які ми впливати неможемо;

- залежні від нас фактори (елементи рішення) х1,х2, ..., які ми, у відомих межах, можемовибирати на свій розсуд.

Цей випадок, в якому фактори, що впливають на результатоперації, або заздалегідь відомі, або залежать від нас, мибудемо називати детермінованим.

Зауважимо, що під «заданими умовами» операціїа1, а2 ... можуть розумітися не тільки звичайні числа, а йфункції, зокрема-обмеження, накладені наелементи рішення. Так само, елементи рішення х1,х2, ... також можуть бути не тільки числами, а йфункціями.

Показник ефективності W залежить від обох групфакторів:як від заданих умов, так і від елементів рішення.
Запишемо цю залежність у вигляді загальної символічноїформули:

W = W (a1, а2, ... х1, х2 ,...). (3.1)

Так як математична модель побудована, будемовважати, що залежність (3.1) нам відома, і для будь-якиха1, а2 ...; х1, х2, ... ми можемо знайти W.

Тоді завдання дослідження операцій можнаматематично сформулювати так:

При заданих умовах а1, а2, ... знайти такіелементи рішення х1, х2, ..., які звертаютьпоказник W в максимум.

Перед нами - типово математична задача,що відноситься до класу так званих варіаційних завдань.
Методи вирішення таких завдань детально розроблені вматематики. Найпростіші з цих методів ( «завдання намаксимум і мінімум ») добре відомі кожному інженеру.
Для знаходження максимуму або мінімуму (коротше,екстремуму) функції потрібно продиференціювати її поаргументу (або аргументів, якщо їх декілька),прирівняти похідні нуля і вирішити отриману системурівнянь.

Однак, цей простий метод в задачах дослідженняоперацій має обмежене застосування. Причин цьомукілька.

1. Коли аргументів х1, х2, ... багато (а цетипово для задач дослідження операцій), спільнерішення системи рівнянь, отриманих диференціюваннямосновної залежності, найчастіше виявляється не простіше, аскладніше, ніж безпосередній пошук екстремуму.

2. У випадку, коли на елементи рішення х1, х2,
... накладені обмеження (тобто, область їх зміниобмежена), часто екстремум спостерігається не в точці, депохідні звертаються в нуль, а на межі областіможливих рішень. Виникає специфічна длядослідження операцій математична завдання «пошукуекстремуму при наявності обмежень », що не вкладається всхему класичних варіаційних методів.

3. Нарешті, похідних, про які йде мова,може зовсім не існувати, наприклад, якщо аргументих1, х2, ... змінюються не безперервно, а дискретно, абож сама функція W має особливості.

Загальних математичних методів знаходженняекстремумів функцій будь-якого виду при наявності довільнихобмежень не існує. Однак для випадків, колифункція та обмеження мають певні властивості,сучасна математика пропонує ряд Спеціальнихметодів. Наприклад, якщо показник ефективності Wзалежить від елементів рішення х1, х2, ... лінійноїобмеження, накладені на х1, х2, ..., також мають виглядлінійних рівностей (або нерівностей), максимум функції Wзнаходиться за допомогою спеціального апарату, такзваного лінійного програмування. Якщо ці функціїволодіють іншими властивостями (наприклад, випуклі абоквадратичних), застосовується апарат «опуклого» або
«Квадратичного» програмування, більш складний запорівняно з лінійним програмуванням, але все-такищо дозволяє в прийнятні терміни знайти рішення. Якщооперація природним чином розчленовується на ряд
«Кроків» або «етапів» (наприклад, господарських років), апоказник ефективності W виражається у вигляді сумипоказників Wi, досягнутих за окремі етапи, длязнаходження рішення, що забезпечує максимальнуефективність, може бути застосований метод динамічногопрограмування.

Якщо операція описується звичайнимидиференціальними рівняннями, а управління, мінливийз часом, представляє собою деяку функцію x (f),то для знаходження оптимального управління можевиявитися корисним спеціально розроблений метод Л. С.
Понтрягина.

Таким чином, у розглянутомудетермінованому випадку завдання відшукання оптимальногорішення зводиться до математичної задачі відшуканняекстремуму функції W; це завдання може бути вельмискладною (особливо при багатьох аргументах), але, врешті --решт, є обчислювальної завданням, яке,особливо за наявності швидкодіючих ЕЦОМ, вдається,так чи інакше, вирішити до кінця. Труднощі, що виникаютьпри цьому, є розрахунковими, а не принциповими.

4. ЗАГАЛЬНА ПОСТАНОВКА ЗАВДАННЯ ДОСЛІДЖЕННЯ ОПЕРАЦІЇ.

ОПТИМІЗАЦІЯ рішень в умовах невизначеності

У попередньому параграфі ми розглянули самийпростий, повністю детермінований випадок, коли всіумови операції а1, а2, ... відомі, і будь-який вибіррішення х1, х2, ... призводить до цілком певногозначенням показника ефективності W.

На жаль, цей простий випадок не так вжечасто зустрічається на практиці. Набагато більш типовийвипадок, коли не всі умови, в яких будепроводиться операція, відомі заздалегідь, а деякі зних містять елемент невизначеності. Наприклад, успіхоперації може залежати від метеорологічних умов,які заздалегідь невідомі, або від коливань попиту іпропозиції, заздалегідь важко передбачуваних, пов'язаних зпримхами моди, або ж від поведінки розумногосупротивника, дії якого заздалегідь невідомі.

У подібних випадках ефективність операції залежитьвже не від двох, а від трьох категорій факторів:

- умови виконання операції а1, а2, ...,які відомі заздалегідь і змінені бути не можуть;

- невідомі умови або фактори Y1, Y2, ... ;

- елементи рішення х1, х2, ..., які намналежить вибрати. Нехай ефективність операціїхарактеризується деяким показником W, що залежать відвсіх трьох груп факторів. Це ми запишемо у вигляді загальноїформули:

W = W (a1, а2 ,...; Y1, Y2 ,...; х1, х2 ,...).

Якщо б умови Y1, У2, ... були відомі, мимогли б заздалегідь підрахувати показник W і вибрати такерішення х1, х2, ..., при якому він максимізує.
Біда в тому, що параметри Y1, Y2, ... нам невідомі, азначить, невідомий і залежить від них показникефективності W при будь-якому рішенні. Тим не менше завданнявибору рішення як і раніше, стоїть перед нами. Її можнасформулювати так:

При заданих умовах а1, а2, ..., з урахуваннямневідомих факторів Y1, y2, ... знайти такі елементирішення х1, х2, ..., які по можливості звертали бв максимум показник ефективності W.

Це - вже інша, не чисто математична задача
(недаремно в її формулюванні зроблено застереження «поможливості »). Наявність невідомих факторів Y1, Y2, ...переводить нашу задачу в іншу категорію 'вонаперетворюється на завдання про вибір рішення в умовахневизначеності.

Давайте будемо чесні: невизначеність єневизначеність. Якщо умови виконання операціїневідомі, ми не маємо можливості, так само успішноорганізувати її, як ми це зробили б, якбимали в своєму розпорядженні більше інформації. Тому будь-яке рішення,прийняте в умовах невизначеності, гірше рішення,прийнятого в цілком певній ситуації. Наша справа --повідомити своєму рішенню у найбільшою можливою міроюриси розумності. Рішення, прийняте в умовахневизначеності, але на основі математичних розрахунків,буде все ж таки краще рішення, вибраного навмання. Недармаодин з відомих зарубіжних фахівців - Т. Л. Сааті вкнизі «Математичні методи дослідження операцій» даєсвого предмета наступне іронічне визначення:

«Дослідження операцій являє собоюмистецтво давати погані відповіді на ті практичніпитання, на які даються ще гірші відповіді іншимиметодами ».

Задачі про вибір рішення в умовахневизначеності зустрічаються нам у житті на кожному кроці.
Нехай, наприклад, ми зібралися їхати у відпустку, взявши зсобою валізу обмеженого обсягу, причому вага валізине повинен перевищувати того, при якому ми можемо носитийого без сторонньої допомоги (умови а1, а2, ...). Погодав районах подорожі заздалегідь невідома (умови Y1,
Y2, ...). Постає питання, які предмети одягу (х1, х2,
...) Варто взяти з собою?

Це завдання ми, зрозуміло, вирішуємо без всякогоматематичного апарату, хоча, мабуть, не безопори на якісь чисельні дані (хоча б наймовірності морозної або дощової погоди в районахподорожі в даний час року). Однак, якщо потрібноприйняти більш серйозне і відповідальне рішення
(наприклад, про характеристики проектованої греблі врайоні можливих паводків, або про вибір типу посадковогопристрої для посадки на планету з невідомимивластивостями поверхні, або про вибір зразка озброєннядля боротьби з противником, характеристики якогозаздалегідь невідомі), то вибору рішення в обов'язковомупорядку повинні бути предпославши математичні розрахунки,полегшують цей вибір і повідомляють йому, в доступніймірою, риси розумності.

Застосовувані при цьому методи істотно залежатьвід того, яка природа невідомих факторів Y1, Y2, ... іякими орієнтовними відомостями про них ми маємо в своєму розпорядженні.

Найбільш простим і сприятливим для розрахунківє випадок, коли невідомі фактори Y1,
Y2, ... являють собою випадкові величини (або жвипадкові функції), про які є статистичнідані, що характеризують їх розподіл.

Нехай, наприклад, ми розглядаємо роботузалізничної сортувальної станції, прагнучиоптимізувати процес обслуговування прибувають на цюстанцію вантажних поїздів. Заздалегідь невідомі ні точнімоменти прибуття поїздів, ні кількість вагонів у кожномупоїзді, ні адреси, за якими прямують вагони. Всіці характеристики являють собою випадковівеличини, закон розподілу кожної з яких (і їхсукупності) може бути визначений за наявними данимизвичайними методами математичної статистики.

Аналогічно, в кожній військовій операціїприсутні випадкові чинники, пов'язані з розсіюваннямснарядів, з випадковістю моментів виявлення цілей іт. п. У принципі всі ці фактори можуть бути вивченіметодами теорії ймовірностей, і для них можуть бутиотримані закони розподілу (або, принаймні,числові характеристики).

У випадку, коли невідомі фактори, які фігуруютьв операції - Y1, Y2, .... - Є звичайнінимі випадковимивеличинами (або випадковими функціями), розподіляких, хоча б орієнтовно, відомо, дляоптимізації рішення може бути застосований один з двохприйомів:

- штучне зведення до детермінованоюсхемою;

- «оптимізація в середньому».

Зупинимося докладніше на кожному з цихприйомів. Перший прийом зводиться до того, щоневизначена, ймовірна картина явищанаближено замінюється детермінованою. Для цього всіщо беруть участь в задачі випадкові чинники Y1, Y2, ....наближено замінюються не випадковими (як правило, їхматематичними очікуваннями).

Цей прийом застосовується переважно в грубих,орієнтовних розрахунках, коли діапазон випадковихзмін величин Y1, Y2, .... порівняно малий, тобто вонибез великою натяжкою можуть розглядатися як невипадкові. Зауважимо, що той самий прийом заміни випадковихвеличин їх математичними очікуваннями може успішнозастосовуватися і у випадках, коли величини Y1, Y2, ....мають про малі, але показник ефективності
W залежить від них лінійно (або майже лінійно).

Другий прийом ( «оптимізація в середньому»), більшскладний, застосовується, коли випадковість величин Y1,
Y2, .... досить істотна і заміна кожної з них їїматематичним очікуванням може призвести до великихпомилок.

Розглянемо цей випадок більш докладно. Нехайпоказник ефективності W істотно залежить відвипадкових факторів (будемо для простоти вважати їхвипадковими величинами) Y1, Y2, ....; припустимо, що намвідомо розподіл цих чинників, скажімо, щільністьрозподілу f (Y1, Y2, ...). Припустимо, що операціявиконується багато разів, причому умови Y1, Y2, ... міняютьсявід разу до разу випадковим чином. Яке рішення х1,х2, ... слід вибрати? Очевидно, то, при якомуоперація в середньому буде найбільш ефективна, тобтоматематичне очікування показника ефективності W будемаксимально. Таким чином, потрібно вибирати таке рішення
X1, Х2, ... , При якій звертається в максимумматематичне очікування показника ефективності:

W = M [W }==

== .... W (a1, a2, ...; y1, y2, ...; x1, x2 ...)

(y1, y2 ,...) dy1dy2 ....

Таку оптимізацію ми будемо називати «оптимізацієюв середньому ».

А як же з елементом невизначеності? Звичайно, вякоюсь мірою він зберігається. Успішність кожнійокремої операції, що здійснюється при випадкових,заздалегідь невідомих значеннях Y1, Y2, ... може сильновідрізнятися від очікуваної середньої, як в більшу, так, дожаль, і в меншу сторону. При багаторазовомуздійсненні операції ці відмінності, в середньому,згладжуються; однак, нерідко даний спосіб оптимізаціїрішення, через брак кращого, застосовується і тоді,коли операція здійснюється лише кілька разів абонавіть один раз. Тоді треба рахуватися з можливістюнеприємних несподіванок у кожному окремому випадку.
Втіхою нам може слугувати думка про те, що
«Оптимізація в середньому» все-таки краще, ніж вибір рішеннябез жодних обгрунтувань. Застосовуючи цей прийом дочисленним (хоча б і різних) операціями, все ж такими в середньому виграємо більше, ніж якщо б зовсім некористувалися розрахунком.

Для того, що