Гармонійні коливання та їх характеристики.
Коливаннями називаються руху або процеси, які характеризуються певною повторюваністю в часі. Коливальні процес широко поширені в природі і техніці, наприклад хитання маятника годин, змінний електричний струм і т.д. При коливальному рух маятника змінюється координата його центру мас, у випадку змінного струму коливаються напруга і струм в ланцюзі. Фізична природа коливань може бути різною тому розрізняють коливання механічні, електромагнітні та інші. Однак різні коливальні процеси описуються однаковими характеристиками і однаковими рівняннями. Звідси випливає доцільність єдиного підходу до вивчення коливань різної фізичної природи. Наприклад, єдиний підхід до вивчення механічних та електромагнітних коливань застосовувався англійським фізиком Д. У. Реле (1842-1919), а А.Г. Столєтова, російським інженером-експериментатором П.М. Лебедєвим (1866-1912). Великий внесок у розвиток теорії коливань внесли: Л.І. Мандельштам (1879-1944) та його учні.
Коливання називаються вільними (або власними), якщо вони здійснюються за рахунок спочатку досконалої енергії при подальшому відсутності зовнішніх впливів на коливальну систему (систему, здійснюючу коливання). Найпростішим типом коливань є гармонійні коливання - коливання, за яких коливається величина зміняться з часом за законом синуса (косінуса). Розгляд гармонійних коливань важливо з двох причин:
1. Коливання зустрічаються в природі і техніці, часто мають характер, близький до гармонійному;
2. Різні періодичні процеси (процеси, що повторюються через рівні проміжки часу) можна уявити як накладення гармонійних коливань.
Гармонійні коливання величини s описуються рівнянням типу
де
* А - максимальне значення коливається величини, що називається амплітудою коливання,
*? 0 - кругова (циклічна) частота,
*? - Початкова фаза коливання в момент часу t = 0,
* (? 0 t +?) - Фаза коливання в момент часу t.
Фаза коливання визначає значення коливається величини в даний момент часу. Так як косинус змінюється в межах від 1 до -1, то s може приймати значення від + до А-А.
Певні стану системи, що здійснює гармонічні коливання, повторюються через проміжок часу Т, що називається періодом коливання, за який фаза коливання чинить зріст рівне 2?, Тобто
тобто маємо гармонійні коливання з тієї ж циклічної частотою. Амплітуди величин (5) і (4) відповідно рівні і. Фаза величини (4) відрізняється від фази величини (1) на?/2, а фаза величини (5) відрізняється від фази величини (1) на?. Отже, в моменти часу, коли s = 0, набуває найбільші значення, коли ж s досягає максимального від'ємного значення, то набуває найбільше позитивне значення (див. малюнок 1).
З виразу (5) слід диференціальне рівняння гармонійних коливань
(6)
де s = A cos (? 0 t +?). Рішенням цього рівняння є вираз (1).
Гармонійні коливання зображуються графічно методом обертового вектора амплітуди, або методом векторних діаграм.
Для цього з довільної точки О, вибраної на осі x під кутом?, Рівним початковій фазі коливання, відкладається вектор А, модуль якого дорівнює амплітуді А розглянутого коливання (див. малюнок 2).
Якщо цей вектор привести в обертання з кутовою швидкістю? 0, рівної циклічної частоті коливань, то проекція кінця вектора буде переміщатися по осі x і приймати значення від-до А + А, а коливається величина буде змінюватися з часом за законом s = A cos ( ? 0 t +?). Таким чином, гармонійне коливання можна уявити проекцією на деяку довільно вибрану вісь вектора амплітуди А, відкладеного з довільної точки осі під кутом?, Рівним початковій фазі, і що обертається з кутовою швидкістю? 0 навколо цієї точки.
У фізиці часто застосовується інший метод, який відрізняється від методу обертового вектора амплітуди лише за формою. У цьому методі коливається величину представляють комплексним числом. Відповідно до формули Ейлера, для комплексних чисел
де - уявна одиниця. Тому рівняння гармонійного коливання (1) можна записати в комплексній формі:
речова частина виразу (8)
являє собою гармонійне коливання. Позначення Re дійсної частини опускають і записують у вигляді
У теорії коливань приймається, що коливається величина s дорівнює дійсної частини комплексного виразу, що стоїть в цьому рівність справа.
Завдання.
1.Амплітуда гармонійних коливань матеріальної точки дорівнює 5 см. Маса матеріальної точки 10 г і повна енергія коливань дж. Написати рівняння гармонійних коливань цієї точки (з числовими коефіцієнтами), якщо початкова фаза коливань дорівнює.
Рішення
Загальне рівняння гармонійних коливань має вигляд
отримаємо Т = 4 сек. Тоді, і рівняння (1) набуде вигляду см. Відзначимо, що так як - величина безрозмірна, то А не обов'язково підставляти в метрах; найменування x буде відповідати найменуванню А.
