It `s help you! By Taras, Stavropol.
На місцях попуски повинні бути малюнки (площин, епюр тощо)
Проекція ТОЧКИ.
Ортогональна СИСТЕМА двох площин проекції.
Суть методу ортогонального проектування полягає в тому, щопредмет проектується на дві взаємно перпендикулярні площини променями,ортогональними (перпендикулярними) до цих площинах ..
Одну з площин проекцій H розташовують горизонтально, а другий V --вертикально. Площина H називають горизонтальною площиною проекцій, V --фронтальної. Площини H і V нескінченні і непрозорі. Лінія перетинуплощин проекцій називається віссю координат і позначається OX. Площинипроекцій ділять простір на чотири двогранні кута - чверті.
Розглядаючи ортогональні проекції, припускають, що спостерігачзнаходиться в першій чверті на нескінченно великій відстані від площинпроекцій. Так як ці площині непрозорі, то видимими для спостерігачабудуть тільки ті точки, лінії і фігури, які розташовані в межах тієїж першої чверті.
При побудові проекцій необхідно пам'ятати, що ортогональної проекцієюточки на площину називається підстава перпендикуляра, опущеного зданого пункту на цю площину.
На малюнку показані точка А та її ортогональні проекції а1 і а2.
Крапку а1 називають горизонтальною проекцією точки А, крапку а2 - їїпередьої проекцією. Кожна з них є підставою перпендикуляра,опущеного з точки А відповідно на площині H і V.
Можна довести, що проекції точки завжди розташовані на прямих,перпендикулярних осі ОХ і перетинають цю ось в одній і тій же точці.
Дійсно, що проектують промені Аа1 і Аа2 визначають площину,перпендикулярну площин проекцій та лінії їх перетину - осі ОХ. Цяплощина перетинає H і V за прямими а1 аx і а1 аx,, які утворюють звіссю OX і один з одним прямі кути з вершиною в точці аx.
Справедливо і зворотне, тобто якщо на площинах проекцій дані точки a1 іa2, розташовані на прямих, які перетинають вісь OX в даній точці під прямимкутом, то вони є проекціями деякої точки А. Ця точка визначаєтьсяперетином перпендикулярів, восставленних з точок a1 і a2 доплощинах H і V.
Зауважимо, що положення площин проекцій в просторі може виявитисяіншим. Наприклад, обидві площині, будучи взаємно перпендикулярними, можуть бутивертикальними Але й у цьому випадку доведене вище припущення проорієнтації різнойменних проекцій точок відносно осі залишаєтьсясправедливим.
Щоб отримати плоский креслення, що складається із зазначених вище проекцій,площину H суміщають обертанням навколо осі OX з площиною V, як показанострілками на малюнку. В результаті передня півплощини H буде об'єднаноз нижньою півплощини V, а задня півплощини H - з верхньоюпівплощини V.
Проекційний креслення, на якому площини проекцій з усім тим, що на нихзображено, суміщені певним чином один з іншого, називається епюр
(від франц. еpure - креслення). На малюнку показаний епюр точки А.
При такому способі поєднання площин H і V проекції a1 і a2 виявлятьсярозташованими на одному перпендикуляр до осі OX. При цьому відстань a1ax --від горизонтальної проекції точки до осі OX рівна відстані від самої точки
А до площини V, а відстань a2ax - від фронтальної проекції точки до осі
OX рівна відстані від самої точки А до площини H.
Прямі лінії, що з'єднують різнойменні проекції точки на епюр, домовимосяназивати лініями проекційної зв'язку.
Положення проекцій точок на епюр залежить від того, в якій чвертізнаходиться дана точка. Так, якщо точка В розташована в другій чверті,то після поєднання площин обидві проекції виявляться що лежать над віссю OX.
Якщо точка С знаходиться в третій чверті, то її горизонтальна проекціяпісля поєднання площин виявиться над віссю, а фронтальна - під віссю OX.
Нарешті, якщо точка D розташована у четвертій чверті, то обидві проекції їїопиняться під віссю OX. На малюнку показані точки М і N, що лежать наплощинах проекцій. При такому положенні точка співпадає з однією зі своїхпроекцій, інша ж проекція її виявляється що лежить на осі OX. Цяособливість відображена і в позначенні: близько тій проекції, з якоюспівпадає сама точка, пишеться заголовна літера без індексу.
Слід відзначити і той випадок, коли обидві проекції точки збігаються. Такбуде, якщо точка знаходиться в другій або четвертій чверті на однаковійвідстані від площин проекцій. Обидві проекції поєднуються з самою точкою,якщо остання розташована на осі OX.
Ортогональна СИСТЕМА трьох площинах проекції.
Вище було показано, що дві проекції точки визначають її становище впросторі. Так як кожна фігура або тіло являє собоюсукупність точок, то можна стверджувати, що й два ортогональні проекціїпредмета (за наявності літерних позначень) цілком визначають його форму.
Однак у практиці зображення будівельних конструкцій, машин і різнихінженерних споруд виникає необхідність у створенні додатковихпроекцій. Надходять так з єдиною метою - зробити проекційний кресленнябільш ясним, легким для читання.
Модель трьох площин проекцій показана на малюнку. Третя площину,перпендикулярна і H та V, позначається літерою W і називається профільної.
Проекції точок на цю площину будуть також іменуватися профільними, апозначають їх великими літерами або цифрами з індексом 3 (Aз, bз, CЗ, ...
1з, 2З, 33 ...).< br> Площини проекцій, попарно перетинаючись, визначають три осі: ОX, ОY і ОZ,які можна розглядати як систему прямокутних декартових координатв просторі з початком у точці О. Система знаків, зазначена на малюнку,відповідає «правої системі» координат.
Три площини проекцій ділять простір на вісім тригранні кутів --це так звані Октант. Нумерація Октант дана на малюнку.
Як і раніше, будемо вважати, що глядач, що розглядає предмет,знаходиться в першому Октант.
Для отримання епюр площині H і W обертають, як показано на малюнку, допоєднання з площиною V. У результаті обертання передня півплощини Hвиявляється поєднаної з нижньої півплощини V, а задня півплощини H
- З верхньою півплощини V. При повороті на 90 ° навколо осі ОZ передняпівплощини W поєднати з правою півплощини V, а задняпівплощини W - з лівого півплощини V.
Остаточний вигляд всіх суміщених площин проекцій даний на малюнку. Нацьому кресленні осі ОX і ОZ, що лежать в не рухомий площині V, зображенітільки один раз, а ось ОY показана двічі. Пояснюється це тим, що,обертаючись з площиною H, вісь ОY на епюр поєднується з віссю ОZ, а обертаючисьразом з площиною W, ця ж ось поєднується з віссю ОX.
Надалі при позначенні осей на епюр негативні півосі (- ОX, -
ОY, - ОZ) вказуватися не будуть.
ТРИ КООРДИНАТИ І ТРИ Проекція ТОЧКИ ТА ЇЇ Радіус-вектор.
Координатами називають числа, які ставлять у відповідність точці длявизначення її положення в просторі або на поверхні.
У тривимірному просторі положення точки встановлюють за допомогоюпрямокутних декартових координат х, у і z.
координат х називають абсцис, у - ординатою і z - апплікатой. Абсцисах визначає відстань від даної точки до площини W, ордината у - доплощині V і аппліката z - до площини H. Прийнявши для відліку координатточки систему, показану на малюнку, складемо таблицю знаків координат уусіх восьми Октант. Будь-яка точка простору А, заданакоординатами, буде позначатися так: A (х, у, z).
Якщо х = 5, y = 4 і z = 6, то запис прийме наступний вид А (5, 4, 6). Цяточка А, всі координати якої є позитивними, знаходиться в першому Октант
Координати точки А є разом з тим і координатами її радіуса-вектора
ОА по відношенню до початку координат. Якщо i, j, k - одиничні вектори,спрямовані відповідно вздовж координатних осей х, у, z (малюнок), то
ОА = ОAxi + ОАyj + ОАzk, де ОАХ,
ОАУ, ОАД - координати вектора ОА
Побудова зображення самої точки і її проекцій на просторовоїмоделі (малюнок) рекомендується здійснювати за допомогою координатногопрямокутного паралелепіпеда. Перш за все на осях координат від точки Провідкладають відрізки, відповідно рівні 5, 4 і 6 одиницям довжини. На цихвідрізках (Оax, Оay, Оaz), як на ребрах, будують прямокутнийпаралелепіпед. Вершина його, протилежна початку координат, і будевизначати задану точку А. Легко помітити, що для визначення точки Адосить побудувати тільки три ребра паралелепіпеда, наприклад Оax, axa1і a1А або Оay, aya1 і a1A і т. д. Ці ребра утворюють координатнуламану лінію, довжина кожної ланки якої визначається відповідноюкоординатою точки.
Однак побудова паралелепіпеда дозволяє визначити не тільки точку А,але і всі три її ортогональні проекції.
Промінням, проектуються точку на площині H, V, W є ті три ребрапаралелепіпеда, які перетинаються в точці А.
Кожна з ортогональних проекцій точки А, будучи розташованою наплощині, визначається тільки двома координатами.
Так, горизонтальна проекція a1 визначається координатами х і у,фронтальна проекція a2 - координатами х і z, профільна проекція a3 --координатами у і z. Але дві будь-які проекції визначаються трьома координатами.
Ось чому завдання точки двома проекціями рівнозначне завданню точки трьомакоординатами.
На епюр (малюнок), де всі площини проекцій суміщені, проекції a1 і a2опиняться на одному перпендикуляр до осі ОX, а проекції a2 і a3 - на одномуперпендикуляр до осі OZ.
Що стосується проекцій a1 і a3, то і вони пов'язані прямими a1ay і a3ay,перпендикулярними осі ОY. Але так як ця вісь на епюр займає дваположення, то відрізок a1ay не може бути продовженням відрізку a3ay.
Побудова проекцій точки А (5, 4, 6) на епюр за заданими координатамивиконують в такій послідовності: перш за все на осі абсцис від початкукоординат відкладають відрізок Оax = х (у нашому випадку х = 5), потім черезточку ax проводять перпендикуляр до осі ОX, на якому з урахуванням знаківвідкладаємо відрізки axa1 = у (отримуємо a1) і axa2 = z (отримуємо a2).
Залишається побудувати профільну проекцію точки a3. Так як профільна йфронтальна проекції точки мають бути розташовані на одному перпендикулярадо осі OZ, то через a3 проводять пряму a2az (OZ.
Нарешті, виникає останнє запитання: на якій відстані від осі ОZ повиннаперебувати a3?
Розглядаючи координатний паралелепіпед (див. малюнок), ребра якогоaza3 = Oay = axa1 = y укладаємо, що шукане відстань aza3 одно у.
Відрізок aza3 відкладають вправо від осі ОZ, якщо у> 0, і вліво, якщо у
