Золотий перетин

Культура і мистецтво

Владивостоцький художнє училище

РЕФЕРАТ

на тему: «Золотий перетин»

Виконала: Миронова С.Д.

Група : 1-1

Прийняв:

Владивосток

2000

Зміст

| Вступ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... | 3 |
| 2. Золотий перетин - гармонійна пропорція ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... | 4 |
| 3. Друге золотий перетин ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... | 5 |
| 4. Золотий трикутник (пентаграма) ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... | 6 |
| 5. Історія золотого перетину ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... | 8 |
| 6. Ряд Фібоначчі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. | 12 |
| 7. Узагальнений золотий перетин ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. | 13 |
| 8. Принципи формоутворення у природі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... | 15 |
| 9. Золотий перетин і симетрія ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. | 17 |
| 10. Розгадка таємниці золотого | 18 |
| перетину ................................................ .............| 20 |
|..................... | 21 |
| 11. Золотий перетин в скульптурі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... | 23 |
| 12. Золотий перетин в архітектурі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. | |
| 13. Золотий перетин в живописі. Золота спіраль ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... | 27 |
| 14. "Необхідно прекрасного будівлі бути побудованим | 29 |
| подібно добре складеного людині "(Павло Флоренський) ... ... ... ... ... ... ... ... | 33 |
| 15. Закономірності побудови просторової композиції | |
| парку ... ... ... ... ... .... | |
| Література ................................................ ..........| |
|................................................. ............ | |

Введення

Людина розрізняє оточуючі його предмети за формою. Інтерес до формибудь-якого предмета може бути продиктований життєвою необхідністю, аможе бути викликаний красою форми. Форма, в основі побудови якої лежатьпоєднання симетрії та золотого перетину, сприяє найкращому зоровомусприйняття і появи відчуття краси і гармонії. Ціле завжди складається зчастин, частини різної величини знаходяться в певному відношенні один доодного і до цілого. Принцип золотого перетину - вищий прояв структурногоі функціональної досконалості цілого і його частин у мистецтві, науці,техніці і природі.

Ще в епоху Відродження художники відкрили, що будь-яка картина маєпевні точки, мимоволі привертає нашу увагу, так званізорові центри. При цьому абсолютно неважливо, який формат має картина --горизонтальний або вертикальний. Таких точок всього чотири, і розміщенівони на відстані 3/8 і 5/8 від відповідних країв площині.

Це відкриття у художників того часу отримало назву "золотеперетин "картини. Тому, для того щоб привернути увагу до головногоелементу фотографії, необхідно поєднати цей елемент з одним іззорових центрів.

2. Золотий перетин - гармонійна пропорція

В математиці пропорцією (лат. proportio) називають рівність двохвідносин: a: b = c: d.
Відрізок прямої АВ можна розділити на дві частини наступним чином:на дві рівні частини - АВ: АС = АВ: ВС;на дві нерівні частини в будь-якому відношенні (такі частини пропорції неутворюють);таким чином, коли АВ: АС = АС: нд

Останнє і є золотий розподіл або поділ відрізка в крайньому ісередньому відношенні.

Золотий перетин - це таке пропорційний поділ відрізка нанерівні частини, при якому весь відрізок так відноситься до більшої частини, яксама велика частина відноситься до меншої, або іншими словами, меншийвідрізок так відноситься до більшого, як більший до всього a: b = b: c абоз: b = b: а.

Рис. 1. Геометричне зображення золотої пропорції

Практичне знайомство з золотим перетином починають з поділу відрізкапрямий в золотій пропорції за допомогою циркуля і лінійки.

Рис. 2. Поділ відрізка прямої золотий перетин. BC = 1/2 AB; CD = BC

З точки В випростовує перпендикуляр, що дорівнює половині АВ. Отриманаточка З з'єднується лінією з точкою А. На отриманій лінії відкладаєтьсявідрізок ВС, що закінчується крапкою D. Відрізок AD переноситься на пряму АВ.
Отримана при цьому точка Е ділить відрізок АВ у співвідношенні золотийпропорції.

Відрізки золотої пропорції виражаються нескінченним ірраціональним дробом
AE = 0,618 ..., якщо АВ прийняти за одиницю, ВЕ = 0,382 ... Для практичнихцілей часто використовують наближені значення 0,62 і 0,38. Якщо відрізок АВприйняти за 100 частин, то більша частина відрізка дорівнює 62, а менша - 38частинах.

Властивості золотого перетину описуються рівнянням:x2 - x - 1 = 0.

Рішення цього рівняння:

Властивості золотого перетину створили навколо цього числа романтичнийореол таємничості і мало не містичного поклоніння.

3. Друге золотий перетин

Болгарський журнал «Вітчизна» (№ 10, 1983 р.) опублікував статтю
Цвєтана Цекова-Олівця «Про другому золотому перетині», яке випливає зосновного перетину і дає інше ставлення 44: 56.

Така пропорція виявлена в архітектурі, а також має місце припобудові композицій зображень подовженого горизонтальногоформату.
| | | Розподіл здійснюється |
| | | Таким чином. Відрізок АВ |
| | | Ділиться в пропорції золотого |
| Рис. 3. Побудова другого золотого | | перетину. З точки С |
| перетину | | випростовує перпендикуляр |
| | | СD. Радіусом АВ знаходиться |
| | | Точка D, яка з'єднується |
| | | Лінією з точкою А. Прямий кут |
| | | АСD ділиться навпіл. З точки |
| | | З проводиться лінія до |
| | | Перетину з лінією AD. Точка |
| | | Е ділить відрізок AD відносно |
| | | 56: 44. |
| | | |
| | | |
| Рис. 3.1. Розподіл прямокутника | | |
| лінією другого золотого перетину | | |
| | | |
| На малюнку показано положення лінії | | |
| другого золотого перетину. Вона | | |
| знаходиться посередині між лінією | | |
| золотого перетину і середньою лінією | | |
| прямокутника. | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| 4. Золотий трикутник | | |
| | | |
| Чудовий приклад «золотого | | |
| перетину »являє собою | | |
| правильний п'ятикутник - опуклий і | | |
| зірчастий (рис. 4). | | |
| | | |
| З подібності трикутників ACD і ABE | | |
| можемо вивести вже відому | | |
| пропорцію: | | |
| | | |
| Таким чином, зірчастий | | |
| п'ятикутник також володіє «золотим | | |
| перетином ». Цікаво, що всередині | | |
| п'ятикутника можна продовжити | | |
| будувати п'ятикутник, і це | | |
| ставлення буде зберігатися. | | |
| Зірчасті п'ятикутник називається | | |
| пентаграма. Піфагорійці вибрали | | |
| п'ятикутну зірку в якості | | |
| талісмана, вона вважалася символом | | |
| здоров'я і служила розпізнавальним | | |
| знаком. | | |
| Існує легенда про те, що один з | | |
| піфагорійців хворим потрапив в будинок до | | |
| незнайомим людям. Вони намагалися його | | |
| виходити, але хвороба не відступала. Чи не | | |
| маючи коштів заплатити за лікування та | | |
| догляд, хворий перед смертю попросив | | |
| господаря будинку намалювати біля входу | | |
| п'ятикутну зірку, пояснивши, що за | | |
| цьому знаку знайдуться люди, які | | |
| винагородять його. І насправді, | | |
| через деякий час один із | | |
| подорожуючих піфагорійців зауважив | | |
| зірку і став розпитувати господаря | | |
| дому про те, яким чином вона | | |
| з'явилися біля входу. Після розповіді | | |
| господаря гость щедро нагородив його. | | |
| Пентаграма була добре відома і в | | |
| Давньому Єгипті. Але безпосередньо | | |
| як емблема здоров'я вона була прийнята | | |
| лише в Стародавній Греції. | | |
| В даний час існує | | |
| гіпотеза, що пентаграма - первинне | | |
| поняття, а «золотий перетин» | | |
| вдруге. Пентаграму ніхто не | | |
| винаходив, її тільки скопіювали з | | |
| натури. Вид п'ятикутної зірки мають | | |
| п'яти-пелюсткові квіти плодових | | |
| дерев і чагарників, морські | | |
| зірки. Ті й інші створення природи | | |
| людина спостерігає вже тисячі років. | | |
| Тому природно припустити, що | | |
| геометричний образ цих об'єктів - | | |
| пентаграма - стала відома раніше, | | |
| ніж «золота» пропорція. | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| Для знаходження відрізків золотої | | |
| пропорції висхідного і спадного | | |
| рядів можна користуватися | | |
| пентаграма. | | |
| | | |
| Рис. 5. Побудова правильного | | |
| п'ятикутника і пентаграми | | |
| Для побудови пентаграми необхідно | | |
| побудувати правильний п'ятикутник. | | |
| Спосіб його побудови розробив | | |
| німецький живописець і графік Альбрехт | | |
| Дюрер (1471 ... 1528). Нехай O - центр | | |
| кола, A - точка на колі і | | |
| Е - середина відрізка ОА. | | |
| Перпендикуляр до радіуса ОА, | | |
| восставленний в точці О, перетинається | | |
| с колом у точці D. Користуючись | | |
| циркулем, відкладемо на діаметрі відрізок | | |
| CE = ED. Довжина сторони вписаного в | | |
| коло правильного п'ятикутника | | |
| дорівнює DC. Відкладаємо на колі | | |
| відрізки DC і отримаємо п'ять точок для | | |
| накреслення правильного п'ятикутника. | | |
| З'єднуємо кути п'ятикутника через | | |
| один діагоналями і отримуємо | | |
| пентаграму. Всі діагоналі | | |
| п'ятикутника ділять один одного на | | |
| відрізки, пов'язані між собою | | |
| золотою пропорцією. | | |
| Кожен кінець п'ятикутною зірки | | |
| є золотий | | |
| трикутник. Його сторони утворюють | | |
| кут 36 ° при вершині, а підстава, | | |
| відкладене на бічну сторону, ділить | | |
| її в пропорції золотого | | |
| перетину. | | |
| | | Проводимо пряму АВ. Від точки А |
| Рис. 6. Побудова золотого | | відкладаємо на ній три рази |
| трикутника | | відрізок Про довільній |
| | | Величини, через отриману |
| | | Точку Р проводимо перпендикуляр |
| | | До лінії АВ, на перпендикуляра |
| | | Вправо і вліво від точки Р |
| | | Відкладаємо відрізки О. |
| | | Отримані точки d і d1 |
| | | З'єднуємо прямими з точкою А. |
| | | Відрізок dd1 відкладаємо на |
| | | Лінію Ad1, отримуючи точку С. |
| | | Вона розділила лінію Ad1 в |
| | | Пропорції золотого перетину. |
| | | Лініями Ad1 і dd1 користуються |
| | | Для побудови «золотого» |
| | | Прямокутника. |
| | | |
| 5. Історія золотого перетину |
| |
| Прийнято вважати, що поняття про золотий поділ ввів у науковий обіг |
| Піфагор, давньогрецький філософ і математик (VI ст. До н.е.). Є |
| припущення, що Піфагор своє знання золотого поділу |
| запозичив у єгиптян і вавілонян. І дійсно, пропорції |
| піраміди Хеопса, храмів, барельєфів, предметів побуту і прикрас з |
| гробниці Тутанхамона свідчать, що єгипетські майстри |
| користувалися співвідношеннями золотого розподілу при їх створенні. |
| Французький архітектор Ле Корбюз'є знайшов, що в рельєфі з храму |
| фараона Мережі I в Абідосі і в рельєфі, що зображує фараона Рамзеса, |
| пропорції фігур відповідають величинам золотого поділу. Зодчий |
| Хесира, зображений на рельєфі дерев'яної дошки з гробниці його |
| імені, тримає в руках вимірювальні інструменти, в яких |
| зафіксовані пропорції золотого поділу. |
| Греки були майстерними геометрами. Навіть арифметиці навчали своїх дітей |
| за допомогою геометричних фігур. Квадрат Піфагора і діагональ цього |
| квадрата були підставою для побудови динамічних |
| прямокутників. |
| |
| Рис. 7. Динамічні прямокутники |
| Платон (427 ... 347 рр.. До н.е.) також знав про золотий поділ. Його |
| діалог «Тімей» присвячений математичним і естетичним поглядам |
| школи Піфагора і, зокрема, питань золотого поділу. |
| У фасаді давньогрецького храму Парфенона присутні золоті |
| пропорції. При його розкопках виявлені циркули, якими |
| користувалися архітектори та скульптори античного світу. У помпейському |
| циркулі (музей в Неаполі) також закладені пропорції золотого поділу. |
| |
| |
| Рис. 8. Античний циркуль золотого перетину |
| У дійшла до нас античній літературі золотий розподіл вперше |
| згадується в «Початках» Евкліда. У 2-й книзі «Початки» дається |
| геометрична побудова золотого поділу Після Евкліда |
| дослідженням золотого поділу займалися Гіпсікл (II ст. до н.е.), |
| Папп (III ст. Н.е.) і ін У середньовічній Європі з золотим поділом |
| познайомилися з арабських перекладів «Начал» Евкліда. Перекладач |
| Дж. Кампана з Наварро (III ст.) Зробив до перекладу коментарі. |
| Секрети золотого поділу ревно оберігали, зберігалися в суворій |
| таємниці. Вони були відомі тільки присвяченим. |
| В епоху Відродження посилюється інтерес до золотого поділу серед |
| науковців та митців у зв'язку з його застосуванням, як у геометрії, так і |
| в мистецтві, особливо в архітектурі Леонардо да Вінчі, художник і |
| учений, бачив, що в італійських художників емпіричний досвід |
| великий, а знань мало. Він задумав і почав писати книгу по |
| геометрії, але в цей час з'явилася книга ченця Луки Пачолі, і |
| Леонардо залишив свою витівку. На думку сучасників та істориків |
| науки, Лука Пачолі був справжнім світилом, найбільшим математиком |
| Італії в період між Фібоначчі і Галілеєм. Лука Пачолі був учнем |
| художника П'єро делла Франческа, що написав дві книги, одна з |
| яких називалася «Про перспективу в живопису». Його вважають творцем |
| нарисної геометрії. |
| Лука Пачолі прекрасно розумів значення науки для мистецтва. У 1496 г |
| на запрошення герцога Моро він приїжджає в Мілан, де читає лекції |
| з математики. У Мілані при дворі Моро у той час працював і Леонардо |
| да Вінчі. У 1509 р. у Венеції була видана книга Луки Пачолі |
| «Божественна пропорція» з блискуче виконаними ілюстраціями, |
| через що вважають, що їх зробив Леонардо да Вінчі. Книга була |
| захопленим гімном золотої пропорції. Серед багатьох переваг |
| золотої пропорції монах Лука Пачолі не забув назвати і її |
| «Божественну суть" як вираження божественної триєдності Син Божий, |
| Бог-отець і бог дух святий (малося на увазі, що малий відрізок є |
| уособлення бога сина, більший відрізок - бога батька, а весь відрізок |
| - Бога духу святого). |
| Леонардо да Вінчі також багато уваги приділяв вивченню золотого |
| поділу. Він справляв перетину стереометричних тіла, |
| утвореного правильними п'ятикутника, і кожного разу отримував |
| прямокутники з відносинами сторін у золотому діленні. Тому він |
| дав цьому поділу назва золотий перетин. Так воно і тримається до |
| сих пір, як саме популярне. |
| В той же час на півночі Європи, в Німеччині, над тими ж проблемами |
| трудився Альбрехт Дюрер. Він робить начерки введення до першого |
| варіанту трактату про пропорції. Дюрер пише. «Необхідно, щоб той, |
| хто щось вміє, навчив цього інших, які цього потребують. |
| Це я і думав був учинити ». |
| Судячи з одного з листів Дюрера, він зустрічався з Лукою Пачолі у |
| час перебування в Італії. Альбрехт Дюрер докладно розробляє |
| теорію пропорцій людського тіла. Важливе місце у своїй системі |
| співвідношень Дюрер відводив золотий перетин. Зростання людини ділиться в |
| золотих пропорціях лінією поясу, а також лінією, проведеною через |
| кінчики середніх пальців опущених рук, нижня частина обличчя - ротом і |
| т.д. Відомий пропорційний циркуль Дюрера. |
| Великий астроном XVI ст. Іоган Кеплер назвав золотий переріз одним з |
| скарбів геометрії. Він першим звертає увагу на значення золотої |
| пропорції для ботаніки (зростання рослин та їх будова). |
| Кеплер називав золоту пропорцію що продовжує саму себе «Влаштована |
| вона так, - писав він, - що два молодших члена цієї нескінченної |
| пропорції в сумі дають третій член, а будь-які два останніх члена, |
| якщо їх скласти, дають наступний член, причому та ж пропорція |
| зберігається до безкінечності ». |
| Побудова ряду відрізків золотої пропорції можна робити як в |
| бік збільшення (зростаючий ряд), так і в бік зменшення |
| (спадний ряд). |
| Якщо на прямий довільної довжини, відкласти відрізок m, поруч |
| відкладаємо відрізок M. На підставі цих двох відрізків вибудовуємо |
| шкалу відрізків золотої пропорції висхідного і спадного |
| рядів: |
| |
| |
| Рис. 9. Побудова шкали відрізків золотої пропорції |
| |
| У наступні століття правило золотої пропорції перетворилося в |
| академічний канон і, коли з часом в мистецтві почалася |
| боротьба з академічною рутиною, в запалі боротьби «разом з водою |
| виплеснули і дитину ». Знову «відкрито» золотий перетин було в |
| середині XIX ст. У 1855 р. німецький дослідник золотого перетину |
| професор Цейзинга опублікував свою працю "Естетичні |
| дослідження ». З Цейзинга відбулося саме те, що й повинно було |
| неминуче статися з дослідником, який розглядає |
| явище як таке, без зв'язку з іншими явищами. Він |
| абсолютизував пропорцію золотого перетину, оголосивши її |
| універсальною для всіх явищ природи й мистецтва. У Цейзинга |
| були численні послідовники, але були й супротивники, які |
| оголосили його вчення про пропорціях «математичної естетикою». |
| |
| Рис. 10. Золоті пропорції в частинах тіла людини |
| |

| Справедливість | | | | | | | | | | | | | | |
| своєї теорії | | | | | | | | | | | | | | |
| Цейзинга перевіряв на | | | | | | | | | | | | | | |
| грецьких статуях. | | | | | | | | | | | | | | |
| Найбільш детально | | | | | | | | | | | | | | |
| він розробив | | | | | | | | | | | | | | |
| пропорції Аполлона | | | | | | | | | | | | | | |
| Бельведерського. | | | | | | | | | | | | | | |
| Зазнали | | | | | | | | | | | | | | |
| дослідження | | | | | | | | | | | | | | |
| грецькі вази, | | | | | | | | | | | | | | |
| архітектурні | | | | | | | | | | | | | | |
| споруди | | | | | | | | | | | | | | |
| різних епох, | | | | | | | | | | | | | | |
| рослини, тварини, | | | | | | | | | | | | | | |
| пташині яйця, | | | | | | | | | | | | | | |
| музичні тони, | | | | | | | | | | | | | | |
| віршовані | | | | | | | | | | | | | | |
| розміри. Цейзинга | | | | | | | | | | | | | | |
| дав визначення | | | | | | | | | | | | | | |
| золотому перетину, | | | | | | | | | | | | | | |
| показав, як воно | | | | | | | | | | | | | | |
| виражається в | | | | | | | | | | | | | | |
| відрізках прямій і в | | | | | | | | | | | | | | |
| цифрах. Коли | | | | | | | | | | | | | | |
| цифри, що виражають | | | | | | | | | | | | | | |
| довжини відрізків, | | | | | | | | | | | | | | |
| були отримані, | | | | | | | | | | | | | | |
| Цейзинга побачив, що | | | | | | | | | | | | | | |
| вони складають ряд | | | | | | | | | | | | | | |
| Фібоначчі, який | | | | | | | | | | | | | | |
| можна продовжувати до | | | | | | | | | | | | | | |
| нескінченності в | | | | | | | | | | | | | | |
| одну і в іншу | | | | | | | | | | | | | | |
| бік. Наступна | | | | | | | | | | | | | | |
| його книга мала | | | | | | | | | | | | | | |
| назва «Золоте | | | | | | | | | | | | | | |
| поділ як | | | | | | | | | | | | | | |
| основний | | | | | | | | | | | | | | |
| морфологічний | | | | | | | | | | | | | | |
| закон в природі і | | | | | | | | | | | | | | |
| мистецтві ». У 1876 | | | | | | | | | | | | | | |
| м. в Росії була | | | | | | | | | | | | | | |
| видана невелика | | | | | | | | | | | | | | |
| книжка, майже | | | | | | | | | | | | | | |
| брошура, з | | | | | | | | | | | | | | |
| викладом цього | | | | | | | | | | | | | | |
| праці Цейзинга. | | | | | | | | | | | | | | |
| Автор сховався під | | | | | | | | | | | | | | |
| ініціалами Ю.Ф.В. В | | | | | | | | | | | | | | |
| цьому виданні не | | | | | | | | | | | | | | |
| згадано ні одне | | | | | | | | | | | | | | |
| твір | | | | | | | | | | | | | | |
| живопису. | | | | | | | | | | | | | | |
| В кінці XIX - | | | | | | | | | | | | | | |
| початку XX ст. | | | | | | | | | | | | | | |
| з'явилося чимало | | | | | | | | | | | | | | |
| чисто | | | | | | | | | | | | | | |
| формалістичних | | | | | | | | | | | | | | |
| теорії про застосування | | | | | | | | | | | | | | |
| золотого перетину в | | | | | | | | | | | | | | |
| творах | | | | | | | | | | | | | | |
| мистецтва і | | | | | | | | | | | | | | |
| архітектури. С | | | | | | | | | | | | | | |
| розвитком дизайну й | | | | | | | | | | | | | | |
| технічної | | | | | | | | | | | | | | |
| естетики чинність | | | | | | | | | | | | | | |
| закону золотого | | | | | | | | | | | | | | |
| перетину | | | | | | | | | | | | | | |
| поширилося на | | | | | | | | | | | | | | |
| конструювання | | | | | | | | | | | | | | |
| машин, меблів та | | | | | | | | | | | | | | |
| т.д. | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | |
| 6. Ряд Фібоначчі | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | |
| З історією золотого | | | | | | | | | | | | | | |
| перетину непрямим | | | | | | | | | | | | | | |
| чином пов'язане ім'я | | | | | | | | | | | | | | |
| італійського | | | | | | | | | | | | | | |
| математика ченця | | | | | | | | | | | | | | |
| Леонардо з Пізи, | | | | | | | | | | | | | | |
| більш відомого | | | | | | | | | | | | | | |
| під назвою | | | | | | | | | | | | | | |
| Фібоначчі (син | | | | | | | | | | | | | | |
| Боначчі). Він багато | | | | | | | | | | | | | | |
| подорожував по | | | | | | | | | | | | | | |
| Сходу, познайомив | | | | | | | | | | | | | | |
| Європу з індійськими | | | | | | | | | | | | | | |
| (арабськими) | | | | | | | | | | | | | | |
| цифрами. У 1202 г | | | | | | | | | | | | | | |
| вийшов у світ його | | | | | | | | | | | | | | |
| математична праця | | | | | | | | | | | | | | |
| «Книга про абаки» | | | | | | | | | | | | | | |
| (лічильної дошці), в | | | | | | | | | | | | | | |
| якому було | | | | | | | | | | | | | | |
| зібрані всі | | | | | | | | | | | | | | |
| відомі на той | | | | | | | | | | | | | | |
| час завдання. Одна | | | | | | | | | | | | | | |
| із завдань свідчила | | | | | | | | | | | | | | |
| «Скільки пар | | | | | | | | | | | | | | |
| кроликів в один рік | | | | | | | | | | | | | | |
| від однієї пари | | | | | | | | | | | | | | |
| народиться ». Розмірковуючи | | | | | | | | | | | | | | |
| на цю тему, | | | | | | | | | | | | | | |
| Фібоначчі вибудував | | | | | | | | | | | | | | |
| такий ряд цифр: | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | |
| Місяці | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | і т.д. |
| Пари кроликів | 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | 144 | і т.д. |
| | | | | | | | | | | | | | | |
| Ряд чисел 0, 1, 1, | | | | | | | | | | | | | | |
| 2, 3, 5, 8, 13, 21, | | | | | | | | | | | | | | |
| 34, 55 і т.д. | | | | | | | | | | | | | | |
| відомий як ряд | | | | | | | | | | | | | | |
| Фібоначчі. | | | | | | | | | | | | | | |
| Особливість | | | | | | | | | | | | | | |
| послідовності | | | | | | | | | | | | | | |
| чисел полягає в | | | | | | | | | | | | | | |
| те, що кожен її | | | | | | | | | | | | | | |
| член, починаючи з | | | | | | | | | | | | | | |
| третього, дорівнює | | | | | | | | | | | | | | |
| сумою двох | | | | | | | | | | | | | | |
| попередніх 2 + 3 = | | | | | | | | | | | | | | |
| 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 | | | | | | | | | | | | | | |
| = 13, 8 + 13 = 21; | | | | | | | | | | | | | | |
| 13 + 21 = 34 і | | | | | | | | | | | | | | |
| т.д., а відношення | | | | | | | | | | | | | | |
| суміжних чисел ряду | | | | | | | | | | | | | | |
| наближається до | | | | | | | | | | | | | | |
| відношенню золотого | | | | | | | | | | | | | | |
| поділу. Так, | | | | | | | | | | | | | | |
| 21: 34 = 0,617, а | | | | | | | | | | | | | | |
| 34: 55 = 0,618. | | | | | | | | | | | | | | |
| Це відношення | | | | | | | | | | | | | | |
| позначається | | | | | | | | | | | | | | |
| символом Ф. Тільки | | | | | | | | | | | | | | |
| це відношення - | | | | | | | | | | | | | | |
| 0,618: 0,382 - | | | | | | | | | | | | | | |
| дає безперервне | | | | | | | | | | | | | | |
| поділ відрізка | | | | | | | | | | | | | | |
| прямої у золотій | | | | | | | | | | | | | | |
| пропорції, | | | | | | | | | | | | | | |
| збільшення його або | | | | | | | | | | | | | | |
| зменшення до | | | | | | | | | | | | | | |
| нескінченності, | | | | | | | | | | | | | | |
| коли менший | | | | | | | | | | | | | | |
| відрізок так | | | | | | | | | | | | | | |
| відноситься до | | | | | | | | | | | | | | |
| більшого, як | | | | | | | | | | | | | | |
| більший до всього. | | | | | | | | | | | | | | |
| Фібоначчі так само | | | | | | | | | | | | | | |
| займався рішенням | | | | | | | | | | | | | | |
| практичних потреб | | | | | | | | | | | | | | |
| торгівлі: за допомогою | | | | | | | | | | | | | | |
| якого найменшого | | | | | | | | | | | | | | |
| кількості гир | | | | | | | | | | | | | | |
| можна зважити | | | | | | | | | | | | | | |
| товар? Фібоначчі | | | | | | | | | | | | | | |
| доводить, що | | | | | | | | | | | | | | |
| оптимальної | | | | | | | | | | | | | | |
| є така | | | | | | | | | | | | | | |
| система гир: 1, 2, | | | | | | | | | | | | | | |
| 4, 8, 16 ... | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | |
| 7. Узагальнене | | | | | | | | | | | | | | |
| золотий перетин | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | |
| Ряд Фібоначчі міг | | | | | | | | | | | | | | |
| б залишитися тільки | | | | | | | | | | | | | | |
| математичних | | | | | | | | | | | | | | |
| казусом, якби не | | | | | | | | | | | | | | |
| та обставина, | | | | | | | | | | | | | | |
| що всі | | | | | | | | | | | | | | |
| дослідники | | | | | | | | | | | | | | |
| золотого поділу в | | | | | | | | | | | | | | |
| рослинному і в | | | | | | | | | | | | | | |
| тваринному світі, не | | | | | | | | | | | | | | |
| кажучи вже про | | | | | | | | | | | | | | |
| мистецтві, | | | | | | | | | | | | | | |
| незмінно приходили | | | | | | | | | | | | | | |
| до цього ряду як | | | | | | | | | | | | | | |
| арифметичного | | | | | | | | | | | | | | |
| висловом закону | | | | | | | | | | | | | | |
| золотого поділу. | | | | | | | | | | | | | | |
| Учені продовжували | | | | | | | | | | | | | | |
| активно розвивати | | | | | | | | | | | | | | |
| теорію чисел | | | | | | | | | | | | | | |
| Фібоначчі і | | | | | | | | | | | | | | |
| золотого перетину. | | | | | | | | | | | | | | |
| Ю. Матіясевіч з | | | | | | | | | | | | | | |
| використанням | | | | | | | | | | | | | | |
| чисел Фібоначчі | | | | | | | | | | | | | | |
| вирішує 10-ю | | | | | | | | | | | | | | |
| проблему Гільберта. | | | | | | | | | | | | | | |
| Виникають витончені | | | | | | | | | | | | | | |
| методи вирішення ряду | | | | | | | | | | | | | | |
| кібернетичних | | | | | | | | | | | | | | |
| задач (теорії | | | | | | | | | | | | | | |
| пошуку, ігор, | | | | | | | | | | | | | | |
| програмування) з | | | | | | | | | | | | | | |
| використанням | | | | | | | | | | | | | | |
| чисел Фібоначчі і | | | | | | | | | | | | | | |
| золотого перетину. В | | | | | | | | | | | | | | |
| США створюється навіть | | | | | | | | | | | | | | |
| Математична | | | | | | | | | | | | | | |
| Фібоначчі-асоціація | | | | | | | | | | | | | | |
| я, яка з 1963 | | | | | | | | | | | | | | |
| року випускає | | | | | | | | | | | | | | |
| спеціальний журнал. | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | |
| Одним з досягнень | | | | | | | | | | | | | | |
| в цій області | | | | | | | | | | | | | | |
| є відкриття | | | | | | | | | | | | | | |
| узагальнених чисел | | | | | | | | | | | | | | |
| Фібоначчі і | | | | | | | | | | | | | | |
| узагальнених золотих | | | | | | | | | | | | | | |
| перетинів. | | | | | | | | | | | | | | |
| Ряд Фібоначчі (1, | | | | | | | | | | | | | | |
| 1, 2, 3, 5, 8) і | | | | | | | | | | | | | | |
| відкритий ним же | | | | | | | | | | | | | | |
| «Двійковий» ряд гир | | | | | | | | | | | | | | |
| 1, 2, 4, 8, 16 ... | | | | | | | | | | | | | | |
| на перший погляд | | | | | | | | | | | | | | |
| зовсім різні. | | | | | | | | | | | | | | |
| Але алгоритми їх | | | | | | | | | | | | | | |
| побудови вельми | | | | | | | | | | | | | | |
| схожі один на | | | | | | | | | | | | | | |
| одного: у першу | | | | | | | | | | | | | | |
| випадку кожне число | | | | | | | | | | | | | | |
| є сума | | | | | | | | | | | | | | |
| попереднього числа з | | | | | | | | | | | | | | |
| самим собою 2 = 1 + | | | | | | | | | | | | | | |
| 1; 4 = 2 + 2 ..., у | | | | | | | | | | | | | | |
| друга - це сума | | | | | | | | | | | | | | |
| двох попередніх | | | | | | | | | | | | | | |
| чисел 2 = 1 + 1, 3 | | | | | | | | | | | | | | |
| = 2 + 1, 5 = 3 + | | | | | | | | | | | | | | |
| 2 .... Чи не можна | | | | | | | | | | | | | | |
| відшукати загальну | | | | | | | | | | | | | | |
| математичну | | | | | | | | | | | | | | |
| формулу, з якої | | | | | | | | | | | | | | |
| виходять і | | | | | | | | | | | | | | |
| «Двійковий» ряд, і | | | | | | | | | | | | | | |
| ряд Фібоначчі? А | | | | | | | | | | | | | | |
| може бути, ця | | | | | | | | | | | | | | |
| формула дасть нам | | | | | | | | | | | | | | |
| нові числові | | | | | | | | | | | | | | |
| множини, | | | | | | | | | | | | | | |
| мають | | | | | | | | | | | | | | |
| якимись новими | | | | | | | | | | | | | | |
| унікальними | | | | | | | | | | | | | | |
| властивостями? | | | | | | | | | | | | | | |
| Дійсно, | | | | | | | | | | | | | | |
| задамося числовим | | | | | | | | | | | | | | |
| параметром S, | | | | | | | | | | | | | | |
| який може | | | | | | | | | | | | | | |
| приймати будь-які | | | | | | | | | | | | | | |
| значення: 0, 1, 2, | | | | | | | | | | | | | | |
| 3, 4, 5 ... | | | | | | | | | | | | | | |
| Розглянемо числовий | | | | | | | | | | | | | | |
| ряд, S + 1 перша | | | | | | | | | | | | | | |
| членів якого - | | | | | | | | | | | | | | |
| одиниці, а кожен | | | | | | | | | | | | | | |
| з наступних | | | | | | | | | | | | | | |
| дорівнює сумі двох | | | | | | | | | | | | | | |
| членів попереднього | | | | | | | | | | | | | | |
| і віддаленого від | | | | | | | | | | | | | | |
| попереднього на S | | | | | | | | | | | | | | |
| кроків. Якщо n-й | | | | | | | | | | | | | | |
| член цього ряду ми | | | | | | | | | | | | | | |
| позначимо через? S | | | | | | | | | | | | | | |
| (n), то отримаємо | | | | | | | | | | | | | | |
| загальну формулу? S | | | | | | | | | | | | | | |
| (n) =? S (n - 1) + | | | | | | | | | | | | | | |
|? S (n - S - 1). | | | | | | | | | | | | | | |
| Очевидно, що при S | | | | | | | | | | | | | | |
| = 0 з цієї формули | | | | | | | | | | | | | | |
| ми отримаємо | | | | | | | | | | | | | | |
| «Двійковий» ряд, при | | | | | | | | | | | | | | |
| S = 1 - ряд | | | | | | | | | | | | | | |
| Фібоначчі, при S = | | | | | | | | | | | | | | |
| 2, 3, 4. нові ряди | | | | | | | | | | | | | | |
| чисел, які | | | | | | | | | | | | | | |
| одержали назву | | | | | | | | | | | | | | |
| S-чисел Фібоначчі. | | | | | | | | | | | | | | |
| У загальному вигляді | | | | | | | | | | | | | | |
| золота S-пропорція | | | | | | | | | | | | | | |
| є позитивний | | | | | | | | | | | | | | |
| корінь рівняння | | | | | | | | | | | | | | |
| S-золотого перетину | | | | | | | | | | | | | | |
| xS 1 - xS - 1 = 0. | | | | | | | | | | | | | | |
| Неважко показати, | | | | | | | | | | | | | | |
| що при S = 0 | | | | | | | | | | | | | | |
| виходить поділ | | | | | | | | | | | | | | |
| відрізка навпіл, а | | | | | | | | | | | | | | |
| при S = 1-знайоме | | | | | | | | | | | | | | |
| класичне | | | | | | | | | | | | | | |
| золотий перетин. | | | | | | | | | | | | | | |
| Відносини сусідніх | | | | | | | | | | | | | | |
| S-чисел Фібоначчі з | | | | | | | | | | | | | | |
| абсолютної | | | | | | | | | | | | | | |
| математичної | | | | | | | | | | | | | | |
| точністю збігаються | | | | | | | | | | | | | | |
| у межі із | | | | | | | | | | | | | | |
| золотими | | | | | | | | | | | | | | |
| S-пропорціями! | | | | | | | | | | | | | | |
| Математики в таких | | | | | | | | | | | | | | |
| випадках говорять, | | | | | | | | | | | | | | |
| що золоті | | | | | | | | | | | | | | |
| S-перетину є | | | | | | | | | | | | | | |
| числовими | | | | | | | | | | | | | | |
| інваріантами | | | | | | | | | | | | | | |
| S-чисел Фібоначчі. | | | | | | | | | | | | | | |
| Факти, | | | | | | | | | | | | | | |
| підтверджують | | | | | | | | | | | | | | |
| існування | | | | | | | | | | | | | | |
| золотих S-перетинів у | | | | | | | | | | | | | | |
| природі, призводить | | | | | | | | | | | | | | |
| білоруський вчений | | | | | | | | | | | | | | |
| Е.М. Сороко в книзі | | | | | | | | | | | | | | |
| «Структурна | | | | | | | | | | | | | | |
| гармонія систем »| | | | | | | | | | | | | | |
| (Мінськ, «Наука і | | | | | | | | | | | | | | |
| техніка », 1984). | | | | | | | | | | | | | | |
| Виявляється, | | | | | | | | | | | | | | |
| наприклад, що | | | | | | | | | | | | | | |
| добре вивчені | | | | | | | | | | | | | | |
| подвійні сплави | | | | | | | | | | | | | | |
| мають особливі, | | | | | | | | | | | | | | |
| яскраво вираженими | | | | | | | | | | | | | | |
| функціональними | | | | | | | | | | | | | | |
| властивостями | | | | | | | | | | | | | | |
| (стійкі в | | | | | | | | | | | | | | |
| термічному | | | | | | | | | | | | | | |
| відношенні, тверді, | | | | | | | | | | | | | | |
| зносостійкі, | | | | | | | | | | | | | | |
| стійкі до | | | | | | | | | | | | | | |
| окислювання і т. п) | | | | | | | | | | | | | | |
| тільки в тому | | | | | | | | | | | | | | |
| випадку, якщо | | | | | | | | | | | | | | |
| питомі ваги | | | | | | | | | | | | | | |
| вихідних | | | | | | | | | | | | | | |
| компонентів пов'язані | | | | | | | | | | | | | | |
| один з одним однієї | | | | | | | | | | | | | | |
| із золотих | | | | | | | | | | | | | | |
| S-пропорцій. Це | | | | | | | | | | | | | | |
| дозволило автору | | | | | | | | | | | | | | |
| висунути гіпотезу | | | | | | | | | | | | | | |
| про те, що золоті | | | | | | | | | | | | | | |
| S-перетину є | | | | | | | | | | | | | | |
| числові інваріанти | | | | | | | | | | | | | | |
| самоорганизующихся | | | | | | | | | | | | | | |
| систем. Будучи | | | | | | | | | | | | | | |
| підтвердженої | | | | | | | | | | | | | | |
| експериментально, | | | | | | | | | | | | | | |
| ця гіпотеза може | | | | | | | | | | | | | | |
| мати | | | | | | | | | | | | | | |
| фундаментальне | | | | | | | | | | | | | | |
| значення для | | | | | | | | | | | | | | |
| розвитку | | | | | | | | | | | | | | |
| синергетики - нової | | | | | | | | | | | | | | |
| галузі науки, | | | | | | | | | | | | | | |
| вивчає процеси | | | | | | | | | | | | | | |
| у | | | | | | | | | | | | | | |
| самоорганизующихся | | | | | | | | | | | | | | |
| системах. | | | | | | | | | | | | | | |
| З допомогою кодів | | | | | | | | | | | | | | |
| золотий S-пропорції | | | | | | | | | | | | | | |
| можна виразити | | | | | | | | | | | | | | |
| будь-| | | | | | | | | | | | | | |
| дійсне | | | | | | | | | | | | | | |
| число у вигляді суми | | | | | | | | | | | | | | |
| ступенів золотих | | | | | | | | | | | | | | |
| S-пропорцій з | | | | | | | | | | | | | | |
| цілими | | | | | | | | | | | | | | |
| коефіцієнтами. | | | | | | | | | | | | | | |
| Принципове | | | | | | | | | | | | | | |
| відміну такого | | | | | | | | | | | | | | |
| способу кодування | | | | | | | | | | | | | | |
| чисел полягає в | | | | | | | | | | | | | | |
| те, що підстави | | | | | | | | | | | | | | |
| нових кодів, | | | | | | | | | | | | | | |
| представляють | | | | | | | | | | | | | | |
| собою золоті | | | | | | | | | | | | | | |
| S-пропорції, при S | | | | | | | | | | | | | | |
|> 0 виявляються | | | | | | | | | | | | | | |
| ірраціональними | | | | | | | | | | | | | | |
| числами. Таким | | | | | | | | | | | | | | |
| чином, нові | | | | | | | | | | | | | | |
| системи числення з | | | | | | | | | | | | | | |
| ірраціональними | | | | | | | | | | | | | | |
| підставами як би | | | | | | | | | | | | | | |
| ставлять «з голови на | | | | | | | | | | | | | | |
| ноги »історично | | | | | | | | | | | | | | |
| склалася | | | | | | | | | | | | | | |
| ієрархію відносин | | | | | | | | | | | | | | |
| між числами | | | | | | | | | | | | | | |
| раціональними і | | | | | | | | | | | | | | |
| ірраціональними. | | | | | | | | | | | | | | |
| Справа в тому, що | | | | | | | | | | | | | | |
| спочатку були | | | | | | | | | | | | | | |
| «Відкриті» числа | | | | | | | | | | | | | | |
| натуральні; потім | | | | | | | | | | | | | | |
| їхні стосунки - | | | | | | | | | | | | | | |
| числа раціональні. | | | | | | | | | | | | | | |
| І лише пізніше - | | | | | | | | | | | | | | |
| після відкриття | | | | | | | | | | | | | | |
| піфагорійцями | | | | | | | | | | | | | | |
| несумірних | | | | | | | | | | | | | | |
| відрізків - на світло | | | | | | | | | | | | | | |
| з'явилися | | | | | | | | | | | | | | |
| ірраціональні | | | | | | | | | | | | | | |
| числа. Скажімо, в | | | | | | | | | | | | | | |
| десятковій, | | | | | | | | | | | | | | |
| пятерічной, | | | | | | | | | | | | | | |
| двійковій та інших | | | | | | | | | | | | | | |
| класичних | | | | | | | | | | | | | | |
| позиційних | | | | | | | | | | | | | | |
| системах числення | | | | | | | | | | | | | | |
| як | | | | | | | | | | | | | | |
| своєрідною | | | | | | | | | | | | | | |
| першооснови були | | | | | | | | | | | | | | |
| вибрані натуральні | | | | | | | | | | | | | | |
| числа - 10, 5, 2, - | | | | | | | | | | | | | | |
| з яких вже по | | | | | | | | | | | | | | |
| визначеним | | | | | | | | | | | | | | |
| правилами | | | | | | | | | | | | | | |
| конструювалися | | | | | | | | | | | | | | |
| всі інші | || | | | | | | | | | | | |
| натуральні, а | | | | | | | | | | | | | | |
| також раціональні | | | | | | | | | | | | | | |
| та ірраціональні | | | | | | | | | | | | | | |
| числа. | | | | | | | | | | | | | | |
| Свого роду | | | | | | | | | | | | | | |
| альтернативою | | | | | | | | | | | | | | |
| існуючих | | | | | | | | | | | | | | |
| способам числення | | | | | | | | | | | | | | |
| виступає нова, | | | | | | | | | | | | | | |
| ірраціональна | | | | | | | | | | | | | | |
| система, в якості | | | | | | | | | | | | | | |
| першооснови, почала | | | | | | | | | | | | | | |
| числення якої | | | | | | | | | | | | | | |
| обрано | | | | | | | | | | | | | | |
| ірраціональне | | | | | | | | | | | | | | |
| число (що є, | | | | | | | | | | | | | | |
| нагадаємо, коренем | | | | | | | | | | | | | | |
| рівняння золотого | | | | | | | | | | | | | | |
| перерізу); через | | | | | | | | | | | | | | |
| нього вже виражаються | | | | | | | | | | | | | | |
| інші | | | | | | | | | | | | | | |
| дійсні | | | | | | | | | | | | | | |
| числа. | | | | | | | | | | | | | | |
| У такій системі | | | | | | | | | | | | | | |
| числення будь-яке | | | | | | | | | | | | | | |
| натуральне число | | | | | | | | | | | | | | |
| завжди представимо | | | | | | | | | | | | | | |
| у вигляді кінцевої, - | | | | | | | | | | | | | | |
| а не нескінченною, | | | | | | | | | | | | | | |
| як думали раніше! - | | | | | | | | | | | | | | |
| суми ступенів | | | | | | | | | | | | | | |
| будь-який із золотих | | | | | | | | | | | | | | |
| S-пропорцій. Це | | | | | | | | | | | | | | |
| одна з причин, | | | | | | | | | | | | | | |
| чому | | | | | | | | | | | | | | |
| «Ірраціональна» | | | | | | | | | | | | | | |
| арифметика, володіючи | | | | | | | | | | | | | | |
| дивовижною | | | | | | | | | | | | | | |
| математичної | | | | | | | | | | | | | | |
| простотою і | | | | | | | | | | | | | | |
| витонченістю, як би | | | | | | | | | | | | | | |
| увібрала в себе | | | | | | | | | | | | | | |
| кращі якості | | | | | | | | | | | | | | |
| класичної | | | | | | | | | | | | | | |
| двійковій і | | | | | | | | | | | | | | |
| «Фібоначчіевой» | | | | | | | | | | | | | | |
| арифметик. | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | |
| 8. Засади | | | | | | | | | | | | | | |
| формоутворення в | | | | | | | | | | | | | | |
| природи | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | |
| Все, що | | | | | | | | | | | | | | |
| набувало | | | | | | | | | | | | | | |
| якусь форму, | | | | | | | | | | | | | | |
| утворювалося, | | | | | | | | | | | | | | |
| росло, прагнуло | | | | | | | | | | | | | | |
| зайняти місце в | | | | | | | | | | | | | | |
| просторі і | | | | | | | | | | | | | | |
| зберегти себе. Це | | | | | | | | | | | | | | |
| прагнення знаходить | | | | | | | | | | | | | | |
| здійснення в | | | | | | | | | | | | | | |
| основному у двох | | | | | | | | | | | | | | |
| варіантах - зростання | | | | | | | | | | | | | | |
| вгору або | | | | | | | | | | | | | | |
| розстеляння по | | | | | | | | | | | | | | |
| поверхні землі та | | | | | | | | | | | | | | |
| закручування по | | | | | | | | | | | | | | |
| спіралі. | | | | | | | | | | | | | | |
| Раковина закручена | | | | | | | | | | | | | | |
| по спіралі. Якщо її | | | | | | | | | | | | | | |
| розгорнути, то | | | | | | | | | | | | | | | <